專題08 數(shù)列求通項(xiàng)與求和（考點(diǎn)清單+知識(shí)導(dǎo)圖+17個(gè)考點(diǎn)清單-題型解讀）（原卷版）-25學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考點(diǎn)大串講

清單08數(shù)列求通項(xiàng)與求和（個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【清單01】累加法（疊加法）若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“變差數(shù)列”，求變差數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，利用恒等式求通項(xiàng)公式的方法稱為累加法?！厩鍐?2】累乘法（疊乘法）若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“變比數(shù)列”，求變比數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，利用求通項(xiàng)公式的方法稱為累乘法?！厩鍐?3】數(shù)列求通項(xiàng)（法）對(duì)于數(shù)列，前項(xiàng)和記為；①；②②：法歸類角度1：已知與的關(guān)系；或與的關(guān)系用，得到例子：已知，求角度2：已知與的關(guān)系；或與的關(guān)系替換題目中的例子：已知；已知角度3：已知等式中左側(cè)含有：作差法（類似）例子：已知求【清單04】構(gòu)造法用“待定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列形如（為常數(shù)，）的數(shù)列，可用“待定系數(shù)法”將原等式變形為（其中：），由此構(gòu)造出新的等比數(shù)列，先求出的通項(xiàng)，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.【清單05】倒數(shù)法用“倒數(shù)變換法”構(gòu)造等差數(shù)列類型1：形如（為常數(shù)，）的數(shù)列，通過(guò)兩邊取“倒”，變形為，即：，從而構(gòu)造出新的等差數(shù)列，先求出的通項(xiàng)，即可求得.類型2：形如（為常數(shù)，，，）的數(shù)列，通過(guò)兩邊取“倒”，變形為，可通過(guò)換元：，化簡(jiǎn)為：（此類型符構(gòu)造法類型1：用“待定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列：形如（為常數(shù)，）的數(shù)列，可用“待定系數(shù)法”將原等式變形為（其中：），由此構(gòu)造出新的等比數(shù)列，先求出的通項(xiàng)，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.）【清單06】裂項(xiàng)相消法1、等差型=1\*GB3①特別注意②如：（尤其要注意不能丟前邊的）2、無(wú)理型=1\*GB3①如：3、指數(shù)型①如：【考點(diǎn)題型一】累加法求通項(xiàng)核心方法：形如：【例1】（24-25高二上·山東·期中）在數(shù)列中，，則的通項(xiàng)公式為．【變式1-1】（24-25高二上·上?！て谥校┤魯?shù)列滿足，且（其中，），則的通項(xiàng)公式是．【考點(diǎn)題型二】累乘法求通項(xiàng)核心方法：形如：【例2】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【變式2-1】（23-24高三上·四川成都·期末）已知數(shù)列數(shù)列滿足，，其中n∈N*．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【考點(diǎn)題型三】已知與的關(guān)系；或與的關(guān)系核心方法：用，得到【例3】（24-25高三上·遼寧沈陽(yáng)·期中）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【變式3-1】（2024·廣東佛山·一模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【考點(diǎn)題型四】已知與的關(guān)系；或與的關(guān)系核心方法：替換題目中的【例4】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且，求通項(xiàng)公式．【變式4-1】（24-25高三上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知數(shù)列中，，且，為數(shù)列的前項(xiàng)和，，數(shù)列bn是等比數(shù)列，，．(1)求數(shù)列和bn的通項(xiàng)公式；【考點(diǎn)題型五】已知等式中左側(cè)含有：核心方法：作差法（類似）【例5】（24-25高三上·貴州貴陽(yáng)·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足：，數(shù)列bn滿足：.(1)求數(shù)列的前15項(xiàng)和；【變式5-1】（24-25高三上·重慶·期中）已知數(shù)列滿足，則（

）A．2 B． C． D．【考點(diǎn)題型六】數(shù)列求通項(xiàng)之構(gòu)造法（形如）【例6】（24-25高三上·四川綿陽(yáng)·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，則.【變式6-1】（23-24高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）在數(shù)列中，，則．【變式6-2】（23-24高三上·新疆烏魯木齊·階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【考點(diǎn)題型七】數(shù)列求通項(xiàng)之構(gòu)造法（形如）【例7】（2024高二·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．【變式7-1】（24-25高二上·江蘇鎮(zhèn)江·開(kāi)學(xué)考試）數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．【變式7-2】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在數(shù)列中，已知，，求的通項(xiàng)公式．【考點(diǎn)題型八】數(shù)列求通項(xiàng)之倒數(shù)法（形如）【例8】（2024高二上·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列的首項(xiàng)，，，記，若，則正整數(shù)的最大值為.【變式8-1】（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，則．【變式8-2】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）若數(shù)列{an}中，，則這個(gè)數(shù)列的【考點(diǎn)題型九】數(shù)列求和之倒序相加法【例9】（24-25高二上·上?！るA段練習(xí)）已知函數(shù)，數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，且，(1)計(jì)算的值；(2)用書本上推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的方法，求的值.【變式9-1】（2024·浙江·一模）若，已知數(shù)列中，首項(xiàng)，，，則.【變式9-2】（24-25高三上·山東濟(jì)寧·期中）已知函數(shù)，，則的對(duì)稱中心為；若（），則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．【考點(diǎn)題型十】數(shù)列求和之分組求和法（形如）【例10】（2024·海南海口·模擬預(yù)測(cè)）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【變式10-1】（2024·貴州銅仁·模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)等差數(shù)列滿足：且，，成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列bn滿足：，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【變式10-2】（24-25高三上·北京·階段練習(xí)）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，且，，成等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【考點(diǎn)題型十一】數(shù)列求和之分組求和法（形如）【例11】（24-25高三上·福建龍巖·期中）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，等差數(shù)列bn的前項(xiàng)和為.(1)求和bn的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【變式11-1】.（24-25高三上·黑龍江大慶·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.(1)求證:數(shù)列為等比數(shù)列;(2)已知，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和.【變式11-2】（23-24高二下·黑龍江大慶·期末）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和【考點(diǎn)題型十二】數(shù)列求和之列項(xiàng)相消法（形如）【例12】（24-25高二上·上海·期中）已知點(diǎn)是指數(shù)函數(shù)圖像上一點(diǎn)，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的首項(xiàng)為，且數(shù)列bn的前項(xiàng)和Sn滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列bn(3)若數(shù)列前項(xiàng)和為，問(wèn)的最小正整數(shù)是多少？【變式12-1】（24-25高二上·福建莆田·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足：，且，等差數(shù)列的公差為正數(shù)，其前項(xiàng)和為，，且、、成等比數(shù)列．(1)求、、；(2)求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．【變式12-2】（24-25高二上·甘肅白銀·期中）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【考點(diǎn)題型十三】數(shù)列求和之列項(xiàng)相消法（形如）【例13】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，若為函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若求數(shù)列的前項(xiàng)和．【變式13-1】（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．(1)求的通項(xiàng)公式及；(2)設(shè)______，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在第（2）問(wèn)中，并求解．注：如選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【考點(diǎn)題型十四】數(shù)列求和之列項(xiàng)相消法（形如）【例14】（24-25高三上·江西贛州·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知數(shù)列bn，，其前項(xiàng)和為，求使得對(duì)所有都成立的自然數(shù)的值.【變式14-1】（24-25高二上·山東青島·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：.【變式14-2】（2024·福建泉州·二模）已知數(shù)列和bn的各項(xiàng)均為正，且，bn是公比3的等比數(shù)列．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和滿足．(1)求數(shù)列，bn的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【考點(diǎn)題型十五】數(shù)列求和之錯(cuò)位相減法【例15】（2024·福建·三模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【變式15-1】（24-25高三上·江蘇蘇州·期中）已知數(shù)列是公差大于1的等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列，若數(shù)列前項(xiàng)和為，并滿足，.(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式.(2)若，求數(shù)列前項(xiàng)的和.【變式15-2】（23-24高二上·河南商丘·期末）已知數(shù)列滿足，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【考點(diǎn)題型十六】數(shù)列求和之通項(xiàng)含絕對(duì)值求和【例16】（24-25高二上·福建寧德·階段練習(xí)）在等差數(shù)列中，的前項(xiàng)和為．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求的最大值；(3)設(shè)，求．【變式16-1】（23-24高二上·天津東麗·階段練習(xí)）在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，且成等差數(shù)列.(1)求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和的最大值.(3)求數(shù)列的前項(xiàng)和【變式16-2】（24-25高二上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列bn的前項(xiàng)和．【考點(diǎn)題型十七】數(shù)列中新定義題【例17】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）若數(shù)列滿足，則稱為“自然遞增數(shù)列”.(1)若，，試判斷：數(shù)列，是否為“自然遞增數(shù)列”？(2)若等差數(shù)列是“自然遞增數(shù)列”，且，求的公差的取值范圍.(3)若數(shù)列是“自然遞增數(shù)列”，共有5項(xiàng)，且，求所有滿足條件的數(shù)列中的概率.【變式17-1】（24-25高三上·山東青島·期中）已知數(shù)列為有窮數(shù)列，且，若數(shù)列滿足如下兩個(gè)性質(zhì)，則稱數(shù)列為的增數(shù)列：①；②對(duì)于，使得的正整數(shù)對(duì)恰有個(gè)．(1)若等差數(shù)列1，3，5，7，9為的增數(shù)列，求的值；(2)若數(shù)列為的8增數(shù)列，求的最小值；(3)若存在60的增數(shù)列，求的最大值．【變式17-2】（24-25高二上·福建漳州·期中）若數(shù)列滿足為正整數(shù)，p為常數(shù))，則稱數(shù)列為等方差數(shù)列，p為公方差.(1)已知數(shù)列，的通項(xiàng)公式分別為：，，判斷上述兩個(gè)數(shù)列是否為等方差數(shù)列，并說(shuō)明理由；(2)若數(shù)列既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，證明：數(shù)列為常數(shù)列．(3)若數(shù)列是首項(xiàng)為1，公方差為2的等方差數(shù)列，在的條件下，在與之間依次插入數(shù)列中的k項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列：，，，，，，，，，，……，求數(shù)列中前30項(xiàng)的和提升訓(xùn)練一、單選題1．（24-25高三上·安徽馬鞍山·期中）已知數(shù)列滿足（），記數(shù)列前n項(xiàng)為，若對(duì)于任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（24-25高二上·山東青島·期中）已知數(shù)列滿足，且，則（

）A．1023 B．1124 C．2146 D．21453．（24-25高三上·山東濟(jì)寧·開(kāi)學(xué)考試），利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前項(xiàng)和的公式的方法，可求得（

）A． B． C． D．4．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列的前m項(xiàng)和，則m的值為（

）A．8 B．10 C．12 D．205．（24-25高三上·山東泰安·期中）已知函數(shù)，其中，記，則（

）A． B． C． D．6．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)滿足，且，設(shè)數(shù)列滿足，則數(shù)列的前n項(xiàng)和的表達(dá)式為（

）A． B．C． D．7．（2024高二·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列是等差數(shù)列，，，設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（

）A． B．C． D．8．（23-24高二下·重慶九龍坡·階段練習(xí)）數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為（

）A． B．C． D．二、解答題9．（24-25高二上·江蘇·期中）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．(2)已知，求數(shù)列的最大項(xiàng)，以及取得最大項(xiàng)時(shí)的值．(3)已知，求數(shù)列的前項(xiàng)和．10．（24-25高二上·山東青島