追及相遇模型（解析版）-2024-2025學年人教版高一物理專項復習

專題03追及相遇模型

模型講解

追及相遇問題的實質就是分析兩物體在相同時間內能否到達相同的空間位置。追及相遇問題

的基本物理模型：以甲追乙為例。

1.二者距離變化與速度大小的關系

(1)無論V單增大、減小或不變，只要V甲＜丫乙，甲、乙的距離就不斷增大。

⑵若丫甲=丫乙，甲、乙的距離保持不變。

⑶無論V用增大、減小或不變，只要V甲”乙，甲、乙的距離就不斷減小。

2.解答追及相遇問題的三種方法

情境分抓住“兩物體能否同時到達空間某位置”這一關鍵，認真審題，挖掘題目中的隱含

析法條件，建立一幅物體運動關系的情境圖

圖像分將兩個物體運動的速度一時間關系或位移一時間關系畫在同一坐標系中，然后利

析法用圖像分析求解相關問題

函數判設相遇時間為3根據條件列方程，得到關于位移x與時間r的函數關系，由此判

斷法斷兩物體追及或相遇情況

案例剖析'

------------------I

角度一：情境分析法

[例1]A、8兩車沿同一直線向同一方向運動,A車的速度VA=4m/s,2車的速度VB=10m/s。

當8車運動至A車前方工=7m處時，3車剎車并以°=-2m/s2的加速度開始做勻減速直

線運動。求：

(1)從該時刻開始計時，A車追上2車需要的時間；

(2)在A車追上8車之前，二者之間的最大距離。

【答案】(1)8s(2)16m

【解析】(1)假設A車追上8車時，8車還沒停止運動，設F時間內A車追上B車，如圖

所示。根據題意，A車追上8車，需要通過位移以=加+乙

A”

〃因“二"回”二〃”里

；-L--——%2

H-----以-----H

A車的位移是XA=V/

B車的位移是切=皿+?2

聯立解得r=7s

但B車停下來所用時間加=與"=紇?s=5s

a一2

比較F和打可知，A車是在2車停止運動后才追上8車的，因此7s不是A車追上2車的時

間，設A車追上8車的時間為/,即無A=VA/

3車實際運動時間應為加，即沖=四加十/詒

聯立解得f=8So

(2)在A車追上8車之前，當二者速度相等時，二者之間有最大距離AXmax，設此時兩車運動

時間為to,有VA=VB~\~ato

代入數據解得fo=3s

則此時4的位移x<=v"o

B的位移XB'=VBto+^aio

，，

故二者之間的最大距離Axmax=XB+L-XA

聯立解得Axmax=16mo

【方法總結】

1.情境分析法的基本思路

物體A追物體B,開始二者相距工。

—^VA~^VB

，力a意?忌說,

分析運

動過程

(1)4追上8時，必有"A=#O+XB，且

?A—B；

畫運動(2)恰好不相撞,必有彳A=XO+XB時

不意圖VA=VB,之后小WvB;

(3)4追不上8,必有力=。8時％A<

V

X0+XB,之后WB

兩個等量關系：即時間關系和位移

找出位(1)

移手系J關系,這兩個關系可以通過畫草圖得到;

(2)一個臨界條件：即二者速度相等，

它往往是物體能否追上或兩者相距最

I列日程)

遠、最近的臨界條件

2.特別提醒

若被追趕的物體做勻減速直線運動，一定要注意判斷被追上前該物體是否已經停止運動。

角度二圖像分析法

【例2】(多選)甲、乙兩車在一平直公路上從同一地點沿同一方向沿直線運動，它們的v—

f圖像如圖所示。下列判斷正確的是()

A.乙車啟動時，甲車在其前方25m處

B.乙車超過甲車后，兩車有可能第二次相遇

C.乙車啟動15s后正好追上甲車

D.運動過程中，乙車落后甲車的最大距離為75m

【答案】CD

【解析】根據v~t圖像中圖線與時間軸包圍的面積表示位移，可知乙在f=10s時啟動,

此時甲的位移為x=gxlOxlOm=50m,即甲車在乙前方50m處，故A錯誤；乙車超過甲

車后，由于乙的速度大，所以不可能再相遇，故B錯誤；由于兩車從同一地點沿同一方向

沿直線運動，設甲車啟動/兩車位移相等兩車才相遇，有?"二2°)*二1°<20

——《一-X10,解得r=25s,即乙車啟動15s后正好追上甲車，故C正確；當兩車的

速度相等時相距最遠，最大距離為Ax=Tx(5+15)x10m—/xlOx5nl=75m,故D正確。

【方法總結】

方法基本思路

數理定量畫圖時，需根據物體在不同階段的運動情況，通過定量計算分階段、分區(qū)間作

轉換出X-t圖像或V-t圖像等；或根據已知的運動圖像分析物體的運動情況

利用圖像中斜率、面積、截距、交點等的含義進行定性分析或定量計算，進而解決

用圖

相關問題

角度三函數分析法

函數分析法的解題技巧一在勻變速運動的位移表達式中有時間的二次方，可列出位移方程,

利用二次函數求極值的方法求解。

【例3】一汽車在直線公路上以54km/h的速度勻速行駛，突然發(fā)現在其正前方14m處有

一輛自行車以5m/s的速度同向勻速行駛。經過0.4s的反應時間后，司機開始剎車，貝。：

(1)為了避免相撞，汽車的加速度大小至少為多少？

(2)若汽車剎車時的加速度只為4m/s2,在汽車開始剎車的同時自行車開始以一定的加速度加

速，則自行車的加速度至少為多大才能保證兩車不相撞？

【答案】(1)5m/s2(2)1m/s2

【解析】⑴設汽車的加速度大小為初速度口汽=54km/h=15m/s,初始距離d=14m

在經過反應時間0.4s后，汽車與自行車相距

d'=d—(y汽—v自)r=10m

從汽車剎車開始計時，自行車的位移為工自=口自.

汽車的位移為%汽=u汽

假設汽車能追上自行車，此時有x汽=x自+/

代入數據整理得/2T10=0

要保證不相撞，即此方程最多只有一個解，即得

J=102-20a<0

解得介5m/s2,則汽車的加速度至少為5m/s2。

（2）設自行車的加速度為d,同理可得

X汽'=%自'+"

其中x汽'=丫汽/一：。產，xd'=v^t+^a't1

整理得6+2）戶―10f+10=0

要保證不相撞，即此方程最多只有一個解，即得

^=102-20^-80<0

解得a'>\m/s2,則自行車的加速度至少為1m/s2?

【方法總結】

函數分析法討論相遇問題的思路

設運動時間為/,根據條件列方程，得到關于二者之間的距離Ar與時間t的二次函數關系，

Ax=O時，表示兩者相遇。若J>0,即有兩個解，說明可以相遇兩次；若/=0,即有一個

解，說明剛好追上或相遇；若/<0,無解，說明追不上或不能相遇。當/=—為時，函數有

極值，代表兩者距離的最大值或最小值。

綜合應用

一、單選題

1.兩輛汽車A、B沿同一條直線同向運動，B車在前面遇到緊急情況剎車，剎車開始時兩

車相距s=30m,后面的汽車A一直做勻速直線運動，它們的VT圖像如圖所示，則（）

B.0~ls的過程中，兩車間的距離在減小

C.r=5s時A、B車相遇D.A、B車相遇的時刻在5s之后

【答案】D

【詳解】ACD.由題圖可知，A車做勻速直線運動，速度大小為以=12m/s,B車做勻減速

直線運動，初速度大小為％°=16m/s,加速度為

22

^=^zl6m/s=-4m/s

At1

故B車剎停所用的時間為

I"

B車剎停所走的位移大小為

SBO=V?=32m/時間內A車的位移大小為

2aB

SAO=SBO=48m

B車剎停時，由

xA0-Ho=16m<30m

故此時A、B車未相遇，A、B車在B車剎停位置相遇，故從B車開始剎車到A、B車相遇,

A車行駛的總位移大小為

sA=SBO+30m=62m

故A、B車相遇的時刻為

故AC錯誤，D正確；

B.0?1s的過程中，B車的速度一直大于A車的速度，因此兩車間的距離在增大，故B錯

誤。

故選D。

2.大霧天氣，一輛貨車正在平直的公路上勻速行駛，某時刻，貨車司機發(fā)現前方50m遠處

一輛小汽車正在向前勻速行駛，貨車司機立即剎車，剎車后貨車運動的"2一》圖像如圖所示,

剎車后貨車與小汽車的最小距離為25m,下列說法正確的是（）

A.貨車剎車后的加速度大小為4m/s2B.小汽車勻速行駛的速度大小為12m/s

C.貨車剎車5s后貨車與小汽車的距離最小D.貨車停下時貨車與小汽車的距離為

75m

【答案】C

【詳解】A.由

V~-VQ=~~2ux

結合圖像數據可知，貨車的初速度為％=20m/s,貨車剎車后的加速度大小為

故A錯誤；

BC.兩車速度相等時，距離最小，則有

vn=v0-at

12

vot--at~-v^t=50m-25m=25m

聯立可得

t=5s,v汽=10m/s

故B錯誤，C正確;

D.貨車從剎車到停下所用間為

t=—=10s

0a

貨車停下時貨車與小汽車的距離為

Ax=+50m-//0=50m

故D錯誤。

故選Co

3.隨著自動駕駛技術不斷成熟，北京、上海等城市某些特定地區(qū)相繼出現無人駕駛網約車,

給市民出行帶來方便。甲、乙兩輛無人駕駛汽車在平直公路上從同一地點同時出發(fā)，兩車位

移x和時間f的比值土與時間t之間的關系如圖所示，下列說法正確的是（）

A.乙車的加速度大小為Im/s?B.3s末兩車速度相同

C.乙車速度為6m/s時，甲車速度為9m/sD.甲車追上乙車前，兩車間最遠距離為

9m

【答案】D

【詳解】AB.根據

12

x=vot+—at

可得

x1

一=VQH—at

由圖像可知，甲車初速度為零，加速度

可得

?7=6m/s2

乙車的初速度

vo2=12m/s

加速度

19-12

可得

tZ2=-2m/s2

兩車速度相同時

印=心+

解得

/=1.5s

選項AB錯誤；

C.乙車速度為6m/s時，即

6m/s=12-2f]

解得

力二3s

此時甲車速度為

悔=砧=18m/s

選項C錯誤；

D.甲車追上乙車前，兩車速度相等時距離最遠，則最遠距離為

1212c

x=/aj——4，=9m

選項D正確。故選D。

二、多選題

4.假設高速公路上甲、乙兩車在同一車道上同向行駛。甲車在前，乙車在后，速度均為vo=

30m/s,距離s°=100m。f=0時刻甲車遇緊急情況后，甲、乙兩車的加速度隨時間變化關

系如圖1、2所示。取原運動方向為正方向。下面說法正確的是（）

A.f=3s時兩車相距最近

B.0~9s內兩車位移之差為45m

C.0~9s內兩車距離最近為10m

D.兩車在0~9s內會相撞

【答案】BC

【詳解】由加速度一時間圖像可畫出兩車的速度一時間圖像，如圖所示

AC.由圖像可知，f=6s時兩車同速，此時距離最近，圖中陰影部分面積為0~6s內兩車

位移之差

Ar=—x30x3m+—x30x(6-3)m=90m

22

則0~9s內兩車相距最近的距離為

Ns=Sq-Ax=10m

故A錯誤，C正確；

B.0~9s內兩車位移之差為

t\x=—x30x3m=45m

2

故B正確；

D.因為兩車相距最近的距離為10m,所以兩輛車不會相撞，故D錯誤。

故選BC。

5.甲、乙兩車在平直公路上同向行駛，其中VI圖像如圖所示。已知兩車在f=3s時并排行

A.在t=ls時，甲車在乙車后

B.在"0時，甲車在乙車后7.5m

C.兩車另一次并排行駛的時刻是/=Is

D.甲、乙車兩次并排行駛的位置之間沿公路方向的距離為40m

【答案】CD

【詳解】B.vT圖像中，圖線與坐標軸圍成的面積代表物體位移，已知兩車在t=3s時并

排行駛，在0~3s內有

漏佝產型x32m=45m

個2甲22

12CI20-10-2UC-

x7-vyt+—ayt-10x3m+—x---------x3m=52.5m

乙乙222

所以,=0時甲車在前，距乙車的距離為

%%乙一將=7.5m

故B錯誤;

AC.在0~ls內有

茶」以12m=5m

《2呻22

,,I,2,I20-1012…

^=v^+-^-=l0xl+-x^xl-m=l2.5m

此時甲乙兩車相距

Ax=九乙一%甲一％°=0m

所以另一次并排行駛的時刻為t=ls,故A錯誤，C正確；

D.甲、乙車兩次并排行駛的位置之間沿公路方向的距離為

L=玄一壇=40m

故D正確。故選CD。

三、解答題

6.一汽車在直線公路上以72km/h的速度勻速行駛，突然發(fā)現在其正前方升=40m處有一輛

自行車以4m/s的速度同向勻速行駛。司機經過2=0.5s的反應時間后，開始剎車。求：

(1)汽車開始剎車時，兩車之間的距離；

(2)為了避免相撞，汽車剎車的最小加速度大??；

(3)若汽車剎車時的加速度大小為4=2m/s2,在汽車開始剎車的同時，自行車開始以大小為

g=lm/s2的加速度做勻加速直線運動，但自行車的最大速度大小為8m/s,判斷兩車是否相

撞。若相撞，說明理由；若不相撞，則兩車的最小距離。

【答案】⑴Ax=32m(2)fl=4m/s2(3)兩車相撞，見解析

【詳解】(1)汽車的速度大小為

72

v.=——m/s=20m/s

13.6

則汽車開始剎車時，兩車之間的距離為

Ax=/_(匕=32m

(2)分析可知，當汽車速度與自行車速度相等時，兩者距離最近

設汽車剎車后經過時間3兩車速度相等，有

A%+M

Ax=.2211-xy

解得

/=4s

根據速度一時間公式，有

v2=vi-at

解得汽車剎車的最小加速度大小為

a=4m/s2

(3)設經過時間％,自行車達到最大速度，有

V3=V2+初

解得

%=4s

設經過時間馬，兩車速度相等，有

匕="一。也

解得

弓=6s>fj

汽車的位移大小為

演=v\{tG+t2)~~^a]t2=94m

自行車的位移大小為

x2=v2t0+"；"j+v3&-%)=42m

因

%=94m>x0+x2=82m

故兩車相撞。

7.學校運動會中，4x100m接力賽是最為激烈的比賽項目之一。甲、乙兩運動員在交接棒

的過程中，甲在接力區(qū)前無。處作了標記，當甲跑到此標記時向乙發(fā)出起跑口令，乙在接力

區(qū)的前端聽到口令時立即起跑(忽略聲音傳播的時間及人的反應時間)，先以a=4m/s2的加

速度做勻加速直線運動，速度達到與甲相同時被甲追上，完成交接棒(忽略交接棒時間)，

然后保持這個速度跑完全程。已知乙運動員跑完接力區(qū)所用時間為f=3s,甲、乙兩運動員

的最大速度均為v=8m/s,甲運動員一直以最大速度做勻速直線運動，求：

:彳?

H/N接蕨

⑴%大小；

(2)接力區(qū)的長度小

【答案】⑴%=8m(2)￡=16m

【詳解】(1)根據勻變速直線運動速度一時間公式，有

v=atx

解得乙加速的時間為

%=2s

乙加速的位移大小為

Vc

玉=”=8m

甲追上乙時，甲的位移大小為

x=vtx=16m

根據位移關系，可知甲追上乙時，有

X=

解得

=8m

(2)乙勻速的時間為

t2=t—t[=Is

乙勻速的位移大小為

x2=vt2=8m

則接力區(qū)的長度為

L=XX+X2=16m

8.汽船甲在霧中以大小/=20m/s的恒定速度沿直線航行，某一時刻汽船甲拉響汽笛，經過

f°=3s,聽到了由正前方的障礙物傳來的回聲。聲音在空氣中傳播的速度v=340m/s,將汽

船視為質點。

⑴若障礙物為山峰，求汽船甲接收到回聲時與山峰之間的距離。;

⑵若障礙物為以大小丹=34m/s的恒定速度相向駛來的汽船乙，求汽船甲接收到回聲時與汽

船乙之間的距離4；

(3)若在(2)中情況下，汽船乙的運動不變，汽船甲接收到回聲后急轉彎以免與汽船乙相撞，

求汽船甲接收到回聲到采取急轉彎措施的時間t應滿足的條件。

【答案】(1)乙=480m(2)A2=432m⑶r<8s

【詳解】(1)設汽船甲拉響汽笛時與山峰之間的距離為%,有

2L0=V%+恬

解得

Lo=540m

經分析可知

L]=L。一卬°

解得

L]=480m

(2)設從汽船甲拉響汽笛至汽船乙接收到汽笛聲的時間為有

vf=v(r0-f)+v1r0

解得

經分析可知

J=v(r0-f)-v2(?0-^)

解得

L2=432m

（3）汽船甲與汽船乙不會相撞需滿足的條件為

（匕+嶺），<12

9.長為4.5m的警車在公路上以108km/h的速度勻速行駛進行巡視，某時刻發(fā)現并行車道前

方一輛長17.5m的大貨車疑似超速行駛，此時貨車車尾距警車車頭25m,如圖所示，警員于

是立刻踩動油門加速追趕。為了安全，警車需行駛到車尾距貨車車頭前50m距離處，和貨

車同速行駛進行示意停車，這段時間貨車一直勻速。被示意停車后，測得貨車勻減速剎車過

程中，第3秒內位移為20m,第13秒內位移為0.25m。警車加速、減速時均以2.5m/s2的

加速度行駛，警車的最大速度為126Am/h。

+25m—；貨車

警車

⑴如果貨車限速80初7/h,判斷貨車是否超速；

（2）求警車從開始加速至少經過多長時間才能到達題中50m距離處同速行駛；

（3）警車示意停車后即開始剎車，貨車司機看到示意后，反應時間為2s；若貨車初速度不變，

最后能停在警車車尾5m的范圍內，求貨車勻減速剎車時的加速度大小需滿足的條件。

195

【答案】.⑴已超速（2）10.2s（3）不7向$2<a貨

1lo116

【詳解】（1）由于貨車第13秒內位移與第3秒內位移之比為

^=—<—

x38019

所以，貨車在第13秒內停止，設貨車的加速度為4,貨車在第12秒又運動了時間停止,

則

聯立，解得

2

t0=0.5s,%=2m/s

所以，貨車的初速度為

%=q(J+12s)=25m/s=90km/h>80km/h

所以，貨車已超速。

(2)警車的初速度為%'=108km/h=30m/s,警車達到的最大速度為%=126km/h=35m/s,

警車達到最大速度所需時間為

「上宜=2s

這段時間內警車的位移為

f

%="；%%=65m

貨車的位移為

x2=貼=50m

因為

Ax=%+A/+d警+d貨+%一xi

其中

x0=25m,x()'=50m

解得

Ax=82m>0

所以，此后警車以最大速度勻速運動，繼續(xù)運動時間為

t2=Ax=8.2s

%一%

所以，警車運動時間為

t=tx+t2=10.2s

(3)警車剎車后的位移為

&=%=245m

32a

則貨車運動的位移為

245m+50m-5m<x4<245m+50m

即

290m<x4<295m

當％=295m時

2X4118

當％=290m時

<=^m/s2

25116

由于貨車的加速度小于警車的加速度，兩車共速時不會相撞，所以，貨車的加速度大小應滿

足

118貨116

10.a、b兩個物體在水平面上以相同的初速度同時開始運動，初始時。在心前方4.5m處,

圖中的兩條直線分別表示。、b兩物體的速度一時間圖像，4s后a物體保持靜止，試求解以

⑴2s末時，6物體速度的大?。?/p>

(2)6s末時，°、6間的距離為多少。

【答案】(l)7.5m/s(2)33m

【詳解】(1)由圖可得，。的加速度為

a=-=—―-m/s2=0.75m/s2

b8

則，2s末Z?物體的速度為

u=%+卯=(6+0.75x2)m/s=7.5m/s

(2)由u—圖像的面積表示位移可知，〃物體的位移為

6x4

%=-y-m=12m。物體的位移為

12

xb=vQt6+—at6=49.5m

所以，6s末時，a.6間的距離為

d=\x0+xa-x^

其中

x0=4.5m

解得

d=33m

11.某高速公路同一直線車道上有兩輛同向勻速行駛的汽車甲、乙，其速度大小分別為

匕=40m/s,v2=26m/s。某時刻甲車在與乙車距離x0時發(fā)現前方乙車制動，乙車制動時加速

度大小為電=2.5m/s2,為避免事故，甲車司機在經歷=0.4s的反應時間后立即采取制動

措施。已知甲車以匕=40m/s在平直公路上行駛，制動時要經過x=160m才能停下來。

(1)甲車制動時的加速度大小q是多少？

(2)通過計算分析為保證兩車安全，無。最小值為多少？

(3)若乙車僅制動f=2.8s后立即以大小為名=4m/s,的加速度開始做勻加速直線運動,從乙

車制動開始經多長時間兩車速度相等？此相等速度大小為多少？

【答案】⑴%=5m/s2(2)50.8m(3)3.8s；23m/s

【詳解】(1)轎車經過s=160m才停下來的過程，根據

V：=2a、s

轎車剎車過程的加速度大小為

2

ax-5m/s

(2)經過to=O.4s的反應時間后，乙車的速度為

V乙二也-。2%

可得

v乙二25m/s

此后歷時力兩車的速度相等，即

口共=匕_a/i=?乙一々2%

得

%=6s,v共=10m/s

甲車前進的距離

匕+V共

%=卬0+2、4

解得

%尸166m

乙車前進的距離

%=22乂（…）

解得

X2=115.2m

可知

xom：2=5O.8m

(3)乙車制動占2.8s后,甲車此時速度為

V3=vi-ai(t-to)

得

V3=28m/s

乙車此時速度為

V4=V2-a2t

得

V4=19m/s

設此后再經過f2,兩車速度相等V,則

V=V3-ait2=V4^-a3t2

解得

fe=ls

所以

/總二￡+/2=3.8s,v=23m/s

12.汽車A以％=4m/s的速度向右做勻速直線運動，發(fā)現車頭前方相距x°=7m處，有以

%=10m/s的速度同向運動的汽車B正開始剎車做勻減速運動直到靜止后保持不動，其剎

車的加速度大小a=2m/s2。從剛剎車開始計時。求:

(1)A追上B前，A、B間的最遠距離；

⑵經過多長時間A恰好追上B；

(3)B車以某一速度運動時,在B車車廂底板距離后壁/=5cm處有一玩具小車(可視為質點)

從靜止開始以加速度q=2m/s2向前加速運動，止匕時B車將以加速度出=13m/s?減速，玩

具小車若與B車共速或碰到后壁就會被固定。求B車的最小初速度是多少時，玩具小車在

B車中滑動時間最長？

【答案】(l)16m(2)8s(3)逅m/s

2

【詳解】(1)設經過時間〃，B的速度減至與A的速度相等，止匕時A、B間的距離最遠，則

VA=VB-atl

解得

ti=3s

則A追上B前，A、B間的最遠距離為

1，

+x0-vAti

代入數據解得

Ax尸16m

(2)B停止運動時需要時間

t0=—=5s

a

位移

—二25m

20

則A追上B的時間

x+x_7+25

0BQs=8s

4

(3)當玩具車恰到達車廂后壁時恰好共速，此時

印=v—a2t

121,27

vt—-—-Clyt—/

解得

v=—m/s

2

13.為迎接市高中男子足球聯賽，學校足球隊演練了“邊路突破，下底傳中”的戰(zhàn)術，即攻方

隊員帶球沿邊線前進，到底線附近進行傳中。如圖所示，足球場長100m、寬75m,攻方前

鋒小張在中線處將足球沿邊線向前踢出，足球在地面上的運動可視為初速度大小%=9m/s、

加速度大小/=Im/s?的勻減速直線運動。

100m.

邊線

(1)若無人觸及被踢出后的足球，求足球做勻減速直線運動的時間4并判斷此種情況下足球

是否會滾出底線；

(2)若在足球踢出的同時，小張沿邊線向前追趕足球，追趕過程的運動可視為初速度為零、

加速度大小a=2m/S?的勻加速直線運動，求他追上足球前與足球間的最大距離/ax；

(3)若在(2)中情況下，小張的速度增大到最大速度%”=8m/s后，以此最大速度做勻速直

線運動，請通過計算判斷他能否在足球停下前追上足球。

【答案】(l"o=9s,不會⑵％=13.501(3)能

【詳解】(1)根據勻變速直線運動的規(guī)律有

%=at0

解得

=9s

足球通過的距離

xo-yro

解得

x0=40.5m

因為

x0<50m

所以足球不會滾出底線。

(2)由題意分析知，當小張和足球的速度相等時，他與足球間的距離最大，設從他將球踢

出到他與足球的速度相等的時間為4,有

atx=%—L

解得

%=3s

經分析可知

1212

Xmax=貼一耳卬1一萬或1

解得

"max=13.5m

（3）設從小張將球踢出到他達到最大速度的時間為弓，有

at

%ax=2

解得

t2=4s

在時間內，小張通過的距離

解得

xt=16m

此后，小張以最大速度做勻速直線運動，假設他恰好在足球停下時追上足球，則他做勻速直

線運動通過的距離

解得

x2=40m

因為

Xj+X2>Xg

所以小張能在足球停下前追上足球。

14.一輛長途客車正在以vo=2Om/s的速度勻速行駛。突然，司機看見車的正前方34m處有

一只狗，如圖甲所示(仁0),長途客車的速度時間圖像如圖乙所示。

|v/(m-s-1)

20

00.54.5t/s

甲乙

(1)求長途客車從司機發(fā)現狗至停止運動的這段時間內前進的距離;

(2)求長途客車制動時的加速度;

(3)若狗正以v/=4m/s的速度與長途客車同向奔跑，狗能否擺脫被撞的噩運?

【答案】(l)50m(2)5m/s2,方向與速度方向相反(3)能

【詳解】(1)由題圖乙可知，長途客車從司機發(fā)現狗至停止運動的這段時間內前進的距離等

于VI圖線與時間軸所圍成的面積，即

x=[20x0.5+；x20x(4.5-0.5)]m=50m

(2)長途客車制動時的加速度為

”包=上生命7mzs,

At4.5-0.5

即加速度的大小為5m/s2,方向與速度方向相反;

(3)當客車由vo=2Om/s減速到v/=4m/s時，需要的時間為

匕型s=3.2s

a—5

司機從看到狗到速度減為V7=4m/s所通過的位移為

=20x0.5+x3.2m=48.4m

22

狗通過的位移為

x2=匕?(△/+，)=4x(0.5+3.2)m=14.8m

由于

x2+x0>玉

所以狗能擺脫被撞的噩運。

15.一列貨車以8m/s的速度在平直鐵路上運行，由于調度失誤，在后面某處有一列快車以

20m/s的速度向它靠近。快車司機發(fā)覺后立即制動，制動的加速度大小為0.12m/s2,若兩車

恰好不相撞(貨車速度保持不變)，求：

(1)快車從制動至兩車恰好不相撞所用時間；

(2)快車剛開始制動時兩車相距的距離；

(3)若快車開始制動時距離貨車300m,貨車應至少以多大的加速度作加速運動才能避免兩車

相撞。

3

【答案】⑴f=100s(2)”=600m(3)q=^m/s2

【詳解】(1)貨車的初速度為匕=8m/s,快車的初速度為h=20m/s,制動的加速度大小為

a=0.12m/s2,當兩車的速度相等時快車剛好追上貨車，則恰好不相撞，有

vi=v2-at

解得

t=100s

(2)快車剛好追上貨車時，貨車的位移為

玉=卬=800m

快車的位移為

%=L+匕t=1400m

-2

快車剛開始制動時兩車相距的距離為

d=x2-xl=600m

(3)快車開始制動時距離貨車4=300m,設貨車加速的最小加速度為q,需滿足速度相等

時剛好不相撞，有

V]+貼=v

v2—at,=v

,V,+V+V

4

聯立解得

一屆

125

16.如圖所示，在平直公路上有甲、乙兩輛小汽車從相距%=7m的A、8兩地同向同時出

發(fā)。已知甲車在前，乙車在后，甲車初速度大小為W=10m/s,加速度大小為4=lm/s2,乙

車的初速度大小為％=16m/s,加速度大小為。2=2m/s2,甲車做勻加速直線運動，乙車做勻

減速直線運動，兩車均可視為質點。

甲乙

AB

(1)通過計算說明兩車是否能相遇，若不能相遇，求兩車間相距的最小距離；

(2)若甲車加速度大小未知，其他條件均不變，要使甲、乙兩車能相遇兩次，則甲車的加速

度大小應滿足什么條件？(結果可以保留分數)

【答案】(1)兩車不能相遇，兩車相距的最小距離為Im；(2)a<|m/s2

【詳解】(1)當兩者共速時用時間為f,則

v=vl+ait=v2-a2t

解得

Z=2s,v=12m/s

此時甲乙相距

.V.+V+V1

Ax=x+—1——t=lm

n022

可知兩車不能相遇，兩車相距的最小距離為Im；

(2)設當兩車經過時間f'相遇，則當兩車相遇時滿足

,I121117

XQ+Vyt+—ut——ClJ

整理可知

(|G+1)/2-6/+7=0

要使得兩車相遇2次，則方程有兩個解，則

A=36-4x7x(1a+l)>0

解得

42

a<—m/s

7

17.長為5m的警車在公路上以36km/h勻速行駛進行巡視，某時刻，一輛長20m的大貨車

以72km/h的速度從警車旁邊勻速駛過，在貨車車尾距警車車頭25m時，警員發(fā)現貨車有違

章行為，于是立刻踩動油門進行追趕。為了安全，警車先加速后減速，需行駛到車尾距貨車

車頭前53m安全距離處，和貨車同速行駛，才能進行示意停車。已知警車加速、減速時的

最大加速度大小均為2m/s2,整個過程貨車一直勻速行駛。求：

(1)當警車以最大加速度行駛，在超過貨車之前，車頭距貨車車尾最遠距離；

(2)警車至少經過多長時間才能到達題中安全距離處同速行駛；期間達到的最大速度。

【答案】(l)50m(2)21s；36m/s

【詳解】(1)警車和貨車同速時，警車加速的時間

加速的距離

V,+20+10uru

s,=-----—t,=---------x5m=75m

1212

當警車和貨車同速時，警車和貨車間距最大，最大距離

AX1=％o+v2^i一。=25m+20x5m-75m=50m

(2)警車行駛到車尾距貨車車頭前53m安全距離處時，此時警車的車頭超過貨車車尾

A%2=53m+5m+20m=78m

此時警車和貨車的速度相等，設此期間警車的最大速度為胴，加速的時間為減速的時間

為四，則由

Xo+Ax2+V2(/j+t2)=%；1m%+匕.

根據速度時間關系有

"m=匕。+。4=v2+at2

聯立解得

力二13s,/2=8S,vw=36m/s

則

t=力+/2=2Is

18.停在公交站臺的公交車由靜止啟動，以大小為q=lm/s2的加速度做勻加速直線運動。

公交車啟動瞬間，后方距離車頭飛=28m處，一高中生追趕公交車。高中生以%=4m/s的

初速度、/=4m/s2的加速度做勻加速直線運動，達到最大速率匕=8m/s后做勻速直線運動。

求：

⑴高中生加速過程的時間，和運動距離看；

(2)該學生能否追至公交車車頭處？若能，需要多長時間？若不能，和公交車車頭