新教材2023年高中數學綜合測試9第9章統(tǒng)計

第九章綜合測試考試時間120分鐘，滿分150分．一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．質檢部門檢查一箱裝有2500件包裝食品的質量，抽查總量的2%，在這個問題中，下列說法正確的是(D)A．總體是指這箱2500件包裝食品B．個體是一件包裝食品C．樣本是按2%抽取的50件包裝食品D．樣本量是50[解析]總體是指這箱2500件包裝食品的質量，故A項錯誤；個體是一件包裝食品的質量，故B項錯誤；樣本是按2%抽取的50件包裝食品的質量，故C項錯誤；樣本量是50，故D正確．故選D．2．下列兩個抽樣：①一個城市有210家某商品的代理商，其中大型代理商有20家，中型代理商有40家，小型代理商有150家，為了掌握該商品的銷售情況，要從中抽取一個容量為21的樣本；②某市質量檢查人員從一食品生產企業(yè)生產的兩箱(每箱12盒)牛奶中抽取4盒進行質量檢查．則應采用的抽樣方法依次為(C)A．簡單隨機抽樣；簡單隨機抽樣 B．分層隨機抽樣；分層隨機抽樣C．分層隨機抽樣；簡單隨機抽樣 D．簡單隨機抽樣；分層隨機抽樣[解析]①中商店的規(guī)模不同，所以應采用分層隨機抽樣；②中總體沒有差異性，容量較小，樣本容量也較小，所以應采用簡單隨機抽樣．3．某校高一年級15個班參加慶祝建黨100周年的合唱比賽，得分如下：85、87、88、89、89、90、91、91、92、93、93、93、94、96、98，則這組數據的40%分位數、90%分位數分別為(A)A．90.5、96 B．91.5、96C．92.5、95 D．90、96[解析]將數據從小到大排列可得85、87、88、89、89、90、91、91、92、93、93、93、94、96、98，由15×40%＝6，則40%分位數為eq\f(90＋91,2)＝90.5，由15×90%＝13.5，則90%分位數為96．故選A．4．(2021·全國甲卷)為了解某地農村經濟情況，對該地農戶家庭年收入進行抽樣調查，將農戶家庭年收入的調查數據整理得到如下頻率分布直方圖：根據此頻率分布直方圖，下面結論中不正確的是(C)A．該地農戶家庭年收入低于4.5萬元的農戶比率估計為6%B．該地農戶家庭年收入不低于10.5萬元的農戶比率估計為10%C．估計該地農戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元D．估計該地有一半以上的農戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間[解析]A．低于4.5萬元的比率估計為0.02×1＋0.04×1＝0.06＝6%正確．B．不低于10.5萬元的比率估計為(0.04＋0.02×3)×1＝0.1＝10%正確．C．平均值為：(3×0.02＋4×0.04＋5×0.1＋6×0.14＋7×0.2＋8×0.2＋9×0.1＋10×0.1＋11×0.04＋12×0.02＋13×0.02＋14×0.02)×1＝7.68萬元，不正確．D．4.5萬到8.5萬的比率為：0.1×1＋0.14×1＋0.2×1＋0.2×1＝0.64．正確．5．若樣本數據x1，x2，…，x10的方差為2，則數據2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的方差為(C)A．2 B．4C．8 D．16[解析]因為樣本數據x1，x2，…，x10的方差為2，則數據2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的方差為22×2＝8．故選C．6．(2022·云南高一月考)某工廠利用隨機數法對生產的600個零件進行抽樣測試，先將600個零件進行編號，編號分別為001,002，…，599,600．從中抽取60個樣本，下面提供由隨機數表產生的第4行到第6行的隨機數：322118342978645407325242064438122343567735789056428442125331345786073625300732862345788907236896080432567808436789535577348994837522535578324577892345若從第6行第6列開始向右讀取數據，則得到的第6個樣本編號是(D)A．324 B．522C．535 D．578[解析]從第6行第6列開始向右讀取數據，編號內的數據依次為436,535,577,348,522,535,578,324,577，…．因為535重復出現(xiàn)，所以符合要求的數據依次為436,535,577,348,522,578,324，…，故第6個數據為578．故選D．7．第24屆冬奧會于2022年在北京和張家口市聯(lián)合舉行，冬奧會志愿者的服務工作是冬奧會成功舉辦的重要保障，在冬奧會志愿者的選拔工作中，某高校承擔了志愿者選拔的面試工作，面試成績滿分100分，同學們面試得分的頻率分布直方圖如圖所示，則此次面試中得分的90%分位數是(A)A．85 B．90C．86 D．80[解析]由圖知各組的頻率為分組[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]頻率0.10.30.410a0.110a所以a＝0.005，則第四組[70,80)的頻率為0.05，前四組的頻率之和為0.85，所以這次面試得分的90%分位數是在第五組內，且為80＋10×eq\f(0.9－0.85,0.95－0.85)＝85．故選A．8．(2022·全國甲卷)某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識．為了解講座效果，隨機抽取10位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如下圖：則(B)A．講座前問卷答題的正確率的中位數小于70%B．講座后問卷答題的正確率的平均數大于85%C．講座前問卷答題的正確率的標準差小于講座后正確率的標準差D．講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差[解析]講座前中位數為eq\f(70%＋75%,2)＞70%，所以A錯；講座后問卷答題的正確率只有一個是80%,4個85%，剩下全部大于等于90%，所以講座后問卷答題的正確率的平均數大于85%，所以B對；講座前問卷答題的正確率更加分散，所以講座前問卷答題的正確率的標準差大于講座后正確率的標準差，所以C錯；講座后問卷答題的正確率的極差為100%－80%＝20%，講座前問卷答題的正確率的極差為95%－60%＝35%＞20%，所以D錯．故選B．二、多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分)9．一組數據的平均數是2.8，方差是3.6，若將這組數據中的每一個數據都加上60，得到一組新數據，則所得新數據的平均數和方差分別是(BD)A．57.2 B．62.8C．63.6 D．3.6[解析]當一組數據中的每個數同時加上一個數后，平均數相應增加，但方差不變，可知新數據的平均數為62.8，方差為3.6．故選BD．10．教育統(tǒng)計學中，為了解某考生的成績在全體考生成績中的位置，通常將考生的原始分數轉化為標準分數．定義標準分數zi＝eq\f(1,s)(xi－eq\x\to(x))(i＝1,2，…，n)，其中xi為原始分數，eq\x\to(x)為原始分數的平均數，s為原始分數的標準差．已知某校的一次數學考試，全體考生的平均成績eq\x\to(x)＝115，標準差s＝10.8，轉化為標準分數后，記平均成績?yōu)閙，標準差為σ，則(BD)A．m＝115 B．m＝0C．σ＝10.8 D．σ＝1[解析]根據平均數與方差公式，得m＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,z)i＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)eq\f(1,s)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xi－\x\to(x)))＝eq\f(1,s)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)\i\su(i＝1,n,x)i－\x\to(x)))＝eq\f(1,s)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\x\to(x)－\x\to(x)))＝0，σ2＝eq\f(1,s2)·s2＝1，即m＝0，σ＝1．故選BD．11．(2021·新高考Ⅰ卷)有一組樣本數據x1，x2，…，xn，由這組數據得到新樣本數據y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c(i＝1,2，…，n)，c為非零常數，則(CD)A．兩組樣本數據的樣本平均數相同B．兩組樣本數據的樣本中位數相同C．兩組樣本數據的樣本標準差相同D．兩組樣本數據的樣本極差相同[解析]A．eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)i,n)；eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)i＋nc,n)＝eq\o(x,\s\up6(－))＋c；B．y中＝x中＋c；C．Seq\o\al(2,n)＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2；S′eq\o\al(2,n)＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,[)(xi＋c)－(eq\x\to(x)＋c)2]＝Seq\o\al(2,n)；D．x的極差為xmax－xmin；y的極差為(xmax＋c)－(xmin＋c)＝xmax－xmin．故選CD．12．為慶祝中國共青團成立100周年，校團委舉辦了“學團史，知團情”知識競賽，甲、乙兩個組各派7名同學參加競賽，測試成績(單位：分，十分制)如圖所示，則下列描述正確的有(AC)A．甲、乙兩組成績的極差相等B．甲、乙兩組成績的平均數相等C．甲、乙兩組成績的中位數相等D．甲組成績的方差大于乙組成績的方差[解析]甲、乙兩組成績的極差都為4，故A正確；甲組成績的平均數為eq\f(4＋5＋6＋6＋7＋7＋8,7)＝eq\f(43,7)，乙組成績的平均數為eq\f(5＋5＋5＋6＋7＋8＋9,7)＝eq\f(45,7)，∴甲組成績的平均數小于乙組成績的平均數，故B錯誤；甲、乙兩組成績的中位數都為6，故C正確；甲組成績的方差為：eq\f(1,7)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(43,7)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－\f(43,7)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6－\f(43,7)))2×2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7－\f(43,7)))2×2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8－\f(43,7)))2))＝eq\f(76,49)，乙組成績的方差為eq\f(1,7)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－\f(45,7)))2×3＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6－\f(45,7)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7－\f(45,7)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8－\f(45,7)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(9－\f(45,7)))2))＝eq\f(110,49)，∴甲組成績的方差小于乙組成績的方差，故D錯誤．故選AC．三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13．某學校三個興趣小組的學生人數分布如下表(每名同學只參加一個小組)(單位：人)：籃球組書畫組樂器組高一4530a高二151020學校要對這三個小組的活動效果進行抽樣調查，按小組分層隨機抽樣，從參加這三個興趣小組的學生中抽取30人，結果籃球組被抽出12人，則a的值為__30__．[解析]由題意知，eq\f(12,45＋15)＝eq\f(30,120＋a)，解得a＝30．14.3月12日是植樹節(jié)，某地組織青年志愿者進行植樹活動，植樹的樹種及其數量的折線圖，如圖所示．后期，該地區(qū)農業(yè)局根據樹種采用分層抽樣的方法抽取150棵樹，請專業(yè)人士查看樹種的成活情況，則被抽取的梧桐樹的棵數為__10__．[解析]由分層抽樣法，被抽取的梧桐樹的棵數為：150×eq\f(50,200＋100＋250＋150＋50)＝10．故答案為10．15．(2022·黑龍江哈爾濱三中高二期末)某同學4次三級跳遠成績(單位：米)分別為x，y,11,9，已知這4次成績的平均數為10，標準差為eq\r(2)，則xy的值為__97__．[解析]數據x，y,11,9的平均數為10，標準差為eq\r(2)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＋11＋9＝40，,\f(1,4)[x－102＋y－102＋12＋－12]＝2，))化簡得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝20，,x2＋y2＝206，))所以xy＝97．16．在對某中學高一年級學生每周體育鍛煉時間的調查中，采用隨機數法，抽取了男生30人，女生20人．已知男同學每周鍛煉時間的平均數為17小時，方差為11；女同學每周鍛煉時間的平均數為12小時，方差為16．依據樣本數據，估計本校高一年級學生每周體育鍛煉時間的方差為__19__．[解析]根據平均數的計算公式，全班的平均數為eq\x\to(z)＝eq\f(17×30＋12×20,30＋20)＝15(小時)，由S2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(xi－eq\x\to(x))2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(xi2－2xieq\x\to(x)＋eq\x\to(x)2)＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)i2－2eq\x\to(x)eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)i＋eq\x\to(x)2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)i2－eq\x\to(x)2，設男同學為x1，x2，…，x30，女同學為y1，y2，…，y20，則男同學的方差Seq\o\al(2,1)＝eq\f(1,30)eq\i\su(i＝1,30,)(xi－17)2＝eq\f(1,30)eq\i\su(i＝1,30,x)i2－289＝11，從而eq\i\su(i＝1,30,x)i2＝300×30＝9000，則女同學的方差Seq\o\al(2,2)＝eq\f(1,20)eq\i\su(i＝1,20,)(yi－12)2＝eq\f(1,20)eq\i\su(i＝1,20,y)i2－144＝16，從而eq\i\su(i＝1,20,y)i2＝160×20＝3200；所以全班同學的方差為S2＝eq\f(1,50)eq\i\su(i＝1,50,)(zi－15)2＝eq\f(1,50)eq\i\su(i＝1,50,z)i2－225＝eq\f(1,50)(9000＋3200)－225＝19．故答案為19．四、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)南京市某報社發(fā)起了建黨100周年主題征文活動，報社收到了來自社會各界的大量文章，打算從眾多文章中選取60篇文章以專欄形式在報紙上發(fā)表，其參賽作者年齡集中在[15,65]之間，根據統(tǒng)計結果，作出頻率分布直方圖如圖：(1)求頻率分布直方圖中m的值；(2)為了展示不同年齡作者心中的黨的形象，報社按照分層抽樣的方法，從這60篇文章中抽出20篇文章，并邀請相應作者參加座談會．求從年齡在[15,35)的作者中選出參加座談會的人數；(3)根據頻率分布直方圖，求這60位作者年齡的樣本平均數eq\x\to(x)(同一組數據用該區(qū)間的中點值作代表)和80百分位數(結果保留一位小數)．[解析](1)∵10×(0.01＋0.015＋m＋0.03＋0.01)＝1，∴m＝0.035．(2)應從[15,35)選出參加座談會的人數為：20×(0.01＋0.015)×10＝5人．(3)由題意得：eq\x\to(x)＝(20×0.01＋30×0.015＋40×0.035＋50×0.03＋60×0.01)×10＝41.5；假設第80百分位數為t，則(0.01＋0.015＋0.035)×10＋(t－45)×0.03＝0.8，解得：t≈51.7，即第80百分位數為51.7．18．(本小題滿分12分)已知一組數據按從小到大的順序排列，得到－1,0,4，x,7,14，中位數為5，求這組數據的平均數與方差．[解析]由于數據－1,0,4，x,7,14的中位數為5，所以eq\f(4＋x,2)＝5，解得x＝6．設這組數據的平均數為eq\o(x,\s\up6(－))，方差為s2，由題意得eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,6)×(－1＋0＋4＋6＋7＋14)＝5，s2＝eq\f(1,6)×[(－1－5)2＋(0－5)2＋(4－5)2＋(6－5)2＋(7－5)2＋(14－5)2]＝eq\f(74,3)．19．(本小題滿分12分)(2022·新高考Ⅱ卷)在某地區(qū)進行流行病學調查，隨機調查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數據的頻率分布直方圖：(1)估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡(同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值為代表)；(2)估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間[20,70)的概率．[解析](1)平均年齡eq\o(x,\s\up6(－))＝(5×0.001＋15×0.002＋25×0.012＋35×0.017＋45×0.023＋55×0.020＋65×0.017＋75×0.006＋85×0.002)×10＝47.9(歲)．(2)設A＝{一人患這種疾病的年齡在區(qū)間[20,70)}，所以P(A)＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1－(0.001＋0.002＋0.006＋0.002)×10＝1－0.11＝0.89．20．(本小題滿分12分)某校高一年級學生全部參加了體育科目的達標測試，現(xiàn)從中隨機抽取40名學生的測試成績，整理數據并按分數段[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]進行分組．已知測試分數均為整數，現(xiàn)用每組區(qū)間的中點值代替該組中的每個數據，得到體育成績的折線圖如圖所示．(1)若體育成績大于或等于70分的學生為“體育良生”，已知該校高一年級有1000名學生，試估計該校高一年級學生“體育良生”的人數；(2)用樣本估計總體的思想，試估計該校高一年級學生達標測試的平均分；(3)假設甲、乙、丙三人的體育成績分別為a，b，c，且a∈[70,80)，b∈[80,90)，c∈[90,100]，當三人的體育成績方差s2最小時，寫出a，b，c的所有可能取值(不要求證明)．[解析](1)由折線圖得體育成績大于或等于70分的學生有14＋3＋13＝30(人)，∴估計該校高一年級學生“體育良生”的人數為1000×eq\f(30,40)＝750．(2)用樣本估計總體的思想，估計該校高一年級學生達標測試的平均分為eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,40)(45×2＋55×6＋65×2＋75×14＋85×3＋95×13)＝77.25(分)．(3)∵甲、乙、丙三人的體育成績分別為a，b，c，且a∈[70,80)，b∈[80,90)，c∈[90,100]，其中a，b，c∈N，∴當三人的體育成績方差s2最小時，a，b，c的所有可能取值為79,84,90或79,85,90．21．(本小題滿分12分)某校100名學生期中考試化學成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求圖中a的值；(2)根據頻率分布直方圖，估計這100名學生化學成績的平均分；(3)若這100名學生化學成績某些分數段的人數(x)與數學成績相應分數段的人數(y)之比如下表所示，求數學成績在[50,90)之外的人數．分數段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)x∶y1∶12∶13∶24∶5[解析](1)依題意得，10×(2a＋0.02＋0.03＋0.04)＝1，解得a＝0.005．(2)這100名學生化學成績的平均分為55×0.05＋65×0.4＋75×0.3＋85×0.2＋95×0.05＝73(分)．(3)數學成績在[50,60)的人數為100×0.05＝5，數學成績在[60,70)的人數為100×0.4×eq\f(1,2)＝20，數學成績在[70,80)的人數為100×0.3×eq\f(2,3)＝20，數學成績在[80,90)的人數為100×0.2×eq\f(5,4)＝25．所以數學成績在[50,90)之外的人數為100－5－20－20－25＝30．22．(本小題滿分12分)在一次高三年級統(tǒng)一考試中，數學試卷有一道滿分10分的選做題，學生可以從A，B兩道題目中任選一題作答．某校有900名高三學生參加了本次考試，為了了解該校學生解答該選做題的得分情況，計劃從900名考生的選做題成績中隨機抽取一個容量為10的樣本，為此將900名考生選做題的成績按照隨機順序依次編號為001～900．(1)若采用隨機數法抽樣，已知用計算機產生的若干0～9范圍內的隨機數如下，以第3個數5為起點．從左向右依次讀取數據，每次讀取三位隨機數，一行讀數用完之后接下一行左端，寫出樣本編號的中位數；06512916935805770951512687858554876647547332081112449592631629562429482699616553583778807042105067423