遼寧省錦州市2024屆高三上學期期末考試數學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1遼寧省錦州市2024屆高三上學期期末數學試題一?選擇題1.設全集，集合，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】故，故選：C.2.復數在復平面內對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】由題設，對應點為在第四象限.故選：D.3已知向量滿足，則（）A.-12 B.-20 C.12 D.20【答案】A【解析】由，則，所以，故選A．4.《九章算術》對中國古代的數學發(fā)展有很大影響，它標志著中國古代數學體系的形成.其中記載了這樣一個數學問題：今有牛?馬?羊食人苗，苗主責之粟五斗.羊主曰“我羊食半馬.”馬主曰“我馬食半牛.”今欲衰償之，問牛主出幾何.意思是：牛?馬?羊吃了別人的禾苗，苗主人要求三牲畜的主人共賠償他五斗粟，羊的主人說：“我的羊吃了馬一半的量.”馬的主人說：“我的馬吃了牛一半的量.”現在若依據三牲畜吃苗的量按比例賠償苗主，牛主應償還（）粟？（1斗=10升）A.1斗升 B.1斗升 C.2斗升 D.2斗升【答案】C【解析】令羊吃了斗，則馬吃了斗，牛吃了斗，所以，故斗，所以斗，即2斗升.故選：C5.若隨機變量，則下列說法錯誤的是（）A.的密度曲線與軸只有一個交點B.的密度曲線關于對稱C.D.若，則【答案】B【解析】若，則的密度曲線關于直線對稱，故B錯誤；又，令，可得的密度曲線與軸只有一個交點，故A正確；，故C正確；，,故D正確．故選：B．6.若，則下列結論一定正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，若，則、、，A、B、C錯；，即，D對.故選：D.7.已知是拋物線的焦點，過的直線與交于，兩點，過作準線的垂線，垂足為.若線段的垂直平分線與準線交于點，點到直線的距離為，則當時，直線的方程為（）A.或 B.或C.或 D.或【答案】D【解析】由題意知，.設直線的方程為，由得，設，，所以，則.又易知，，，所以的中點坐標為，，則直線的方程為.令，得，則，點到直線的距離，又，所以，解得，所以直線的方程為，即或，故選：D.8.函數f（x）的定義域為R，且，，當時，，則）=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，有，可得，所以的周期為2.令，代，可得，所以，故函數為奇函數，所以因為，所以，所以.故選：B二?多選題9.以長為，寬為的矩形的一邊為旋轉軸旋轉而成的圓柱的表面積可以為（）A. B. C. D.【答案】CD【解析】根據題意，分2種情況討論：當以長所在的直線為旋轉軸時，則得到的圓柱的表面積為，當以寬所在的直線為旋轉軸時，則得到的圓柱的表面積，故選：CD．10.關于函數有下列命題，其中正確的是（）A.的圖象關于點對稱B.在區(qū)間上是單調遞減函數C.若在區(qū)間上恰有兩個零點，則的取值范圍為D.的圖像關于直線對稱【答案】ABC【解析】對于A，由于，所以的圖象關于點對稱，A正確，對于B,由，則，故在區(qū)間上是單調遞減，B正確，對于C，，由，則，要使在區(qū)間上恰有兩個零點，則，解得，故C正確，對于D，，故不是的對稱軸，故D錯誤，故選：ABC11.如圖，棱長為2的正方體中，為的中點，動點在平面內的軌跡為曲線.下列結論正確的有（）A.當時，是一個點B.當動點到直線的距離之和為時，是橢圓C.當直線與平面所成的角為時，是拋物線D.當直線與平面所成的角為時，是雙曲線【答案】AD【解析】以為坐標原點，，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則,0,,,2,，設,，選項A，,,,,,，當時，有，整理得，即，此時曲線表示點,1,，即選項A正確；選項B，連接，，則動點到直線，的距離即為線段，的長，當點不在線段上時，有，當點到直線，的距離之和為時，點在線段上，此時曲線為線段，即選項B錯誤；選項C，因為平面，所以平面的一個法向量為,0,，,,，當直線與平面所成的角為時，有,，化簡得，此時曲線為圓，即選項C錯誤；選項D，因為平面，所以平面的一個法向量為,1,，,,，當直線與平面所成的角為時，有,，化簡得，此時曲線為雙曲線，即選項D正確．故選：AD．12.已知函數，若關于的方程有四個不同的解且，則的可能取值為（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】由函數，作出函數的圖象，如圖所示，關于的方程有四個不同的解且，即為函數與的四個交點的橫坐標，當時，，滿足，即圖象的對稱軸且，可得，即且，所以當時，函數，令，即，可得，則是方程的兩個根據，所以且，結合圖象，可得，因為，，，故選：ABD.三?填空題13.已知事件與事件互斥，如果，，那么__________.【答案】【解析】事件與事件互斥，則，，故.故答案為：.14.曲線在處的切線的傾斜角為，則______．【答案】【解析】因為，可得，由題意可知：，所以，即.故答案為：.15.雙曲線的焦距為，已知點，點到直線的距離為，點到直線的距離為，且，則雙曲線離心率的取值范圍為__________.【答案】【解析】直線的方程為，即，由點到直線的距離公式，且，得到點到直線的距離，同理得到點到直線的距離，，由，得，即，于是得，即，解不等式，得，由于，所以的取值范圍是．故答案為：16.已知矩形垂直于點垂直于點，將矩形沿對角線折起，使異面直線成角，若四點都在球的表面上，則球的半徑為__________，此時兩點間距離為__________.【答案】5或【解析】連接相交于，由于四邊形為矩形，所以,所以即為四面體的外接球，故半徑為,延長與相交于點，根據等面積法可得,根據相似可得,故，又故即為異面直線所成的角或其補角，由于異面直線成角，故或，當，則，所以,因此，故,當，則，所以,因此，故,綜上可得：或故答案為；5，或四?解答題17.如圖.在四棱錐中，底面是矩形，平面為中點，且.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的余弦值.（1）證明：連接，交于點，連接，∵為中點，為中點，∴.又∵平面，平面，∴平面.（2）解：如圖，以為坐標原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系.則，，，，，則，，，設平面的法向量為，則，令，得.設直線與平面所成角為，且，∴，∴，即直線與平面所成角的余弦值為.18.已知為數列的前項和，，且__________.從①成等差數列；②成等比數列；③這三個條件中任選一個補充在上面的橫線上，并解答下列問題.（1）求數列的通項公式；（2）記求數列的前項的和.注：若選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分.解：（1）由，當時，，兩式相減得，即，所以數列為等比數列，公比為.選①，由成等差數列，可得，即，解得，所以選②由成等比數列，得，即，解得，所以選③，由，得，所以（2）當為奇數時，記前項的和中的奇數項之和為，,當為偶數時，，記前項和中的偶數項之和為，故19.在中，內角所對的邊分別為，其外接圓半徑為1，，．（1）求；（2）求的面積．解：（1）因為且外接圓半徑為1，根據正弦定理得，即，代入，即，由于，則，所以，則，解得．（2）因為，根據正弦定理得，即，由（1）知．由余弦定理得，解得．又因為，所以，所以．20.為不斷提升社區(qū)服務質量，某物業(yè)公司監(jiān)察部門對其服務的甲?乙兩個社區(qū)開展“服務滿意度大調查”，隨機對兩社區(qū)多名業(yè)主發(fā)放調查問卷，對物業(yè)公司服務評分，并繪制如下頻率分布直方圖，其中為非常不滿意，為不滿意，為一般，為基本滿意，為滿意，為非常滿意.（1）求乙社區(qū)調查結果圖中的值并估計乙社區(qū)調查結果的分位數（精確到0.01）；（2）已知調查問卷中有來自甲社區(qū)業(yè)主.①若在所有評分不足60分的調查問卷中隨機抽取一份，請估計這份問卷恰好來自甲社區(qū)業(yè)主的概率；②為了解業(yè)主對物業(yè)公司服務的具體意見，在所有評分不足60分的調查問卷中隨機抽取70份進行細致分析，求這70份問卷中來自甲社區(qū)業(yè)主的問卷份數的期望.解：（1）由頻率之和為1得：，解得：，這組的頻率為：這組的頻率為：，，故分位數在組，設分位數為，則，解得，故分位數89.09.（2）①任抽一份問卷，是來自甲社區(qū)業(yè)主問卷記作事件A，問卷評分不足60分記作事件.根據題意可知：，所以，，所以，，所以，從不足60分的問卷中抽取一份，該份問卷是來自甲社區(qū)業(yè)主問卷的概率為，②70份評分不足60分的調查問卷中來自甲社區(qū)業(yè)主的問卷份數，所以.21.已知橢圓的短軸長為4，離心率為．直線與橢圓交于兩點，點不在直線l上，直線與交于點．（1）求橢圓的方程；（2）求直線的斜率．解：（1）因為橢圓的短軸長為4，所以，，因為離心率為，所以，又，所以，，所以橢圓的方程.（2）設，，聯(lián)立，化簡可得，令，即，，，因為不在直線l上，所以，即，則直線方程為：，令，則，因為直線與交于點，所以，所以，將，代入，可得，所以直線的斜率為2.22.已知函數的最小值為0，其中．（1）求的值；（2）