安徽省部分重點中學2023-2024學年高一上學期期末測試數學試卷（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1安徽省部分重點中學2023-2024學年高一上學期期末測試數學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依題意，，所以，，B錯誤，D正確；顯然，，AC錯誤.故選：D.2.（）A.4 B.6 C.8 D.10【答案】B【解析】因為，所以.故選：B.3.中文“函數”一詞，最早是由近代數學家李善蘭翻譯的，之所以這么翻譯，他給出的原因是“凡此變數中函彼變數者，則此為彼之函數”，下列選項中是同一個函數的是（）A.與B.與C.與D.與【答案】C【解析】對于A，函數的定義域為，函數的定義域為，兩個函數定義域不同，A不是；對于B，函數的定義域為，函數的定義域為或，兩個函數定義域不同，B不是；對于C，函數的定義域為，函數的定義域為，且，兩個函數定義域相同，對應法則也相同，C是；對于D，函數的定義域為，函數的定義域為，兩個函數定義域不同，D不是.故選：C.4.已知角的頂點與原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，點在角的終邊上，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意，，則，，所以.故選：C.5.已知“，”為真命題，則實數a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】“，”為真命題，則“，”為真命題，而，當且僅當時取等號，則，所以實數a的取值范圍為.故選：A.6.函數在上的大致圖象為（）A B.C. D.【答案】D【解析】依題意，，因此函數是偶函數，其圖象關于y軸對稱，排除AB；又，選項C不滿足，D符合題意.故選：D.7.《夢溪筆談》是我國科技史上的杰作，其中收錄了扇形弧長的近似計算公式：.如圖，公式中“弦”是指扇形中所對弦AB的長，“矢”是指所在圓O的半徑與圓心O到弦的距離之差，“徑”是指扇形所在圓O的直徑.若扇形的弦，扇形的圓心角為，利用上面公式，求得該扇形的弧長的近似值與實際值的誤差為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】取弧的中點，連接交于，則是的中點，且，在等腰中，，則，圓半徑，，，因此，而扇形弧長的實際值為，所以該扇形的弧長的近似值與實際值的誤差為.故選：B.8.定義在上的偶函數在上單調遞減，且，則不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為定義在上的偶函數在上單調遞減，且，所以在上單調遞增，，因為，當，即時，，即，所以，即，解得，故；當，即時，，即，所以，即或，解得或，故；綜上：或.故選：A.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分.9.已知，則下列結論錯誤是（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】由及在R上單調遞增，可得，A正確；取，滿足，而，B錯誤；由，知是否是非負數不確定，當時，不等式無意義，C錯誤；取，滿足，而，D錯誤.故選：BCD.10.已知集合，，則（）A.集合B.C.集合可能是D.可能是B的子集【答案】ABD【解析】集合，，則，，AB正確；顯然，即，而是的真子集，C錯誤；由于，，因此可能是B的子集，D正確.故選：ABD.11.函數（，，）的部分圖象如圖所示，將函數的圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，然后向左平移個單位長度，得到函數的圖象，則（）A.B.的解析式為C.是圖象一個對稱中心D.的單調遞減區(qū)間是，【答案】ABD【解析】依題意，由圖象可知，，則，故A正確；因為，所以，則，所以，因為的圖象過點，所以，則，即，又，則，所以，將函數的圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到的圖象，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到的圖象，向左平移個單位長度，得到函數的圖象，故B正確；因為，故C錯誤；令，解得，所以的單調遞減區(qū)間是，，故D正確.故選：ABD.12.已知函數，則下列結論中正確的是（）A.若函數在上單調遞減，則且B.若函數有2個零點，則且C.若函數有1個零點，則且D.若函數在的最大值為1，則且【答案】AB【解析】當時，，當時，單調遞增，函數值集合為，當時，，當時，單調遞減，函數值集合為；當時，，當時，在上單調遞增，當時，在上單調遞減，在上單調遞增，對于A，由函數在上單調遞減，得，解得且，A正確；對于B，當時，，函數在上最多一個零點，由函數有2個零點，得函數在上有一個零點，在上有一個零點，因此且，B正確；對于C，當時，在上無零點，當時，在上有一個零點，則當且時，函數也只有1個零點，C錯誤；對于D，由于函數在的最大值為1，則在上不能單調遞減，即，且，當時，在上單調遞增，，不符合題意，當時，若，即，則在上單調遞減，，此時在的最大值為1，因此，若，即，則在上單調遞減，在上單調遞增，必有，解得，則，此時在的最大值為1，因此，綜上所述，函數在的最大值為1，則且，D錯誤.故選：AB.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知冪函數的圖象經過點，那么的解析式為________________________；不等式的解集為______________________.【答案】【解析】設冪函數，依題意，，即，因此，解得，所以函數的解析式為；顯然函數在上單調遞減，且，于是不等式為：，解得，即或，所以不等式的解集為.故答案為：.14.若，，，，則______.【答案】【解析】由，，得，而，，則，，因此，，所以.故答案為：.15.已知函數，若，，且，則的最小值為______.【答案】36【解析】函數中，，，則函數的定義域為，而，則函數是奇函數，顯然函數在上都單調遞減，則函數在上單調遞減，而函數在上單調遞增，則函數在上單調遞減，于是函數在上單調遞減，因此函數在上單調遞減，，由，得，則，即，于是，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為36.故答案為：36.16.已知直線與函數（，）的圖象所有交點之間的最小距離為2，且其中一個交點為，則函數的圖象與函數（）的圖象所有交點的橫坐標之和為______________.【答案】6【解析】依題意，函數的最小正周期為2，則，解得，于是，由，得，而，取，因此，顯然，則函數的圖象關于點成中心對稱，又函數的圖象關于點成中心對稱，在同一坐標系內作出函數和的圖象，觀察圖象知，兩個函數在的圖象共有4個公共點，且關于點成中心對稱，所以4個交點的橫坐標之和為.故答案為：6.四、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.計算：（1）；（2）.解：（1）.（2）.18.已知.（1）求的值；（2）若，求的值.解：（1）由，得，解得，所以.（2）由，得，則，由，得，而，解得，于是，又，則，所以.19.已知函數的定義域為，，，總有成立.若時，.（1）判斷并證明函數的單調性；（2）若，求解關于x的不等式的解集.解：（1）在上單調遞減，證明如下：因為，，總有成立，當時，，，且，則，則，即，所以在上單調遞減.（2）因為，，總有成立，所以，則，因為，所以，所以不等式可化為，所以，解得，所以不等式的解集為.20.已知函數.（1）若關于的不等式的解集為，求a，b的值；（2）已知當時，恒成立，求實數a的取值范圍.解：（1）因為，且的解集為，所以和2是方程的兩個不等實根，且，由韋達定理可得，解得，故，.（2）因，所以，則可化為，整理可得，令，，所以，則上式可化為在上恒成立，即在上恒成立，因為，當且僅當，即時，等號成立，所以由對勾函數性質可知在上單調遞減，在上單調遞增，而當時，；當時，；所以，故，所以，所以實數a的取值范圍為.21.某學校校園內有一個扇形空地AOB（），該扇形的周長為，面積為，現要在扇形空地AOB內部修建一矩形運動場館CDEF，如圖所示.（1）求扇形空地AOB的半徑和圓心角；（2）取CD的中點M，記.（i）寫出運動場館的面積S與角的函數關系式；（ii）求當角為何值時，運動場館的面積最大？并求出最大面積.解：（1）設扇形空地所在圓半徑為，扇形弧長為，依題意，，解得或，當時，圓心角，不符合題意，當時，圓心角，符合題意，所以扇形空地AOB的半徑為10，圓心角為.（2）（i）由（1）知，，則，在中，，則，在中，，，于是，所以，.（ii）由（i）知，當時，，則當，即時，，所以當時，運動場館的面積最大，最大面積為.22.已知函數（，，）是定義在上的奇函數.（1）求和實數b的值；（2）若滿足，求實數t的取值范圍；（3）若，問是否存在實數m，使得對定義域內的一切t，都有恒成立？解：（1）依題意，，又是上的奇函數，則，即，亦即，整理得，于是，而，所以.（2）由（1）知，，顯然函數在上單調遞減，由奇函數性質及，得，當時，函數在上單調遞減，則在上單調遞增，不等式化為，解得，當時，函數在上單調遞增，則在上單調遞減，不等式化為，解得，所以當時