湖南長(zhǎng)沙縣三中2025屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁(yè)
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文檔簡(jiǎn)介

湖南長(zhǎng)沙縣三中2025屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知雙曲線:的焦距為,焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為,則雙曲線的漸近線方程為()A. B. C. D.2.如圖是計(jì)算值的一個(gè)程序框圖,其中判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是()A.B.C.D.3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的,則①處應(yīng)填寫()A. B. C. D.4.已知全集U=x|x2≤4,x∈Z,A.-1 B.-1,0 C.-2,-1,0 D.-2,-1,0,1,25.在中,角、、所對(duì)的邊分別為、、,若,則()A. B. C. D.6.某高中高三(1)班為了沖刺高考,營(yíng)造良好的學(xué)習(xí)氛圍,向班內(nèi)同學(xué)征集書法作品貼在班內(nèi)墻壁上,小王,小董,小李各寫了一幅書法作品,分別是:“入班即靜”,“天道酬勤”,“細(xì)節(jié)決定成敗”,為了弄清“天道酬勤”這一作品是誰(shuí)寫的,班主任對(duì)三人進(jìn)行了問話,得到回復(fù)如下:小王說:“入班即靜”是我寫的;小董說:“天道酬勤”不是小王寫的,就是我寫的;小李說:“細(xì)節(jié)決定成敗”不是我寫的.若三人的說法有且僅有一人是正確的,則“入班即靜”的書寫者是()A.小王或小李 B.小王 C.小董 D.小李7.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,則()A. B. C.7 D.28.造紙術(shù)、印刷術(shù)、指南針、火藥被稱為中國(guó)古代四大發(fā)明,此說法最早由英國(guó)漢學(xué)家艾約瑟提出并為后來許多中國(guó)的歷史學(xué)家所繼承,普遍認(rèn)為這四種發(fā)明對(duì)中國(guó)古代的政治,經(jīng)濟(jì),文化的發(fā)展產(chǎn)生了巨大的推動(dòng)作用.某小學(xué)三年級(jí)共有學(xué)生500名,隨機(jī)抽查100名學(xué)生并提問中國(guó)古代四大發(fā)明,能說出兩種發(fā)明的有45人,能說出3種及其以上發(fā)明的有32人,據(jù)此估計(jì)該校三級(jí)的500名學(xué)生中,對(duì)四大發(fā)明只能說出一種或一種也說不出的有()A.69人 B.84人 C.108人 D.115人9.在中,,則()A. B. C. D.10.已知是函數(shù)圖象上的一點(diǎn),過作圓的兩條切線,切點(diǎn)分別為,則的最小值為()A. B. C.0 D.11.已知實(shí)數(shù),滿足,則的最大值等于()A.2 B. C.4 D.812.如圖,這是某校高三年級(jí)甲、乙兩班在上學(xué)期的5次數(shù)學(xué)測(cè)試的班級(jí)平均分的莖葉圖,則下列說法不正確的是()A.甲班的數(shù)學(xué)成績(jī)平均分的平均水平高于乙班B.甲班的數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分比乙班穩(wěn)定C.甲班的數(shù)學(xué)成績(jī)平均分的中位數(shù)高于乙班D.甲、乙兩班這5次數(shù)學(xué)測(cè)試的總平均分是103二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知i為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù),則=_______.14.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別關(guān)于兩漸近線對(duì)稱點(diǎn)重合,則雙曲線的離心率為_____15.如圖所示,直角坐標(biāo)系中網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為1,若向量、、滿足,則實(shí)數(shù)的值為_______.16.在的展開式中,所有的奇數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)和為-64,則實(shí)數(shù)的值為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設(shè),,,.(1)若的最小值為4,求的值;(2)若,證明:或.18.(12分)在中,,是邊上一點(diǎn),且,.(1)求的長(zhǎng);(2)若的面積為14,求的長(zhǎng).19.(12分)已知函數(shù)是減函數(shù).(1)試確定a的值;(2)已知數(shù)列,求證:.20.(12分)已知函數(shù),.(1)求證:在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn),且;(2)若當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求證:.21.(12分)已知函數(shù)(,)滿足下列3個(gè)條件中的2個(gè)條件:①函數(shù)的周期為;②是函數(shù)的對(duì)稱軸;③且在區(qū)間上單調(diào).(Ⅰ)請(qǐng)指出這二個(gè)條件,并求出函數(shù)的解析式;(Ⅱ)若,求函數(shù)的值域.22.(10分)已知函數(shù)()在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn).(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若有兩個(gè)不同的極值點(diǎn),,且,若不等式恒成立.求正實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

利用雙曲線:的焦點(diǎn)到漸近線的距離為,求出,的關(guān)系式,然后求解雙曲線的漸近線方程.【詳解】雙曲線:的焦點(diǎn)到漸近線的距離為,可得:,可得,,則的漸近線方程為.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,構(gòu)建出的關(guān)系是解題的關(guān)鍵,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.2、B【解析】

根據(jù)計(jì)算結(jié)果,可知該循環(huán)結(jié)構(gòu)循環(huán)了5次;輸出S前循環(huán)體的n的值為12,k的值為6,進(jìn)而可得判斷框內(nèi)的不等式.【詳解】因?yàn)樵摮绦驁D是計(jì)算值的一個(gè)程序框圈所以共循環(huán)了5次所以輸出S前循環(huán)體的n的值為12,k的值為6,即判斷框內(nèi)的不等式應(yīng)為或所以選C【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖的簡(jiǎn)單應(yīng)用,根據(jù)結(jié)果填寫判斷框,屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】

模擬程序框圖運(yùn)行分析即得解.【詳解】;;.所以①處應(yīng)填寫“”故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.4、C【解析】

先求出集合U,再根據(jù)補(bǔ)集的定義求出結(jié)果即可.【詳解】由題意得U=x|∵A=1,2∴CU故選C.【點(diǎn)睛】本題考查集合補(bǔ)集的運(yùn)算,求解的關(guān)鍵是正確求出集合U和熟悉補(bǔ)集的定義,屬于簡(jiǎn)單題.5、D【解析】

利用余弦定理角化邊整理可得結(jié)果.【詳解】由余弦定理得:,整理可得:,.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理邊角互化的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】

根據(jù)題意,分別假設(shè)一個(gè)正確,推理出與假設(shè)不矛盾,即可得出結(jié)論.【詳解】解:由題意知,若只有小王的說法正確,則小王對(duì)應(yīng)“入班即靜”,而否定小董說法后得出:小王對(duì)應(yīng)“天道酬勤”,則矛盾;若只有小董的說法正確,則小董對(duì)應(yīng)“天道酬勤”,否定小李的說法后得出:小李對(duì)應(yīng)“細(xì)節(jié)決定成敗”,所以剩下小王對(duì)應(yīng)“入班即靜”,但與小王的錯(cuò)誤的說法矛盾;若小李的說法正確,則“細(xì)節(jié)決定成敗”不是小李的,則否定小董的說法得出:小王對(duì)應(yīng)“天道酬勤”,所以得出“細(xì)節(jié)決定成敗”是小董的,剩下“入班即靜”是小李的,符合題意.所以“入班即靜”的書寫者是:小李.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查推理證明的實(shí)際應(yīng)用.7、B【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)并結(jié)合已知可求出,再利用等差數(shù)列性質(zhì)可得,即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?,所以,所以,故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)及前項(xiàng)和公式,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】

先求得名學(xué)生中,只能說出一種或一種也說不出的人數(shù),由此利用比例,求得名學(xué)生中對(duì)四大發(fā)明只能說出一種或一種也說不出的人數(shù).【詳解】在這100名學(xué)生中,只能說出一種或一種也說不出的有人,設(shè)對(duì)四大發(fā)明只能說出一種或一種也說不出的有人,則,解得人.故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用樣本估計(jì)總體,屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】

先根據(jù)得到為的重心,從而,故可得,利用可得,故可計(jì)算的值.【詳解】因?yàn)樗詾榈闹匦模?所以,所以,因?yàn)?,所以,故選A.【點(diǎn)睛】對(duì)于,一般地,如果為的重心,那么,反之,如果為平面上一點(diǎn),且滿足,那么為的重心.10、C【解析】

先畫出函數(shù)圖像和圓,可知,若設(shè),則,所以,而要求的最小值,只要取得最大值,若設(shè)圓的圓心為,則,所以只要取得最小值,若設(shè),則,然后構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求其最小值即可.【詳解】記圓的圓心為,設(shè),則,設(shè),記,則,令,因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,且,所以當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,即,所以(當(dāng)時(shí)等號(hào)成立).故選:C【點(diǎn)睛】此題考查的是兩個(gè)向量的數(shù)量積的最小值,利用了導(dǎo)數(shù)求解,考查了轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力,屬于難題.11、D【解析】

畫出可行域,計(jì)算出原點(diǎn)到可行域上的點(diǎn)的最大距離,由此求得的最大值.【詳解】畫出可行域如下圖所示,其中,由于,,所以,所以原點(diǎn)到可行域上的點(diǎn)的最大距離為.所以的最大值為.故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)可行域求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】

計(jì)算兩班的平均值,中位數(shù),方差得到正確,兩班人數(shù)不知道,所以兩班的總平均分無法計(jì)算,錯(cuò)誤,得到答案.【詳解】由題意可得甲班的平均分是104,中位數(shù)是103,方差是26.4;乙班的平均分是102,中位數(shù)是101,方差是37.6,則A,B,C正確.因?yàn)榧住⒁覂砂嗟娜藬?shù)不知道,所以兩班的總平均分無法計(jì)算,故D錯(cuò)誤.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了莖葉圖,平均值,中位數(shù),方差,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

先把復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn),然后利用求模公式可得結(jié)果.【詳解】.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)模的求解,利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算把復(fù)數(shù)化為的形式是求解的關(guān)鍵,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).14、【解析】

雙曲線的左右焦點(diǎn)分別關(guān)于兩條漸近線的對(duì)稱點(diǎn)重合,可得一條漸近線的斜率為1,即,即可求出雙曲線的離心率.【詳解】解:雙曲線的左右焦點(diǎn)分別關(guān)于兩條漸近線的對(duì)稱點(diǎn)重合,一條漸近線的斜率為1,即,,,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率,考查學(xué)生的計(jì)算能力,確定一條漸近線的斜率為1是關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

根據(jù)圖示分析出、、的坐標(biāo)表示,然后根據(jù)坐標(biāo)形式下向量的數(shù)量積為零計(jì)算出的取值.【詳解】由圖可知:,所以,又因?yàn)?,所以,所?故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)表示以及坐標(biāo)形式下向量的數(shù)量積運(yùn)算,難度較易.已知,若,則有.16、3或-1【解析】

設(shè),分別令、,兩式相減即可得,即可得解.【詳解】設(shè),令,則①,令,則②,則①-②得,則,解得或.故答案為:3或-1.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,考查了運(yùn)算能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)2;(2)見解析【解析】

(1)將化簡(jiǎn)為,再利用基本不等式即可求出最小值為4,便可得出的值;(2)根據(jù),即,得出,利用基本不等式求出最值,便可得出的取值范圍.【詳解】解:(1)由題可知,,,,,∴.(2)∵,∴,∴,∴,即:或.【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用,利用基本不等式和放縮法求最值,考查化簡(jiǎn)計(jì)算能力.18、(1)1;(2)5.【解析】

(1)由同角三角函數(shù)關(guān)系求得,再由兩角差的正弦公式求得,最后由正弦定理構(gòu)建方程,求得答案.(2)在中,由正弦定理構(gòu)建方程求得AB,再由任意三角形的面積公式構(gòu)建方程求得BC,最后由余弦定理構(gòu)建方程求得AC.【詳解】(1)據(jù)題意,,且,所以.所以.在中,據(jù)正弦定理可知,,所以.(2)在中,據(jù)正弦定理可知,所以.因?yàn)榈拿娣e為14,所以,即,得.在中,據(jù)余弦定理可知,,所以.【點(diǎn)睛】本題考查由正弦定理與余弦定理解三角形,還考查了由同角三角函數(shù)關(guān)系和兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)求值,屬于簡(jiǎn)單題.19、(Ⅰ)(Ⅱ)見證明【解析】

(Ⅰ)求導(dǎo)得,由是減函數(shù)得,對(duì)任意的,都有恒成立,構(gòu)造函數(shù),通過求導(dǎo)判斷它的單調(diào)性,令其最大值小于等于0,即可求出;(Ⅱ)由是減函數(shù),且可得,當(dāng)時(shí),,則,即,兩邊同除以得,,即,從而,兩邊取對(duì)數(shù),然后再證明恒成立即可,構(gòu)造函數(shù),,通過求導(dǎo)證明即可.【詳解】解:(Ⅰ)的定義域?yàn)椋?由是減函數(shù)得,對(duì)任意的,都有恒成立.設(shè).∵,由知,∴當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,∴在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,∴在時(shí)取得最大值.又∵,∴對(duì)任意的,恒成立,即的最大值為.∴,解得.(Ⅱ)由是減函數(shù),且可得,當(dāng)時(shí),,∴,即.兩邊同除以得,,即.從而,所以①.下面證;記,.∴,∵在上單調(diào)遞增,∴在上單調(diào)遞減,而,∴當(dāng)時(shí),恒成立,∴在上單調(diào)遞減,即時(shí),,∴當(dāng)時(shí),.∵,∴當(dāng)時(shí),,即②.綜上①②可得,.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系,考查了函數(shù)的最值,考查了構(gòu)造函數(shù)的能力,考查了邏輯推理能力與計(jì)算求解能力,屬于難題.,20、(1)詳見解析;(2)詳見解析.【解析】

(1)利用求導(dǎo)數(shù),判斷在區(qū)間上的單調(diào)性,然后再證異號(hào),即可證明結(jié)論;(2)當(dāng)時(shí),不等式恒成立,分離參數(shù)只需時(shí),恒成立,設(shè)(),需,根據(jù)(1)中的結(jié)論先求出,再構(gòu)造函數(shù)結(jié)合導(dǎo)數(shù)法,證明即可.【詳解】(1),令,則,所以在區(qū)間上是增函數(shù),則,所以在區(qū)間上是增函數(shù).又因?yàn)?,,所以在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn),且.(2)由題意,在區(qū)間上恒成立,即在區(qū)間上恒成立,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),恒成立,設(shè)(),所以.由(1)可知,,使,所以,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,由此在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以.又因?yàn)?,所以,從而,所?令,,則,所以在區(qū)間上是增函數(shù),所以,故.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,涉及到函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的零點(diǎn)、極值最值、不等式的證明,分離參數(shù)是解題的關(guān)鍵,意在考查邏輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算能力,屬于較難題.21、(Ⅰ)只有①②成立,;(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)依次討論①②成立,①③成立,②③成立,計(jì)算得到只有①②成立,得到答案.(Ⅱ)得到,得到函數(shù)值域.【詳解】(Ⅰ)由①可得,;由②得:,;由③得,,,;若①②成立,則,,,若①③成立,則,,不合題意,若②③成立,則,,與③中的矛盾,所以②③不成立,所以只有①②成立,.(Ⅱ)由題意得,,所以函數(shù)的值域?yàn)?【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的周期,對(duì)稱軸,單調(diào)性,值域,表達(dá)式,意在考查學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用.2

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