大學(xué)物理第4章機(jī)械振動(dòng) 機(jī)械波課件講義

第4章機(jī)械振動(dòng)機(jī)械波

§4.1

簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征

§4.2

簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)

§4.3

簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量及其合成

§4.4

機(jī)械波的形成和傳播

§4.5

平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)波的能量

§4.6

惠更斯原理波的疊加和干涉振動(dòng)是一種普遍的運(yùn)動(dòng)形式.活塞的往復(fù)運(yùn)動(dòng)、樹葉在空氣中的抖動(dòng)、琴弦的振動(dòng)、心臟的跳動(dòng)等.任何一個(gè)具有質(zhì)量和彈性的系統(tǒng)在其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生突變時(shí)都會(huì)發(fā)生振動(dòng).機(jī)械振動(dòng):物體在某固定位置附近的往復(fù)運(yùn)動(dòng).廣義振動(dòng):任何一個(gè)物理量在某一量值附近隨時(shí)間作周期性變化.交流電路中的電流與電壓，振蕩電路中的電場(chǎng)強(qiáng)度與磁場(chǎng)強(qiáng)度等都隨時(shí)間作周期性變化，因此都可稱為振動(dòng).振動(dòng)分類振動(dòng)受迫振動(dòng)自由振動(dòng)共振阻尼自由振動(dòng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)無(wú)阻尼自由非諧振動(dòng)無(wú)阻尼自由諧振動(dòng)(簡(jiǎn)諧振動(dòng))各種振動(dòng)雖然有本質(zhì)的不同，但它們都具有相同的數(shù)學(xué)特征和運(yùn)動(dòng)規(guī)律。機(jī)械振動(dòng)在連續(xù)介質(zhì)內(nèi)的傳播叫做機(jī)械波電磁振動(dòng)在真空或介質(zhì)中的傳播稱為電磁波常見的波有：機(jī)械波，電磁波物質(zhì)波(微觀領(lǐng)域)各種類型的波有各自特殊性，但都具有共性:疊加性，都能發(fā)生干涉和衍射現(xiàn)象，類似的波動(dòng)方程振動(dòng)在空間的傳播過(guò)程叫做波動(dòng)§4.1簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征振動(dòng)中最簡(jiǎn)單最基本的是簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng):一個(gè)做往復(fù)運(yùn)動(dòng)的物體，如果其偏離平衡位置的位移x(或角位移

)隨時(shí)間t按余弦(或正弦)規(guī)律變化，則稱這種振動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng).

x＝Acos(

t＋

0)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程x可作廣義理解:位移、電流、場(chǎng)強(qiáng)、溫度…在平衡位置處一、彈簧振子模型彈簧振子:“彈簧-物體”系統(tǒng);物體—可看作質(zhì)點(diǎn)

平衡位置:彈簧處于自然狀態(tài)的穩(wěn)定位置輕彈簧—質(zhì)量忽略不計(jì),形變滿足胡克定律如圖取坐標(biāo):彈簧處于自然狀態(tài)時(shí),振子所在位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O,水平向右為x軸正方向,彈簧伸長(zhǎng)量為彈簧振子系統(tǒng)的彈性力“負(fù)號(hào)”表示彈性力方向與振子位移的方向相反。即振子在振動(dòng)過(guò)程中受到的力總是指向平衡位置，且力的大小與振子偏離平衡位置的位移成正比。這種力稱為“線性回復(fù)力”動(dòng)力學(xué)方程(牛頓方程)將代入上式簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程令運(yùn)動(dòng)微分方程:二階、線性齊次、常系數(shù)k是彈簧的勁度系數(shù)，m

是振子的質(zhì)量（輕彈簧忽略質(zhì)量）,稱為系統(tǒng)的振動(dòng)角頻率，顯然只由系統(tǒng)的力學(xué)性質(zhì)所決定，因此又稱為系統(tǒng)的固有角頻率。對(duì)于確定的簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)而言,是常量。微分方程的通解(實(shí)數(shù)部分)振動(dòng)速度x＝Acos(

t＋

0)振動(dòng)加速度注意：由于振動(dòng)只在一維空間進(jìn)行，所以為簡(jiǎn)化書寫起見，在振動(dòng)中速度和加速度分量均將下標(biāo)省略，即：二、微振動(dòng)的簡(jiǎn)諧近似1.單擺重力產(chǎn)生恢復(fù)力矩平衡位置為擺繩在豎直方向與擺繩的夾角為?Oml如果

?

用弧度表示,在

范圍內(nèi)按泰勒級(jí)數(shù)展開,略去高階無(wú)窮小項(xiàng)線性恢復(fù)力矩Oml“負(fù)號(hào)”表示力矩的方向總是與角位移的方向相反.單擺的回復(fù)力矩與角位移成正比而反向.動(dòng)力學(xué)方程Oml根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律F2.復(fù)擺繞不過(guò)質(zhì)心C的水平固定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體,當(dāng)OC在鉛直位置時(shí)為系統(tǒng)的穩(wěn)定平衡位置,以O(shè)C=h為擺長(zhǎng),OC與鉛直線之間的夾角為,若用弧度表示,則在范圍內(nèi)剛體的擺動(dòng)可近似為簡(jiǎn)諧振動(dòng).F例4.1:彈簧下面懸掛物體,不計(jì)彈簧重量和阻力.試證其在平衡位置附近的振動(dòng)是諧振動(dòng).證明:以平衡位置A為坐標(biāo)原點(diǎn)O,向下為x軸正方向,△l0是彈簧掛上重物并處于靜止時(shí)的伸長(zhǎng)量.根據(jù)受力平衡,有設(shè)某一時(shí)刻物體m位于坐標(biāo)x處,則彈簧的總伸長(zhǎng)量為AOA則系統(tǒng)受到的合力為A0A動(dòng)力學(xué)方程§4.2簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)一、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程微分方程運(yùn)動(dòng)學(xué)方程A、

0

由初始條件所決定1.速度2.加速度二.描述諧振動(dòng)的三個(gè)特征量1.振幅A物體偏離平衡位置的最大位移（或角位移）的絕對(duì)值.由初始條件決定.x＝Acos(

t＋

0)t=0振幅A由初始條件決定.2.周期T

系統(tǒng)完成一次完全振動(dòng)所需要的時(shí)間周期T頻率

:單位時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)所完成的完全振動(dòng)的次數(shù)圓頻率:系統(tǒng)在2π秒內(nèi)完成的完全振動(dòng)的次數(shù)固有圓頻率:僅由振動(dòng)系統(tǒng)的力學(xué)性質(zhì)所決定頻率固有圓頻率固有振動(dòng)周期彈簧振子單擺復(fù)擺3.相位和初相位振幅確定了振動(dòng)的范圍,頻率或周期描繪了振動(dòng)的快慢,但A與ω還不能確定任意時(shí)刻的振動(dòng)狀態(tài).(1)相位(周相):是既能唯一確定系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài),又能反映其周期性特征的物理量,是描述系統(tǒng)機(jī)械運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量.

(2)初位相:t=0時(shí)的相位

0(由初始條件決定)由于三角函數(shù)是多值函數(shù),初相

0

在以上取值范圍內(nèi)也有兩個(gè)可能的取值,因此一般要兩個(gè)條件才能唯一確定初相的值

0.(3)相位差：兩振動(dòng)相位之差當(dāng)

=(2k+1)

,k=0,±1,±2...兩振動(dòng)步調(diào)相反,稱反相

2

超前于

1

或

1滯后于

2

相位差反映了兩個(gè)振動(dòng)不同程度的參差錯(cuò)落,振動(dòng)步調(diào)

當(dāng)

=2k

,k=0,±1,±2…,兩振動(dòng)步調(diào)相同,稱同相

2滯后于

1

或

1超前于

2

諧振動(dòng)的位移、速度、加速度之間的相位關(guān)系簡(jiǎn)諧振動(dòng)速度的相位比位移超前,加速度的相位比速度超前,比位移超前.振幅確定了振動(dòng)的范圍,頻率或周期描繪了振動(dòng)的快慢,而位相則能確定系統(tǒng)任意時(shí)刻的振動(dòng)狀態(tài)。表明：振子位于正的最大位移處，速度為零。(1)表明：振子位于平衡位置處，速度方向沿x軸負(fù)方向，速率達(dá)到最大值。(2)(3)表明：振子位于負(fù)的最大位移處，速度為零。(4)表明：振子位于平衡位置處，速度方向沿x軸正方向，速率達(dá)到最大值。表明：振子位于正的最大位移處，速度為零;顯然與

=0

的情況完全相同；反映了簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周期性。(5)比較:兩個(gè)振動(dòng)方向相同、振動(dòng)頻率相同的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的相位差.用于比較兩個(gè)振動(dòng)方向相同、振動(dòng)頻率相同的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)步調(diào).表明:兩個(gè)振動(dòng)方向相同、振動(dòng)頻率相同的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的相位差,等于它們的初相位差.三、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法xOt=0時(shí)刻

0x0

t時(shí)刻

t+

0x從坐標(biāo)原點(diǎn)O(平衡位置)畫一矢量,使它的模值等于簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅A,并令t=0時(shí)與x軸的夾角為初相位,則當(dāng)以勻角速作逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),在x軸上的投影為旋轉(zhuǎn)矢量與振動(dòng)曲線tx振動(dòng)速度:矢端沿圓周運(yùn)動(dòng)的速度大小等于,其方向與軸的夾角為x0x0

在x軸上的投影為振動(dòng)加速度:矢端沿圓周運(yùn)動(dòng)的加速度大小等于其方向與軸的夾角為x0x0

在軸的投影為用旋轉(zhuǎn)矢量表示兩個(gè)同頻率諧振動(dòng)的步調(diào)(相位差)x0

x0

同步x0

反相

（旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)一周所需的時(shí)間）用旋轉(zhuǎn)矢量圖畫簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的

圖例:求初相位.已知：x0=A/2，

0>0解:由簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程,可得振動(dòng)速度方程例4.3：已知如圖示的諧振動(dòng)曲線，試寫出振動(dòng)方程.t(s)x(cm)p420-4-21解：方法一設(shè)諧振動(dòng)方程為

從圖中得：A＝4cmt(s)x(cm)p420-4-21由圖知表明:只能在第四象限t(s)x(cm)p420-4-21由圖知x0

又在第四象限且得所以振動(dòng)方程為注意:只有初相位的取值范圍規(guī)定為(0,2π)或(-π,+π).方法二：用旋轉(zhuǎn)矢量法求解t(s)x(cm)p420-4-21t=0x§4.3簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量及其合成振動(dòng)動(dòng)能振動(dòng)勢(shì)能動(dòng)能和勢(shì)能的位相差為諧振動(dòng)的總能量一、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量x0tx=Acos(ωt＋π)Et上述結(jié)論雖是從彈簧振子這一特例推出,但具有普遍意義,適用于任何一個(gè)諧振動(dòng)系統(tǒng).平均勢(shì)能平均動(dòng)能二、同方向、同頻率諧振動(dòng)的合成x1

=A1cos(

t+

10)x2

=A2

cos(

t+

20)求：x＝x1

＋x2

x

100x1x2

0

20

x合振幅初位相合振動(dòng)也是簡(jiǎn)諧振動(dòng),其圓頻率仍為

.x

100x1x2

0

20

x相位差對(duì)合振幅的影響(1)(2)0Amax=A1+A2,相互加強(qiáng)0Amin=|A2

A1|,相互減弱(3)一般情形Amin＜A＜

Amax三、同方向、不同頻率兩諧振動(dòng)的合成x1

=A1cos(

1t+

10)x2

=A2

cos(

2t+

20)求：x＝x1

＋x2

變化快變化慢合振動(dòng)不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)當(dāng)

2

1，

2+

1>>

2-

1時(shí)，x可寫作隨t緩變隨t快變合振動(dòng)可以看作振幅緩變的“準(zhǔn)諧振動(dòng)”

若

1，

2均較大，而差值較小，則合振動(dòng)的“振幅”時(shí)而大（為2A）,時(shí)而小（為0）.這種合振動(dòng)周期性的時(shí)強(qiáng)時(shí)弱的現(xiàn)象稱作拍

單位時(shí)間內(nèi)振動(dòng)加強(qiáng)（或減弱）的次數(shù)叫拍頻合振幅變化的周期或

b=|

2-

1|tx1

2tx2

1=

1-

2

tx§4.4機(jī)械波的形成和傳播一、機(jī)械波產(chǎn)生的條件①有作機(jī)械振動(dòng)的物體，即波源;②有連續(xù)的介質(zhì).如果波動(dòng)中使介質(zhì)各部分振動(dòng)的回復(fù)力是彈性力，則稱為彈性波。機(jī)械波不一定都是彈性波.例如,聲波是彈性波,但水面波就不是彈性波,水面波中的回復(fù)力是水質(zhì)元所受到的重力和水的表面張力,它們都不是彈性力.彈性力分兩種:正彈性力----物體被壓或被拉時(shí),物體的體積(容變)發(fā)生改變而產(chǎn)生的彈性力(壓彈性力和張彈性力)固體、液體和氣體都能承受容變,因此都能產(chǎn)生正彈性力.切彈性力----物體各層之間發(fā)生相對(duì)位錯(cuò)(切變)時(shí)所產(chǎn)生的彈性力固體能承受切變,所以固體能產(chǎn)生切彈性力;液體和氣體不能承受切變,因此液體和氣體不能產(chǎn)生切彈性力.橫波：振動(dòng)方向與波的傳播方向垂直的波(橫波承受切變，所以只能在固體中傳播。)電磁波也能在真空中傳播

特征：具有交替出現(xiàn)的波峰和波谷二、橫波和縱波縱波：質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向與波的傳播方向平行的波聲波(縱波承受容變，所以能在固體、液體和氣體中傳播。)

特征：具有交替出現(xiàn)的密部和疏部在液面上因有表面張力,故能承受切變.所以液面波是縱波與橫波的合成波.當(dāng)波源處的質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)一個(gè)振動(dòng)周期,完成自己的一次全振動(dòng)時(shí),其初始振動(dòng)狀態(tài)傳播到了質(zhì)點(diǎn)n,波源處的質(zhì)點(diǎn)與質(zhì)點(diǎn)n之間的所有質(zhì)點(diǎn)各自離開自己的平衡位置的矢端曲線恰好構(gòu)成一個(gè)完整的波形圖.

沿著波的傳播方向向前看去，前面各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)相位都依次落后于波源的振動(dòng)相位.

機(jī)械波向外傳播的是波源(及各質(zhì)點(diǎn))的振動(dòng)狀態(tài)和能量.(波源以及各質(zhì)點(diǎn)本身只是在其各自的平衡位置附近作振動(dòng),并不隨著波動(dòng)而向外“漂走”.)

橫波在介質(zhì)中傳播時(shí),介質(zhì)中將產(chǎn)生切變,而只有固體能承受切變,因此橫波只能在固體中傳播.

縱波在介質(zhì)中就形成稠密和稀疏的區(qū)域，故又稱為疏密波.縱波可引起介質(zhì)產(chǎn)生容變.固體、液體、氣體都能承受容變,因此縱波能在所有物質(zhì)中傳播.

在以后的過(guò)程中,波源處的質(zhì)點(diǎn)每經(jīng)過(guò)一個(gè)周期就發(fā)出一個(gè)完整的波形,并向外傳播.所以三、波線和波面波場(chǎng):波傳播到的空間波線(波射線):代表波的傳播方向的射線波面:波場(chǎng)中同一時(shí)刻振動(dòng)相位相同的點(diǎn)的軌跡波前(波陣面):某時(shí)刻波源最初的振動(dòng)狀態(tài)傳到的波面（最前方的波面）在各向同性介質(zhì)中,波線恒與波面垂直.沿波線方向各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)相位依次落后.波前波面波線平面波球面波四、簡(jiǎn)諧波波源以及介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)都是簡(jiǎn)諧振動(dòng)任何復(fù)雜的波都可以看成由若干個(gè)簡(jiǎn)諧波疊加而成簡(jiǎn)諧波只能發(fā)生在各向同性、均勻、無(wú)限大、無(wú)吸收的連續(xù)彈性介質(zhì)中.即:理想化的介質(zhì)中.彈性形變:物體在一定限度的外力作用下形狀和體積發(fā)生改變,當(dāng)外力撤去后,物體的形狀和體積能完全恢復(fù)原狀的形變.有:長(zhǎng)變、切變和容變.*物體的彈性形變五、描述波動(dòng)的幾個(gè)物理量1.波速u(取決于介質(zhì)的性質(zhì))振動(dòng)狀態(tài)(即相位)在單位時(shí)間內(nèi)傳播的距離,波速又稱相速.注意:波速不是質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度.G、E為媒質(zhì)的切變彈性模量和楊氏彈性模量

為介質(zhì)的密度在固體媒質(zhì)中縱波波速為在固體媒質(zhì)中橫波波速為在同一種固體媒質(zhì)中,橫波波速比縱波波速小些.T為弦中張力,

為弦的線密度在弦中傳播的橫波波速為:在液體和氣體只能傳播縱波,其波速為:B為介質(zhì)的容變彈性模量

為密度理想氣體縱波聲速:

為氣體的摩爾熱容比,Mmol為氣體的摩爾質(zhì)量,T為熱力學(xué)溫度,R為氣體的普適常數(shù),

為氣體的密度.波的周期:一個(gè)完整波形通過(guò)介質(zhì)中某固定點(diǎn)所需的時(shí)間,用T表示.2.波動(dòng)周期和頻率波的頻率:單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)介質(zhì)中某固定點(diǎn)完整波的數(shù)目,用

表示.由于波源每完成一次全振動(dòng),就有一個(gè)完整的波形發(fā)送出去,所以當(dāng)波源相對(duì)于介質(zhì)靜止時(shí),波動(dòng)周期即為波源的振動(dòng)周期,波動(dòng)頻率即為波源的振動(dòng)頻率.若彼此有相對(duì)運(yùn)動(dòng),則兩者不相等.此外,當(dāng)波源與觀察者相對(duì)于介質(zhì)都靜止時(shí),觀察者接收到的波的頻率才與波源的振動(dòng)頻率相等.3.波長(zhǎng)

同一波線上相鄰的相位差為2

的兩質(zhì)點(diǎn)的距離.也即一個(gè)完整的波形所占據(jù)的空間距離.波長(zhǎng)反映了波的空間周期性.僅由介質(zhì)決定由于機(jī)械波的波速僅由介質(zhì)的力學(xué)性質(zhì)決定,因此不同頻率的波在同一介質(zhì)中傳播時(shí)都具有相同的波速,而同一頻率的波在不同的介質(zhì)中傳播時(shí)的波長(zhǎng)則各不相同.§4.5平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)波的能量

在平面簡(jiǎn)諧波中,波線是一組垂直于波面的平行射線,因此可選任一波線上任一點(diǎn)的振動(dòng)方程來(lái)研究平面波的傳播規(guī)律.一、平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程1.一平面簡(jiǎn)諧波在理想介質(zhì)中沿x軸正向傳播x0pxy以某一波線為x軸設(shè)原點(diǎn)(波源)振動(dòng)方程橫波則位于x軸上的任意一點(diǎn)p,其坐標(biāo)為x,它離開自己的平衡位置的位移為y,因?yàn)辄c(diǎn)p處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)是由波源(坐標(biāo)原點(diǎn)O)處的振動(dòng)傳遞過(guò)來(lái)的,點(diǎn)O振動(dòng)狀態(tài)傳到點(diǎn)p處需要的時(shí)間為亦即:點(diǎn)p處質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)刻的振動(dòng)狀態(tài),實(shí)際是重復(fù)點(diǎn)O處在t/=(t-△t)時(shí)刻的振動(dòng)狀態(tài).x0pxy因此點(diǎn)p處質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻t的振動(dòng)方程為沿著波前進(jìn)的方向,在ox軸上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為x,該點(diǎn)的振動(dòng)落后于原點(diǎn)的振動(dòng)時(shí)間為x0pxy因此在ox軸上任意一點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為這就是沿x軸正向傳播的平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程它描述了沿著x軸正向傳播的波線上任一質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻,各自離開自己平衡位置的情況,反映了所有參加振動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).(振動(dòng)位移y是同時(shí)關(guān)于空間x和時(shí)間t的函數(shù))沿著波的傳播方向,質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)狀態(tài)(相位)依次落后于原點(diǎn)(波源)的振動(dòng)狀態(tài)(相位).2.沿x軸負(fù)向傳播的平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程x0pxy根據(jù)波動(dòng)的周期、頻率、角頻率、波速和波長(zhǎng)的關(guān)系可得到波動(dòng)方程的其它形式波矢(角波數(shù)):表示在2

長(zhǎng)度內(nèi)所具有的完整波的數(shù)目.二、波動(dòng)方程的物理意義1.如果x=xB是給定值,則位移y僅是時(shí)間t的函數(shù)為xB處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程tTT波線上給定x=xB

處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程在xB處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)初相位xB處質(zhì)點(diǎn)落后于原點(diǎn)的相位為若xB=

則xB處質(zhì)點(diǎn)落后于原點(diǎn)的相位為2

顯然

是波在空間上的周期性標(biāo)志!一個(gè)波長(zhǎng)的距離上恰好分布一個(gè)完整的波形圖.xB處質(zhì)點(diǎn)的相位與原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的相位是同相關(guān)系的,因此它們的振動(dòng)狀態(tài)完全相同.同一波線上任意兩點(diǎn)x1和x2處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)相位差2.如果給定t:即t=tB

則表示給定tB

時(shí)刻波線上各質(zhì)點(diǎn)在該時(shí)刻離開各自平衡位置的位移分布,即給定了tB

時(shí)刻的波形圖.xyOx1x2給定時(shí)刻的波形圖可求同一質(zhì)點(diǎn)xB處在相鄰兩時(shí)刻的振動(dòng)相位差表明:對(duì)某一確定的質(zhì)點(diǎn)而言,每經(jīng)過(guò)一個(gè)波動(dòng)周期T的時(shí)間,該質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)就重復(fù)一次;所以波動(dòng)周期T

反映了波動(dòng)在時(shí)間上的周期性!3.如x,t

均變化則y=y(x,t)包含了不同時(shí)刻的波形，即任意時(shí)刻的波形圖任意t時(shí)刻的波形方程則在t+t時(shí)刻的波形方程

t時(shí)刻位于點(diǎn)x

處質(zhì)點(diǎn)的相位(t+t)

時(shí)刻位于點(diǎn)(x+x)處質(zhì)點(diǎn)的相位兩者的位相差表明:在(t+

t)時(shí)刻位于(x+

x)處的質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)與在t

時(shí)刻位于在x處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)完全相同,用方程表示為如圖虛線表示在

t

時(shí)間內(nèi),整個(gè)波形(實(shí)線)沿波傳播的方向向前平移了(推進(jìn))

x的距離后的波形上式稱為行波方程;該方程描述的波稱為行波行波例4.6已知波動(dòng)方程為求:(1)振幅、波長(zhǎng)、周期、波速;(2)距離原點(diǎn)分別為xB=8m和xC=10m的B、C兩點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)位相差;(3)波線上某質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間間隔

t=0.2s內(nèi)的位相差.解:(1)比較法求參量.將已知波動(dòng)方程與標(biāo)準(zhǔn)波動(dòng)方程相比較,從而得到各參量.(2)同一波線上B和C兩點(diǎn)的相位差表明:點(diǎn)C

的相位滯后于點(diǎn)B

的相位(3)對(duì)給定點(diǎn)P在時(shí)間間隔

t=0.2s內(nèi)的位相差表示在時(shí)間間隔

t=0.2s內(nèi),整個(gè)波形向前推進(jìn)的相位為(π/2),距離為(λ/4).例:一平面波在介質(zhì)中以速度

沿直線傳播,已知在傳播路徑上某點(diǎn)A的振動(dòng)方程為如圖所示.(1)若以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),寫出波動(dòng)方程,并求點(diǎn)C和點(diǎn)D的振動(dòng)方程;(2)若以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn),寫出波動(dòng)方程,并求點(diǎn)C和點(diǎn)D的振動(dòng)方程.解:(1)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)O,則點(diǎn)O的振動(dòng)方程為沿ox軸正方向傳播的波動(dòng)方程為點(diǎn)C的振動(dòng)方程點(diǎn)B的振動(dòng)方程點(diǎn)D的振動(dòng)方程(2)以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)O:由于已知的是點(diǎn)A的振動(dòng)方程,而點(diǎn)A這時(shí)不再是坐標(biāo)原點(diǎn),因此不能直接代入波動(dòng)方程公式;而應(yīng)該先根據(jù)點(diǎn)A的振動(dòng)方程,求出坐標(biāo)原點(diǎn)O(即點(diǎn)B)的振動(dòng)方程,再求波動(dòng)方程.注意:波動(dòng)方程是以坐標(biāo)原點(diǎn)的振動(dòng)方程推導(dǎo)出來(lái)的！由于波從左向右傳播,因此點(diǎn)B的振動(dòng)始終比點(diǎn)A振動(dòng)超前一段時(shí)間.即點(diǎn)B的振動(dòng)狀態(tài)要經(jīng)過(guò)△t時(shí)間后,才能傳遞到點(diǎn)A.亦即點(diǎn)B在t時(shí)刻的振動(dòng)狀態(tài)與點(diǎn)A在時(shí)刻的振動(dòng)狀態(tài)相同,從而可得到點(diǎn)B的振動(dòng)方程由此可得:以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)O時(shí)的波動(dòng)方程顯然坐標(biāo)原點(diǎn)O的振動(dòng)初相位為π與以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)的情況相比,只是初相位不同!坐標(biāo)原點(diǎn)O選擇不同,波動(dòng)方程不同;但各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程卻相同(與坐標(biāo)原點(diǎn)選擇無(wú)關(guān)).當(dāng)以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)O時(shí)，有點(diǎn)C和點(diǎn)D的振動(dòng)方程分別為※平面波的波動(dòng)微分方程沿x方向傳播的平面波動(dòng)微分方程對(duì)以上方程求t的二階導(dǎo)數(shù)對(duì)以上方程求x的二階導(dǎo)數(shù)三、波的能量和能量密度平面簡(jiǎn)諧波在x處取一體積元dV,質(zhì)量為dm=dV質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度體積元內(nèi)媒質(zhì)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能為體積元內(nèi)媒質(zhì)質(zhì)點(diǎn)的彈性勢(shì)能為1.波的能量

體積元內(nèi)媒質(zhì)質(zhì)點(diǎn)的總能量為：(1)在波動(dòng)的傳播過(guò)程中,任意時(shí)刻的動(dòng)能和勢(shì)能不僅大小相等而且相位相同,同時(shí)達(dá)到最大,同時(shí)等于零,是同步變化的.說(shuō)明xy0PQ橫波在繩上傳播時(shí)體積元在平衡位置Q時(shí),相對(duì)形變量最大,彈性勢(shì)能也為最大;此時(shí)動(dòng)能也最大.

體積元在最大位移P時(shí),相對(duì)形變?yōu)榱?彈性勢(shì)能亦為零;此時(shí)動(dòng)能等于零。(2)在波傳動(dòng)過(guò)程中,介質(zhì)任意體積元的總能量隨時(shí)間作周期性變化,不守恒;相鄰介質(zhì)之間有能量交換.波動(dòng)過(guò)程就是能量的傳播過(guò)程.平均能量密度:

一個(gè)周期內(nèi)能量密度的平均值2.能量密度單位體積介質(zhì)中所具有的波的能量1.能流:單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)介質(zhì)中某一截面的能量四、波的能流和能流密度uS平均能流：在一個(gè)周期內(nèi)能流的平均值2.能流密度(波的強(qiáng)度)：通過(guò)垂直于波動(dòng)傳播方向的單位面積的平均能量單位:瓦·米－2在均勻不吸收能量的媒質(zhì)中傳播的平面波在行進(jìn)方向上振幅不變,球面波的振幅與離波源的距離成反比.3.平面波和球面波的振幅對(duì)平面波:在一個(gè)周期T內(nèi)通過(guò)S1和S2面的能量應(yīng)該相等uSS所以,平面波振幅相等:對(duì)球面波：r1r2所以振幅與離波源的距離成反比.如果距波源單位距離的振幅為A則距波源r處的振幅為A/r.由于振動(dòng)的相位隨距離的增加而落后的關(guān)系,與平面波類似,球面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)：*五、波的吸收

波在實(shí)際介質(zhì)中,由于波動(dòng)能量總有一部分會(huì)被介質(zhì)吸收,波的機(jī)械能不斷減少,波強(qiáng)亦逐漸減弱.設(shè)介質(zhì)中某處振幅為A,經(jīng)厚為dx的介質(zhì),振幅的衰減量為-dAAdx

-dA則有:-dA=

Adx

設(shè):x=0時(shí),A=A0*六、聲壓、聲強(qiáng)和聲強(qiáng)級(jí)聲壓：介質(zhì)中有聲波傳播時(shí)的壓力與無(wú)聲波時(shí)的靜壓力之間的壓差

平面簡(jiǎn)諧波,聲壓振幅為聲強(qiáng)：聲波的能流密度頻率越高越容易獲得較大的聲壓和聲強(qiáng)引起人聽覺的聲波有頻率范圍和聲強(qiáng)范圍通常把最低聲強(qiáng)作為測(cè)定聲強(qiáng)的標(biāo)準(zhǔn),用I0表示.聲強(qiáng)級(jí)單位為貝爾(Bel)單位為分貝(dB)人耳對(duì)響度的主觀感覺由聲強(qiáng)級(jí)和頻率共同決定§4.6惠更斯原理波的疊加和干涉一、惠更斯原理介質(zhì)中波陣面(波前)上的各點(diǎn).都可以看做是發(fā)射子波的波源.其后任一時(shí)刻這些子波的包跡就是新的波陣面.

在各向同性介質(zhì)中傳播t時(shí)刻波面t+

t時(shí)刻波面波傳播方向*應(yīng)用惠更斯原理證明波的反射和折射定律MNAB1B2B3A1ii/A2A3BMNAB1B2B3A1i

A2A3B反射定律:折射定律二、波的疊加原理各列波在相遇前和相遇后都保持原來(lái)的特性(頻率、波長(zhǎng)、振動(dòng)方向、傳播方向等)不變，與各波單獨(dú)傳播時(shí)一樣;而在相遇處各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)則是各列波在該處激起的振動(dòng)的合成.波傳播的獨(dú)立性原理或波的疊加原理：能分辨不同的聲音正是這個(gè)原因說(shuō)明：(1)波的疊加與振動(dòng)的疊加是不完全相同的.振動(dòng)的疊加發(fā)生在單一的質(zhì)點(diǎn)上;振動(dòng)的疊加發(fā)生在兩波相遇范圍內(nèi)的許多質(zhì)元上.(2)波的疊加原理與波動(dòng)方程為線性微分方程是一致的.三、波的干涉

兩列波若頻率相同、振動(dòng)方向相同、在相遇點(diǎn)的位相相同或位相差恒定,則在合成波場(chǎng)中會(huì)出現(xiàn)某些點(diǎn)的振動(dòng)始終加強(qiáng),另一些點(diǎn)的振動(dòng)始終減弱(或完全抵消),這種現(xiàn)象稱為波的干涉.水波盤中水波的干涉s1s2pr1r2相干波源:滿足相干條件的波源2.波場(chǎng)中的強(qiáng)度分布設(shè)s1、s2為兩相干波源,其振動(dòng)方程分別為1.相干條件頻率相同、振動(dòng)方向相同、位相差恒定s1s2pr1r2波動(dòng)方程傳播到p點(diǎn)引起的振動(dòng)分別為在p點(diǎn)的振動(dòng)為同方向、同頻率振動(dòng)的合成合成振動(dòng)為其中由于波的強(qiáng)度正比于振幅,所以合振動(dòng)的強(qiáng)度為討論合振動(dòng)的振幅顯然有極大值與極小值定義波程差:由兩個(gè)波源發(fā)出的波傳到相遇點(diǎn)P的幾何路程之差.n=0,1,2,…A=A1+A2干涉相長(zhǎng)(干涉加強(qiáng))(1)干涉加強(qiáng)(干涉相長(zhǎng))的條件n=0,1,2,…A=

A1－A2

干涉相消(干涉減弱)(2)干涉減弱(干涉相消)的條件若

10=

20,上式簡(jiǎn)化為用波程差

表述波程差等于波長(zhǎng)的整數(shù)倍(半波長(zhǎng)的偶數(shù)倍),則干涉加強(qiáng);波程差等于半波長(zhǎng)的奇數(shù)倍,則干涉減弱.例4.8:位于B、C兩點(diǎn)的兩個(gè)波源,振幅相等,頻率都是100赫茲,相位差為

,其B、C相距30米,波速為400米/秒.求:B、C連線之間因相干干涉而靜止的各點(diǎn)的位置.解:如圖所示,取B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),B、C連線為x軸.BxC0x30-xB、C的振動(dòng)位相為

若設(shè)B點(diǎn)的振動(dòng)方程為則C點(diǎn)的振動(dòng)方程可設(shè)為B與C之間的點(diǎn)分別到B和C這兩點(diǎn)的距離為在x軸上由B點(diǎn)發(fā)出的行波方程為在x軸上由C點(diǎn)發(fā)出的行波方程為由B與C分別發(fā)出的兩列波到達(dá)它們的連線之間各點(diǎn)所引起的分振動(dòng)的位相差為因?yàn)閮闪胁ㄍl率,同振幅,同振動(dòng)方向,所以相干為靜止(干涉相消)的點(diǎn)應(yīng)滿足以下條件由B和C分別發(fā)出的兩列波到達(dá)它們的連線之間的任一點(diǎn)(x)處相遇而疊加,所以兩波源到它們的連線之間的任一點(diǎn)(x)處波程差為§4.7駐波駐波是兩列振幅相同、相向傳播的相干波的疊加.駐波的產(chǎn)生一、駐波方程設(shè)兩列相向傳播的相干波在原點(diǎn)的位相相同,且為零,則可以得到它們的波動(dòng)方程為x:→x:←兩波相遇,其合成波為它表示各點(diǎn)都在作簡(jiǎn)諧振動(dòng),各點(diǎn)振動(dòng)的頻率相同,都是波源的頻率.但各點(diǎn)振幅隨位置的不同而不同.函數(shù)不滿足所以駐波不是行波;駐波不是振動(dòng)的傳播,而是媒質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)都作穩(wěn)定的振動(dòng).t=0y0x2A0t=T/8x0xt=T/4xt=3T/80x0t=T/2x02A-2A振動(dòng)范圍波節(jié)波腹

/4-

/4

/2二、駐波的特點(diǎn)1.波腹與波節(jié)駐波振幅分布特點(diǎn)振幅極大:波腹位置n＝0,±1,±2,…振幅為0:波節(jié)位置n＝0,±1,±2,…相鄰波節(jié)(波腹)間距

/22.相位并不傳播(駐波)相位中沒有x坐標(biāo)

(x)＞0

(x)=0

(x)=0

(x)=0

(x)<0相鄰兩波節(jié)間各點(diǎn)振動(dòng)相位相同;波節(jié)兩邊各點(diǎn)振動(dòng)相位相反.*3.駐波能量駐波振動(dòng)中無(wú)位相傳播,也無(wú)能量的傳播能流密度為平均說(shuō)來(lái)沒有能量的傳播但各質(zhì)元間仍有能量的交換一個(gè)波段內(nèi)不斷地進(jìn)行動(dòng)能與勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)換,并不斷地分別集中在波腹和波節(jié)附近而不向外傳播.三、半波損失波阻(波的阻抗):是指介質(zhì)的密度與波速之乘積1.若

1u1>

2u2,即波密波疏若忽略透射波腹相位不變波疏媒質(zhì)波密媒質(zhì)x駐波反射波和入射波同相z大—波密媒質(zhì)z小—波疏媒質(zhì)相對(duì)而言

z=

u2.若

1u1