最大角米勒角問(wèn)題（學(xué)生版）-2024年中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)壓軸題

最大角米勒角問(wèn)題

一、知識(shí)導(dǎo)航

【問(wèn)題描述】

1471年，德國(guó)數(shù)學(xué)家米勒向諾德?tīng)柼岢鲞@樣一個(gè)問(wèn)題：

如圖，點(diǎn)A、B直線/的同一側(cè)，在直線/上取一點(diǎn)尸，使得/AP2最大，求尸點(diǎn)位置.

【問(wèn)題鋪墊】

圓外角：如圖，像NAPB這樣頂點(diǎn)在圓外，兩邊和圓相交的角叫圓外角.

相關(guān)結(jié)論：圓外角等于這個(gè)角所夾兩條弧的度數(shù)差（大減小）的一半.

4口圖，ZP=ZACB-ZPBC=AB~CD.

換句話說(shuō)，對(duì)同一個(gè)圓而言，圓周角>圓外角.

【問(wèn)題解決】

結(jié)論：當(dāng)點(diǎn)尸不與A、B共線時(shí)，作△出^的外接圓，當(dāng)圓與直線/相切時(shí)，NAPB最大.

證明：在直線/上任取一點(diǎn)M（不與點(diǎn)尸重合），連接AM、BM,

/AMB即為圓。的圓外角，

NAPB>/AMB,AAPB最大.

二當(dāng)圓與直線/相切時(shí)，/AP8最大.

特別地，若點(diǎn)A、8與P分別在一個(gè)甭的兩邊，如下圖，則有OP2=Q4-O3.(切割線定理)

證明：:NPOA=NBOP,NOB4=NO8P(弦切角定理)

.,.△AOPSAPOB,

,OAOP

?麗一礪’

OP2=OAOB.

即可通過(guò)0A、。8線段長(zhǎng)確定。尸長(zhǎng)，便知尸點(diǎn)位置.

二、典例精析

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(1,0)、B(5,0)直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(-1,2),點(diǎn)P是直線/上的動(dòng)點(diǎn)，若

/AP8的最大值為45°,求直線/的解析式.

【分析】

考慮到直線/未知但NAPB的最大值已知為45°,故構(gòu)造圓.

記△A3P外接圓圓心為M點(diǎn)，則NAM3=2/AP3=90°,

故可確定Af點(diǎn)位置.

根據(jù)A(1,0)、B(5,0),不難求得M點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2),

連接MC、MP,考慮到圓M與直線CP相切，故MP^CP,△CPM是直角三角形.

\MC=4,MP=MA=2yf2,

:.CP=2垃,即△CPM是等腰直角三角形，

易求產(chǎn)點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4),

又C點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,2),

可求直線I的解析式為j=x+3.

三、中考真題演練

1.如圖，拋物線》=以2+法+3與x軸交于A(-1,0)^B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)。作CD_Ly軸交拋

物線于另一點(diǎn)。，作。EJ_尤軸，垂足為點(diǎn)E,雙曲線y=9(x>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)。，BD.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)。出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿0C方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為r秒，當(dāng)r為何值時(shí),

ZBPD的度數(shù)最大？(請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)果)

備用圖

2.(2023?四川宜賓?中考真題)如圖,拋物線工加+法+c與x軸交于點(diǎn)A(TO)、3(2,0),且經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(-2,6).

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)在尤軸上方的拋物線上任取一點(diǎn)N,射線AN、3N分別與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)尸、Q,點(diǎn)。關(guān)于x軸

的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為。'，求△APQ'的面積；

⑶點(diǎn)〃是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)—4WC最大時(shí)，求M的坐標(biāo).

(4)點(diǎn)。是拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)NOQA的值最大時(shí)，點(diǎn)。的坐標(biāo)為：(直接填空)

4.(2019?山東淄博?一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=a(x-1)(尤-5)(a>0)的圖象與x

軸交于A、8兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè))，與y軸交于P點(diǎn)，過(guò)其頂點(diǎn)C作直線軸于點(diǎn)H.

(1)若NAPB=30。，請(qǐng)直接寫(xiě)出滿(mǎn)足條件的點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)/APB最大時(shí)，請(qǐng)求出a的值；

5.(2018?浙江寧波?一模)已知，如圖1,。是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y="2+Zzx+c((#0)經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn),

軸于點(diǎn)A,AB=2,A0=4,OC=5,點(diǎn)D是線段A。上一動(dòng)點(diǎn)，連接C。、BD.

(1)求出拋物線的解析式;

6.(2015?福建泉州?一模)如圖，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A(-l,0)的拋物線y=f-a-3與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)

為B，與J軸交于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為。點(diǎn).

（2）連結(jié)皮）、CD，動(dòng)點(diǎn)。的坐標(biāo)為（也1）.

②連結(jié)。2、CO,當(dāng)NCQ。最大時(shí)，求出點(diǎn)2的坐標(biāo).

7.（2023?廣東深圳?一模）船在航行過(guò)程中，船長(zhǎng)常常通過(guò)測(cè)定角度來(lái)確定是否會(huì)遇到暗礁.如圖1,A,B

表示燈塔，暗礁分布在經(jīng)過(guò)A,8兩點(diǎn)的一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)，優(yōu)弧A3上任一點(diǎn)C都是有觸礁危險(xiǎn)的臨界點(diǎn)，

—4CB就是“危險(xiǎn)角”.當(dāng)船尸位于安全區(qū)域時(shí)，它與兩個(gè)燈塔的夾角與“危險(xiǎn)角”/ACS有怎樣的大小

（1）數(shù)學(xué)小組用已學(xué)知識(shí)判斷/。與“危險(xiǎn)角”/ACS的大小關(guān)系，步驟如下：如圖2,AP與。。相交于點(diǎn)

連接8。，由同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，可知？ACB1ADB,

NADS是△&）尸的外角，

:.ZAPBZADB（填“>”，"=”或“<”），

.-.Z6Z/ACB（填“>”，"=”或“<”）；

（2）如圖3,已知線段A3與直線/,在直線/上取一點(diǎn)尸，過(guò)A、8兩點(diǎn)，作。。使其與直線/相切，切點(diǎn)為尸,

不妨在直線上另外任取一點(diǎn)。，連接A。、BQ,請(qǐng)你判斷/"B與NAQ8的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（3）一位足球左前鋒球員在某場(chǎng)賽事中有一精彩進(jìn)球，如圖4,他在點(diǎn)P處接到球后，沿PQ方向帶球跑動(dòng)，

球門(mén)A3=8米，。尸=8米，比>=16米，ZADC=90°,tanNQPC=l.該球員在射門(mén)角度（NWB）最大

時(shí)射門(mén)，球員在PQ上的何處射門(mén)？（求出此時(shí)PM的長(zhǎng)度.）

8.（2023?廣東深圳?一模）【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】

船在航行過(guò)程中，船長(zhǎng)常常通過(guò)測(cè)定角度來(lái)確定是否會(huì)遇到暗礁.如圖1,A,B表示燈塔，暗礁分布在經(jīng)

過(guò)48兩點(diǎn)的一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)，優(yōu)弧A3上任一點(diǎn)C都是有觸礁危險(xiǎn)的臨界點(diǎn)，/ACB就是“危險(xiǎn)角”.當(dāng)

船P位于安全區(qū)域時(shí)，它與兩個(gè)燈塔的夾角/口與“危險(xiǎn)角”NACB有怎樣的大小關(guān)系？

【解決問(wèn)題】

（1）數(shù)學(xué)小組用已學(xué)知識(shí)判斷與“危險(xiǎn)角”NACB的大小關(guān)系，步驟如下：

如圖2,AP與。。相交于點(diǎn)。，連接30,由同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，可知？ACB?ADB,

,/XADB是ABDP的外角，

:.NAPBNADB（填“>”，"=”或“<”），

Za/ACB（填“>”，"=”或“<”）；

【問(wèn)題探究】

（2）如圖3,已知線段AB與直線/,在直線/上取一點(diǎn)P,過(guò)A、8兩點(diǎn)，作。。使其與直線/相切，切點(diǎn)

為P,不妨在直線上另外任取一點(diǎn)。，連接AQ、BQ,請(qǐng)你判斷/A/喏與NAQ3的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

【問(wèn)題拓展】

（3）一位足球左前鋒球員在某場(chǎng)賽事中有一精彩進(jìn)球，如圖4,他在點(diǎn)尸處接到球后，沿PQ方向帶球跑動(dòng),

3

球門(mén)AB=7米，DP=7.5米，應(yīng)>=15.5米，NADC=90。，tanZQPC=~.該球員在射門(mén)角度最大

時(shí)射門(mén)，球員在PQ上的何處射門(mén)？（求出此時(shí)的長(zhǎng)度.）

9.（22-23九年級(jí)上?江蘇泰州?期末）【生活問(wèn)題】2022年卡塔爾世界杯比賽中，某球員P帶球沿直線接

近球門(mén)AB,他在哪里射門(mén)時(shí)射門(mén)角度最大？

【操作感知】小米和小勒在研究球員P對(duì)球門(mén)A2的張角時(shí)，在上取一點(diǎn)。，過(guò)A、B、。三點(diǎn)

作圓，發(fā)現(xiàn)直線"N與該圓相交或相切.如果直線與該圓相交，如圖1,那么球員P由M向N的運(yùn)動(dòng)

過(guò)程中，NAP3的大小：（填序號(hào)）

①逐漸變大；②逐漸變小；③先變大后變小；④先變小后變大

【猜想驗(yàn)證】小米和小勒進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)，如果直線與該圓相切于點(diǎn)。，那么球員尸運(yùn)動(dòng)到切點(diǎn)。時(shí)

NAPB最大,如圖2,試證明他們的發(fā)現(xiàn).

'要證乙4PB最大，就是要證MN上異于P點(diǎn)的其它所有點(diǎn)對(duì)4B的張角都小>>

MW