2024（人教版）數(shù)學九年級下冊 第27章 相似 知識清單+練習（學生版+解析版）

第二十七章相似（知識清單）

一、學習目標

1.加深了解比例的基本性質(zhì)、線段的比、成比例線段，認識圖形的相似、位似等概念和性質(zhì)；

2.理解相似圖形的性質(zhì)與判定、位似的性質(zhì)與把一個圖形放大或縮小，在同一坐標系下感受位似變換后點的

坐標的變化規(guī)律.

重點：

1.利用相似三角形的知識解決實際的問題：

2.位似的應用及在平面直角坐標系中作位似圖形.

難點：

把實際問題抽象為相似三角形、位似形這一數(shù)學模型并求解.

二、學習過程

章節(jié)介紹

中學階段重點研究的兩個平面圖形間的關(guān)系是全等和相似，全等是一種特殊的相似.本章將在前面對全

等形研究的基礎(chǔ)上，借鑒全等三角形研究的基本套路對相似圖形進行研究.本章研究的主要問題是相似圖形

的定義、性質(zhì)和判定方法，研究的主要載體是三角形.此外，教科書在前面的章節(jié)中介紹了平移、軸對稱和

旋轉(zhuǎn)三種圖形的全等變換，木章將介紹一種新的圖形變換-位似.

線段的比及成比例線段、、//T平行線分線段成比例

定義

二（'3'對應線段的比等于相似比

性質(zhì)與判定,相坤多_____

相似比］1邊設-相似性質(zhì)--------------------------

-----［面積的比等于相似比的平方

定義/%以_平行線截得三魚形與原三曲形相似

y三角形---------------------------------

佟膨的放大與縮小,圖形的J〔判定三邊成比例

位似變換與坐標變化］［位似「

判定定理佃邊成叱例且夾ffi相等

.兩—

知識梳理

I.相似圖形的概念：數(shù)學上，我們把具有；_____________的圖形稱為相似形.

2.相似多邊形的概念：如果兩個_________.相同的多邊形____________相等、________________的兩個多邊

形叫做相似多邊形.

3.相似多邊形的性質(zhì)：相似多邊形的一_________、對應邊________________.

4.相似比的概念：相似多邊形叫做相似比.

5.比例線段的概念：對于四條線段a.b,c,d,如果其中相等，如

（即），我們就稱四條線段是成比例線段，簡稱比例線段.

6.相似三角形的概念：在AABC和△A4TC中，如果NA二,ZB=,ZC=,且___=

==k,即三角分別、三邊____________,我們就說^ABC和^ABC相似，為相

似比.

7.平行線分線段成比例定理：兩條直線被一組平行線所截，所得的成比例.簡稱：平行線分線

段成比例.

8.平行線分線段成比例推論：平行十（或）,所得的對應線

段成比例.

9.相似三角形判定定理3：三邊_________的兩個三角形相似.

10.相似三角形判定定理4：兩邊_____________且___________________的兩個三角形相似.

11.三角形相似判定定理5：兩角分別的兩個三角形相似.

12.直角三角形相似判定定理1：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一

條直角邊對應____________,那么這兩個直角三角形相似.

13.相似三角形的性質(zhì)：

對應角_______、對應邊

對應—的比等于相似比

對應的比等于相似比相似三角形的比等于相似比

相似三角形的性質(zhì)一

對應_____的比等于相似比

對應的比等于相似比

對應面積的比等于

14利用三角形相似解決實際問題的一般步驟：

（1）根據(jù)題意畫出_________

（2）將題目中的已知量或已知關(guān)系轉(zhuǎn)化為示意圖中的

（3）利用相似三角形建立線段之間的關(guān)系，求出

（4）寫出___________

15.位似圖形的概念：

如果兩個圖形的都經(jīng)過同一點，且這點與對應頂點所連線段，那么這兩

個圖形叫做位似圖形.

16.位似圖形的性質(zhì)：

1）位似圖形是一種特殊的圖形，它具有圖形的所有性質(zhì)，即相

等，相等.

2）位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于.（位似圖形的相似比也叫做

_____________________）

3）對應線段或者.

17.杷一個圖形按一定大小比例放大或縮小后，點的坐標變化的規(guī)律：

在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比（新圖與原圖的相似比）為k,那么

位似圖形對應點的坐標的比等于，則圖象上的對應點的坐標.

考點解讀

考查題型一判斷相似圖形

I.下列圖形，一定相似的是（）

A.兩個直角三角形B.兩個等腰三角形

C.兩個等邊三角形D.兩個菱形

2.如圖是世界休閑博覽會吉祥物"晶晶”.右邊的“晶晶”是由左邊的“晶晶”經(jīng)下列哪個變換得到的（）

A.平移變換B.旋轉(zhuǎn)變換C.軸對稱變換D.相似變換

3.觀察下列圖形，這四組形狀各異的圖形中，是相似圖形的有（）

A.1組B.2組C.3mD.4組

考查題型二由平行判定成比例線段

A

A潟B-IC-ID.§

3.如圖，4。是△ABC的中線，點￡?花4。上，AD=4DE,連接房并延長交力C于點F,則■：”的值是（）

4.如圖，在△A8C中，AB=8C,點。為力B的中點，DE//BC交AC于點E,連接晅，若=13,AC=20,

則跖的長為（）

考查題型四證明兩個三角形相似

1.如圖，在RtA/WC中，CO是斜邊A8上的高.

2.如圖，在等邊三角形ABC中，點D,E分別在8C,AB上，且NADE=60。.求證：4ADCsN）EB.

3.已知：如圖，點。在三角形A8c的AN上，。E交AC于點E/4DE=點尸在A。上，且4。2=力尸?..求

iiE：

A

(碟考

(2)hAEF^^ACD.

4.如圖，△ABC是等邊三角形,0、E在8C所在的直線上，^ABAC=BD-CE.求證：△AB0~AES.

5.如圖，將矩形ABCD沿CE向上折疊，使點B落在AD邊上的點F處，AB=8,BC=10.

(2)求線段EF的長度.

考查題型五補充條件使兩個三角形相似

1.如圖，D是△48C邊48上一點，添加一個條件后，仍無法判定△ACD?△4BC的是(

A?乙ACD=LBB.乙ADCFCBC.與嚏D.AC2=ADAB

2.如圖，要使△4C0ABC,需要具備的條件是()

C.AC2=AD-ABD.CD2=AD-BD

3.如圖，如果乙B4D=NC4E,那么添加下列一個條件后，仍不能確定△48C~△力DE的是（）

C.ABBC=ADDED.AB-AE=AD?AC

考查題型六相似三角形與動點問題

1.如圖所示，LC=90°,BC=￡cm,cosA=3：5,點P從點8出發(fā)，沿8C向點C以2cm/s的速度移動，點

Q從點C出發(fā)沿C4向點A以lcm/s的速度移動，如果P、Q分別從B、C同時出發(fā)，過多少秒時，以C、P、Q為

頂點的三角形恰與△48。相似？

2.如圖，RtA/lBC中，ZC=90c,AC=3,^C=4.點?從點。出發(fā)沿折線。力一43以每秒1個單位長

的速度向點B勻速運動，點Q從點B出發(fā)沿BC-CA-以每秒2個單位長的速度向點B勻速運動，點P,

Q同時出發(fā)，當其中一點到達點B時停止運動，另一點也隨之停止.設點P,Q運動的時間是/秒（t>0）.

發(fā)現(xiàn)：

(DAB=

(2)當點P,。相遇時，相遇點在哪條邊上？并求出此時4P的長.

探究：

(3)當t=1時，△PQC的面積為:

(4)點P,Q分別在AC,8C上時，△PQC的面積能否是△48C面積的一半？若能，求出/的值；若不能，請

說明理由.

拓展:

(5)當PQII8c時，求出此時/的值.

3.如圖，在七ZMBC中，NACB=90。，AC=8,8c=6,CQ_LA8于點。，點。從點。出發(fā)，沿線段。。

向點C運動，點。從點C出發(fā)，沿線段CA向點A運動，兩點同時出發(fā)，速度都為每秒1個單位長度，當

點P運動到點C時，兩點都停止運動，設運動時間為，秒.

(1)求線段CD的長；

(2)設△CPQ的面積為S,求S與：之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出在變量的取值范圍;

(3)當/為何值時，△CPQ與仆CAD相似？請直接寫出i的值.

考查題型七相似三角形與存在性問題

1.如圖，在矩形A8C7)中，A8=3cm,BC=6cm,動點M以lcm/s的速度從A點出發(fā)，沿A8向點8運

動，同時動點N以2cm/s的速度從點。出發(fā)，沿。A向點A運動，設運動的時間為t秒(OVtV3).

⑴當￡為何值時，△4MN的面積等于矩形4BC0面積的：？

(2)是否存在某一時刻3使得以A、M、N為頂點的三角形與△4CD相似？若存在，求出t的值；若不存在,

請說明理由.

2.如圖，平面直角坐標系中，四邊形048C為矩形，點48坐標分別為(4°)，(43),動點心N分別從°，B同

時出發(fā)，以每秒1個單位的速度運動，其中點M沿。4向終點A運動，點N沿BC向終點C運動過動點M作MP1

0A,交AC于P,連接NP,設M、N運動時間為t秒，(0<t<4)

(1)當￡=3秒時，P點的坐標為(—，一),PC=；

⑵當t為何值時，以0、P、N為頂點的三角形與△48。相似；

(3)在平面內(nèi)是否存在一個點E,使以CP、N、E為頂點的四邊形是菱形，若存在，請直接寫出t的值，若

不存在，說明理由.

考查題型八利用相似三角形性質(zhì)求解

1.如圖，若方格紙中每個小正方形的邊長均為1，則陰影部分的面積為()

A.5B.6C.yD.y

2.如圖，在配48CD中，EF//AB,DE'.EA=2:3,FF=4,則CO的長為（）.

A.yB.8C.10D.16

3.如圖，面積為26的RSOAB的斜邊08在x軸上，NABO=30。，反比例函數(shù)y=§圖象恰好經(jīng)過點A,

則k的值為()

A.-2石B.2后C.GD.-也

DEI

4.如圖，點E是回4BC0的邊4。上的一點，且AE5,連接班;并延長交c。的延長線于點F,若0E=3,DF=4,

則Z/WC。的周長為（）

A.21B.28C.34D.42

考查題型九利用相似三角形解決實際問題

1.如圖，利用標桿DE測量樓高，點A,D,8在同一直線上，DELAC,BCA.AC,垂足分別為E,C.若

測得AE=lm,DE=1.5m,CE=5m,樓高8c是多少？

2.【學科融合】如圖I,在反射現(xiàn)象中，反射光線，入射光線和法線都在同一個平面內(nèi)：反射光線和入射光

線分別位于法線兩側(cè)；入射角，?等于反射角兒這就是光的反射定律.

【問題解決】如圖2,小紅同學正在使用手電筒進行物理光學實驗，地面上從左往右依次是墻，木板和平面

鏡，手電筒的燈泡在點G處，手電筒的光從平面鏡上點8處反射后，恰好經(jīng)過木板的邊緣點F,落在墻上

的點七處，點七到地面的高度0E=3.5m,點尸到地面的高度6=l.5m,燈泡到木板的水平距離AC=5.4m,

木板到墻的水平距離為CO=4m.圖中人，B,C,。在同一條直線上.

法線

入射光線;反射光線

0

光的反射定律

圖1圖2

(1)求8c的長；

(2)求燈泡到地面的高度AG.

3.如圖，嘉嘉同學正在使用手電筒進行物理光學實驗，地面上從左往右依次是墻、木板和平面鏡.手電筒

的燈泡在點G處，手電筒的光從平面鏡上點B處反射后，恰好經(jīng)過木板的邊緣點「落在墻上的點E處，

點E到地面的高度。E=3.5m,點F到地面的高度CF=1.5771,燈泡到木板的水平距離AC=5.4m,墻到木

板的水平距離為CO=4m.已知光在鏡面反射中的入射角等于反射角，圖中點A、B、C、。在同一水平面

(1)求8c的長.

(2)求燈泡到地面的高度.

4.在“測量物體的高度”活動中，某數(shù)學興趣小組的兩名同學選擇了測量學校里的兩棵樹的高度，在同一時

刻的陽光下，他們分別做了以下工作；

小芳：測得一根長為1米的竹竿的影長為0.8米，甲樹的影長為4.08米(如圖1).

小華：發(fā)現(xiàn)乙樹的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教學樓的墻壁上(如圖2),墻壁上的影長為1.2

米，落在地面上的影長為2.4米.

⑴在橫線上直接填寫甲樹的高度為_____________米；

（2）畫出測量乙樹高度的示意圖，并求出乙樹的高度.

考查題型十位似圖形的識別

1.下列選項中的兩個圖形（實線部分），不呈位似圖形的是（）

A.AJ）C.上二"D.\

></

2.下列各組圖形中不是位似圖形的是（）

◎士K；三：

A.x—JB.7c.Lr_I'D.

考查題型十一利用位似圖形的性質(zhì)求解

1.如圖，AA8C與△DE/"立似，點0是它們的位似中心，其中。E=2O8,則△43。與^DEF的周長之比

是（）

OBE

A.1：2B.I：4C.1：3D.1：9

2.如圖，△ABC與△/?尸位似，點。為位似中心.已知。人：。。=1：2,則△A4C與△。砂的面積比為

D

A.I：2B.1：3C.1：4D.1：5

3.如圖，圖形甲與圖形乙是位似圖形,0是位似中心，位似比為2:3,點48的對應點分別為點AB'.若

48=6,則力'夕的長為()

考查題型十二在坐標系中畫位似圖形

1.在平面直角坐標系內(nèi)，△A8c的位置如圖所示.

B

⑴將△4BC繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90。得到△48iG，作出

(2)以原點O為位似中心，在第四象限內(nèi)作出△的位似圖形A2c2，且44282c2與448c的相似比為

2:1.

2.如圖，△力8。三個頂點的坐標分別為力(1,2),8(3,1),。(2,3),以原點。為位似中心，將△/1BC放大為原來

的2倍得△A'B'C.

(1)在圖中第一象限內(nèi)畫出符合要求的△AB'U(不要求寫畫法)

(2)計算△48'L的面積.

3.如圖,在平面直角坐標系中,△。力B的三個頂點的坐標分別為。(0,0),4(6,3),8(0,5).

(1)畫出△0A8繞原點。逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。后得到的^。為當；

(2)連接力名,乙。的度數(shù)為。；

(3)以原點0為位似中心，相似比為：，在第一象限內(nèi)將△/IB?？s小得到△慶當。，畫出△A2/。，直接寫出

點兒的坐標.

第二十七章相似（知識清單）

一、學習目標

1.加深了解比例的基本性質(zhì)、線段的比、成比例線段，認識圖形的相似、位似等概念和性質(zhì)；

2.理解相似圖形的性質(zhì)與判定、位似的性質(zhì)與把一個圖形放大或縮小，在同一坐標系下感受位似變換后點的

坐標的變化規(guī)律.

重點：

1.利用相似三角形的知識解決實際的問題：

2.位似的應用及在平面直角坐標系中作位似圖形.

難點：

把實際問題抽象為相似三角形、位似形這一數(shù)學模型并求解.

二、學習過程

章節(jié)介紹

中學階段重點研究的兩個平面圖形間的關(guān)系是全等和相似，全等是一種特殊的相似.本章將在前面對全

等形研究的基礎(chǔ)上，借鑒全等三角形研究的基本套路對相似圖形進行研究.本章研究的主要問題是相似圖形

的定義、性質(zhì)和判定方法，研究的主要載體是三角形.此外，教科書在前面的章節(jié)中介紹了平移、軸對稱和

旋轉(zhuǎn)三種圖形的全等變換，木章將介紹一種新的圖形變換-位似.

線段的比及成比例線段

平行線分線段成比例

定義

性質(zhì)上萬后

相似多對應線段的比等丁卻似比

邊形相似性質(zhì)

相似比面積的比等于相似比的平方

定義相似_平行線世得三角形與原三用形相似

1%形的放大與薪I」圖出的三角形一

判定三邊成比例

位似變換與坐標變化位似

判定定理兩邊成比例II夾ffl福等

.兩角相等

知識梳理

1.相似圖形的概念：數(shù)學上，我們把具有相同形狀的圖形稱為相似形.

2.相似多邊形的概念：如果兩個邊數(shù)相同的多邊形對應角相等、燈應邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形.

3.相似多邊形的性質(zhì)：相似多邊形的對應角相等、對應邊成比例.

4.相似比的概念：相似多邊形對應邊的比叫做相似比.

5.比例線段的概念：對于四條線段a,b,c,d,如果其中兩條線段的二匕（即它們長度的比）與另兩條線段的比相

等,如a:b=c:d（即ad=bc）,我們就稱四條線段是成比例線段，簡稱比例線段.

6.相似三角形的概念：在△ABC和△ABC中,如果NASA，，ZB=ZBSZC=ZCS且第=器=備=k,

即三角分別相等、三邊成比例，我們就說△ABC和△ABC，相似，k為相似比.

7.平行線分線段成比例定理：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例.簡稱：平行線分線段成

比例.

8.平行線分線段成比例推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成

比例.

9.相似三角形判定定理3：三邊成比例的兩個三角形相似.

10.相似三角形判定定理4：兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似.

11.三角形相似判定定理5：兩角分別相等的兩個三角形相似.

12.直角三角形相似判定定理1：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一

條直角邊對?應成比例，那么這兩個直角三角形相似.

13.相似三角形的性質(zhì)：

一|對應一相等、對應邊成比例

對應高的比等于相似比

對應中線的比等于相似比相似三角形對應線段的比等r?相似比

對應周長的比等于相似比

對應面枳的比等丁相似比的平方

14.利用三角形相似解決實際問題的一般步驟：

（1）根據(jù)題意畫出示意圖

（2）將題目中的已知量或已知關(guān)系轉(zhuǎn)化為示意圖中的已知線段、已知角

（3）利用相似三角形建立線段之間的關(guān)系，求出未知量

（4）寫出答案

15.位似圖形的概念:

如果兩個圖形的對應頂點的連線都經(jīng)過同一點，且這點與對應頂點所連線段成比例，那么這兩個圖形

叫做位似圖形.

16.位似圖形的性質(zhì)：

1）位似圖形是一種特殊的相似圖形，它具有相似圖形的所有性質(zhì)，即對應角相等，對應邊的比相等.

2）位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于相似比.（位似圖形的相似比也叫做位似比）

3）對應線段平行或者在一條直線上.

17.把一個圖形按一定大小比例放大或縮小后，點的坐標變化的規(guī)律：

在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比（新圖與原圖的相似比）為匕那么

位似圖形對應點的坐標的比等于k或-k,則圖象上的對應點的坐標為（kx,ky）或（-kx,-ky）.

考點解讀

考查題型一判斷相似圖形

1.下列圖形,一定相似的是（）

A.兩個直角三角形B.兩個等腰三角形

C.兩個等邊三角形D.兩個菱形

【答案】C

【分析［根據(jù)相似圖形的定義，結(jié)合圖形，對選項一一分析，利用排除法求解.

【詳解】解：A.兩個直角三角形，不一定有銳角相等，故不一定相似；

兩個等腰三角形頂角不一定相等，故不一定相似；

C兩個等邊三角形，角都是60。，故相似；

。.任意兩個菱形的對應邊的比相等，但對應角不一定相等，故不一定相似；

故選C.

【點睛】本題考查的是相似圖形的概念，掌握對應角相等，對應邊的比相等的多邊形，叫做相似多邊形是

解題的關(guān)鍵.

2.如圖是世界體闈博覽會吉祥物,，晶晶”.右邊的“晶晶''是由左邊的“晶晶''經(jīng)下列哪個變換得到的（）

A.平移變換B.旋轉(zhuǎn)變換C.軸對稱變換D.相似變換

【答案】D

【分析】根據(jù)相似變換的概念判斷即可.

【詳解】解：???右邊的“晶晶”和左邊的“晶晶”只有形狀相同，

.?.兩個圖形相似，

.??右邊的“晶晶”是由左邊的“晶晶”通過相似變換得到的.

故選：D.

【點睛】本題考查的是幾何變換的類型，熟記各種變換的概念的解題的關(guān)鍵.

3.觀察下列圖形，這四組形狀各異的圖形中，是相似圖形的有（）

嗓《@@口口0噌

A.1組B.2組C.3組D.4組

【答案】B

【分析】根據(jù)相似圖形的定義,對圖形進行一一分析，選出正確答案.

【詳解】解：第一組形狀不同,不符合相似形的定義;

第二組形狀相同，但大小不同,符合相似形的定義;

第三組形狀相同，但大小不同,符合相似形的定義:

第四組形狀不同，不符合相似形的定義,

是相似圖形的有2組.

故選：B.

【點睛】本題考查的是相似形的定義，結(jié)合圖形，即圖形的形狀相同，但大小不一定相同的變換是相似變

換.

考查題型二由平行判定成比例線段

1.如圖，在△ABC中，點。在8c邊上，連接AD,點G在線段AD上，GE//BD,且交AB于點E,GF//AC,

且交CO于點F,則下列結(jié)論一定正確的是（）

BDF

人ABAG「FGEGnAECF

A*族=茄B吟4D.—=—

c?就=而BEDF

【答案】D

【分析】根據(jù)EG〃8D,可得△AEGS^ABD,根據(jù)尸G〃4C,可得△OGFS/\D4C,再根據(jù)相似三角形的

性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：*：GE//BD,

?.嚏=藍"EGs”心

.ABAD

**AE-AGf

故選項A錯誤;

?：GF//AC,

*=奈△DGF^ADAC,

故選項B錯誤:

DF_DG

CF-AG

...一AE=一CF

BEDF

故選項D正確;

■:區(qū)AEGSMABD、△DGF^ADAC,

竺—竺EG__AG_

AC~DA'BD-AD

故選項C錯誤;

故選：D.

【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理及相似三角形的性質(zhì)及判定，利用平行線分線段成比例，找

出比例式是解題的關(guān)鍵.

2.如圖，AC||BD,4。與8C交于點E,過點E作EF||8。，交線段48于點F,則下列各式錯誤的是（）

n，n

A———BFBEcAE.BE1D.——AF=——CE

*BF~EDB?好=菽c而+靛=1BFED

【答案】D

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理一一判斷即可.

【詳解】解：對A、B選項.'：AC||BD,EF||BD,

：.EF||AC,

9=M案=笄故AB正確，不符合題意;

brcUArcC

八.AEAFDEBF

?e，

C?—AD=—AB—BC—AB

「?暖+霹=喘+喘=陪=穿=1，故C正確，不符合題意;

ADBCABABABAB

D?噎喑，而DEHEB,

???暖工品故D錯誤，不符合題意.

HrciJ

故選：D.

【點睛】本題主要考查平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線分線段成比例定理，屬于

中考常考題型.

3.如圖，在中，DEIIBC,DFIIAC,則下列比例式中正確的是（）

A

A_=_R匕="c—=—D—=—

ADAC*FCECFCAC'FCAE

【答案】D

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例判斷各項即可.

【詳解】解：A.由。FIMC,得黑=能故A選項錯誤；

B.由DFIIAC,得整=骼又由DEIIBC,得瞿=登，則整=工,故B選項錯誤，D選項E確:

FCDADAEAFCEA

C.*DFIIAC,得黃=能故C選項錯誤；

故選：D.

【點睛】本題考查了平行線分線段成比例，兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例，平行于

三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的對應線段成比例.

考查題型三由平行截線求相關(guān)線段的長或比例

1.如圖，直線，直線4c和。尸被，1，G，0所截，48=5,BC=6,EF=4,則DE的長為（）

A.2B.3C.4D.-3

【答案】D

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得出比例式，代入已知線段得長度求解即可.

【詳解】解：:直線h〃12〃13，

.AB_DE

VAB=5,BC=6,EF=4,

.5DE

??一6=4一.

ADE=-.

3

故選：D.

【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理.，能根據(jù)平行線分線段成比例定理得出正確的比例式是解此

題的關(guān)鍵.

2.如圖，在△48。中，點。在邊/IB上，過點。作OEIIBC,交AC于點、E.若=2,BD=3,則"的值

AC

是（）

A.IB.1C.|D.3

【答案】A

【分析】利用平行線分線段成比例定理的推論得嶗=力即可求解.

【詳解】解：:△ABC中,DEIIBC,

.AEAD

??,

ACAB

*：AD=2,BD=3

,AE_AD__2__2

**AC~AD+BD-2+3-5*

故選：A.

【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理的推論，解題關(guān)鍵是牢記“平行于三角形一邊的直線截其它兩邊

（或兩邊的延長線）所得對應線段成比例”.

3.如圖，4D是的中線，點￡在4。上，AD=4DE,連接距并延長交4c于點F,則反：/C的值是（）

【答案】A

【分析】過點力作DGIIAC,與M交于點G,于是/C=2QG,AF=3DG,：,AF.FC=3DG:2DG=3:2

【詳解】過點。作。G||AC,與B尸交于點G,如圖：

A

vAD=4DE

:.AE=3DE

???力。是△ABC的中線

?一B一D一,，—_1

,DC~2

AF_AE_3DE_

''~DG=~DE=~DE='

即4尸=3DG

.-.AFiFC=3DG-.2DG=3:2

故選：A.

【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，熟悉概念是解題關(guān)鍵.

4.如圖，在△力BC中，AB=8C,點。為力B的中點，DE〃BC交AC于點、E,連接跖，若DE=13,AC=20,

則姓的長為()

【答案】C

【分析】根據(jù)題意可知?！隇?力3c的中位線，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得BE1AC,勾股定理解Rt△8CE即

可求解.

【詳解】???點。為48的中點，

AD=BD,

???DE//BC,

.=竺=1,

BDEC

???AE=EC

ADE=^BC,

ABC=2DE=26,EC=^AC=ID,

AB=BC,AE=EC,

BE1AC1

在Rt△BCE中，BE=y]BC2-EC2=24,

故選C.

【點睛】本題考查了平行線分線段成比例，三角形中位線的判定與性質(zhì)，三線合一，勾股定理，求得E是47

中點是解題的關(guān)鍵.

考查題型四證明兩個三角形相似

1.如圖，在48C中，CQ是斜邊A8上的高.

【答案】見解析

【分析】根據(jù)兩個角相等的兩個三角形相似進行證明即可.

【詳解】證明：如圖，

.?.^ADC=ZACB=9（r

??YA是公共角

△ACDABC.

【點暗】本題考查了相似三角形的判定，解題關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理，準確運用進行推理

證明.

2.如圖，在等邊三角形ABC中，點。，E分別在8C,上，且NAZ）E=60。.求證：△AOCs△。研.

【答案】見解析

［分析］根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出N8=ZC=60°,根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出Z1+ZC=Z1+60。,

根據(jù)/人。石=60。，可得N4D8=/2+60。，可證N1=N2即可.

【詳解】證明：???△4BC是等邊三角形，

???NB=NC=60。，

???ZADB=Z1+ZC=Z1+6O°,

,?ZADE=60°,

:.NAQ3=N2+60。，

???NI=N2,

AADCSADEB.

【點睛】本題考查等邊三角形性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，三角形相似判定，掌握等邊三角形性質(zhì)，三角形外

角性質(zhì)，三角形相似判定是解題關(guān)鍵.

3.已知：如圖，點D在三角形/WC的人月上，/）E交AC于點石/ADE=F^EADRAD2=AF-AB.

證：

(2)AAEFs△力co.

【答案】（1）見解析

⑵見解析

【分析］⑴根據(jù)乙4CE=/B,可得OEIIBC,從而得到黑=夕，即可求證;

DBhC

⑵根據(jù)心可得*笫從而得到浮笫耐求證.

【詳解】（1）證明：???4/WE=NB,

：.DEIIBC,

.ADAE

9

??1LB—'EC

,AD_AE

??布一~AC'

(2)證明：*：AD2=AF-AB,

,ADAF

9

??A1B—A'D

..ADAE

?-----，

ABAC

.AEAF

..一=一.

ACAD

又乙4=乙4,

AAEF^^ACD.

【點睛】本題主要考查了平行線分線段成比例，相似三角形的判定，熟練掌握平行線分線段成比例，相似

三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，△力BC是等邊三角形，。、E在8c所在的直線上，月弘B/C=BZ)?CE.求證：△48。?

【答案】見解析

【分析】先由等邊三角形的性質(zhì)推出NAEANECA,再由=得到絲二除即可推出

ECCA

△ABDSAECA.

【詳解】解；???△46C是等邊三角形，

NA8GN八CB=60°,

；?18O°-NABC=I8O0-/ACB,

工^ABD=^ECAt

y,9：ABAC=BDCE,

?ABBD

??—=—，

ECCA

???AABD^AECA.

【點睛】本題主要考查了相似二角形的判定，等邊二角形的性質(zhì)，熟知相似二角形的判定條件是解題的關(guān)

鍵.

5.如圖，將矩形ABCD沿CE向上折置，使點B落在AD邊上的點F處，AB=8,BC=10.

（2）求線段EF的長度.

【答案】（1）證明見解析；（2）EF=5.

【分析】（1）由四邊形4BCQ是矩形，于是得到乙4=/。=/8=90。，根據(jù)折疊的性質(zhì)得N"T=NB=90。，

推出即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)得。尸二8。=0,根據(jù)勾股定理得到DF=7C『-CD?=6,求得然后根據(jù)勾股

定理列方程即川得到結(jié)論.

【詳解】解：（1）???四邊形是矩形，

AZA=ZD=Z?=90°,C￡）=A8=8,

根據(jù)折疊的性質(zhì)得NEFC=NB=90。，

^AFE+ZAEF=ZAFE+ZDFC^Q0,

???/AEF=/DFC,

???AAEF^ADFC；

（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)得：CF=BC=\O,BE二EF,

：.DF=>/CF2-CD2=6,

??"F=4,

,：AE=AB-BE=S-EF,

：,EF2=AE2+AF2,

即EF2=（8-￡F）2+42,

解得：EF=5.

【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定，矩形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)及其應用問題.解題的關(guān)鍵是

靈活運用矩形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)來分析、判斷、解答.

考查題型五補充條件使兩個三角形相似

1.如圖，D是AABC邊AB上一點,添加一個條件后，仍無法判定△4CD的是（1

D

BL--------------------

A.LACD=LBB.^ADC=Z-ACBC.黑=段D.AC2=ADAB

ACBC

【答案】c

【分析】根據(jù)公共角再分別利用相似三角形的判定方法判斷得出即可.

【詳解】?：&=5

A、當乙4CZ）=時，再由乙4=乙4,可得出△AC。?△A8C,故選項A不合題意；

B、當4=時，再由匕4=匕力，可得出△力CD?△A8C,故選項B不合題意；

C、當器=器時，乙1不是夾角，所以無法得出A/。。-△4OC，故選項C符合題意；

D、當AC2二力。^^時，即竺二竺，再由立力二44故選項D不合題意；

ABAC

故選：C.

【點睛】此題主要考查了相似三角形的判定，正確把握判定方法是解題關(guān)鍵.

2.如圖，要使△ACD?△/8C,需要具備的條件是（）

B?黑啜

C.AC2=AD-ABD.CD2=ADBD

【答案】C

【分析】題目中隱含條件N4=NA,根據(jù)有兩邊對應成比例，且夾角相等的兩三角形相似，得出添加的條

件只能是黨=*，根據(jù)比例性質(zhì)即可推出答案.

ABAC

【詳解】解：???在△AC。和△A4c中，NA=NA,

???根據(jù)有兩邊對應成比例，且夾角相等的兩三角形相似，得出添加的條件是：黨二號,

/IU/IC

：.AC2=AD-AB.

故選：c.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定，注意：有兩邊對應成比例，且夾角相等的兩個三角形相似.

3.如圖，如果NB/W=NC4E,那么添加下列一個條件后，仍不能確定A/IBCsZk/WE的是（）

C.ABBC=AD-DED.AB-AE=AD-AC

【答案】C

【分析】根據(jù)題意可得=然后根據(jù)相似三角形的判定定理逐項判斷，即可求解.

【詳解】解：???-884=4CAE,

：.￡EAD=LCAB,

A.若添加/8=乙。，可用兩角本應相等的兩個三角形相似，證明△48C?△ADE,故本選項不符合題意；

B.若添加”=41E0,可用兩角對應相等的兩個三角形相似，證明△43。fADE,故本選項不符合題意；

C.若添加48-BC=40-0E,不能證明△48。?△力0E,故本選項符合題意；

D.若添加48AE=AD-AC,可用兩邊對應成比例，且夾角相等的兩個三角形相似，證明△ABC八ADE,

故本選項不符合題意；

故選：C.

【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

考查題型六相似三角形與動點問題

1.如圖所示，ZC=90°,BC=8cm,cos/1=3：5,點P從點8出發(fā)，沿向點C以2cm/s的速度移動，點

Q從點C出發(fā)沿。4向點A以lcm/s的速度移動，如果P、Q分別從B、C同時出發(fā)，過多少秒時，以C、P、Q為

頂點的三角形恰與△48c相似？

【答案】過2.4或疊秒時，以C、P、Q為頂點的三角形恰與△48C相似

【分析】由“=90°,BC=8cm,cosA=3：5,即AC：必=3：5,利用勾股定理即可求得4B與力。的長,

然后設過t秒時，以C、P、Q為頂點的三角形恰與△”(?相似，則可得BP=2tcm,0=80-瓦>=(8—2f)(cm),

CQ=tcm,再分別從當著=當時,△CPQSMB4與當著=/時,&CPQs〉CAB,去分析求解即可求得

答案.

【詳解】解：NC=90°,BC=8cm,cosA=3：5,即AC：9=3：5,

二設4c=3xcm,=5"m,

叫BC=y]AB2-AC2=4x(cm)

即4x=8,

解得：x=2,

..AC=(x'mtAB=10cm,

/.BC=8(cm)

設過￡秒時，以C、P、Q為頂點的三角形恰與△力8c相似，

制BP=2z(cm)CP=BC-BP=(8-2/)(cm)CQ=/(cm)

??,/c是公共角，

???①當笑=錚即唾=￡時，ACPQS^CBA,

CBCA86

解得：￡=2.4,

②里=器，雌了=:時,ACFQS〉CAB,

CACB68

解得：t=手

???過2.4或壬秒時，以C、P、Q為頂點的三角形恰與△力BC相似.

【點睛】此題考查了相似三角形的判定與勾股定理.此題難度適中，掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與

方程思想的應用是解題的關(guān)鍵.

2.如圖，RtZkHBC中，LC=90°,47=3,8c=4.點尸從點。出發(fā)沿折線口一人口以每秒i個單位長

的速度向點B勻速運動，點Q從點B出發(fā)沿BC-CA-718以每秒2個單位長的速度向點B勻速運動，點P,

。同時出發(fā)，當其中一點到達點8時停止運動，另一點也隨之停止.設點P，。運動的時間是/秒(t>0).

發(fā)現(xiàn)：

(1)/W=；

(2)當點P,。相遇時，相遇點在哪條邊上？并求出此時4P的長.

探究:

(3)當t=l時，ZiPQC的面積為：

(4)點P,。分別在AC,8C上時，△PQC的面積能否是△ABC面枳的一半？若能，求出，的值；若不能，請

說明理由.

拓展：

(5)當PQIIBC時,求出此時/的值.

【答案】⑴5

(2)相遇點在AB邊上，1

(3)1

(4)不能,見解析

(5"若

【分析1(1)利用勾股定理直接求解即可；

(2)分類討論點的位置對應不同的時間，直接計算即可；

(3)直接求出邊長來求面積即可；

(4)解方程時通過求根公式來說明不能取到值；

(5)先畫出圖形，然后利用平行線間的線段比列方程求值.

22

【詳解】(1)在Rt448c中，AB=\/AC+BC=內(nèi)2+42=5

：,AB=5；

(2)點P運動到8需要：(4+5)+1=9s

點。運動到B點需要：(3+4+5)+2=6s

當點P,Q相遇時,有2t-t=4.解得t=4.

???相遇點在邊上，

此時為P=4-3=1.

(3)當t=l時，PC=1,BQ=2,即CQ=2

?,應PQC="C?CQ=4x1x2=1

故答案為1；

(4)不能

理由：若△PQC的面積是A/BC面積的一半，

即)(4-2￡)=：x：x3x4,化為產(chǎn)一2t+3=0.

VZi=(-2)2-4xlx3<0,

???方程沒有實數(shù)根，

即APQC的面積不能是△A8C面積的一半.

(5)由題可知，點P光到達AB邊，當點Q還在AC邊上時，存在PQII8C,如圖所示.

*：AQ=7—23AP=t-3,

?7-2tt-3

■■-3-=--5-?

解得"9

XD

即當PQII8C時,"晟.

【點睛】此題考查動點問題以及平行線的線段比，解題關(guān)鍵是將點的路程表示出來找到等量關(guān)系，以及平

行線中線段成比例列方程.

3.如圖，在心△"(?中，NAC8=90。，4C=8,BC=6,CQL18于點。，點P從點。出發(fā)，沿線段QC

向點C運動，點。從點C出發(fā)，沿線段CA向點A運動，兩點同時出發(fā)，速度都為每秒1個單位長度，當

點P運動到點。時，兩點都停止運動，設運動時間為，秒.

(I)求線段CD的長；

⑵設的面積為S,求S與；之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；

(3)當/為何值時，△CPQ與^CAD相似？請直接寫出t的值.

【答案】⑴4.8

(2)5=SACPQ=-1t2+^t(0<t<4.8)

(3)3或：

【分析】(1)利用勾股定理可求出入B