山東省名?？荚嚶?lián)盟2025屆高三上學(xué)期期中檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省名?？荚嚶?lián)盟2025屆高三上學(xué)期期中檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)椋?，所以，故選：C2.若（為虛數(shù)單位）是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則（）A.0 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】因?yàn)椋樘摂?shù)單位）是關(guān)于的方程的一個(gè)根所以，也是關(guān)于的方程的一個(gè)根，所以，由韋達(dá)定理得：，所以，.故選：B3.已知向量，不共線，，，若，，三點(diǎn)共線，則（）A. B.. C.1 D.2【答案】D【解析】由于，，三點(diǎn)共線，所以與共線.存在實(shí)數(shù)，使得，即.因?yàn)?，不共線，根據(jù)向量相等的性質(zhì)，若，則.由，將其代入可得.故選：D.4.設(shè)，，則使成立的一個(gè)充分不必要條件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】對(duì)于A，，故是的充要條件；對(duì)于B，由得，能推出，則充分性成立，反之不成立，則必要性不成立，所以是的充分不必要條件；對(duì)于C，由無(wú)法得到，之間的大小關(guān)系，則充分性不成立，反之也是，則必要性不成立，所以是的既不充分也不必要條件；對(duì)于D，由不能推出，則充分性不成立，反之不成立，則必要性不成立，所以是的既不充分也不必要條件．故選：B．5.已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前8項(xiàng)和為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】已知，等式兩邊同時(shí)除以，得到.因?yàn)?，所以，那么?shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.得，則..求數(shù)列的前項(xiàng)和.故選：A.6.若，，且，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因，所以.又，所以.根據(jù)，得，同時(shí)也能確定.因?yàn)椋?，，所?.將轉(zhuǎn)化為.所以因?yàn)椋?，所?在這個(gè)區(qū)間內(nèi)，時(shí)，.故選：C.7.用表示，，中的最小數(shù)，若函數(shù)為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】由，，可得函數(shù)的大致圖象，由圖象可知當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)，由對(duì)稱性可知當(dāng)時(shí)，也有兩個(gè)極值點(diǎn)，同時(shí)由圖象可知：也是極值點(diǎn)，所以共有5個(gè)極值點(diǎn).故選：D8.若定義在上的函數(shù)滿足，是奇函數(shù)，，則（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】根據(jù)，以代換得：，所以，可知函數(shù)的周期為4，因?yàn)槭巧系钠婧瘮?shù)，所以，即關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，于是，，由，取得，即，則，因此，取，得，于是，因此，.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每個(gè)小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)，兩條相鄰對(duì)稱軸之間的距離為，且，則（）A. B.C.關(guān)于對(duì)稱 D.在上單調(diào)遞增【答案】ABD【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的兩條相鄰對(duì)稱軸之間的距離為，所以，則，即，故A正確；此時(shí)，又，則，即，因?yàn)椋?，故B正確；此時(shí)，因?yàn)?，所以關(guān)于對(duì)稱，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：ABD.10.記內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，，若為的外心，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】的外心即為外接圓的圓心，即三邊中垂線的交點(diǎn)，所以，故A正確；取的中點(diǎn)，連接，所以，故C正確；因?yàn)?，故B錯(cuò)誤；因?yàn)闉榈耐庑?，則可設(shè)的外接圓半徑為，，，，故，同理，，又，即.所以，即，故D錯(cuò)誤；其中（奔馳定理）的證明如下：如圖延長(zhǎng)與邊相交于點(diǎn)則所以，又，又，所以，所以，所以.故選：AC.11.如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，則（）A.存在點(diǎn)使得B.的最小值為C.以為直徑的球面與正方體每條棱的交點(diǎn)總數(shù)為12D.已知球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，若在正方體內(nèi)部與球外部之間的空隙處放入一個(gè)小球，則放入的小球體積最大值為【答案】BCD【解析】對(duì)于A:由題意可知：，取中點(diǎn)，所以，因?yàn)闉橹苯侨切?，同時(shí)為等腰直角三角形，，所以當(dāng)在運(yùn)動(dòng)中時(shí)，，，所以，，故A錯(cuò)；對(duì)于B:由對(duì)稱性得，即求，在面中，，故B對(duì)；對(duì)于C:因?yàn)橐詾橹睆降那虻那蛐臑檎襟w中心，半徑為，而正方體中心到各棱距離均為，所以該球與正方體12條棱均相切，所以有12個(gè)交點(diǎn)，故C對(duì)；對(duì)于D:因?yàn)轶w積最大的小球?yàn)樾∏蚺c正方體和球均相切時(shí)取到.研究截面，分別過(guò)和小球球心作的垂線，垂足分別為，，則，因?yàn)榍蚺c小球相切，球半徑為1，設(shè)小球的半徑為，則，所以，所以小球體積最大值為，故D對(duì).故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)則________.【答案】【解析】因?yàn)樗?13.數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，則________.【答案】1【解析】由題意可知①，②，③將①②式相加可得，與③式相減可得，則1.14.已知函數(shù)，曲線在不同的三點(diǎn)處的切線斜率均為3，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)圖象在不同的三點(diǎn)處的切線斜率均為3，所以有三個(gè)不同的根，即有三個(gè)不同的根，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象和函數(shù)圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，下面分析函數(shù)圖象，，令，解得或，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，且；當(dāng)時(shí)，.函數(shù)圖象如圖所示結(jié)合圖象可知，的取值范圍是.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，，點(diǎn)在棱上，且.（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面所成角的大小.（1）證明：方法1：因?yàn)?，，所以，所以，?又因?yàn)槊婷?，面交面于，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)槊?，所以面，因?yàn)槊妫?因?yàn)?，，交于，所以?連接，交于，連接，因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)椋?，所以，因?yàn)槊妫悦?，因?yàn)槠矫?，所以面平?方法2：取中點(diǎn)，連接，，因，所以，又因?yàn)槊婷?，面交面于，所以面，因?yàn)?，，所以，又因?yàn)?，，所以四邊形為矩形，則.以為原點(diǎn)建系如圖，，，，，所以，，，因?yàn)辄c(diǎn)在棱上且，所以，則，設(shè)，分別為平面和平面的法向量，則，令，則，，所以，，令，則，，所以，所以，所以，所以平面平面.方法3：若取為原點(diǎn)，，方向?yàn)椋S正方向，則坐標(biāo)為，，，，，平面和平面的法向量分別為，，所以，所以，所以平面平面.（2）解：方法1：取中點(diǎn)，連接，，因?yàn)?，所以，又因?yàn)槊婷妫娼幻嬗?，所以面，因?yàn)槊妫?因?yàn)?，，，所以四邊形為正方形，所?又因?yàn)榻挥冢悦妫驗(yàn)槊?，所以，所以即為平面與平面所成角，因?yàn)?，，所以?所以平面與平面所成角為.方法2：設(shè)為平面的法向量，所以，令，則，，所以，因?yàn)槊妫?，所以，所以平面與平面所成角為.方法3：平面的法向量，.所以，所以平面與平面所成角為.方法4：投影面積法：取中點(diǎn)，連接，，因?yàn)?，所以，又因?yàn)槊婷妫娼幻嬗?，所以面，設(shè)為平面與平面所成角，所以，所以.16.已知銳角的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，角的平分線交于，.（1）求；（2）求的取值范圍.解：（1）在中，，利用正弦定理得，，所以，即，因?yàn)椋?，即，因?yàn)椋?，所?（2）由已知得，，在中，由正弦定理得，，即，同理得，.故，而，，因?yàn)殇J角中，，所以，故，，，所以的取值范圍為.17.將個(gè)實(shí)數(shù)排成行列的數(shù)陣形式如下；（1）當(dāng)時(shí)，若每一行每一列均構(gòu)成等差數(shù)列，且，求該數(shù)陣中所有數(shù)的和；（2）若，且每一行均為公差相同的等差數(shù)列，每一列均為公比為的等比數(shù)列.已知，，，設(shè)，求的值.解：（1）由題意，且每一行都成等差數(shù)列則有：，，……，，則有，又因?yàn)槊恳涣谐傻炔顢?shù)列，故有，即.（2）由題意每一行均為等差數(shù)列，設(shè)第二行的公差為，則有，故，從而可得第二行的通項(xiàng)公式，所以，又因?yàn)槊恳涣芯鶠楣葹榈牡缺葦?shù)列，且，又因?yàn)?，故，即有，從而有，故所以?18.已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（3）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍.解：（1）由題意可知，，則，故曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（2）當(dāng)時(shí)，.則.當(dāng)時(shí)，，此時(shí).當(dāng)時(shí)，.故在上恒成立.再由可知為偶函數(shù)，于是在R上恒成立.故在R上單調(diào)遞增.（3）當(dāng)時(shí)，符合題意.當(dāng)時(shí)，由可得.令，則.令，則.令，則.令，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減.又，則此時(shí).故在上單調(diào)遞減.因?yàn)椋?，則存在，使得，于是在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.由于，，則當(dāng)時(shí)，，此時(shí).因此在上單調(diào)遞增.故當(dāng)時(shí)，.令，，則.當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，此時(shí).故當(dāng)時(shí)，.故在上恒成立.因此的取值范圍為.19.已知集合，集合，記的元素個(gè)數(shù)為.若集合中存在三個(gè)元素，，，使得，則稱為“理想集”.（1）若，分別判斷集合，是否為“理想集”（不需要說(shuō)明理由）；（2）若，寫(xiě)出所有的“理想集”的個(gè)數(shù)并列舉；（3）若，證明：集合必為“理想集”.解：（1）不是“理想集”，是“理想集”.由題意，令，則；令，則；令，則；令，則；所以不是“理想集”.令，則，所以是“理想集”.（2）