山東省青島市萊西市2024屆高三上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省青島市萊西市2024屆高三上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)虛部為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意，所以的虛部為.故選：B.2.對(duì)于直線，下列選項(xiàng)正確的為（）A.直線傾斜角為B.直線在軸上的截距為C.直線的一個(gè)方向向量為D.直線經(jīng)過(guò)第二象限【答案】C【解析】因?yàn)橹本€的斜率為，所以直線傾斜角為，故A錯(cuò)誤；在中，令，解得，即直線在軸上的截距為，故B錯(cuò)誤；在中，令，解得，即直線過(guò)兩點(diǎn)，，所以直線的一個(gè)方向向量為，故C正確；畫出直線的圖象如圖所示，所以直線不經(jīng)過(guò)第二象限，故D錯(cuò)誤.故選：C.3.在等比數(shù)列中，，則（）A.4 B. C.8 D.5【答案】A【解析】由題意，所以，即等比數(shù)列公比為，所以，解得，所以.故選：A.4.“”是“直線與平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，直線與平行；當(dāng)直線與平行時(shí)，有且，解得，故“”是“直線與平行”的充要條件，故選：C5.圓與圓相交于A、B兩點(diǎn)，則（）A.2 B. C. D.6【答案】D【解析】?jī)蓤A方程相減得直線的方程為，圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程，所以圓的圓心為，半徑，圓心到直線的距離為，弦長(zhǎng)，所以.故選：D6.是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若恒成立，則不可能的值為（）A.7 B.6 C.5 D.4【答案】D【解析】由題意得，時(shí)，取得最大值，所以有，，，若，則，若，，則，有，.故選：D7.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，若，則正整數(shù)的值為（）A.2024 B.2023 C.2022 D.2021【答案】B【解析】，又，所以是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，所以，故，令由且，則，由，則，則，所以，故，則正整數(shù)的值為2023.故選：B8.直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為E，AE的中點(diǎn)為，設(shè)直線與橢圓的另一交點(diǎn)為，若，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】設(shè)，則，，，，①，三點(diǎn)共線，，②，在橢圓上，，兩式相減可得，③將①②代入③可得，，，所以橢圓的離心率.故選：A二、多選題:本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.歐拉公式（其中為虛數(shù)單位，）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立的，它把自然對(duì)數(shù)的底數(shù)、虛數(shù)單位、三角函數(shù)聯(lián)系在一起，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美.已知實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)同樣也適用于復(fù)數(shù)指數(shù)冪，根據(jù)歐拉公式，下列結(jié)論正確的是（）A.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限B.C.的共軛復(fù)數(shù)為1D.復(fù)數(shù)的實(shí)部為【答案】BD【解析】對(duì)于A，在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為在第二象限（因?yàn)椋?，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，的共軛復(fù)數(shù)為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，的實(shí)部為，故D正確.故選：BD.10.已知點(diǎn)是直線的上一動(dòng)點(diǎn)，，，成公差非0的等差數(shù)列，，則下列說(shuō)法正確的有（）A.若，則的最大值為B.直線恒過(guò)定點(diǎn)C.存在3個(gè)點(diǎn)到直線的距離為.D.已知，，若存在點(diǎn)，使得，則正數(shù)的范圍為.【答案】ACD【解析】因?yàn)椋?，成公差?的等差數(shù)列，設(shè)公差為，則，，所以直線，由，化簡(jiǎn)得，由，解得，則直線過(guò)定點(diǎn)，故B不正確；設(shè)，則，又，知，故點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)為兩直線的交點(diǎn)，而與是互相垂直的直線，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，圓方程為，其圓心為，半徑為，因，則和除外.若，則的最大值為，故A正確；又點(diǎn)到直線的距離為，半徑為，所以存在3個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，故C正確；已知，，若存在點(diǎn)，使得，即以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓與圓有公共點(diǎn)，故，解得，故D正確.故選：ACD.11.南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的（詳析九章算法.商功）中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱之為“三角垛”.“三角垛”最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，…..，設(shè)第層有個(gè)球，從上往下層球的總數(shù)為，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】由題意，對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，，即，故C正確；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤.故選：BC.12.已知橢圓，直線與相交于兩點(diǎn)，，若橢圓恒過(guò)定點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C.|AB|的長(zhǎng)可能為3 D.|AB|的長(zhǎng)可能為4【答案】AC【解析】由消去得：，點(diǎn)在橢圓內(nèi)，必有，設(shè)，則，而，，由，得，即，整理得，因此，整理得，于是橢圓恒過(guò)定點(diǎn)，且，顯然，，A正確，B錯(cuò)誤；，而，則，，因此，C正確，D錯(cuò)誤.故選：AC三、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分.13.記雙曲線的離心率為，寫出滿足條件“直線與無(wú)公共點(diǎn)”的的一個(gè)值____________.【答案】2（答案不唯一，滿足皆可）【解析】由題意雙曲線的一條漸近線為，其斜率為，若直線與無(wú)公共點(diǎn)，則，所以，滿足題意的雙曲線的離心率為.故答案為：2（答案不唯一）.14.已知復(fù)數(shù)()的模為，則的最大值為_(kāi)______.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，故在以為圓心，為半徑的圓上，表示圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)所在直線的斜率，如圖，由平面幾何知識(shí)，易知當(dāng)直線與圓相切時(shí)取得最值，在中，，所以,此時(shí).故答案：.15.數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列定義如下:對(duì)于正整數(shù)是使得不等式成立的所有中的最小值，則數(shù)列的前項(xiàng)和為_(kāi)___________.【答案】【解析】數(shù)列的前項(xiàng)和，當(dāng)時(shí)，，而滿足上式，因此，由，得，則當(dāng)為正奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為正偶數(shù)時(shí)，，于是數(shù)列的前項(xiàng)和為.故答案為：16.過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，中點(diǎn)的軌跡經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)___________.【答案】【解析】拋物線的焦點(diǎn)，因?yàn)檫^(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，若直線的斜率不存在時(shí)，的中點(diǎn)定在軸上，中點(diǎn)不可能為；則設(shè)直線的方程為：，設(shè)，聯(lián)立方程組：，得：，得，所以中點(diǎn)的軌跡滿足：，當(dāng)恰好為時(shí)，即，解得，得此時(shí)拋物線，一般地，直線的方程為：，且，則故，令，，其中，則，，由，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，所以的最小值為，故答案為：.四、解答題:本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求數(shù)列的前項(xiàng)和.條件①:；條件②:；條件③:.注:如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.解：（1）由題意知:，即:，化簡(jiǎn)得.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）若選①:，，若選②:，.，若選③:，18.已知拋物線上第一象限一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為2.（1）求拋物線的方程及點(diǎn)的坐標(biāo);（2）過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，的角平分線過(guò)拋物線焦點(diǎn)，求直線的方程.解：（1）由題意得:由可得:，故拋物線方程為:，當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)椋?，所以點(diǎn)坐標(biāo)為;（2）由題意可設(shè)直線方程為，由，消去得，所以，因?yàn)榈慕瞧椒志€過(guò)焦點(diǎn)，軸，所以，所以，即，即，所以，直線的方程為.19.已知為等差數(shù)列，公差中的部分項(xiàng)恰為等比數(shù)列，且公比為，若;（1）求；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)之和.解：（1）由成等比數(shù)列，則，即，整理得，且，則，可得，故等比數(shù)列的公比.（2）在等差數(shù)列中，可得，在等比數(shù)列中，可得，則，即，所以.20.已知是公差不為0的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列，數(shù)列，數(shù)列bn的前項(xiàng)和.（1）求（2）求解：（1）因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，設(shè)等差數(shù)列的公差為，，所以，解得，，，對(duì)上式兩邊同時(shí)除以得:，即，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，故，即；（2）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，,當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，,故.21.中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)一條漸近線方程為.（1）求的方程:（2）若過(guò)的上焦點(diǎn)的直線與交于A，B兩點(diǎn).求證:以AB為直徑的圓過(guò)定點(diǎn).并求該定點(diǎn).解：（1）由題可設(shè)雙曲線方程為，雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)雙曲線方程為（2）設(shè)AB方程為，顯然，由韋達(dá)定理得：，，以AB為直徑的圓的方程為，即:，由對(duì)稱性知以AB為直徑的圓必過(guò)軸上的定點(diǎn)，令，得，，即.對(duì)恒成立，，經(jīng)過(guò)定點(diǎn)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)圓的方程為，也經(jīng)過(guò)點(diǎn)以AB為直徑的圓過(guò)定點(diǎn).22.已知橢圓的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為，且直線是雙曲線的一條漸近線.直線與橢圓交于C，D兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)最大值為8.橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P，Q為橢圓上異于A，B的兩動(dòng)點(diǎn)，直線與軸相交于點(diǎn)，記直線的斜率為，直線的斜率為.（1）求值.（2）若，設(shè)和的面積分別為，求的最大值.解