《電磁學(xué)》梁燦彬課后答案解析

第一章靜電場(chǎng)的基本規(guī)律

1.1判斷下列說(shuō)法是否正確，說(shuō)明理由。

（1）一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)方向就是該點(diǎn)的試探點(diǎn)電荷所受電場(chǎng)力的方向。

（2）場(chǎng)強(qiáng)的方向可由后=叫口確定，其中q可正可負(fù).

（3）在以點(diǎn)電荷為心的球而上，由該點(diǎn)電荷產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)處處相等.

答案：（1）X,正的試探電荷：（2）J；（3）X在無(wú)外場(chǎng)是，球面上度大小相等.

1.2半球面上均勻分布著正電荷，如何利用對(duì)稱性判斷球心的場(chǎng)強(qiáng)方向？

答案：利用對(duì)稱性分析，垂直軸的分量相互抵消。

1.3下列說(shuō)法是否正確？為什么？

（D閉曲面上各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)為零時(shí)，面內(nèi)總電荷必為零.

（2）閉曲面內(nèi)總電荷為零時(shí)，面上各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)必為零。

（3）閉曲面的E通量為零時(shí)，面上各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)必為零.

（4）閉曲面上的E通量?jī)H是由面內(nèi)電荷提供的。

（5）閉曲面上各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)僅是由面內(nèi)電荷提供的。

（6）應(yīng)用高斯定理的條件但是電荷分布具有對(duì)稱性.

（7）用高斯定理求得的場(chǎng)強(qiáng)僅是由高斯面內(nèi)的電荷激發(fā)的。

答案：（1）X沒(méi)有凈電荷：（2）X；（3）X：（4）V：（5）X：（6）X：（7）X.

1.4“均勻帶電球面激發(fā)的場(chǎng)強(qiáng)等于面上所有電荷集中在球心時(shí)激發(fā)的場(chǎng)強(qiáng)工這個(gè)說(shuō)法是否正

確？

答案：無(wú)外場(chǎng)時(shí)，對(duì)球外而言是正確的。

1.5附圖中A和B為兩個(gè)均勻點(diǎn)電體，S為與A同心的球面，試問(wèn)：

（1）S面的通量與B的位置及電荷是否有關(guān)？

（2）S面上某點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度與B的位置及電荷是否有關(guān)？

（3）可否用高斯定理求出S面上一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)？為什么？

答案：（1）無(wú)關(guān)（2）有關(guān)（3）不能（導(dǎo)體球）、可以（介質(zhì)球）。

場(chǎng)強(qiáng)疊加原理應(yīng)用到有導(dǎo)體的問(wèn)題時(shí)，要注意,帶電導(dǎo)體單獨(dú)存在時(shí)，有一種電荷分布，它

們會(huì)產(chǎn)生一種電場(chǎng)：n個(gè)帶電導(dǎo)體放在一起時(shí)，由于靜電感應(yīng)，導(dǎo)體上的電荷分布發(fā)生變化，這時(shí),

應(yīng)用疊加原理應(yīng)將各個(gè)導(dǎo)體發(fā)生變化的電荷分布“凍結(jié)”起來(lái)，然后以“凍結(jié)”的電荷分布單獨(dú)存

在時(shí)產(chǎn)生的電場(chǎng)進(jìn)行疊加.

1.6半徑R的軍于點(diǎn)電球內(nèi)挖去半徑為r的小球，對(duì)附圖（a）與（b）的兩種挖法，能否用高斯定

理和疊加原理求各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)？

答案：（a圖）能，疊加法（補(bǔ)償法）：（b圖）不能

1.7附圖中的8、8、&及S,都是以閉曲線L為邊線的曲面（曲面法線方向如圖所示工一直，的

E通量為叫，求曲面，、S*、和，的E通量中2、叫及

答案：始終在內(nèi)的點(diǎn)E=0不變，始終在外的點(diǎn)E=」~不不變,

被氣球表面掠過(guò)的點(diǎn)，E發(fā)生躍變，由￡=—

1.8附圖中Si、S?是四個(gè)閉曲面，以E】、E2、E3分別代表由卬、q?、q3激發(fā)的靜電場(chǎng)強(qiáng)，試判斷

下列各等式的對(duì)錯(cuò)

（1）卷怎.云=幺（2）曲瓦.云=%（3）◎（瓦+瓦）%

（4）蛆區(qū)+瓦）.￡=1^2（5）仔,（耳+瓦+瓦）.於=

（6）軟區(qū)+瓦+瓦）-=（%+：#%）

答案：（1）X；（2）X；（3）X：（4）X；（5）V；（6）X；

1.9分別畫(huà)出等值同號(hào)與等值異號(hào)的兩無(wú)限大均勻帶電平面的電場(chǎng)線圖.

+g-g+q+q

答案：----?1*

1.10電場(chǎng)線是不是電電荷在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡？（設(shè)此

點(diǎn)電荷除電場(chǎng)外不受其他力）

答案：一般不是.…：…：只有在勻強(qiáng)電場(chǎng)中'靜止點(diǎn)電荷運(yùn)動(dòng)的軌

跡才的電力線.

Lu下列說(shuō)法是否正確？如不正確，請(qǐng)舉一反例加以論述。

（1）場(chǎng)強(qiáng)點(diǎn)點(diǎn)相等的區(qū)域中電勢(shì)也點(diǎn)點(diǎn)相等。

（2）如果兩點(diǎn)電勢(shì)相等，則她們的場(chǎng)強(qiáng)也相等。

（3）設(shè)A點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)（大?。┐笥贐點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)，則A點(diǎn)電勢(shì)必高于B點(diǎn)電勢(shì)。

（4）場(chǎng)強(qiáng)為零處電勢(shì)一定為零.

（5）電勢(shì)為零處場(chǎng)強(qiáng)一定為零.

答案：⑴不正確.”f-例如勻強(qiáng)電場(chǎng)。

（2）不正確。

（3）不正確。E大，電勢(shì)的變化率就大，并非一定U大

E=0,2=0,并不是U一定為0,在等量同號(hào)點(diǎn)電荷的連線中點(diǎn)處。

（4）不正確。

…并不是果一定為。，例：在等量異號(hào)點(diǎn)電荷連線中點(diǎn)處.

（5）不正確。

1.12兩個(gè)半徑分別為Ri及Rz=2R的同心均勻帶電球面，內(nèi)球所帶電荷卬>0。當(dāng)外球所帶電荷電

滿足什么條件時(shí)內(nèi)球電勢(shì)為正？滿足什么條件時(shí)內(nèi)球電勢(shì)為零？滿足什么條件時(shí)內(nèi)球電勢(shì)為負(fù)？

（參考點(diǎn)選在無(wú)遠(yuǎn).）

答案：（/,=%I/

4Ml4f2?

（或者：Ut=廣￡,?/r+[*E,dr=一支1/廠+（江辿2?>

2

〃幾-J局4^orJ2A4f產(chǎn)

要使Ut>0,則（%+>0.即92>—2%

要使C7,=0,則（%+與）=0，即42=-2%

要使U、<01則（d+4）<0?即%<—2%

1.13試證明等勢(shì)區(qū)的充要條件的區(qū)內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)處處為零。

證明：如果E處為0,則心=，瓦療=0,即是q=q,等位區(qū).

如果是等位區(qū)，即u=o,則是七=%=0。

dn

1.14試證均勻帶電半球面的大圓截而S（見(jiàn)附圖）為等勢(shì)面。（提示：補(bǔ)上另一半球面，借對(duì)稱性

論證每個(gè)球面在S上貢獻(xiàn)的場(chǎng)強(qiáng)垂直于S)

證明：設(shè)S面上有場(chǎng)強(qiáng)平行于分量，補(bǔ)上另一半球后球內(nèi)改點(diǎn)的總場(chǎng)強(qiáng)

應(yīng)為零，可見(jiàn)s面上不能有場(chǎng)強(qiáng)的平行分量，s面上只有場(chǎng)強(qiáng)垂直分量，故

s面上應(yīng)為等勢(shì)面.

1.2.1真空中有兩個(gè)點(diǎn)電荷，其中一個(gè)的量值是另一個(gè)的4倍.她們相距S.OxlO'm時(shí)相互排斥力

為1.6N.問(wèn)：

(1)她們的電荷各為多少？

(2)她們相距0.1m時(shí)排斥力的多少？

解：設(shè)一個(gè)電量為夕「則d=4%,由公式尸=」夕華可以得到:

4兀“廠

解之得：夕1=0.33x10：%=4%=L33xl0f

.?.當(dāng)E).l時(shí)，所受排斥力為：

1%%=0.4(N)

4”％(0.1)2

1.2.2兩個(gè)同性點(diǎn)帶電體所帶電荷之和為Q，在兩者距離一定的前提下，她們所帶電荷各為多少時(shí)

相互作用力最大？

解:設(shè)其中一個(gè)電荷電量為q，則另一個(gè)電荷電量為Q-q,

由庫(kù)侖力f=左幺當(dāng)⑷可知

當(dāng)它=0即：-L[Q-2q]=0

dq廠

所以兩者電量分別為：0=2夕q=^Q

1.2.3兩相距為L(zhǎng)的點(diǎn)帶電體所帶電荷分別為2q和q,將第三個(gè)點(diǎn)帶電體放在何處時(shí)，它所受的合

力為零？

解：設(shè)/距q為r,則夕'距2q為(L-r),放在相距r處,受合力為0,則有受力平衡條件：

虻=卜型

產(chǎn)—(￡-r)2

得到：r=(>/2-l)￡

1.2.4在直角坐標(biāo)系的（Om.0.1m）和（0m,-0.1m）的：兩個(gè)位置上分別放有電荷q=IO',0C的點(diǎn)

帶電體，在（0.2m,0m）的位置上放一電荷為Q=1G*C的點(diǎn)帶電體，求Q所受力的大小和方向。

解：如圖（題1.2.4）：根據(jù)圖示，可以得到：

小。盧正?常公=3必mN）

方向：水平向右題1.2.4

1.2.5在正方形的頂點(diǎn)上各放一個(gè)電荷為q的同行點(diǎn)帶電體。.’

（1）證明放在正方形中心的任意點(diǎn)電荷所受的力為零。

（2）若在中心放一點(diǎn)電荷Q,使頂點(diǎn)上每個(gè)電荷受到的合理恰為零，求Q與q的關(guān)系。

答案：（1）證明：由對(duì)稱性可知：O點(diǎn)的E=0,則在O點(diǎn)放任意電量的點(diǎn)電荷受到的力均為0。

（2）解：設(shè)O點(diǎn)放一點(diǎn)電荷Q,根據(jù)右圖可知:

a

@--二一二④

1qQ；、'、Q/：

a：>*X：a

一④q

要使q受到的合力為0,則有:￡￡

題L2.5

1夕。

=_2_￡cos450+-l—4

飛回4fa4%2a

解之得：。=（；+（Q應(yīng)為負(fù)點(diǎn)電荷）

1.2.6兩個(gè)量值相等的同性點(diǎn)電荷相距為2a,在兩者連線的中垂面上置一試點(diǎn)電荷q。，求q0受力最

大的點(diǎn)的軌跡。

解：：f="一勺口'_?一2kqq'r

(/+r2)yl(a2+r2)(a2+r2/

又：f=°

(a2+/)'-rx—(a:+r2)^*2r

BP：=0

/.(a，+,；)%—3/(T+廠)*=0

a2=2r

所以該圓的半徑為：金爭(zhēng)5題1.2.6

所得到曲線方程為：r+z2=球面方程

13.1在長(zhǎng)為50cm,相距為1cm的兩個(gè)帶電平行板間的電場(chǎng)是均勻電場(chǎng)（場(chǎng)強(qiáng)方向豎直向上），

將一電子從P點(diǎn)（與上下板等距離）一初速度v0=10，m/s水平射入電場(chǎng)（見(jiàn)附圖）.若電子恰在下板

由側(cè)離開(kāi)電場(chǎng)，求該均勻電場(chǎng)的大小。（忽略邊緣效應(yīng)，認(rèn)為板外場(chǎng)強(qiáng)為零，且略去重力對(duì)電子運(yùn)

動(dòng)的影響）

50cm

解：電子在電場(chǎng)中受力產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)加速度：

eE—m^a

由運(yùn)動(dòng)學(xué)方程得：

1,d

y=—at~=—

,221.3.1

d,、

》=卬（"5X=D

解之得：5=聶⑶

13.2用細(xì)線懸一在質(zhì)量為0.2g的小球，將其置于兩個(gè)豎直放置的平行板間（見(jiàn)

附圖）設(shè)小球所帶電荷為6xl（rc,欲使懸掛小球的細(xì)線與電場(chǎng)夾角為60°.

求兩板間的場(chǎng)強(qiáng)。

解：由圖中所?。篹Ecos300=mgcos60°

其中：Eq=Tcos60°mg=Tcos30°

解之得：E=^tg30°

e

1.3.3一個(gè)電子射入強(qiáng)度是5x10,N/C,方向豎直享受的均勻電場(chǎng)，電子的初速度為10'm/s與水平

面所夾的入射角為30*1（見(jiàn)附圖），不考慮重力的影響，求:

(1)電子上升的最大高度。

(2)電子回到原來(lái)高度時(shí)的水平射程。

解：(1)電子受力：f=ma=eE

2

vy=v0sin30°r-at(1)

vr=v0sin300-a/

當(dāng)在最大高度時(shí)：4=0

則0=vsin3O0-a/

o題L3.3

.(2)

a

(2)式代入(1)式中得：最大高度

.，八o%sin30°1(vosin30°V

y=vQsin30x，---------a----------

，1\a)

22

=vosin30°(-5-^-)

a2a

2

=VOsin,30］；)

2a

22

=v0sin30°—^―

02Ee/

荻

(2)當(dāng)回到水平位置時(shí)：

y=0即：vsin3O°=0

o2m

2mvsin30°

解之得：r=0

所以在原來(lái)高度時(shí)水平射程為:

x=%cos30。=聲"

2eE

1.3.4電子的電荷受罪先是由密立根通過(guò)油滴實(shí)驗(yàn)測(cè)出的，密立根設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)裝置如附圖所示.

一個(gè)很小的帶電油滴在電場(chǎng)E內(nèi)，調(diào)節(jié)E使作用在油滴上的電場(chǎng)力與油滴的重量平衡，如果油滴

的半徑為1.64x10"cm,平衡時(shí)E=l.92xl()SN/C。求:

（1）一直油的密度為0.851g/cm，，求油滴代暖和的絕對(duì)值。

（2）此值的元電荷e的多少倍？

解：（1）略

（2）mg=qE

誓普=&。23眸侖

1.3.5兩個(gè)點(diǎn)電荷qi=4.0uc和q2=8.0uc相距10cm,求離她們都是10cm處的場(chǎng)強(qiáng)E.

解：片=（釣+（釣+2二整cos600

代入數(shù)據(jù)得：

E=9.52x106%,與從q1到q2的連線成101°夾角。

1.3.6附圖中均勻帶電圓環(huán)的半徑為R,總電荷為q，求:

（1）軸線上離環(huán)心O為x處的場(chǎng)強(qiáng)E.

（2）軸線上何處場(chǎng)強(qiáng)最大？其值是多少？

（3）大致畫(huà)出E—x曲線。

r2=x2+R2

對(duì)稱分析知：&=0

E=ExdEx=\dEcostz=f-J-----—■-Q1qx『必

dl

JJ」4吟2叫/+*產(chǎn)4f2萬(wàn)火（丁+硝為工

1qx

4%(x2+/?2)X

（2）曲線圖見(jiàn)右:

dx

qR

D72

解出得：x=：=0.7RE=—

4麻?！?

1.3.7電荷以線密度〃均勻分布在長(zhǎng)為L(zhǎng)的直線段上,求:

(1)帶電線的中垂面上與帶電線相距為R的點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng).

(2)試證當(dāng)28時(shí)，該點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)小屋F：

(3)試證當(dāng)R?L時(shí)所得結(jié)果5點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)公式一致。

ndx題1.3.7

解:(1)dE=方向如圖:

4n%x2+R2

由對(duì)稱性分析可知，力的分量相互抵消。

幺1ndxR

E=rfEsin<z=2

04fx2+R26+片

=2處［%—

4吟J。產(chǎn)

nL

4吟R后

(2)當(dāng)上T8時(shí):E=—

4f

(3)當(dāng)時(shí):

￡=-LnLq

4%]4%及24f&2

1.3.8把電荷線密度為〃的無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電線分別彎成附圖(a)、

R.求兩圖中O點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)E。

解：根據(jù)帶電直線公式:

Er=n(sin名—sinOj￡1,.=」一(cos烏-cos6,)

4f4礫題1.3.8

當(dāng)在8Tx中：

夕=0。G,=—

122

當(dāng)在8T8中:

JTn

0.=-a=冗E=_￡=n

1224加0&r4GR

可以不計(jì)算，對(duì)稱分析可知以上兩種相互抵消。

(1)?:dE=伸°、方向如圖(a)

4-R-

E*=[</E=[dEsin0=f2―,sinCd?=---[-cos

?JrJJ。4麻押4疵小1Jo

￡=[</￡=[dEsin0=f7—1R-cosGdO=—[sin砥dqV：R

'J'JJ。4GR24fRlJo

題1.3.8(a)

4在述

方向：與二直線夾角均為450?

(2)如圖(b),由對(duì)稱分析，E辰與EB，.合成后

只有x分量,

對(duì)二直線：E=2EX=—^—方向：x的負(fù)方向

x2吟R

題1.3.8(b)

對(duì)半圓：E=EX=—f"sindO=—^―

4M2J。2嗎R

方向：x的正方向.

經(jīng)疊加得:￡0=0

13.9無(wú)限長(zhǎng)帶電圓柱面的電荷面密度由下式?jīng)Q定：b=o0cos/(見(jiàn)附圖)求

圓柱面軸線上的場(chǎng)強(qiáng)。

解：設(shè)取一無(wú)限長(zhǎng)狹條單元體:

根據(jù)E=、nRrf=Rd(px\x認(rèn)costp

1.3.9

於嗤聲方向如右圖所示

題1.3.9

方向：x軸負(fù)方向

%—cos1+1(P

E,="「=_『效嚶型&/=_=0

2f1+1

1.4.1附圖中的立方體邊長(zhǎng)為a=10cm,場(chǎng)強(qiáng)分量為以=笈％,￡=E.=0,其中b=800N/（Cm+）,

求：

（1）立方體表面的E通量。

（2）立方體內(nèi)總電荷。

解：（1）因?yàn)橹挥屑v分量，所以立方體只有￡、$而有分量.

叫=-ExgS、=-ba+a~=-ba'

①，=EX、AS、=b(2a)^a2=yflba-

所以：①。"顯一1)

*Cz

由中@=0E.fZS'=%?

得到J：q內(nèi)=/中g(shù)=&aY&T）

1.4.2均勻電場(chǎng)￡與半徑為R的半球面的對(duì)稱軸平行（如附圖），試計(jì)算此半球面的E通量（約

定半球面的法矢向右），若以半球面的邊線為邊線另做一任意形狀的曲面（法矢仍向右），此面的

E通量為多少？（提示：兩問(wèn)都用高斯定理）

解：半球面的任意曲面，其電通量與圓平面的電通量相等。

2

①=ES=EHR，或(t>l=ES=E7rR

S；與S］成閉合曲面:

O,+O,>=—6,=-①；=①]=BrR]

同理：S3與S；成閉合曲面,1.4.2

0

①3+叫'=①3=-4)|=①]=EJTR-

1.4.3用高斯定理求電荷線密度為的曲線長(zhǎng)均勻帶電直線在空間任一點(diǎn)激發(fā)的場(chǎng)強(qiáng)，并與

L3.7題（2）問(wèn)的結(jié)果比較.

解：過(guò)P點(diǎn)作圓柱面為高斯面,

@E*ds=||E*ds+JJE*ds+JjE*ds=

”上"FJ

0+0+E?2%，%=.

%

￡=q1.4.3

2mor

1.4.4求半徑為R、電荷面密度為〃的曲線長(zhǎng)均勻帶電圓柱面內(nèi)外的場(chǎng)強(qiáng)，并大致畫(huà)出E—r曲線。

解：設(shè)圓柱半徑為R，空間電場(chǎng)分布具有軸對(duì)稱,

???當(dāng)KR：妤瓦芯=$0=0

當(dāng)r>R：蛆瓦芯=?

IKR

jp—+jp.芯+爐肉=

7上。下《V

0+0+m2加%=型

E_r/5h冗R_bR

27TEQrheQr

1.4.5電荷以體密度「均勻分布在厚度為d的曲線大平板內(nèi)，求板內(nèi)外的場(chǎng)強(qiáng)E

解：電場(chǎng)分布以中垂面的面對(duì)稱分布，取圓柱面為S：

?.?當(dāng)廠<|■時(shí)：妤及於=色

^?2rp

v。區(qū)?〃工+||EHS+JJEHS=

川左￡。

□□-A5*2rp

EAS+EAJ+0=------

%

E_^lrp_pr

2￡°AS%

同理：當(dāng)時(shí):

__AS,dp

E^s+EAS=----------

E嗖

1.4.6電荷以體密度夕=A（1-〃A）分布在半徑為R的球內(nèi)，其中q為常量，r為球內(nèi)某點(diǎn)與球

心的距離。求：

（1）球內(nèi)外的場(chǎng)強(qiáng)（以r代表從球到場(chǎng)點(diǎn)的矢量）.

（2）r為多大時(shí)場(chǎng)強(qiáng)最大？該點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)匕《=?

解：???祖瓦於=空

￡。

當(dāng)r<R時(shí)：E.W=fc

￡。

又川*,=川"

r2Jrsin(pdipdO

當(dāng)r>R時(shí)：EAnr1=維￡="

/4門(mén)￡0

=恤力=”《1—（上

2drsin(pd(pd0

...E=4卬。(4K，-3川］=p#

4gj/112)12%產(chǎn)

令：當(dāng)=0即：r^C_￡dl=o

dr"后。4RJ

.?.上-ko

3/4R

2R

3x(-/?)2

3

4R

「?J=雯（帚啜

1.4.7兩平行的曲線大平面均勻帶電，電荷面密度分別為5和再，求:

（1）空間三個(gè)區(qū)的場(chǎng)強(qiáng).

（2）寫(xiě)出各區(qū)場(chǎng)強(qiáng)在下列兩種情況下的表達(dá)式：（a）5=%三＜7,（b）5…產(chǎn)。

解：?.?無(wú)限大均勻帶電平面場(chǎng)強(qiáng)分布：E=^-n

2/

+。+CT

取正向?yàn)檎?。根?jù)工=江得:

A正

1.4.7

1.4.8在球心為o、半徑為a、電荷體密度為夕的均勻帶電球體內(nèi)偏心挖去一個(gè)半徑為b的小球

（球心為。'），如圖所示.

（1）試證空心小球內(nèi)存在均勻電場(chǎng)并寫(xiě)出場(chǎng)強(qiáng)表達(dá)式（以c代表從。到。'的矢量

（2）求。、連線延長(zhǎng)線上M點(diǎn)和P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)EM和EP.（以e,代表沿c向的單位矢量，Q、“分

別代表M、P與。的距離）

答案：當(dāng)挖去一個(gè)半徑為r的小球，解：將挖去的小球6用電荷體密度為p的球補(bǔ)起來(lái)，先求

均勻帶電體。產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)，再求填補(bǔ)帶電球產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)，兩者相減即為所求的電場(chǎng)。根據(jù)均勻帶

電球體的場(chǎng)分布：

4,4,

_p_Ttr_p-nr

E0V=0.Eo-o------r?Eo-p-----戶?EG*---------...-

4碼質(zhì)，4G總

再根據(jù)云=Z耳得：

1.4.9半徑為R的曲線長(zhǎng)援助體內(nèi)均勻帶電，電荷密度為夕，求柱內(nèi)外的場(chǎng)強(qiáng)并大致畫(huà)出E-r

曲線.

解：軸對(duì)稱分布,取S為同軸圓柱面：

當(dāng)r<R,挺?拉=空.

fE-dS+妤E-dS+fE-dS=四

￡

AS上品SfHO

0+0+2與1”7=絲2

E=P.h=生_

2外%/2%

當(dāng)r>R,@耳公=竺

cccLJpnR'h

0+0+2E7vrh=-..........

￡。

1.4.10半徑分別為R1和R2(R2>R1)的一對(duì)無(wú)限長(zhǎng)共軸圓柱面上均勻帶電，沿軸線單位長(zhǎng)度的

電荷分別為4和求:

(1)各區(qū)域內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)。

(2)若4=-4,情況如何？大致畫(huà)出E—r曲線。

解：由軸對(duì)稱，取S為同軸圓柱面(設(shè)高為h,半徑為r)：

當(dāng)r</?,：由仔豆?dM=2^

A%

得：E=0

當(dāng)K<r<&：

其E?dS+妤E?dS+提?病=迎

▲S上AST&

0+G+2E仃卜=弛

1.4.10

當(dāng)r>名:

C八CL,(A+A)h

0+0+2Errrh=￡

得：￡=AJA

2出。尸

若4=一九：則/<凡，￡=0：&<r<R、,E=--—：廠)凡，￡=0

27rrs0

.1.5.1設(shè)靜電場(chǎng)中存在這樣一個(gè)區(qū)域（附圖虛線所圍半扇形部分，扇形響應(yīng)的圓心為O）,域內(nèi)

的靜電場(chǎng)線是以O(shè)點(diǎn)為心的同心圓弧（如圖），試證區(qū)域內(nèi)每點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)都反比與該點(diǎn)與O的距離。

證明：取閉合回路L,由。及石=0得:

§Ex-di+^Ecos90dl+E2cosndl+jcos90dl=0

￡*i/j+0—EJ2+0=0

得到：￡,/,=￡,/,

互=乙=2=殳,

所以Ex-

r

1.5.2試證在無(wú)電荷的空間中，凡是電場(chǎng)線都是平行連續(xù)（不間斷）直線的地方，電場(chǎng)強(qiáng)度的大

小必定處處相等。（提示：利用高斯定理和環(huán)路定理,分別證明連線滿足以下條件的兩點(diǎn)有相等場(chǎng)

強(qiáng)：（1）與場(chǎng)線平行：（2）與場(chǎng)線垂直）

證明：由◎云?〃十=空得：

妤瓦?病+@即盤(pán)+@云?衣=9

4ASbyfR%

-Ea4s+bEh4s—0

b

可得到：Ea=Eb同一電力線上的E相等。

由?耳-7=o得:1.5.2

Ejdl+，Ecos90dl+￡Ebcos兀dl+，Ecos90dl=0

EI-E.l=0,E=Eb,不同電力線上E相等。

（或過(guò)c點(diǎn)作平面caca為等位面，Ua=Uc,一些上=-一竺￡?=￡」故Ea=E0）

dzdz

電力線平行的電場(chǎng)中各點(diǎn)E都相等。

1.6.1設(shè)有一個(gè)q=L5xlO“C的點(diǎn)電荷。求：

（1）求電勢(shì)為30V的等勢(shì)面的半徑：

（2）電勢(shì)差為IV的任意兩個(gè)等勢(shì)面的半徑之差是否相同？

解：點(diǎn)電荷的電位為：〃=」一

4加”

（1）則r=—^=9X109XL5X1Q-=4.5（米）

4ne0u30

（2）不相同，r大等位面越稀疏.

1.6.2兩個(gè)電荷分別為q和-3q的點(diǎn)帶電體距離為d（見(jiàn)附圖），求：

（1）兩者連線上V=0的點(diǎn)：

（2）兩者連線上E=0的點(diǎn)。

解：（1）令距夕為r處“=0,

則—^―+—3一=0,

4Gr4必o（d-r）

解得：r戶d—H

4-------------------------1-

（2）￡=0處只可能在+4左側(cè).設(shè)距夕為「處￡=0,+'-%

1.6.2

q_q

4%/47T￡°（d+r）2

解出：r=1（JJ+l）

1.6.3附圖中A與O、O與B、B與D的距離皆為L(zhǎng),A點(diǎn)有正電荷q,B點(diǎn)有負(fù)電荷-q,求:

（1）把單位正點(diǎn)電荷從。點(diǎn)沿半圓OCD移到D點(diǎn)，電場(chǎng)力做了多少功？

（2）半單位負(fù)點(diǎn)電荷從D點(diǎn)沿AD的延長(zhǎng)線移到無(wú)窮遠(yuǎn)，電場(chǎng)力做了多少功？

解：靜電場(chǎng)中電場(chǎng)力作功與路徑無(wú)關(guān)，只與始末位置有關(guān).

（1）40c源=Aoc.D=qB（U0-UD）

而4=產(chǎn)7+尸7=。，

4fL4fL

UD

4在(2/+/)47r/L6JT%L

/…1x(4-4)=^1T

6TT￡J

(2)同理可得：

ADCO=%X億-5)=-lx(-—^――0)=—^―

6處J

6^￡OL1.6.3

1.6.4電荷Q均勻分布在半徑為R的球體內(nèi)，選電勢(shì)參考點(diǎn)在無(wú)限遠(yuǎn)，試證離球心r處（r<R）的

_Q(3R--r)

電勢(shì)為：v

J

8^z:07?

解：（方法一）由U=fdU=j_L3=eP、‘in哪口加中

JJ4%aJ"4在0。

a2=z2+/-2bcose

微分可得：2ada=2zrsin<pd(p

U=-^~「/弛+「〃/辿］

-JordjJodrJr-rzJzJr-:z

4在o1.6.4

=J；"z+r-z+r)dr+(r+z-r+z)dr

=部：—+12田］=必巨+3*-7）］

=上"差1

母3」

（方法二）：球內(nèi)電荷元取半徑為r厚度為"的球殼:

dq-4p+dr,dU=--——

4兀％r

U=「_￡_4.叫+/=上上3+且匕*

J。4旌°zJ：4%r￡乒352

=匠+金莊=2(3尺5=2(*-。

352%2E06屋2E.3’

（方法三）：用曲瓦括=%，求Z

當(dāng)r<R：E-4萬(wàn)/=—(-j-^———nr^),E=―

%±版34fR

3

當(dāng)r>&：E-4”產(chǎn)=-?E=-2-

￡。4fr

當(dāng)r<R：

U

4^F(T-T)+^=麓點(diǎn)

44

］兀R2丁區(qū)

R'Pr23P

3

~4/K0/?T-T+4催M(jìn)

0(3片一-)

407?3

1.6.5半徑為Ri和R2的兩個(gè)同心球面均帶電，電荷分別為Qi和Q?,求（1）a、b、c區(qū)（見(jiàn)附

圖）內(nèi)的電勢(shì)：（2）在Q|=-Q?和QL-Q|（R,<R,）的兩種情況下寫(xiě)出三區(qū)的電勢(shì)表達(dá)式，并大致

畫(huà)出V—r曲線

解：利用◎1?4亍=生可得：

U=「Edr+[&Edr^「Edr=0一段曰尸+J,+？dr

aLah幾cJ&4碼廠九4乃產(chǎn)￡。

=烏_(」___二)十?huà)D％

2

4fR}R24乃r%

=」-(*)

4fR2/?,

U=「Edr+「Edr=-Jr+「

bJ，bJ用cL4f/J&4兀/％

=&—)+5

4g,rR24TTR￡0

u=---(———

04兀!\&R2

4在hrR2

U°=0

R

當(dāng)a=--q時(shí)：見(jiàn)b圖

1.6.5b

穌R「R)

u---------------

4兀%凡r

1.6.6求1.4.8題中o、o'、P、M各點(diǎn)的電勢(shì)。

21.6.6

——q=2(R2_%__

3%13%j"2%3,3氣馬

u=￡(片_/+知U

°2%3

1.6.7在1.4.10題中設(shè)％三N并分別把電勢(shì)參考點(diǎn)選在無(wú)限遠(yuǎn)和軸線上謀求空見(jiàn)各區(qū)的電

勢(shì)及兩柱面之間的電勢(shì)差的絕對(duì)值A(chǔ)V,并大致畫(huà)出V-r曲線。

解：由高斯定理可得：

當(dāng)r<凡時(shí)：E,=0

當(dāng)凡＜「＜&時(shí)：E,=—^-

-*2庇0r

當(dāng)r>R,時(shí)：與=125+4）（其中當(dāng)4=-4時(shí)，￡3=0）

4砧°r

?。?0時(shí):

￡/,=['Eydr+[，E、dr+[E^dr=0+(-dr+0=：In衛(wèi)

1Jr1'%3JR,4f2G凡

U2=E,dr+[Eydr="dr=——In冬

Jr

'J，'J%47T￡or2%r

q=「OQ=o

當(dāng)取4=0時(shí)：t/,=[°￡1rfr=0

U2=rE￡r+f°Exdr=「-^—dr=-^-ln旦

-Jr-J留J，4fr2%r

U3=E3dr+「E.dr+f°Exdr=0+1—^—dr+0=—^—In—

J，幾-J&J曲4g/2叫R2

所以兩筒間的電位差為：

U=0時(shí)：t/=AU=[Eydr=[---dr=——In

8n12M-L2疝°r2fra

a=o時(shí)：泰”=盤(pán)味

1.6.8半徑為R無(wú)限長(zhǎng)圓柱體內(nèi)均勻帶電，電荷體密度為夕，把電勢(shì)參考點(diǎn)選在軸線上，求柱

體內(nèi)外的電勢(shì)。

解：由其石?"^=為，可以求出后的分布:

=~r,E外=一￡J

內(nèi)2%外2f廣

取[=0時(shí)：U=「各廠=-；/

Jr2%4%

1.6.8

U外=J：E%dr+J：E內(nèi)dr=J:翁力+C含力

pR2,RpR2

――—In-

2/r4與

2.1.1在均勻電場(chǎng)中置入一個(gè)半徑為R的中性金屬球，球表面的感生電荷面密度

為（夕角的含義見(jiàn)附圖），求帶有同號(hào)電荷的半個(gè)球面所受的

a=aocOs0

靜電力.

解：取一點(diǎn)元的，對(duì)其進(jìn)行受力分析有：

由對(duì)稱性可知，帶有同號(hào)電荷的球面受力沿x軸，右半球受力：

E==去.cos?

24

F=y2-JJcos'8?甯?sin3d0d(p=~~『d@j；cos3。sinOdO

方向：x軸的正方向

2.1.3三塊帶正電的金屬板A、B、C構(gòu)成平行板導(dǎo)體組（見(jiàn)附圖），以S代表各

板面積，x及d分別代表A、B之間B、C之間的距離，設(shè)d小到各板可視為無(wú)限

大平板，令B、C板接地，A板電荷為Q,略A板的厚度，求:

（1）B、C板上的感應(yīng)電荷：

（2）空間的場(chǎng)強(qiáng)及電勢(shì)分布。

解：加

<T2S+<T3s=Q.U=UAC

—x=-(d-x)

4%

由上面三式可以解出：

_口（）

b4、一，cyi一Qd-x

-SdSd

0=%s=0,03=%§=2(「一。

dd

??a=_&=_『2=Y=---

aa

與=0,Eb=0*Eu――,EIU=-->

￡o%

U]=E]=O,Uu=E?(x-r),Uut=E?,(d-x-r)

（其中r是場(chǎng)點(diǎn)到A板的距離）

*2.1.5半徑為R的金屬求經(jīng)電壓為U的電池接地（如圖），球外有一與球心距

離為2R的電荷q,求球面上的感應(yīng)電荷.

解：因?yàn)榻饘偾蚪拥?，則U=0,導(dǎo)體是等位體。

u0=o,按照u=Zu,可得到：

(/0=-^—4-^-=——=0

4加°2R」4在o2R4叫2R比4/7?

-^-+-L=0

4f及4兀q2R

*2.1.6接地的無(wú)限大導(dǎo)體平板前垂直放置一條無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電直線，線的端點(diǎn)與

平板距離為d（見(jiàn)附圖），若帶電線電荷線密度為小求:

（1）垂足。點(diǎn)的電荷面密度：

（2）平面上距O為r的點(diǎn)P的感生電荷面密度。

解：（1）在板內(nèi)O點(diǎn)極近處取。點(diǎn)，直線在O'點(diǎn)

方向：X的負(fù)方向豆=———7

4%d

板上取包括O點(diǎn)的面元AS,其上的電荷,AS在a點(diǎn):

E?=獸方向：X的負(fù)方向.

板上除了AS外的其它全部感應(yīng)電荷在O,點(diǎn).

%=0，因極近點(diǎn)，板上其余電荷在O點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)只能沿板面的切線方向。

O'點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)將由以上三個(gè)部分組成：

Eo.--^―+=0（o'在板內(nèi)）

2e04兀/d

所以:n

2nd

（2）直線在"點(diǎn)的法向分量，?

J4f山丁+廠在+/

Ep.=方向：X的負(fù)方向

同上（1）類似得到:

E.=-^+-^—=!==0b=”

2/4兀ay/d'+r22/ryld2+r2

2.2.1.點(diǎn)電荷q放在中性導(dǎo)體球殼的中心，殼的內(nèi)外半徑分別為凡和&（見(jiàn)附

圖），求場(chǎng)強(qiáng)和電勢(shì)的分布，并大致畫(huà)出E—r和V—r曲線。

解：電荷分布如圖，空間電場(chǎng)分布有球?qū)ΨQ性，

由高斯定理曲瓦括=Z1和七=區(qū)可得.

"44%廣

當(dāng)r<4時(shí)：￡,=—

4y

U=「E，r+廣E、dr+「E.dr=kq

J。?九一J034fIrRJ4笳O&

當(dāng)凡<r<&時(shí):芻=0U=U&=J；E、dr=」—見(jiàn)圖（a）

2.2.2球形金屬腔所帶電荷為Q>0,內(nèi)半徑為a,腔呢距離球心0為r處有一點(diǎn)

電荷q（見(jiàn)附圖），求。點(diǎn)的電勢(shì)。

解：設(shè)球內(nèi)壁的電荷為一夕（不均勻分布），外壁的電荷為0+夕（均勻分布）,

4=3+曲旦+—

4兀％尸”4磔4點(diǎn)

q、-q.Q+q

4fr4煙0a4礫6

2.2.3半徑R1的金屬球A外罩一同心金屬球殼B,起殼極薄，內(nèi)外半徑均可看

作RB（見(jiàn)附圖），已知A、B的電荷分別為Q和Q,求：

的表面及的內(nèi)外表面&、&的電荷、/、

（1）A1B5q3:

（2）A和B的電勢(shì)V“和Ve：

（3）將球殼B接地,再回答（1）（2）兩問(wèn)；

（4）在（2）問(wèn)之后將球A接地，再回答⑴、⑵兩問(wèn);

（5）在（2）間只后在B外再罩一個(gè)很撥的同心金屬球殼C（半徑為一）,再回

答⑴、（2）兩問(wèn)，并求C的電勢(shì)X。

解：（1）設(shè)%均勻分布，％2=r?”均勻分布，%=2+&均勻分布，由

高斯定理曲耳括=Zi和七=三江可得:

吟廠

“￡04

當(dāng)m<r<用時(shí)：E=

4%廠

當(dāng)r>Rs時(shí)：￡=。二四1號(hào)丁4

4%產(chǎn)

力=「"+「T-dr=

％廠1K

a4%>47T￡or~2.2.3

2,2,+。/+2,_Q.4+Qs

4%自47r%RB4f自4f色4在

r*￡,QA^QB

3rr=；dr-—-―空

為4f廠4G%

或根據(jù)均勻分布帶電球面電勢(shì)分布球面內(nèi)U=-^-,球外U=）一,由疊加

4f7?

定理可得:

u1a?包&+z=Q*?QB

"4f（4f&4f&4f&4在典

u_。/+~Q/+QB+Q_&+Ox

a4f&4庇°RB4踮M4f凡

（3）各表面電荷分布如圖：

U=Q&Q|a+。*-（Q+a）|Q,+&

'4%匕4加"除4加A4麻國(guó).4在國(guó).

UAUOUBULUU

_0/IQB

4f&4在島

〃-A+-QA+。,+&+-（2+2）+2,+2?

4丐）/?￡4在%凡47r￡QRB4加口R（.4f凡.4w0HH

fr一。4I乜[Q+4IT0.4+08）|QA+QBOd+Os

凡.凡.

4%4在QR（.4TT￡0RC4JT￡0RC4f4f4.

（4）當(dāng)兄1=0，9,2=0，q,3=Q,<+QB*[“=-（。.,+。8），/5=2,+02時(shí):

（5）當(dāng)％1=。，，q,2=~Qt?g,3=°時(shí):

U.=一2—+-一°，_,[/.=0

4在0&4fAB

（6）設(shè)夕”=2；，則/2=-。；，