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文檔簡介

第五章χ2檢驗第五章χ2檢驗課前提問一、顯著性檢驗的基本步驟2、研究抽樣分布,求出統(tǒng)計量如:研究抽樣分布,求出統(tǒng)計量如:u,t,F,x2等;3、選定顯著水平ɑ(小概率標(biāo)準(zhǔn));1、做出無效假設(shè);4、與臨界值U

ɑ比較,做出統(tǒng)計推斷。第五章χ2檢驗二、H0的含義三、顯著水平用來確定否定或接受無效假設(shè)的概率標(biāo)準(zhǔn)叫顯著水平(

ɑ)。實得差異是由于誤差引起的,這種假設(shè)稱為無效假設(shè)。或者說實驗所得樣本是對照總體的一個隨機(jī)樣本。四、右側(cè)檢驗、左側(cè)檢驗、雙側(cè)檢驗時,H0

的拒絕域為u>u

ɑ

,右側(cè)檢驗時,H0

的拒絕域為u<-u

ɑ

,左側(cè)檢驗時,H0

的拒絕域為u>u

ɑ/2

或u<-u

ɑ/2,雙側(cè)/雙尾檢驗<第五章χ2檢驗五、截至目前,我們已經(jīng)學(xué)過幾種假設(shè)檢驗的方法?分別列出各種方法的應(yīng)用條件和計算統(tǒng)計量.第五章χ2檢驗本章內(nèi)容一、離散型數(shù)據(jù)x2統(tǒng)計量和x2分布二、擬合優(yōu)度檢驗三、獨立性檢驗第五章χ2檢驗

擬合優(yōu)度檢驗(吻合度檢驗)

理論數(shù)可以通過一定的理論分布或某種學(xué)說推算出。用實際觀察數(shù)與理論數(shù)直接比較,從而得出兩者之間是否吻合,這一類檢驗稱為吻合度檢驗。獨立性檢驗

分析兩類因子是相互獨立還是彼此相關(guān)。理論值的推算沒有什么理論或?qū)W說作依據(jù),這時可假設(shè)觀察的各屬性之間沒有關(guān)聯(lián),然后證明這種無關(guān)聯(lián)的假設(shè)是否成立。這種檢驗稱為獨立性檢驗。第五章χ2檢驗第一節(jié):離散型數(shù)據(jù)x2統(tǒng)計量和x2分布一、統(tǒng)計量的意義例:圓粒豌豆與皺粒豌豆雜交,第二代的分離比為336粒圓粒,101粒皺粒。問這種分離比例是否

符合孟德爾的3:1分離比。圓粒皺??倲?shù)觀察數(shù)OO1=336O2=101437理論數(shù)EE1=327.75E2=109.25437O-E8.25-8.25(O-E)2

68.062568.0625第五章χ2檢驗度量實際觀察次數(shù)與理論次數(shù)偏離的程度,最簡單的辦法是求出實際觀察次數(shù)與理論次數(shù)的差數(shù)。為了避免正、負(fù)抵消,計算∑(O-T)2,其值越大,實際觀察次數(shù)與理論次數(shù)相差亦越大,反之則越小。第五章χ2檢驗χ2是度量實際觀察次數(shù)與理論次數(shù)偏離程度的一個統(tǒng)計量。χ2=∑(Oi-Ei)2

Eiχ2越小,表明實際觀察次數(shù)與理論次數(shù)越接近;χ2=0,表示兩者完全吻合;χ2越大,表示兩者相差越大。第五章χ2檢驗二、χ2統(tǒng)計量的定義

Pearson提出可以用χ2判斷離散性數(shù)據(jù)的實際觀察數(shù)與理論數(shù)之間的差異,所用的公式為:其中:Oi表示第i

組的觀察數(shù),Ti表示第i組的理論數(shù),總觀察數(shù)為n

。第五章χ2檢驗χ2的連續(xù)性矯正由上式計算的χ2只是近似地服從連續(xù)型隨機(jī)變量χ2分布。在對次數(shù)資料進(jìn)行χ2檢驗利用連續(xù)型隨機(jī)變量χ2分布計算概率時,常常偏高,特別是當(dāng)自由度為1時,偏差較大。矯正后的χ2值記為χc2第五章χ2檢驗當(dāng)自由度大于1時,

χ2分布與連續(xù)型隨機(jī)變量χ2分布相近似,這時,可不作連續(xù)性矯正,但要求各組內(nèi)的理論次數(shù)不小于5。若某組的理論次數(shù)小于5,則應(yīng)把它與其相鄰的一組或幾組合并,直到理論次數(shù)大于5為止。第五章χ2檢驗三、χ2檢驗的步驟1、建立假設(shè):HO:O-E=0,實際觀察次數(shù)與理論次數(shù)相符合,HA:O-E≠0,實際觀察次數(shù)與理論次數(shù)不相符。2、計算χ2統(tǒng)計量:3、由df

查χ2值表得臨界值:χ0.052、χ0.012,將實測χ2或χc2與χ0.052、χ0.012比較,做出統(tǒng)計推斷:χ2>χa2

時,拒絕零假設(shè)χ2<χa2

時,接受零假設(shè)第五章χ2檢驗第二節(jié):擬合優(yōu)度檢驗一、意義判斷觀察值與理論值是否吻合。即實際觀察的屬性類別分配是否符合已知屬性類別分配理論或?qū)W說的假設(shè)檢驗稱為擬合優(yōu)度檢驗。第五章χ2檢驗二、擬合優(yōu)度檢驗的步驟1、假設(shè):HO:O=E,觀察數(shù)符合已知屬性類別分配的理論或?qū)W說。HA:O≠E,觀察數(shù)不符合已知屬性類別分配的理論或?qū)W說。2、計算各理論次數(shù)在無效假設(shè)成立的條件下,按已知的理論或?qū)W說計算的各個屬性類別理論次數(shù)。3、統(tǒng)計量自由度的確定擬合優(yōu)度檢驗的自由度等于屬性類別分類數(shù)減1。若屬性類別分類數(shù)為k,則自由度為k-1。第五章χ2檢驗4、將計算所得χ2或χc2與查表所得的χa2的臨界值比較若χ2或χc2<χ2k-1,0.05,P>

0.05表明實際觀察次數(shù)與

理論次數(shù)差異不顯著,可以認(rèn)為實際觀察的屬性類

別分配符合已知屬性類別分配的理論或?qū)W說;若χ2或χc2≥χ2k-1,0.05,P≤

0.05表明實際觀察次數(shù)與理

論次數(shù)差異顯著;若χ2或χc2≥χ2k-1,0.01,P≤

0.01表明實際觀察次數(shù)與理

論次數(shù)差異極顯著;第五章χ2檢驗體色青灰色紅色總數(shù)F2觀測尾數(shù)1503991602鯉魚遺傳試驗F2觀測結(jié)果(1)

H0:鯉魚體色F2分離符合3:1比率;

HA:鯉魚體色F2分離不符合3:1比率;

第五章χ2檢驗(2)取顯著水平α=0.05(3)計算統(tǒng)計數(shù)χ2

:df=k-1=2-1=1在無效假設(shè)H0正確的前提下,青灰色的理論數(shù)為:Ei

=1602×3/4=1201.5紅色理論數(shù)為:

Ei

=1602×1/4=400.5需要連續(xù)性校正第五章χ2檢驗χ2=∑(Oi-Ei-

0.5

)2

Eii=12=+(1503-1201.5

0.5

)2

1201.5(99-400.5

0.5

)2

400.5=75.41+226.22=301.63(4)查χ2值表,當(dāng)df=1時,χ20.05

=3.84?,F(xiàn)實得χ2c

=301.63>χ20.05

,故應(yīng)否定H0

,接受HA

,即認(rèn)為鯉魚體色F2分離不符合3:1比率。第五章χ2檢驗F2代,共556粒31510110832豌豆?此結(jié)果是否符合自由組合規(guī)律根據(jù)自由組合規(guī)律,理論分離比為:第五章χ2檢驗豌豆雜交實驗F2分離結(jié)果黃圓黃皺綠圓綠皺實際觀測數(shù)O理論頻數(shù)P理論數(shù)EO-E(O-E)2/E

3159/16312.752.250.0161013/16104.25-3.250.1011083/16104.253.750.135321/1634.75-2.750.218方法一(1)H0

:豌豆F2分離符合9:3:3:1的自由組合規(guī)律;

HA

:豌豆F2分離不符合9:3:3:1的自由組合規(guī)律;(2)取顯著水平α

=0.05第五章χ2檢驗(3)計算統(tǒng)計數(shù)χ2值:χ2

=0.016+0.101+0.135+0.218=0.470(4)查值表,進(jìn)行推斷:df=4-1=3χ2<χ20.05P>0.05接受H0

,即豌豆F2分離符合9:3:3:1的自由組合規(guī)律。第五章χ2檢驗方法二31510110832χ2

=0.016+0.101+0.135+0.218=0.470第五章χ2檢驗第三節(jié):獨立性檢驗一、獨立性檢驗的意義

對次數(shù)資料,除進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗外,有時χ2檢驗的理論值事先并不知道,而需要從樣本資料中去推算,分析兩類因子是相互獨立還是彼此相關(guān)。

具體的做法是,考慮樣本中的各處理之間是否有關(guān)聯(lián),根據(jù)它們之間無關(guān)聯(lián)的假設(shè)計算理論數(shù),在一定的自由度下以顯著性水平α做推斷,若拒絕無關(guān)聯(lián)的假設(shè),則處理之間的差異是顯著的。第五章χ2檢驗1、根據(jù)次數(shù)資料判斷兩類因子彼此相關(guān)或相互獨立的假設(shè)檢驗就是獨立性檢驗。2、獨立性檢驗實際上是基于次數(shù)資料對因子間相關(guān)性的研究。此時假設(shè):HO:兩類因子相互獨立。HA:兩類因子彼此相關(guān)。(一)意義第五章χ2檢驗1、獨立性檢驗的次數(shù)資料是按兩因子屬性類別進(jìn)行歸組。根據(jù)兩因子屬性類別數(shù)的不同構(gòu)成2×2、2×c、r×c列聯(lián)表(r為行因子的類別數(shù),c為列因子的類別數(shù))。(二)獨立性檢驗與擬合優(yōu)度檢驗的區(qū)別:而擬合優(yōu)度檢驗只按某一因子的屬性類別如性別、表現(xiàn)型等將次數(shù)資料歸組。第五章χ2檢驗2、擬合優(yōu)度檢驗按已知的理論或?qū)W說計算理論次數(shù)。獨立性檢驗的理論次數(shù)是在兩因子相互獨立的假設(shè)下計算的。3、在擬合優(yōu)度檢驗中確定自由度時,只有一個約束條件:自由度為屬性類別數(shù)減1(k-1)。在r×c列聯(lián)表的獨立性檢驗中:自由度為(r-1)(c-1)第五章χ2檢驗理論次數(shù)是在兩因子相互獨立的假設(shè)下根據(jù)樣本數(shù)據(jù)的比例進(jìn)行計算:(三)理論次數(shù)的計算方法格所在列總數(shù)*格所在行總數(shù)某格理論次數(shù)=總總數(shù)第五章χ2檢驗給藥方式有效無效總數(shù)口服注射586440319895總數(shù)12271193例如:第五章χ2檢驗1、先將資料整理成列聯(lián)表(四)獨立性檢驗的步驟2、提出無效假設(shè)與備擇假設(shè)HO:給藥方式與給藥效果無關(guān),即兩類因子相互獨立。HA:給藥方式與給藥效果有關(guān),即兩類因子彼此相關(guān)。3、計算理論次數(shù)4、計算χ2或χc2值5、由自由度df=(r-1)(c-1)查臨界χ2值,作出統(tǒng)計推斷第五章χ2檢驗二、獨立性檢驗的方法獨立性檢驗的定義2×2列聯(lián)表的獨立性檢驗2×c列聯(lián)表的獨立性檢驗r×c列聯(lián)表的獨立性檢驗第五章χ2檢驗(一)2×2列聯(lián)表的獨立性檢驗

設(shè)A,B是一個隨機(jī)試驗中的兩個事件,其中A可能出現(xiàn)r1

、r2個結(jié)果,B可能出現(xiàn)c1、c2個結(jié)果,兩因子相互作用形成4格數(shù),分別以O(shè)11

、O12、O21

、O22表示,下表是2×2列聯(lián)表的一般形式

行列c1c2總和r1r2O11O21O12O22R1=O11+O12R2=O21+O22總和C1=O11+O21C2=O12+O22T2×2列聯(lián)表的一般形式第五章χ2檢驗給藥方式有效無效總數(shù)有效率口服注射5864403198(R1)95(R2)59.2%67.4%總數(shù)122(C1)71(C2)193(T)給藥方式與給藥效果的2×2列聯(lián)表1.H0

:給藥方式與給藥效果相互獨立。HA

:給藥方式與給藥效果有關(guān)聯(lián)。2.給出顯著水平α=0.05第五章χ2檢驗E11=R1×C1/T=61.95E12=R1×C2/T=36.05E21=R2×C1/T=60.05E22=R2×C2/T=34.95給藥方式有效無效總數(shù)口服注射58(61.95)64(60.05)40(36.05)31(34.95)98(R1)95(R2)總數(shù)122(C1)71(C2)193(T)給藥方式與給藥效果的2×2列聯(lián)表3.計算各個理論數(shù)Eij=Ri×Cj/T=行總數(shù)×列總數(shù)/總數(shù)第五章χ2檢驗3、計算χ2值:

由于df=(r-1)(c-1)=(2-1)(2-1)=1,故所計算的χ2值需進(jìn)行連續(xù)性矯正:4.查χ2表,當(dāng)df=1時,χ20.05

=3.841,而χ2c=0.863<χ20.05

,P>0.05,應(yīng)接受H0

,拒絕HA

,說明給藥方式與給藥效果相互獨立.第五章χ2檢驗(二)2×c列聯(lián)表的獨立性檢驗

行列12C合計12O11O21O12O22O1cO2cR1R2合計C1C2CcT2×c列聯(lián)表的一般形式由于df=(2-1)(c-1)≥2,故計算值時不需作連續(xù)性矯正第五章χ2檢驗檢測甲、乙、丙三種農(nóng)藥對煙蚜的毒殺效果,結(jié)果如下,使分析這三種農(nóng)藥對煙蚜的毒殺效果是否一致?甲乙丙合計死亡數(shù)未死亡數(shù)37150491002357109307合種農(nóng)藥毒殺煙蚜的死亡情況例子第五章χ2檢驗1.H0

:對煙蚜毒殺效果與農(nóng)藥無關(guān),農(nóng)藥類型間互相獨立;HA

:二者有關(guān)2.取顯著水平α=0.053.統(tǒng)計數(shù)的計算第五章χ2檢驗第五章χ2檢驗理論值的計算:甲乙丙合計死亡數(shù)未死亡數(shù)37(49.00)150(138.00)49(39.04)100(109.96)23(20.96)57(59.04)109307合2值的計算:第五章χ2檢驗(4)查χ2值表,進(jìn)行推斷查χ2表,當(dāng)df=(2-1)(3-1)=2時,χ20.05=5.99,現(xiàn)實得χ2=7.694>χ20.05,則拒絕H0

,接受HA

,說明三種農(nóng)藥對煙蚜的毒殺效果不一致。第五章χ2檢驗簡便計算公式甲乙丙合計死亡數(shù)未死亡數(shù)37(49.00)150(138.00)49(39.04)100(109.96)23(20.96)57(59.04)109307合五章χ2檢驗第五章χ2檢驗(三)r×c列聯(lián)表的獨立性檢驗

行列12C合計12rO11O21Or1O12O22Or2O1cO2cOrcR1R2Rc合計C1C2CcT

r×c列聯(lián)表是指r≥3、c≥3的計數(shù)資料,上表是r×c列聯(lián)表的一般形式。df=(r-1)(c-1)>1,故不需進(jìn)行連續(xù)性矯正。第五章χ2檢驗r×c列聯(lián)表的計算公式:i=1,2,…,rj=1,2,…,c第五章χ2檢驗例某醫(yī)院用碘及治療地方性甲狀腺腫,不同年齡的治療效果列于下表,試檢驗不同年齡的治療效果有無差異?年齡(歲)治愈顯效好轉(zhuǎn)無效合計11~3031~5050以上67321092311102023545917949合計109435314219不同年齡用碘劑治療甲狀腺腫效果比較第五章χ2檢驗1.H0

:治療效果與年齡無關(guān);HA

:治療效果與年齡有關(guān),即不同年齡治療效果不同;2.給出顯著水平α=0.01第五章χ2檢驗3.計算統(tǒng)計數(shù)χ2

:年齡(歲)治愈顯效好轉(zhuǎn)無效合計11~3031~5050以上67321092311102023545917949合計109435314219第五章χ2檢驗4.查χ2表,當(dāng)df=(3-1)×(4-1)=6時,χ20.01=16.81,所以χ2=46.988>χ20.01,P<0.01,應(yīng)拒絕H0

,接受HA,說明治療效果與年齡有關(guān)。第五章χ2檢驗

在治療效果與年齡有關(guān)的基礎(chǔ)上,可以將下面的3×4列聯(lián)表做成3個2×4列聯(lián)表

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