2024年人教版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè) -三元一次方程組概念及解法-1教案

教案教學(xué)基本信息課題8.4-1三元一次方程組概念及解法學(xué)科數(shù)學(xué)學(xué)段：初中年級(jí)初一教材書名：義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)出版社：人民教育出版社出版日期：教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)教學(xué)目標(biāo)：1、了解三元一次方程組的概念，會(huì)用消元法解簡(jiǎn)單的三元一次方程組。2、理解用消元法解三元一次方程組時(shí)體現(xiàn)的“三元”化“二元”、“二元”化“一元”的化歸思想。重點(diǎn)：應(yīng)用消元法解三元一次方程組難點(diǎn)：選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄏ?，解方程組教學(xué)過(guò)程(表格描述)教學(xué)環(huán)節(jié)主要教學(xué)活動(dòng)設(shè)置意圖引入前面我們學(xué)習(xí)了二元一次方程組及其解法——消元法.我們知道有些有兩個(gè)未知數(shù)的問題，可以列出二元一次方程組來(lái)解決.實(shí)際上，有不少問題含有更多未知數(shù).我們看下面的問題近期，我們初一1班進(jìn)行了《云端相聚》的線上班會(huì)。會(huì)上，小晨同學(xué)分享了自己的一日居家學(xué)習(xí)生活的時(shí)間安排表，如下項(xiàng)目時(shí)間（小時(shí)）自主學(xué)習(xí)體育鍛煉家務(wù)勞動(dòng)…她說(shuō)表格中自主學(xué)習(xí)、體育鍛煉和家務(wù)勞動(dòng)的總時(shí)間為5小時(shí)，其中家務(wù)勞動(dòng)比體育鍛煉多安排1小時(shí)，2倍的自主學(xué)習(xí)時(shí)間與體育鍛煉的時(shí)間的和恰好等于家務(wù)勞動(dòng)時(shí)間加上三項(xiàng)的總時(shí)間，同學(xué)們根據(jù)這些信息你能知道表中各項(xiàng)時(shí)間的安排了嗎？有的同學(xué)說(shuō)現(xiàn)在有3個(gè)未知的量，那么就可以設(shè)表中她當(dāng)天自主學(xué)習(xí)、體育鍛煉和家務(wù)勞動(dòng)的時(shí)間分別為x小時(shí)，y小時(shí)，z小時(shí)，這就構(gòu)成了方程組實(shí)際生活中涉及多個(gè)未知數(shù)的問題是普遍存在的，因而求解多元方程組問題是我們繼續(xù)討論的課題，下面我們?cè)賮?lái)看一個(gè)問題引例從學(xué)生生活入手，引出三元一次方程和三元一次方程組。新課問題2：甲地到乙地全程是3.3千米，一段上坡、一段平路、一段下坡.如果保持上坡每小時(shí)走3千米,平路每小時(shí)走4千米，下坡每小時(shí)走5千米，那么從甲地到乙地需51分鐘,從乙地到甲地需53.4分鐘，從甲地到乙地時(shí),上坡、平路、下坡的路程各是多少？設(shè)從甲地到乙地時(shí),上坡、平路、下坡的路程分別設(shè)為xkm，ykm，zkm由條件甲地到乙地全程是3.3千米，可以得到方程甲地到乙地總時(shí)間為小時(shí)，進(jìn)而列出方程由從乙地到甲地需53.4min，可以得到方程這個(gè)問題的解必須同時(shí)滿足上述三個(gè)方程，因此我們把上述三個(gè)方程合在一起寫。用大括號(hào)連接，表示xyz三個(gè)未知數(shù)同時(shí)滿足三個(gè)方程，這就構(gòu)成了方程組把方程組中含有三個(gè)未知數(shù)，每個(gè)方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，并且一共有3個(gè)方程，像這樣的方程組叫做三元一次方程組。那么怎樣解三元一次方程組呢？我們就以第一個(gè)方程組為例，大家先自己試一試有困難的同學(xué)可以思考，前面我們是如何解二元一次方程組的？利用這樣的解題思路和方法，我們是否會(huì)求解三元一次方程組呢？那么三元一次方程組與二元一次方程組的不同之處是什么？顯然未知數(shù)多了一個(gè)，方程多了一個(gè)，更復(fù)雜了。解方程組就必須消元，那么怎么對(duì)三元一次方程組進(jìn)行消元，消元后得到什么？我們來(lái)看看一些同學(xué)的做法解法一：有的同學(xué)觀察方程組的3個(gè)方程，發(fā)現(xiàn)方程①③均含有3個(gè)未知數(shù)，而方程②比較簡(jiǎn)單只含有2個(gè)未知數(shù)，仿照前面學(xué)過(guò)的代入法，他將方程②變形得z=1+y，記為方程④，用只含y的代數(shù)式表示z，消去未知數(shù)z，將④代入方程①中，得x+y+1+y=5進(jìn)而得到x+2y=4把它記為方程⑤再將④代入方程③得，2x+y=1+y+5,解的x=3記為方程⑥方程⑤、⑥組成方程組解這個(gè)方程組得此時(shí)三元一次方程組解完了嗎？對(duì)了，還有消去的未知數(shù)z未解呢把代入方程②得，所以這個(gè)三元一次方程組的解為解法二：有的同學(xué)換了一個(gè)角度思考，他說(shuō)方程②比較簡(jiǎn)單只含有2個(gè)未知數(shù)z，y，那么將方程①③中的未知數(shù)x消去，就可以得到關(guān)于z，y的二元一次方程組也可以解決問題。同學(xué)們自己試一試。觀察方程③中x的系數(shù)為2，方程①中x的系數(shù)為1，將方程①乘以2得2x+2y+2z=10,記為方程④，④減③得y+3z=5,記為方程⑤，此時(shí)方程②和⑤就組成了關(guān)于z，y的二元一次方程組解這個(gè)方程組得把代入方程①得所以這個(gè)三元一次方程組的解為解法三：方程①、②中y的系數(shù)互為相反數(shù)，由①+②消去未知數(shù)y得，x+2z=6，同樣方程②③中y的系數(shù)也互為相反數(shù)由②+③消去未知數(shù)y得，x=3，方程④、⑤組成關(guān)于x，z的二元一次方程組，解這個(gè)方程組得將z=1.5代入②得，y=0.5所以也可以求出這個(gè)三元一次方程組的解從上面三元一次方程組的解法可以看出，解三元一次方程組的基本思路是通過(guò)“代入”或者“加減”進(jìn)行消元，把“三元”化為“二元”，使解三元一次方程組轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組，進(jìn)而再轉(zhuǎn)化為解一元一次方程，這與解二元一次方程組的思路是一樣的。類比二元一次方程：類比方程組的形式和解法，按照“實(shí)際問題——建立模型“的模式展開，給出三元一次方程組的概念。類比二元一次方程組的解法——代入消元法和加減消元法，學(xué)生嘗試用這兩種方法解三元一次方程組。讓學(xué)生自主進(jìn)行探究、討論，自己觀察、分析，然后通過(guò)類比得出三元一次方程組的解法思路。通過(guò)一題多解，學(xué)生靈活運(yùn)用代入法或加減法消元，有助于我們迅速求解方程組的解。例題解三元一次方程組（1）解：將③代入①得，y+5z=20將③代入②得，y+12z=41方程④、⑤組成方程組，解之得，y=5，z=3將z=3代入③比較簡(jiǎn)單，得x=14此時(shí)就得到了這個(gè)三元一次方程組的解了x=14,y=5,z=3。我們可將三個(gè)未知數(shù)的值代入方程組檢驗(yàn)一下，看看是否正確解法二：②－①得，2x-z=25方程③、④組成方程組x=4z+2,2x-z=25解這個(gè)方程組的x=14，z=3將x=14代入②得，y=5此時(shí)也得到了這個(gè)三元一次方程組的解。（2）解：將方程②×3得，記為方程④，由④+③消去未知數(shù)y得，記為方程⑤，方程①⑤組成關(guān)于x，z的二元一次方程組，解這個(gè)方程組得，得把代入方程②得所以@@因此這個(gè)三元一次方程組的解為練習(xí)安排學(xué)生自主板演，進(jìn)行多種解法的展示過(guò)程?？偨Y(jié)當(dāng)三元一次方程組中某個(gè)方程缺少一個(gè)未知數(shù)時(shí)，由另兩個(gè)方程消去與前述方程中所缺未知數(shù)相同的未知數(shù)，從而組成二元一次方程組求解，較為簡(jiǎn)單。小結(jié)一下，本節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了三元一次方程組及其解法。相信同學(xué)們?cè)凇叭?/p>