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江蘇省南通市通州海安2025屆高考臨考沖刺數(shù)學(xué)試卷注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.等比數(shù)列的各項均為正數(shù),且,則()A.12 B.10 C.8 D.2.已知向量,夾角為,,,則()A.2 B.4 C. D.3.在區(qū)間上隨機取一個數(shù),使得成立的概率為等差數(shù)列的公差,且,若,則的最小值為()A.8 B.9 C.10 D.114.“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件5.已知集合,,且、都是全集(為實數(shù)集)的子集,則如圖所示韋恩圖中陰影部分所表示的集合為()A. B.或C. D.6.M、N是曲線y=πsinx與曲線y=πcosx的兩個不同的交點,則|MN|的最小值為()A.π B.π C.π D.2π7.阿基米德(公元前287年—公元前212年)是古希臘偉大的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家,他和高斯、牛頓并列被稱為世界三大數(shù)學(xué)家.據(jù)說,他自己覺得最為滿意的一個數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)就是“圓柱內(nèi)切球體的體積是圓柱體積的三分之二,并且球的表面積也是圓柱表面積的三分之二”.他特別喜歡這個結(jié)論,要求后人在他的墓碑上刻著一個圓柱容器里放了一個球,如圖,該球頂天立地,四周碰邊,表面積為的圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑,則該球的體積為()A. B. C. D.8.設(shè)復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限9.1777年,法國科學(xué)家蒲豐在宴請客人時,在地上鋪了一張白紙,上面畫著一條條等距離的平行線,而他給每個客人發(fā)許多等質(zhì)量的,長度等于相鄰兩平行線距離的一半的針,讓他們隨意投放.事后,蒲豐對針落地的位置進行統(tǒng)計,發(fā)現(xiàn)共投針2212枚,與直線相交的有704枚.根據(jù)這次統(tǒng)計數(shù)據(jù),若客人隨意向這張白紙上投放一根這樣的針,則針落地后與直線相交的概率約為()A. B. C. D.10.下圖是來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形,此圖由三個半圓構(gòu)成,三個半圓的直徑分別為直角三角形的斜邊、直角邊,已知以直角邊為直徑的半圓的面積之比為,記,則()A. B. C.1 D.11.已知將函數(shù)(,)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象,若和的圖象都關(guān)于對稱,則的值為()A.2 B.3 C.4 D.12.若不相等的非零實數(shù),,成等差數(shù)列,且,,成等比數(shù)列,則()A. B. C.2 D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,若,則a的取值范圍是______.14.(5分)函數(shù)的定義域是____________.15.已知,,,則的最小值是__.16.三個小朋友之間送禮物,約定每人送出一份禮物給另外兩人中的一人(送給兩個人的可能性相同),則三人都收到禮物的概率為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)改革開放40年,我國經(jīng)濟取得飛速發(fā)展,城市汽車保有量在不斷增加,人們的交通安全意識也需要不斷加強.為了解某城市不同性別駕駛員的交通安全意識,某小組利用假期進行一次全市駕駛員交通安全意識調(diào)查.隨機抽取男女駕駛員各50人,進行問卷測評,所得分數(shù)的頻率分布直方圖如圖所示.規(guī)定得分在80分以上為交通安全意識強.安全意識強安全意識不強合計男性女性合計(Ⅰ)求的值,并估計該城市駕駛員交通安全意識強的概率;(Ⅱ)已知交通安全意識強的樣本中男女比例為4:1,完成2×2列聯(lián)表,并判斷有多大把握認為交通安全意識與性別有關(guān);(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,從交通安全意識強的駕駛員中隨機抽取2人,求抽到的女性人數(shù)的分布列及期望.附:,其中0.0100.0050.0016.6357.87910.82818.(12分)過點作傾斜角為的直線與曲線(為參數(shù))相交于M、N兩點.(1)寫出曲線C的一般方程;(2)求的最小值.19.(12分)已知函數(shù),且曲線在處的切線方程為.(1)求的極值點與極值.(2)當(dāng),時,證明:.20.(12分)如圖,在四棱錐中,底面是直角梯形且∥,側(cè)面為等邊三角形,且平面平面.(1)求平面與平面所成的銳二面角的大??;(2)若,且直線與平面所成角為,求的值.21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,直線的傾斜角為,且經(jīng)過點.以坐標(biāo)原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線,從原點O作射線交于點M,點N為射線OM上的點,滿足,記點N的軌跡為曲線C.(Ⅰ)求出直線的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程;(Ⅱ)設(shè)直線與曲線C交于P,Q兩點,求的值.22.(10分)數(shù)列滿足,且.(1)證明:數(shù)列是等差數(shù)列,并求數(shù)列的通項公式;(2)求數(shù)列的前項和.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
由等比數(shù)列的性質(zhì)求得,再由對數(shù)運算法則可得結(jié)論.【詳解】∵數(shù)列是等比數(shù)列,∴,,∴.故選:B.【點睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì),考查對數(shù)的運算法則,掌握等比數(shù)列的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.2、A【解析】
根據(jù)模長計算公式和數(shù)量積運算,即可容易求得結(jié)果.【詳解】由于,故選:A.【點睛】本題考查向量的數(shù)量積運算,模長的求解,屬綜合基礎(chǔ)題.3、D【解析】
由題意,本題符合幾何概型,只要求出區(qū)間的長度以及使不等式成立的的范圍區(qū)間長度,利用幾何概型公式可得概率,即等差數(shù)列的公差,利用條件,求得,從而求得,解不等式求得結(jié)果.【詳解】由題意,本題符合幾何概型,區(qū)間長度為6,使得成立的的范圍為,區(qū)間長度為2,故使得成立的概率為,又,,,令,則有,故的最小值為11,故選:D.【點睛】該題考查的是有關(guān)幾何概型與等差數(shù)列的綜合題,涉及到的知識點有長度型幾何概型概率公式,等差數(shù)列的通項公式,屬于基礎(chǔ)題目.4、A【解析】
首先利用二倍角正切公式由,求出,再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可;【詳解】解:∵,∴可解得或,∴“”是“”的充分不必要條件.故選:A【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,二倍角正切公式的應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】
根據(jù)韋恩圖可確定所表示集合為,根據(jù)一元二次不等式解法和定義域的求法可求得集合,根據(jù)補集和交集定義可求得結(jié)果.【詳解】由韋恩圖可知:陰影部分表示,,,.故選:.【點睛】本題考查集合運算中的補集和交集運算,涉及到一元二次不等式和函數(shù)定義域的求解;關(guān)鍵是能夠根據(jù)韋恩圖確定所求集合.6、C【解析】
兩函數(shù)的圖象如圖所示,則圖中|MN|最小,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1=,x2=π,|x1-x2|=π,|y1-y2|=|πsinx1-πcosx2|=π+π=π,∴|MN|==π.故選C.7、C【解析】
設(shè)球的半徑為R,根據(jù)組合體的關(guān)系,圓柱的表面積為,解得球的半徑,再代入球的體積公式求解.【詳解】設(shè)球的半徑為R,根據(jù)題意圓柱的表面積為,解得,所以該球的體積為.故選:C【點睛】本題主要考查組合體的表面積和體積,還考查了對數(shù)學(xué)史了解,屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】
由復(fù)數(shù)的除法運算可整理得到,由此得到對應(yīng)的點的坐標(biāo),從而確定所處象限.【詳解】由得:,對應(yīng)的點的坐標(biāo)為,位于第一象限.故選:.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)對應(yīng)的點所在象限的求解,涉及到復(fù)數(shù)的除法運算,屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】
根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù),求出頻率,用以估計概率.【詳解】.故選:D.【點睛】本題以數(shù)學(xué)文化為背景,考查利用頻率估計概率,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】
根據(jù)以直角邊為直徑的半圓的面積之比求得,即的值,由此求得和的值,進而求得所求表達式的值.【詳解】由于直角邊為直徑的半圓的面積之比為,所以,即,所以,所以.故選:D【點睛】本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,考查二倍角公式,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】
因為將函數(shù)(,)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象,可得,結(jié)合已知,即可求得答案.【詳解】將函數(shù)(,)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象,又和的圖象都關(guān)于對稱,由,得,,即,又,.故選:B.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)圖象平移和根據(jù)圖象對稱求參數(shù),解題關(guān)鍵是掌握三角函數(shù)圖象平移的解法和正弦函數(shù)圖象的特征,考查了分析能力和計算能力,屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】
由題意,可得,,消去得,可得,繼而得到,代入即得解【詳解】由,,成等差數(shù)列,所以,又,,成等比數(shù)列,所以,消去得,所以,解得或,因為,,是不相等的非零實數(shù),所以,此時,所以.故選:A【點睛】本題考查了等差等比數(shù)列的綜合應(yīng)用,考查了學(xué)生概念理解,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
函數(shù)等價為,由二次函數(shù)的單調(diào)性可得在R上遞增,即為,可得a的不等式,解不等式即可得到所求范圍.【詳解】,等價為,且時,遞增,時,遞增,且,在處函數(shù)連續(xù),可得在R上遞增,即為,可得,解得,即a的取值范圍是.故答案為:.【點睛】本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性的判斷和運用:解不等式,考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力,屬于中檔題.14、【解析】
要使函數(shù)有意義,則,即,解得,故函數(shù)的定義域是.15、.【解析】
因為,展開后利用基本不等式,即可得到本題答案.【詳解】由,得,所以,當(dāng)且僅當(dāng),取等號.故答案為:【點睛】本題主要考查利用基本不等式求最值,考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和運算求解能力.16、【解析】
基本事件總數(shù),三人都收到禮物包含的基本事件個數(shù).由此能求出三人都收到禮物的概率.【詳解】三個小朋友之間準(zhǔn)備送禮物,約定每人只能送出一份禮物給另外兩人中的一人(送給兩個人的可能性相同),基本事件總數(shù),三人都收到禮物包含的基本事件個數(shù).則三人都收到禮物的概率.故答案為:.【點睛】本題考查古典概型概率的求法,考查運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ).0.2(Ⅱ)見解析,有的把握認為交通安全意識與性別有關(guān)(Ⅲ)見解析,【解析】
(Ⅰ)直接根據(jù)頻率和為1計算得到答案.(Ⅱ)完善列聯(lián)表,計算,對比臨界值表得到答案.(Ⅲ)的取值為,計算概率得到分布列,計算數(shù)學(xué)期望得到答案.【詳解】(Ⅰ),解得.所以該城市駕駛員交通安全意識強的概率.(Ⅱ)安全意識強安全意識不強合計男性163450女性44650合計2080100,所以有的把握認為交通安全意識與性別有關(guān)(Ⅲ)的取值為所以的分布列為期望.【點睛】本題考查了獨立性檢驗,分布列,數(shù)學(xué)期望,意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.18、(1);(2).【解析】
(1)將曲線的參數(shù)方程消參得到普通方程;(2)寫出直線MN的參數(shù)方程,將參數(shù)方程代入曲線方程,并將其化為一個關(guān)于的一元二次方程,根據(jù),結(jié)合韋達定理和余弦函數(shù)的性質(zhì),即可求出的最小值.【詳解】(1)由曲線C的參數(shù)方程(是參數(shù)),可得,即曲線C的一般方程為.(2)直線MN的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),將直線MN的參數(shù)方程代入曲線,得,整理得,設(shè)M,N對應(yīng)的對數(shù)分別為,,則,當(dāng)時,取得最小值為.【點睛】該題考查的是有關(guān)參數(shù)方程的問題,涉及到的知識點有參數(shù)方程向普通方程的轉(zhuǎn)化,直線的參數(shù)方程的應(yīng)用,屬于簡單題目.19、(1)極小值點為,極小值為,無極大值;(2)證明見解析【解析】
先對函數(shù)求導(dǎo),結(jié)合已知及導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求,結(jié)合單調(diào)性即可求解函數(shù)的極值點及極值;令,問題可轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值,結(jié)合導(dǎo)數(shù)可求.【詳解】(1)由題得函數(shù)的定義域為.,由已知得,解得∴,令,得令,得,∴在上單調(diào)遞增.令,得∴在上單調(diào)遞減∴的極小值點為,極小值為,無極大值.(2)證明:由(1)知,∴,令,即∵,,∴恒成立.∴在上單調(diào)遞增又,∴在上恒成立∴在上恒成立∴,即∴【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值問題,考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平,屬于中檔題.20、(1);(2).【解析】
(1)分別取的中點為,易得兩兩垂直,以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,易得為平面的法向量,只需求出平面的法向量為,再利用計算即可;(2)求出,利用計算即可.【詳解】(1)分別取的中點為,連結(jié).因為∥,所以∥.因為,所以.因為側(cè)面為等邊三角形,所以又因為平面平面,平面平面,平面,所以平面,所以兩兩垂直.以為空間坐標(biāo)系的原點,分別以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,因為,則,,.設(shè)平面的法向量為,則,即.取,則,所以.又為平面的法向量,設(shè)平面與平面所成的銳二面角的大小為,則,所以平面與平面所成的銳二面角的大小為.(2)由(1)得,平面的法向量為,所以成.又直線與平面所成角為,所以,即,即,化簡得,所以,符合題意.【點睛】本題考查利用向量坐標(biāo)法求面面角、線面角,涉及到面面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用,做好此類題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確寫出點的坐標(biāo),是一道中檔題.21、(Ⅰ)(t為參數(shù)),
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