自動控制原理第四章-根軌跡

令開環(huán)增益Ｋ從０變化到∞，用解析方法求不同Ｋ所對應(yīng)的特征根的值，將這些值標(biāo)在Ｓ平面上，并連成光滑的粗實(shí)線，這就是該系統(tǒng)的根軌跡。箭頭表示隨著Ｋ值的增加，根軌跡的變化趨勢?！欤矗备壽E的基本概念從系統(tǒng)的根軌跡圖，可以獲得下述信息:１.穩(wěn)定性：因?yàn)楦壽E全部位于左半Ｓ平面，故閉環(huán)系統(tǒng)對所有的Ｋ值都是穩(wěn)定的。２.穩(wěn)態(tài)性能：因?yàn)殚_環(huán)傳函有一個(gè)位于坐標(biāo)原點(diǎn)的極點(diǎn)，所以是I型系統(tǒng)，階躍作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為0。K=0.25K=0K=0××K∞K∞-1jωσ當(dāng)K=0時(shí)，S1=0，S2=-1３．暫態(tài)性能

（１）當(dāng)０<Ｋ<０.25時(shí)，閉環(huán)特征根為實(shí)根，系統(tǒng)是過阻尼狀態(tài)，階躍響應(yīng)為非周期過程。

（２）當(dāng)Ｋ＝０.25時(shí)，兩特征根重合，均為－0.5，系統(tǒng)處于臨界阻尼狀態(tài)。（３）當(dāng)Ｋ＞０.25時(shí)，兩特征根變?yōu)楣曹棌?fù)根，系統(tǒng)處于欠阻尼狀態(tài)，階躍響應(yīng)為衰減振蕩過程。K=0.25K=0K=0××K∞K∞-1jωσ由以上分析得知：

根軌跡就是控制系統(tǒng)特征方程的根隨系統(tǒng)參數(shù)變化在S平面上移動的軌跡。根軌跡表明了系統(tǒng)參數(shù)對閉環(huán)極點(diǎn)分布的影響，通過它可以分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)和暫態(tài)性能與系統(tǒng)參數(shù)之間的關(guān)系。二．繪制系統(tǒng)根軌跡的依據(jù)

圖示系統(tǒng)的特征方程繪制根軌跡是求解特征方程的根，特征方程可改寫為

§４－１根軌跡的基本概念——開環(huán)傳函

是復(fù)變量Ｓ的函數(shù)，根據(jù)上式兩邊的幅值和相角分別相等的條件，可以得到這就是滿足特征方程的幅值條件和相角條件，是繪制系統(tǒng)根軌跡的重要依據(jù)?，F(xiàn)進(jìn)一步將繪制根軌跡的幅值條件和相角條件轉(zhuǎn)換成實(shí)用的形式。§４－１根軌跡的基本概念…此時(shí)，幅值條件和相角條件可寫成§４－１根軌跡的基本概念

－開環(huán)零點(diǎn)．－開環(huán)極點(diǎn)．注意這個(gè)形式和求穩(wěn)態(tài)誤差的式子不同，需變換成這種形式．將開環(huán)傳遞函數(shù)寫成下列標(biāo)準(zhǔn)的因子式…（＊）（＊＊）×p2×p1Os0§４－１根軌跡的基本概念三．根據(jù)相角條件確定根軌跡上的點(diǎn)設(shè)某一系統(tǒng)的開環(huán)零極點(diǎn)如圖，在Ｓ平面中的任意一點(diǎn)，用相角條件可以判斷是不是根軌跡的點(diǎn)。１．從到各零極點(diǎn)連直線２．用量角器量,…等各個(gè)角．３．將量好的值代入（＊＊）式，若等式成立，則就是根軌跡上的點(diǎn)．×p3Oz1§４－１根軌跡的基本概念不滿足，故不是根軌跡上的點(diǎn)?！羛2×p1Os0×p3Oz1在繪制根軌跡時(shí)，在感興趣的區(qū)段，要比較細(xì)致地繪制，可用試探法，根據(jù)相角條件確定幾個(gè)根軌跡上的點(diǎn)。允許有一定的誤差，比如±５°。而其它區(qū)段的根軌跡則可根據(jù)一些規(guī)則迅速的勾畫出來。繪制根軌跡圖時(shí)，Ｓ平面虛軸和實(shí)軸的坐標(biāo)比例應(yīng)取得一致。幅值條件改寫當(dāng)，必有Ｓ＝，即起點(diǎn)是開環(huán)極點(diǎn)。當(dāng)，必有Ｓ＝，即終點(diǎn)是開環(huán)零點(diǎn)。但在控制系統(tǒng)中，總有n>m，所以根軌跡從n個(gè)開環(huán)極點(diǎn)處起始，到m個(gè)開環(huán)零點(diǎn)處終止，剩下的n－m條根軌跡將趨于無窮遠(yuǎn)處。舉例如題，，起點(diǎn)：０，－１，無零點(diǎn)，n=２，m=0，n－m=2，有兩條根軌跡→∞K=0.25K=0K=0××K∞K∞-1jωσ§４－２繪制根軌跡的基本規(guī)則三．根軌跡的分支數(shù)根軌跡由若干分支構(gòu)成，分支數(shù)與開環(huán)極點(diǎn)數(shù)相同。四．實(shí)軸上的根軌跡

在實(shí)軸上存在根軌跡的條件是，其右邊開環(huán)零點(diǎn)和開環(huán)極點(diǎn)數(shù)目之和為奇數(shù)。設(shè)系統(tǒng)開環(huán)零、極點(diǎn)分布如圖所示。為在實(shí)軸上確定屬于根軌跡的線段，首先在和之間任選一個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)?！欤矗怖L制根軌跡的基本規(guī)則１．共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)到的幅角之和為０°，相互抵消，因此開環(huán)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)、零點(diǎn)對實(shí)軸上根軌跡的位置沒有影響，僅取決于實(shí)軸上的開環(huán)零、極點(diǎn)。２．若實(shí)軸上的某一段是根軌跡，一定滿足相角條件。試驗(yàn)點(diǎn)左側(cè)的開環(huán)零、極點(diǎn)提供的相角為０°,而右側(cè)的相角為180°。點(diǎn)滿足相角條件，所以～之間是根軌跡?！痢痢?2-4§４－２繪制根軌跡的基本規(guī)則例４－１：（單位反饋）①∵有三個(gè)極點(diǎn)，根軌跡有三條分支σjω②∵n=3,

m=2∴有３－２＝１條根軌跡→∞，２條終止于開環(huán)零點(diǎn)。③在實(shí)軸上不同段上取試驗(yàn)點(diǎn)oo-3-1§４－２繪制根軌跡的基本規(guī)則五．根軌跡的漸近線１．根軌跡中（n－m）條趨向無窮遠(yuǎn)處的分支的漸近線的傾角為…，（n-m-1)當(dāng)時(shí)，求得的漸近線傾角最小，增大，傾角值將重復(fù)出現(xiàn)，而獨(dú)立的漸近線只有（n－m）條．§４－２繪制根軌跡的基本規(guī)則２.漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)漸近線的交點(diǎn)總在實(shí)軸上，即必為實(shí)數(shù)．在計(jì)算時(shí)，考慮到共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)、零點(diǎn)的虛部總是相互抵消，只須把開環(huán)零、極點(diǎn)的實(shí)部代入即可．§４－２繪制根軌跡的基本規(guī)則六.分離點(diǎn)和會合點(diǎn)兩條根軌跡分支在Ｓ平面上某一點(diǎn)相遇，然后又立即分開的點(diǎn)，稱根軌跡的分離點(diǎn)（或會合點(diǎn)）。它對應(yīng)于特征方程中的二重根（如例４－２，實(shí)軸上的根軌跡要從某一點(diǎn)分開，然后沿漸近線方向趨向無窮遠(yuǎn)處，把分離點(diǎn)所對應(yīng)的Ｋ1值代入特征方程，應(yīng)求得二重根）。

∵根軌跡關(guān)于實(shí)軸對稱，∴分離點(diǎn)或會合點(diǎn)必然是實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)．常見的分離點(diǎn)或或會合點(diǎn)位于實(shí)軸上。求方程式的根，可以確定分離點(diǎn)或會合點(diǎn)?！欤矗怖L制根軌跡的基本規(guī)則

例４－２，求分離點(diǎn)上的坐標(biāo)。系統(tǒng)的特征方程為或上式的根因?yàn)榉蛛x點(diǎn)在０至－１之間，故為分離點(diǎn)的坐標(biāo)，而舍棄用幅值條件確定分離點(diǎn)的增益：§４－２繪制根軌跡的基本規(guī)則七.根軌跡與虛軸的交點(diǎn)當(dāng)增加到一定數(shù)值時(shí)，根軌跡可能穿過虛軸，進(jìn)入右半Ｓ平面，這表示將出現(xiàn)實(shí)部為正的特征根，系統(tǒng)將不穩(wěn)定。必須確定根軌跡與虛軸的焦點(diǎn)，并計(jì)算對應(yīng)的使系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)的開環(huán)增益。在根軌跡與虛軸的交點(diǎn)處，在系統(tǒng)中出現(xiàn)虛根。因此可以根據(jù)這一特點(diǎn)確定根軌跡與虛軸的交點(diǎn)?？梢杂么胩卣鞣匠糖蠼?，或者利用勞斯判據(jù)確定。§４－２繪制根軌跡的基本規(guī)則續(xù)例４－２，將代入特征方程。當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)共軛虛根，此時(shí)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。實(shí)部虛部在確定根軌跡與虛軸的交點(diǎn)，求出分離點(diǎn)，并做出漸近線以后，根軌跡的大概趨勢知道了，為了能較精確的畫出根軌跡，需在分離點(diǎn)附近取幾個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)，使其滿足相角條件。然后連成光滑曲線，最后逐漸靠近漸近線?！欤矗怖L制根軌跡的基本規(guī)則§４－２繪制根軌跡的基本規(guī)則八.根軌跡的出射角和入射角當(dāng)系統(tǒng)存在共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)（或零點(diǎn)）時(shí)，為了準(zhǔn)確地做出根軌跡的起始段（或終止段），必須確定根軌跡的出射角（或入射角）．根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)的切線方向與實(shí)軸正方向的夾角稱為出射角．出射角表示根軌跡從復(fù)數(shù)極點(diǎn)出發(fā)時(shí)的走向．開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處，根軌跡的入射角為式中即為其它開環(huán)零、極點(diǎn)對出射點(diǎn)或入射點(diǎn)提供的相角開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處，根軌跡的出射角為§４－２繪制根軌跡的基本規(guī)則求從出發(fā)根軌跡的出射角。用量角器量后，得，在圖上標(biāo)出。的出射角和對稱?！欤矗撤答伩刂葡到y(tǒng)的根軌跡分析４．漸近線的相角和交點(diǎn)為５．求根軌跡的分離點(diǎn)系統(tǒng)的特征方程§４－３反饋控制系統(tǒng)的根軌跡分析上式的根為，。只有是實(shí)際分離點(diǎn)。對應(yīng)分離點(diǎn)的值可按幅值條件確定６．求根軌跡在的出射角§４－３反饋控制系統(tǒng)的根軌跡分析７．求根軌跡與虛軸的交點(diǎn)．此處利用勞斯判據(jù)，由特征方程１８５６００列勞斯表§４－３反饋控制系統(tǒng)的根軌跡分析令，得根據(jù)行的系數(shù)寫出輔助方程將代入，得８.作根軌跡圖在分離點(diǎn)附近取n個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)，知分離角為90°,在附近取n個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)．§４－３反饋控制系統(tǒng)的根軌跡分析確定閉環(huán)極點(diǎn).在上例中給定一對主導(dǎo)極點(diǎn)的阻尼比1.畫出線§４－３反饋控制系統(tǒng)的根軌跡分析２．線的根軌跡交點(diǎn)的坐標(biāo)就是時(shí)，系統(tǒng)的一對閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)．３．主導(dǎo)極點(diǎn)處對應(yīng)的值用幅值條件求４．用試探法可找到另兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)的閉環(huán)傳函為§４－３反饋控制系統(tǒng)的根軌跡分析根軌跡法分析系統(tǒng)的一般步驟：１．繪制系統(tǒng)的根軌跡圖；２．分析根軌跡圖，估計(jì)系統(tǒng)增益對閉環(huán)零、極點(diǎn)分布的影響；３．根據(jù)閉環(huán)零、極點(diǎn)的分布估算系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)指標(biāo)；４．對高階系統(tǒng)要盡可能準(zhǔn)確地找出它的閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)?！欤矗撤答伩刂葡到y(tǒng)的根軌跡分析參數(shù)根軌跡繪制方法例４－４已知系統(tǒng)框圖，繪制以為參數(shù)的根軌跡.§４－３反饋控制系統(tǒng)的根