黑龍江省龍東十校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1黑龍江省龍東十校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知空間向量，且，則（）A.10 B.6 C.4 D.【答案】C【解析】因為，所以,即，則.故選：C.2.若，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意得.故選：A.3.若向量，且，則（）A.-8 B.8 C.-2 D.2【答案】B【解析】由題意得.因為，所以，即.故選：B.4.某校為了了解學(xué)生的體能情況，于6月中旬在全校進(jìn)行體能測試，統(tǒng)計得到所有學(xué)生的體能測試成績均在內(nèi).現(xiàn)將所有學(xué)生的體能測試成績按分成三組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.若根據(jù)體能測試成績采用按比例分層隨機抽樣的方法抽取20名學(xué)生作為某項活動的志愿者，則體能測試成績在內(nèi)的被抽取的學(xué)生人數(shù)為（）A.4 B.6 C.8 D.10【答案】A【解析】根據(jù)題意得，體能測試成績在內(nèi)的被抽取的學(xué)生人數(shù)為.故選：A.5.已知是兩個不同的平面，，是內(nèi)兩條不同的直線，則“，且”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若，，則不一定平行（缺少條件相交）；若，，則，且，故“，且”是“”的必要不充分條件，故選：C．6.已知圓臺上底面半徑為1，下底面半徑為5，側(cè)面積為，則該圓臺的體積（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)該圓臺的母線長為，根據(jù)題意可得，解得，由題意得，，所以該圓臺的高為，則．故選：B.7.如圖，在九面體中，平面平面，平面平面，底面為正六邊形，下列結(jié)論錯誤的是（）A.平面B.平面C.平面平面D.平面平面【答案】D【解析】取的中點的中點，連接.因為平面平面，平面平面，所以平面平面，C正確.因為，所以，面，平面平面，又平面平面，所以平面.同理可得平面，則，因為所以四邊形為平行四邊形，所以.因為平面平面，所以平面正確.連接，易得，則平面，面，則.因為且都在面內(nèi)，所以平面.因為，所以平面，B正確.連接，則，若平面平面成立，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)易得平面，再由線面垂直的性質(zhì)有.因為，根據(jù)線面垂直的判定得平面，這顯然不成立，所以平面平面不成立，D錯誤.故選：D.8.如圖，在棱長為12的正方體中，分別是棱的中點，平面與直線交于點，則（）A.10 B.15 C. D.【答案】A【解析】分別在棱上取點，使得，連接，根據(jù)正方體特征及平行公理，易證，，則平面截該正方體所得的截面圖形是五邊形.由題中數(shù)據(jù)，知道，，可得.故選：A.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知甲組數(shù)據(jù)為，乙組數(shù)據(jù)為，將甲?乙兩組數(shù)據(jù)混合后得到丙組數(shù)據(jù)，則（）A.丙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為5B.甲組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是2C.甲組數(shù)據(jù)的方差等于乙組數(shù)據(jù)的方差D.甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)小于乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)【答案】ACD【解析】將丙組數(shù)據(jù)從小到大排列為，可得丙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，A正確．將甲組數(shù)據(jù)從小到大排列為，因為，所以甲組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是B錯誤．易得甲組數(shù)據(jù)的方差為，乙組數(shù)據(jù)的方差為，C正確．甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，D正確．故選：ACD.10.記的內(nèi)角的對邊分別為，且的面積為，則的周長可能為（）A.8 B. C.9 D.【答案】AB【解析】由正弦定理得，得，則，由，得，所以，由余弦定理，得或17，所以或，所以的周長為8或，故選：AB．11.已知邊長為的正三角形的三個頂點都在球的表面上，為球表面上一動點，且不在平面上，當(dāng)三棱錐的體積最大時，直線與平面所成角的正切值為2，則下列結(jié)論正確的是（）A.球的表面積為B.的最大值為10C.三棱錐體積的最大值為D.當(dāng)三棱錐的體積最大時，若點與點關(guān)于點對稱，則三棱錐的體積為【答案】BCD【解析】如圖，設(shè)正三角形的外心為，當(dāng)三棱錐的體積最大時，三點共線.設(shè)球的半徑為，易得.直線與平面所成的角為，得.由，得球的表面積為，A錯誤，的最大值為，B正確.三棱錐體積的最大值為，C正確.三棱錐的體積為，D正確.故選：BCD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.12.已知空間向量，若共面，則________.【答案】0【解析】因為共面，所以，即，則.13.已知數(shù)據(jù)的極差為6，且分位數(shù)為，則__________.【答案】5【解析】因為，所以.當(dāng)時，數(shù)據(jù)的分位數(shù)為4，由，得，不符合題意，舍去.當(dāng)時，數(shù)據(jù)的分位數(shù)為，由，得（負(fù)根舍去），符合題意.故.14.如圖，平行六面體的所有棱長均為兩兩所成夾角均為，點分別在棱上，且，則__________；直線與所成角的余弦值為__________.【答案】；【解析】連接，，故；，故，故，則，故直線與所成角的余弦值為.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.7月23日，第8屆中國一南亞博覽會暨第28屆中國昆明進(jìn)出口商品交易會在昆明滇池國際會展中心隆重開幕.本屆南博會以“團結(jié)協(xié)作?共謀發(fā)展”為主題，會期從23日至28日，共設(shè)15個展館，展覽面積15萬平方米，吸引82個國家?地區(qū)和國際組織參會，2000多家企業(yè)進(jìn)館參展.某機構(gòu)邀請了進(jìn)館參展的100家企業(yè)對此次展覽進(jìn)行評分，分值均在內(nèi)，并將部分?jǐn)?shù)據(jù)整理如下表：分?jǐn)?shù)頻數(shù)10102020（1）估計這100家企業(yè)評分的中位數(shù)（保留小數(shù)點后一位）；（2）估計這100家企業(yè)評分的平均數(shù)與方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）.解：（1）由題意得這100家企業(yè)評分在內(nèi)的頻數(shù)為設(shè)這100家企業(yè)評分的中位數(shù)的估計值為，因為評分在內(nèi)的頻數(shù)之和為，評分在內(nèi)的頻數(shù)之和為，所以，由，得.（2）這100家企業(yè)評分的平均數(shù)的估計值為這100家企業(yè)評分的方差的估計值為：16.記的內(nèi)角的對邊分別為.已知.（1）求；（2）若，在邊上存在一點，使得，求的長.解：（1）由余弦定理得，因為，所以.因為，所以，解得，因為，所以.（2）因為，所以.設(shè)，在中，由正弦定理得，則，，由解得或（舍去），故的長為.17.如圖，在三棱錐中，為的中點，平面平面是等腰直角三角形，.（1）證明：；（2）求二面角的正弦值.解：（1）因為是等腰直角三角形，為中點，所以，平面，又因為平面平面，平面平面，所以平面因為平面，所以，又為的中點，所以是等腰三角形，故.（2）在平面上，作，垂足為，連接.平面平面，平面平面，又平面，所以平面.由（1），又，則為等邊三角形.所以，，所以，所以，，所以,在等腰直角三角形中，，所以與全等，故，即，以為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則..設(shè)平面的法向量為，則即取，可得.設(shè)平面的法向量為，則即取，可得設(shè)二面角的大小為，則.故二面角的正弦值為.18.如圖，甲船在點處通過雷達(dá)發(fā)現(xiàn)在其南偏東方向相距20海里的處有一艘貨船發(fā)出供油補給需求，該貨船正以15海里/時的速度從處向南偏西的方向行駛．甲船立即通知在其正西方向且相距海里的處的補給船，補給船立刻以25海里/時的速度與貨船在處會合．（1）求的長；（2）試問補給船至少應(yīng)行駛幾小時，才能與貨船會合？解：（1）根據(jù)題意可得．因為海里，海里，所以根據(jù)余弦定理可得海里．（2）由余弦定理可得，則，所以．設(shè)當(dāng)補給船與貨船會合時，補給船行駛的最少時間為小時，則海里，海里．在中，解得或（舍去），故當(dāng)補給船與貨船會合時，補給船行駛的時間至少為2小時．19.將菱形繞直線旋轉(zhuǎn)到的位置，使得二面角的大小為，連接，得到幾何體.已知分別為上的動點且.（1）證明：平面；（2）求的長；（3）當(dāng)?shù)拈L度最小時，求直線到平面的距離.解：（1）在上取點，使得，連接，如圖1.因為，所以.因為平面平面，所以平面.因為，所以，又，所以.因為平面平面，所以平面.因為且都在面內(nèi)，所以平面平面.因為平面，所以平面.（2）取的中點，連接，如圖2.由題意可得是邊長為4的正三角形，則，且，所以為二面角的平面角，即，則為正三角形，所以.（3）取的中點，連接，