中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：勾股定理綜合必刷（解析版）

階段性復(fù)習(xí)壓軸專題滿分攻略

專題02勾股定理綜合各市好題必刷

一.選擇題

1.（2022春?臨沐縣期末）下列各組數(shù)據(jù)中的三個(gè)數(shù)作為三角形的邊長(zhǎng)，其中能

構(gòu)成直角三角形的是（）

A.M，y，煙B.1,我，MC.6,7,8D.2,3,4

【答案】B

【解答】解4（百）2+（V4）2/（赤）2,不能構(gòu)成直角三角形，故錯(cuò)誤

5、12+（72）2=（百）2,能構(gòu)成直角三角形，故正確；

C、62+72/82,不能構(gòu)成直角三角形，故錯(cuò)誤；

D、22+32/42,不能構(gòu)成直角三角形，故錯(cuò)誤.

故選：B.

2.（2021秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）如圖，一個(gè)梯子48長(zhǎng)2.5米，頂端幺靠在墻ZC

上，這時(shí)梯子下端3與墻角C距離為1.5米，梯子滑動(dòng)后停在。E的位置上,

測(cè)得8。長(zhǎng)為0.9米，則梯子頂端Z下落了（）

A.0.9米B.1.3米C.1.5米D.2米

【答案】B

【解答】解：在RtZX/CB中，AC^^AB2-BC2=2.52-1.52=4,

：.AC=2,

?：BD=0.9,

ACD=2.4.

在RtAECZ）中，EO=ED2-C￡>2=2.52-2.42=0.49,

:.EC=S7,

：.AE=AC-EC=2-0.7=1.3.

故選：B.

3.（2022春?潁州區(qū)期末）如圖，在3X3的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為

1,點(diǎn)Z,B,C都在格點(diǎn)上，若8。是△4BC的高，則8。的長(zhǎng)為（）

CD.

【答案】D

【解答】解：由勾股定理得：zc=*底=后，

,:S.C=3X3-ix2-yXIX3-yX2X3=3.5,

?17

??yAC-BD=y'

.,?V13-BD=7，

13

故選：D.

4.（2021秋?寬城縣期末）如圖，長(zhǎng)為8c機(jī)的橡皮筋放置在x軸上，固定兩端Z

和8,然后把中點(diǎn)C向上拉升3c機(jī)至。點(diǎn)，則橡皮筋被拉長(zhǎng)了（）

D

zT\

A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm

【答案】A

【解答】解：及△/CD中，AC=lAB=4cm,CD=3cm；

2

根據(jù)勾股定理，得：AD=\/AC*2-K?D2=5cm；

：.AD+BD-AB=2AD-AB=10-8=2cm；

故橡皮筋被拉長(zhǎng)了2cm.

故選：A.

5.（2022春?岑溪市期中）如圖，有兩棵樹(shù)，一棵高10米，另一棵高4米，兩

樹(shù)相距8米.一只鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的樹(shù)梢飛到另一棵樹(shù)的樹(shù)梢，問(wèn)小鳥(niǎo)至少飛行

【答案】B

【解答】解：如圖，設(shè)大樹(shù)高為43=10%,

小樹(shù)高為CD=4m,

過(guò)C點(diǎn)作CELAB于E,則EBDC是矩形，

連接NC,

:?EB=4m,EC=8m,AE=AB-EB=10-4=6m,

在RtAZEC中，^C=^AE2+EC2=10m,

故選：B.

6.（2021秋?玉門市期末）如圖是一株美麗的勾股樹(shù)，其中所有的四邊形都是正

方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形4B、C、。的邊長(zhǎng)分別是

3、5、2、3,則最大正方形￡的面積是（）

E

A.13B.26C.34D.47

【答案】D

【解答】解由勾股定理得，正方形尸的面積=正方形Z的面積+正方形8的

面積=32+52=34,

同理，正方形G的面積=正方形C的面積+正方形D的面積=22+32=13,

...正方形E的面積=正方形P的面積+正方形G的面積=47,

7.（2022秋?鄲城縣期中）如圖，在中，ZC=90°,分別以各邊為直

徑作半圓，圖中陰影部分在數(shù)學(xué)史上稱為“希波克拉底月牙"，當(dāng)NC=4,BC

=2時(shí)，則陰影部分的面積為（）

A.4B.4-nC.8TTD.8

【答案】A

【解答】解：由勾股定理得，AB2=AC2+BC2=20,

則陰影部分的面積=Lx/CXBC+JL><nX(AC)2+1X-ITX(BC)2-Ix-nX

222222

(膽)2

2

=1X2X4+1XTTX1X(AG+BC2-AB?)

224

=4,

故選：A.

8.（2022春?通?？h期末）如圖所示為一種“羊頭”形圖案，其作法是：從正方

形①開(kāi)始，以它的一邊為斜邊，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角邊

為邊，分別向外作正方形②和②，…，依此類推，若正方形①的面積為64,

則正方形⑤的面積為（）

A.2B.4C.8D.16

【答案】B

【解答】解：第一個(gè)正方形的面積是64；

第二個(gè)正方形的面積是32；

第三個(gè)正方形的面積是16；

第〃個(gè)正方形的面積是鳥(niǎo)，

2n-1

...正方形⑤的面積是4.

故選：B.

10.（2021秋?天元區(qū)期末）《九章算術(shù)》是古代東方數(shù)學(xué)代表作，書中記載：今

有開(kāi)門去鬧（讀k?,門檻的意思）一尺，不合二寸，問(wèn)門廣幾何？題目大意

是：如圖1、2（圖2為圖1的平面示意圖），推開(kāi)雙門，雙門間隙。）的距離

為2寸，點(diǎn)C和點(diǎn)。距離門檻幺5都為1尺（1尺=10寸），則Z8的長(zhǎng)是

【答案】C

【解答】解：取48的中點(diǎn)。，過(guò)。作。48于E,如圖2所示:

由題意得：OA=OB=AD=BC,

設(shè)OA=OB=AD=BC=r寸，

則Z8=2r（寸），DE=U）（寸），OE=1CD=1（寸），AE=（r-1）寸,

2

在RtZ\4DE中，AE2+DE1=AD'2,

即（r-1）2+102"

解得：r=50.5,

.,.2r=101（寸），

.?.43=101寸，

故選：C.

11.（2022?包頭自主招生）在△NBC中，NZ、/B、NC的對(duì)邊分別是a、b、

c,下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.如果NC-N8=NZ,則△ABC是直角三角形

B.如果c2=〃-q2,則△43C是直角三角形

C.如果NZ：/B：ZC=1：2：3,則△4BC是直角三角形

D.如果髭+〃?。?，則△48C不是直角三角形

【答案】D

【解答】解：4、/C-/B=/A,即N/+N5=NC,又：N/+N5+NC=

180°,則NC=90°,那么是直角三角形，說(shuō)法正確；

B、c2=b2-a2,即a2+c2=〃，那么△48C是直角三角形且NB=90,說(shuō)法正

確；

C、/A：ZB：ZC=1：2：3,又,.,NZ+N5+NC=180°,則NC=90°,

則△NBC是直角三角形，說(shuō)法正確；

D、a=3,b=5,c=4,32+5M42,但是32+42=52,則△48C可能是直角三

角形，故原來(lái)說(shuō)法錯(cuò)誤.

故選：D.

12.（2022秋?蓮湖區(qū)校級(jí)月考）如圖，在一個(gè)高為5加，長(zhǎng)為13加的樓梯表面鋪

地毯，則地毯長(zhǎng)度至少應(yīng)是（）

5m

A.13mB.17mC.18mD.25m

【答案】B

【解答】解：由勾股定理得：

樓梯的水平寬度132-52=12，

???地毯鋪滿樓梯是其長(zhǎng)度的和應(yīng)該是樓梯的水平寬度與垂直高度的和，

地毯的長(zhǎng)度至少是12+5=17米.

故選：B.

13.（2022?敘永縣模擬）如圖，“趙爽弦圖”由4個(gè)全等的直角三角形所圍成，

在RtZ\48C中，AC=b,BC=a,ZACB=90°,若圖中大正方形的面積為

48,小正方形的面積為6,則（a+A）2的值為（）

【答案】D

【解答】解：由圖可知，（A-。）』6,

4xLb=48-6=42,

2

：.2ab=42,

：.（a+b）2=Qb-a）2+4。。=6+2X42=90.

故選：D.

14.（2022春?蜀山區(qū)校級(jí)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Z（-1,0）,8

（0,2）,以點(diǎn)/為圓心，48為半徑畫弧，交x軸正半軸于點(diǎn)C,點(diǎn)。的橫

坐標(biāo)介于（）

A.0到1之間B.1到2之間C.2到3之間D.3到4之間

【答案】B

【解答】解：（-1,0）,B（0,2）,

.,.04=1,08=2,

在RtZXZOB中，由勾股定理得：AB=VOA2K）B2=Vl2+22=V5;

:.AC=AB=y[^,

*'?0C=A/S-1,

...點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為（遙-1）,

,-,2<V5<3,

1<V5-1<2,

???點(diǎn)C的橫坐標(biāo)介于1到2之間.

故選：B.

15.（2021秋?汝陽(yáng)縣期末）學(xué)習(xí)了勾股定理之后，老師給大家留了一個(gè)作業(yè)題,

小明看了之后，發(fā)現(xiàn)三角形各邊都不知道，無(wú)從下手，心中著急.請(qǐng)你幫助

一下小明.如圖，△4BC的頂點(diǎn)Z,B,。在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，

BDLAC于點(diǎn)D,則BD的長(zhǎng)為（）

BC

A.AB.AC.獨(dú)D.24

5555

【答案】C

【解答】解：由勾股定理得：4。=后1=5,

'：BD±AC,

...△/3C的面積=X4CX3Z>=LX4X4,

22

5

故選：C.

16.（2022秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中）如圖是一個(gè)圓柱形飲料罐，底面半徑是3,高

是4,上底面中心有一個(gè)小圓孔，則一條長(zhǎng)10c機(jī)的直吸管露在罐外部分。的

長(zhǎng)度（罐壁的厚度和小圓孔的大小忽略不計(jì)）范圍是（）

A.5WaW6B.3WaW4C.2WaW3D.

【答案】A

【解答】解：如圖，8C為飲料罐的底面直徑，。為底面圓心，Z為上底面中

心，作射線氏4、射線D4,

'.ADLBC,AD=4cm,BD=CD=3cm,

VZADB=90°,

'-AB=VAD2+BD2=Vl2+32=5〈cm）,

當(dāng)吸管底端與點(diǎn)8重合時(shí)，則露在罐外部分。最短，此時(shí)。=10-5=5

（cm）；

當(dāng)吸管底端與點(diǎn)。重合時(shí)，則露在罐外部分。最長(zhǎng)，此時(shí)。=10-4=6

（cm）,

：.a的取值范圍是5WaW6,

故選：A.

17.（2022春?交城縣期中）勾股定理是一個(gè)古老的數(shù)學(xué)定理，它有很多種證明

方法，如圖所示四幅幾何圖形中，不能用于證明勾股定理的是（）

【答案】B

【解答】解：/?根據(jù)圖形可知：S大正方形=4X^ab+（b-a）2

=2ab+b2-2ab+a2

=a2+b2,

??9

.S大正方形=C，

a2+b2=c2；故幺選項(xiàng)不符合題意；

B.不能用于證明勾股定理，故3選項(xiàng)符合題意；

C.根據(jù)圖形可知：S=4Xxab+c2—2ab+c2,

S大正方形=(a+b)2=a?+2ab+N，

2ab+c2=c^+lab+b1,

a2+b2=c2,故C選項(xiàng)不符合題意;

D.根據(jù)圖形可知：S大正方形

22

S大正方形=工（b+b+a）Xb+—Ca+b+a）Xa-2X^ab=a+b,

222

a2+b2=c2,故。選項(xiàng)不符合題意，

故選：B.

18.（2022?溫州模擬）勾股定理有著悠久的歷史，它曾引起很多人的興趣.1955

年希臘發(fā)行了以勾股圖為背景的郵票.所謂勾股圖是指以直角三角形的三邊

為邊向外作正方形構(gòu)成，它可以驗(yàn)證勾股定理.在中，ZBAC=

90°,AC=a,AB=b（a<b）.如圖所示作矩形處P0,延長(zhǎng)C5交HF于點(diǎn)

G.若正方形5CDE的面積等于矩形5￡EG面積的3倍，則曳為（）

b

l,FDP

圖1圖2

A.巨B.叵C.娓-1D.3-娓

4222

【答案】D

【解答】解：過(guò)ZAQ1BC,

，我=也

C

設(shè)8C=c,

".c2=a2+b2,

..?S正方形BEDC=C2,

,:MB=AB=b,/MBA=/BQA=/MGB=90°,

ZMBG+ZABC=90°,ZABC+ZBAQ=90°,

NABC=/BMG,

:.AMGBmABQA(AAS),

：.BG=AQ=^-,

1?S矩形BGFE=C?且旦=q/b

c

正方形BCDE的面積等于矩形BEFG面積的3倍,

??c2=3ab,

c2=a2+b2,

a2+b1=3ab,

a2+b2-3ab—0,

.，.a=3±b,

2

,:a〈b,

2=3~Vs.

2

故選：D.

19.（2022春?同安區(qū)期末）在《算法統(tǒng)宗》中有一道“蕩秋千”的問(wèn)題：“平地

秋千未起，踏板一尺離地.送行二步與人齊，五尺人高曾記.仕女佳人爭(zhēng)蹴,

終朝笑語(yǔ)歡嬉.良工高士素好奇，算出索長(zhǎng)有幾？”譯文：“有一架秋千，當(dāng)

它靜止時(shí)，踏板離地1尺，將它往前推送10尺（水平距離）時(shí)，秋千的踏板

就和人一樣高，這個(gè)人的身高為5尺，秋千的繩索始終拉得很直，試問(wèn)繩索

有多長(zhǎng)？繩索長(zhǎng)為（）

A.12.5尺B.13.5尺C.14.5尺D.15.5尺

【答案】C

【解答】解：設(shè)繩索有x尺長(zhǎng)，則

102+（x+1-5）2=x2,

解得：x=14.5.

故繩索長(zhǎng)14.5尺.

故選：C.

20.（2022春?寧津縣期末）勾股定理在平面幾何中有著不可替代的重要地位，

在我國(guó)古算書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，如圖1

是由邊長(zhǎng)均為1的小正方形和構(gòu)成，可以用其面積關(guān)系驗(yàn)證勾股定

理，將圖1按圖2所示“嵌入”長(zhǎng)方形￡射,則該長(zhǎng)方形的面積為（）

圖1

A.60B.100C.110D.121

【答案】C

【解答】解：延長(zhǎng)48交K2于點(diǎn)。，延長(zhǎng)ZC交于點(diǎn)尸，如圖所示:

則四邊形N3尸是矩形，

AZBOF^ZBAC=90°,

?四邊形BCGE是正方形，

：.BC=BF,ZCBF=90°,

/.ZABC+ZOBF=90°,

又,..梃△ZBC中，ZABC+ZACB=90°,

：.4OBF=ZACB,

在△ORF和△NC3中，

，ZBAC=ZB0F

?ZACB=ZOBF>

tBC=BF

：.AOBF^/\ACB(AAS),

:.AC=OB,

同理：AACB式APGC(AAS),

：.PC=AB,

：.AB+OB=PC+AC,

即OA=AP,

，矩形Z"尸是正方形，^1^AO=AB+OB=AB+AC=3+4=1,

：.KL=3+1=1O,￡M=4+7=11,

長(zhǎng)方形次的面積為：10X11=110,

故選：c.

二.填空題

21.（2022春?豐都縣期中）如圖，以直角△48C的三邊向外作正方形，其面積

分別為S],5*2,$3,且Si=4,$2=8,則§3=.

【答案】12

【解答】解：???△48C直角三角形，

J.BC+AO^AB2,

222

'."S^BC,S2=AC,S3=AB,S=4,§2=8,

:.s3=Si+s2=n.

22.（2022春?定南縣期末）公元3世紀(jì)初，中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽注《周髀算經(jīng)》

時(shí)，創(chuàng)造了“趙爽弦圖”.如圖，設(shè)勾。=6,弦c=10,則小正方形48co的

面積是.

【答案】4

【解答】解：?.?勾。=6,弦c=10,

股=4］、2-62=8,

...小正方形的邊長(zhǎng)=8-6=2,

...小正方形的面積=22=4

故答案是：4

23.（2022春?河北區(qū)期末）若一直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為6和8,則斜邊長(zhǎng)

為.

【答案】10

【解答】解：在直角三角形中，斜邊的平方等于兩條直角邊平方和，

故斜邊長(zhǎng)=462+82=10，

故答案為10.

24.（2022秋?榕城區(qū)期中）如圖，一棵大樹(shù)在一次強(qiáng)臺(tái)風(fēng)中于離地面3根處折斷

倒下，樹(shù)干頂部在根部4米處，這棵大樹(shù)在折斷前的高度為—m.

【解答】解由勾股定理得，斷下的部分為疹不=5米，折斷前為5+3=8

米.

25.（2022?黔東南州模擬）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：”

今有池方一丈，葭（jia）生其中央，出水一尺.引葭赴岸，適與岸齊.問(wèn)水

深幾何？"（注：丈，尺是長(zhǎng)度單位，1丈=10尺）這段話翻譯成現(xiàn)代漢語(yǔ)，

即為：如圖，有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為1丈的正方形，在水池正中央

有一根蘆葦，它高出水面1尺.如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的

頂端恰好到達(dá)池邊的水面，則水池里水的深度是尺.

【答案】12

【解答】解：設(shè)水池里水的深度是x尺,

由題意得，x2+52=（x+1）2）

解得：x=12,

答：水池里水的深度是12尺.

故答案為：12.

D

26.（2022?沈北新區(qū)二模）如圖，在中，AB=5,AC=4,BC=3,分別

以點(diǎn)2、點(diǎn)5為圓心，大于二45的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)N,作

2

直線跖V交45于點(diǎn)O,連接C。，則CO的長(zhǎng)為.

【答案】1

2

【解答】解：?.18=5,AC=4,BC=3,

：.AB2=AC2+BC2,

：.ZACB=90°,

由作圖可知："N是48的垂直平分線，

，。是45的中點(diǎn)，

.?.。。=工45=2

22

故答案為：1.

2

27.（2022春?合陽(yáng)縣期末）如圖，在中，ZACB=90°,BC=3,AC=

4.以48為邊在點(diǎn)C同側(cè)作正方形4BQE,則圖中陰影部分的面積

【答案】19

【解答】解：在Rtz\/3C中，ZACB=90°,BC=3,AC=4,

則AB=7AC2+BC2=V32+42=5，

???S陰影部分=/B2-X4C*5C=52-1X3X4=19,

22

故答案為：19.

28.（2022春?濱州期中）如圖，已知四邊形/BCD中,ZABC=90°,28=3,

BC=4,CD=13,DA=12,則四邊形Z8CD的面積等于.

【答案】36

【解答】解：連接NC,

VZABC=9Q°,AB=3,BC=4,

,VAB2+BC2=V32+42=5'

在中，C^+CD2=25+144=169=AD2,

.?.△/CD是直角三角形，

???S四邊形4BCD=L5?5C+UC?CZ)=JLX3X4+1X5X12=36.

2222

故答案為：36.

29.（2022春?上杭縣期中）如圖，在△48C中，AB=AC=5,底邊8C=6,點(diǎn)

尸是底邊8c上任意一點(diǎn)，尸。,45于點(diǎn)。，尸ELZC于點(diǎn)E,則PD+PE=.

【解答】解：連接4P,過(guò)N作NFLBC于R

'：AB=AC=5,

:.BF=CF=1BC=3,

2

由勾股定理得：AF=^]52_32=4,

由圖可得，SUBC=SMBP+S“CP>

于。，PELACE,

.11.1

--yBC-AF=yAB-PD+yAC-PE-

yX6X4=yX5PD+^X5PE,

24=5(PD+PE),

：.PD+PE=4.8,

故答案為：4.8.

30.（2022春?濟(jì)陽(yáng)區(qū)月考）如圖，在Rt^ZBC中，ZB=9Q°,AB=3,BC=

4,將△45C折疊，使點(diǎn)8恰好落在邊ZC上，與點(diǎn)夕重合，ZE為折痕，

則￡5，=.

【答案】15

【解答】解：根據(jù)折疊可得5E=E5,，AB'=AB=3,

設(shè)BE=EB，=x,貝l]EC=4-x,

VZS=90°,AB=3,BC=4,

...在RtZ\45C中，由勾股定理得，AC=VAB2+BC2=如2+&2_5,

：.B'C=5-3=2,

在RtZ\5'EC中，由勾股定理得，x2+22=（4-x）2,

解得x=1.5,

故答案為：1.5.

31.（2022秋?英城區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△幺臺(tái)。中，AC=BC=13,28=24,D

是48邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E與點(diǎn)/關(guān)于直線CD對(duì)稱，當(dāng)△ZQE為直角三

角形時(shí)，則幺。的長(zhǎng)為.

【答案】7或17

【解答】解：作于

?在△ZBC中，AC=BC=13,AB=24,

：.AF^12,

.\CF=^AC2_AF2=5,

①如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在幺尸上時(shí)，

VZADE=90°,

:.NADC=NEDC=(360°-90°)4-2=135°.

：.ZCDF=45°.

：.CF=DF.

：.AD=AF-DF=AF-CF=12-5=7.

②如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在AF上時(shí)，

VZADE=90°,

：.ZCDF=45°.

：.CF=DF.

32.（2022春?咸寧校級(jí)期中）觀察下列各組勾股數(shù)，并尋找規(guī)律：

①4,3,5；②6,8,10；③8,15,17；④10,24,26

請(qǐng)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出第⑦組勾股數(shù)：.

【答案】16,63,65

【解答】解：觀察前4組數(shù)據(jù)的規(guī)律可知：第一個(gè)數(shù)是2（〃+1）；第二個(gè)是:

n（n+2）；第三個(gè)數(shù)是：（〃+1）2+1.

所以第⑦組勾股數(shù)：16,63,65.

故答案為：16,63,65.

32.（2022秋?迎澤區(qū)校級(jí)月考）一長(zhǎng)方體容器（如圖1）,長(zhǎng)、寬均為2,高為

8,里面盛有水，水面高為5,若沿底面一棱進(jìn)行旋轉(zhuǎn)傾斜，傾斜后的長(zhǎng)方體

容器的主視圖如圖2所示，若傾斜容器使水恰好倒出容器，則CZ）

圖I圖2

【答案】2技

【解答】解：如圖所示：

設(shè)QE=x,貝！J4D=8-x,

根據(jù)題意得：1（8-x+8）X2X2-2X2X5,

2

解得：x=6,

：.DE=6,

VZE=90°,

由勾股定理得：CD—JDE2VE*=462+222A/IQ,

故答案為：2/15-

33.（2022春?沾化區(qū)期中）如圖，已知圓柱底面的周長(zhǎng)為4加，圓柱高為2所,

在圓柱的側(cè)面上，過(guò)點(diǎn)Z和點(diǎn)C嵌有一圈金屬絲，則這圈金屬絲的周長(zhǎng)最小

【答案】4歷dm

【解答】解：如圖，把圓柱的側(cè)面展開(kāi)，得到矩形，則這圈金屬絲的周長(zhǎng)最

小為2ZC的長(zhǎng)度.

,圓柱底面的周長(zhǎng)為4加，圓柱高為2力〃，

.'.AB~2dm,BC=BC'—2dm,

.".AC2=22+22=8,

?.A.C^2"\["^cbn.

，這圈金屬絲的周長(zhǎng)最小為2ZC=4加血.

故答案為：4adm

A

CBC

34.（2022春?兗州區(qū)期末）如圖，某自動(dòng)感應(yīng)門的正上方Z處裝著一個(gè)感應(yīng)器,

離地面的高度4B為2.5米，一名學(xué)生站在C處時(shí)，感應(yīng)門自動(dòng)打開(kāi)了，此時(shí)

這名學(xué)生離感應(yīng)門的距離3c為1.2米，頭頂離感應(yīng)器的距離為1.5米，

則這名學(xué)生身高CD為米.

CB

【答案】16

【解答】解：過(guò)點(diǎn)。作。于E,如圖所示:

則CD=8E,￡>?=5。=1.2米=立米，

5

在Rt^4DE中，40=1.5米=3米，

2

由勾股定理得：AE-VAD2-DE2~J2~0-9（米''

：.BE=AB-AE=2.5-0.9=L6（米），

.,.CD=3E=1.6米,

故答案為：1.6.

CB

35.（2022?東城區(qū)校級(jí)模擬）如圖，正方形48co是由四個(gè)全等的直角三角形

圍成的，若CF=5,48=13,則EF的長(zhǎng)為.

【答案】772

?；正方形/BCD是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的,

：.AH=BE=CG=DF,AE=BG=CF=DH,

：.EG=GF=GH=HE,

???四邊形EGW為菱形，

???△48E為直角三角形，

AZAEB=ZGEH=90°,

...四邊形EGEH為正方形，

?.?四邊形/BCD為正方形，

：.CD=AB=13,

在RtZkCQE中，ZDFC=90°,CF=5,

根據(jù)勾股定理得，DF=\2,

：.GF=DF-DH=GC-FC=7,

在△GEF中，GE=GF=7,NEG尸=90。，

根據(jù)勾股定理得，EF=+y2=75/2?

故答案為：7加.

36.（2022秋?鐵嶺月考）如圖，在中，ZC=90°,AB=5cm,AC=

3cm,動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)5出發(fā)，沿射線5c以2cm/s的速度移動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為笈

當(dāng)，=時(shí)，4/80為直角三角形.

[答案]2s或空s

8一

【解答】解：VZC=90°,AB=5cm,AC^3cm,

.\BC=4cm.

①當(dāng)N4P5為直角時(shí)，點(diǎn)尸與點(diǎn)C重合，BP=BC=4cm,

.??f=44-2=2s.

②當(dāng)NBZ尸為直角時(shí)，BP=2tcm,CP=(2/-4)cm,AC=3cm,

在RtAZCP中，AP2=32+(2/-4)2,

在RtAB/P中，AB2+AP2=BP2,

.,.52+[32+(2/-4)2]=⑵)2,

解得

8

綜上，當(dāng)f=2s或區(qū)時(shí)，△ZAP為直角三角形.

8

故答案為：2s或區(qū).

8

37.(2021秋?峨邊縣期末)如圖，RtA/BC中，Z￡AC=90°,分別以△NBC

的三條邊為直角邊作三個(gè)等腰直角三角形AABD、AACE.ABCF,若圖中

陰影部分的面積&=6.5,S2=3.5,S3=5.5,則S《=.

【答案】15

【解答】解：???△25。、LACE、/kBCF均是等腰直角三角形，

:.AB=BD,AC=CE,BC=CF,

AB=BD=a,4C=CE=b,BC=CF=c,S“BG=m，SMCH=n,

'：a2+b2=c2,

??S“BD+S"CE=SABCF，

/.Si+zw+〃+S4—S2+S3+加+〃，

???S4=3?5+5.5-6.5=2.5

故答案為：2.5.

三.解答題(共16小題)

38.(2021秋?錫山區(qū)期末)在等腰△48C中，AB=AC,CDL48于。.

(1)若乙4=40°,求NDC8的度數(shù)；

(2)若BC=15,CD=U,求/C的長(zhǎng).

【解答】解：(1)-：AB=AC,

/B=/ACB,

,.,N/=40°,

AZDBC=70°,

又

：./DCB=90°-70°=20°；

(2)RtZ\8CZ)中，BD—gQ2_Q￡)2=1522='

設(shè)NC=/8=x,則ZD=x-9,

Rt△/CD中,AD2+CD2=AC2,

：.(x-9)2+122=x2,

解得％=”^=12.5,

18

：.AC^12.5.

39.(2022春?啟東市期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。為原點(diǎn)，點(diǎn)Z(2,

1),5(-2,4),直線48與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)求證：△048是直角三角形.

【解答】（1）解：設(shè)直線4B的解析式為：y=kx+b,

點(diǎn)Z（2,1）,8（-2,4）,

則（2k+b=l,

I-2k+b=4

2

K4

解得，匚，

,b=7

???設(shè)直線Z5的解析式為：y=-3什立，

42

.?.點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,1）；

2

(2)證明：?.?點(diǎn)Z(2,1),8(-2,4),

：.OA2=22+12=5,082=22+42=20,232=32+42=25,

則OA2+OB2=AB2,

：./\OAB是直角三角形.

40.2022春?黃州區(qū)校級(jí)期中)如圖，一艘船由/港沿北偏東60°方向航行10人機(jī)

至5港，然后再沿北偏西30°方向航行10左機(jī)至C港.

(1)求Z,C兩港之間的距離(結(jié)果保留到0.1加，參考數(shù)據(jù)：72^1.414,

我心1.732)；

(2)確定C港在N港的什么方?向.

北

C

P

晨

【解答】解：(1)由題意可得，NPBC=30°,ZMAB=60°,

：.ZCBQ=60°,ZBAN=3Q°,

AZABQ=30°,

/.ZABC=90°.

'：AB=BC=10,

(左掰).

.,.^C=1/AB2+BC2=1OV2^14.1

答：4、C兩地之間的距離為14.1癡.

(2)由(1)知，△NBC為等腰直角三角形，

AZBAC=45°,

：.ZCAM=60°-45°=15°,

??.C港在Z港北偏東15°的方向上.

41.(2022春?榮縣校級(jí)月考)超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因.上周末,

小鵬等三位同學(xué)在濱海大道紅樹(shù)林路段，嘗試用自己所學(xué)的知識(shí)檢測(cè)車速,

觀測(cè)點(diǎn)設(shè)在到公路/的距離為100米的尸處.這時(shí)，一輛富康轎車由西向東

勻速駛來(lái)，測(cè)得此車從Z處行駛到5處所用的時(shí)間為3秒，并測(cè)得/2尸。=

60°,ZBPO=45°,試判斷此車是否超過(guò)了每小時(shí)80千米的限制速度？

(參考數(shù)據(jù)：72=1.41,73=1.73)

【解答】解：由題意知：尸。=100米，ZAPO=60°,ZBPO=45°,

在直角三角形AP。中，

VZBPO=45°,

：.BO=PO=10Qm

在直角三角形4P。中，

VZAPO=60°,

.,.AO=PO*tan60°=100?

：.AB=AO-BO=(100V3-100)Q73米，

???從Z處行駛到8處所用的時(shí)間為3秒，

速度為73+3~24.3米/秒=87.6千米/時(shí)＞80千米/時(shí)，

此車超過(guò)每小時(shí)80千米的限制速度.

42.(2021秋?昆明期末)臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心在周圍上

百千米的范圍內(nèi)形成極端氣候，有極強(qiáng)的破壞力，如圖，有一臺(tái)風(fēng)中心沿東

西方向Z8由Z行駛向8,已知點(diǎn)C為一海港，且點(diǎn)C與直線Z8上的兩點(diǎn)

A,8的距離分別為ZC=300左根，BC=400km,又4B=500km,以臺(tái)風(fēng)中心為

圓心周圍250km以內(nèi)為受影響區(qū)域.

(1)求NZCB的度數(shù)；

(2)海港C受臺(tái)風(fēng)影響嗎？為什么？

(3)若臺(tái)風(fēng)的速度為20千米/小時(shí)，當(dāng)臺(tái)風(fēng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E處時(shí)，海港C剛好受

到影響，當(dāng)臺(tái)風(fēng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)尸時(shí)，海港。剛好不受影響，即CE=CF=250后〃,

則臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間有多長(zhǎng)？

AB

【解答】解：(1)\'AC=3Q0km,BC=400km,AB=500km,

，△NBC是直角三角形，ZACB=90°；

(2)海港C受臺(tái)風(fēng)影響，

理由：過(guò)點(diǎn)C作CDL4B,

?.?△48。是直角三角形，

：.ACXBC=CDXAB,

300X400=500XCO,

ACD=240(km),

?以臺(tái)風(fēng)中心為圓心周圍2506以內(nèi)為受影響區(qū)域，

海港C受臺(tái)風(fēng)影響；

(3)當(dāng)EC=250km,EC=250bn時(shí)，正好影響C港口，

ED—gQ2_Qp2=70(km),

：.EF=140hn,

?/臺(tái)風(fēng)的速度為20千米/小時(shí)，

.*.1404-20=7(小時(shí)).

答：臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間為7小時(shí).

43.(2022秋?詔安縣期中)如圖，筆直的公路上幺、8兩點(diǎn)相距25而，C、D為

兩村莊，D4LZ5于點(diǎn)4CBLAB于點(diǎn)B,已知D4=15癡，CB=lQkm,現(xiàn)

在要在公路的25段上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購(gòu)站E,使得C、。兩村到收購(gòu)站￡

的距離相等，則收購(gòu)站￡應(yīng)建在離Z點(diǎn)多遠(yuǎn)處？

D\

【解答】解：?.?使得C,。兩村到E站的距離相等.

：.DE=CE,

于Z,CBL4B于B,

：.ZA^ZB=90°,

：.A^+AD2=D^,BF^+BC2=EC2,

：.AE2+AD2=BE2+BC2,

設(shè)AE=xkm,則BE=AB-AE=（25-x）km.

■:DA=15km,CB=IQkm,

：.x2+152=(25-x)2+102,

解得：x=lQ,

：.AE=10km,

，收購(gòu)站E應(yīng)建在離/點(diǎn)10左根處.

44.(2021秋?玉門市期末)如圖，把一塊直角三角形(△48C,NZC5=90°)

土地劃出一個(gè)三角形(△ZQC)后，測(cè)得CD=3米，2。=4米，8c=12米,

4g=13米.

(1)求證：Z^DC=90°；

(2)求圖中陰影部分土地的面積.

【解答】（1）證明：,：ZACB=9Q°,BC=12米，幺5=13米,

：'AC=VAB2-BC2=V132-122=5（米

米，幺。=4米,

：.AD2+CD2=AC2=25,

：.ZADC=90°；

(2)解圖中陰影部分土地的面積=LCX8C-LOXCZ)=JLX5><12-lx

2222

4X3=24(平方米).

45.(2022秋?滕州市校級(jí)月考)問(wèn)題再現(xiàn)：

數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要的思想方法，借助這種方法可將抽象的

數(shù)學(xué)知識(shí)變得直觀，從而可以幫助我們快速解題，初中數(shù)學(xué)里的一些代數(shù)公

式，很多都可以通過(guò)表示幾何圖形面積的方法進(jìn)行直觀推導(dǎo)和解釋.

是一個(gè)重要公式的幾何解釋，請(qǐng)你寫出這個(gè)公式；

(2)如圖2,在Rt^A8C中，ZACB=90°,BC=a,AC=b,AB=c,以

及△4BC的三邊長(zhǎng)向外作正方形的面積分別為多,S2,S3,試猜想Si，S2,S3

之間存在的等量關(guān)系，直接寫出結(jié)論.

(3)如圖3,如果以RtZXZBC的三邊長(zhǎng)a,b,c為直徑向外作半圓，那么第

(2)問(wèn)的結(jié)論是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由.

(4)如圖4,在Rt448C中，ZACB=9Q°,三邊分別為5,12,13,分別

以它的三邊為直徑向上作半圓，求圖4中陰影部分的面積.

【解答】解：(1)(a+b)2=a2+2ab+b2-,

(2)Si+S2=S3；

(3)成立，設(shè)直角三角形兩條直角邊分別為a,b,斜邊為a

戌)』兀,兀,兀,

：.S2=1Mb253=ln(A)2=a2s=l^.(9)2=c2

2、2，8228228

兀_|_b2兀=兀(a'+b，)

°-88-

.,.51+52=53；

(4)根據(jù)(3)的結(jié)論，兩個(gè)以直角邊為直徑的半圓面積等于斜邊為直徑的

半圓面積.

...陰影部分的面積=直角三角形面積

.,?陰影部分的面積=5X12+2=30.

46.(2022秋?東臺(tái)市月考)如圖，已知氏4=8C,BD=BE,ZABC=ZEBD=

90°.

(1)求證：AB平分/EAC；

(2)若AD=1,CD=3,求BD.

【解答】解：(1)證明：ZABC=ZEBD=90°,

：.ZABD+ZCBD=ZABD+ZABE,

：.ZCBD=ZABE,

在和△CAD中，

'BA=BC

<ZCBD=ZABE-

kBD=BE

:AABE2ACBD(&4S),

/EAB=/BAC,

.?.48平分NE/C；

(2),：AD^1,CD=3,

：.AC=4.

'：BA=BC,ZABC=90°,

:.AB=BC=,ZC=45

過(guò)點(diǎn)8作于點(diǎn)R如圖:

則ABCF為等腰直角三角形，

:.BF=CF=2,

：.DF=CD-CF=1,

在RtZkBFD中，由勾股定理得:

5￡)=VBF2+DF2

=V22+12

-yfb-

：.BD的長(zhǎng)等于遙.

47.(2021秋?豐澤區(qū)校級(jí)期末)如圖，在△48C中，AB=AC,Z。，5c于點(diǎn)

D,ZCBE=45°,分別交ZC,4D于點(diǎn)E、F.

(1)如圖1,若48=13,5c=10,求4F的長(zhǎng)度；

(2)如圖2,若AF=BC,求證：叱+￡產(chǎn)=/￡2.

'：BC=10,

：.BD=5,

白△/8。中，'：AB=13,

AD=VAB2-BD2=V132-52=12,

白△RD尸中，VZC5￡=45°,

.??△8。尸是等腰直角三角形，

：.DF=BD=5,

：.AF=AD-DF=12-5=7；

(2)證明：如圖2,在AF上取一點(diǎn)H,使BH=EF,連接CF、CH

在△CHB和/XZE/中，

'BH=EF

?"ZCBH=ZAFE=45°>

BC=AF

:.LCHB咨LAEF(SAS),

：.AE=CH,AAEF=ZBHC,

：.ZCEF=ZCHE,

:.CE=CH,

,:BD=CD,FDLBC,

：.CF=BF,

：.ZCFD=ZBFD=45°,

：.ZCFB=9Q°,

:.EF=FH,

白△CFX中，由勾股定理得：CF2+FH2=CH2,

：.BF2+EF2=AE2.

48.(2022春?張灣區(qū)期中)如圖，已知△NBC中，ZB=9Q°,AB=16cm,BC

=12cm,P、。是△4BC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中點(diǎn)尸從點(diǎn)Z開(kāi)始沿Z-8方

向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1。以，點(diǎn)0從點(diǎn)8開(kāi)始沿5-C-Z方向運(yùn)動(dòng)，且速度

為每秒2c祖，它們同時(shí)出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為/秒.

備用圖

（1）出發(fā)2秒后，求尸0的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)點(diǎn)0在邊5c上運(yùn)動(dòng)時(shí)，出發(fā)幾秒鐘后，△P。能形成等腰三角形？

（3）當(dāng)點(diǎn)0在邊C4上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求能使△BC。成為等腰三角形的運(yùn)動(dòng)時(shí)

間.

【解答】解：（1）?.?80=2X2=4（cm）,BP^AB-AP=16-2X1=14

（cm）,ZB=90°,

PQ=42+142=V212=2>/53（cm）；

（2）BQ=2t,BP=16-t,

根據(jù)題意得：2/=16-t,

解得：片也，

3

即出發(fā)笄秒鐘后，△尸08能形成等腰三角形；

（3）①當(dāng)CQ=B。時(shí)，如圖1所示，

則NC=NC50,

VZ^5C=90°,

...NC80+N/8Q=9O°.

ZA+ZC=90°,

ZA=ZABQ,

^BQ=AQ,

：.CQ=AQ=10,

：.BC+CQ^22,

.?“=22+2=11秒.

②當(dāng)CQ=BC時(shí)，如圖2所示，

則BC+CQ=24,

.1=24+2=12秒.

③當(dāng)8c=3。時(shí)，如圖3所示，

過(guò)5點(diǎn)作5EL/C于點(diǎn)E,

則/?ff=AB>BC=12X16_48：

AC20-5'

^^VBC^BE2=J122-(^-)2*,

IDD

：.CQ=2CE=14A,

：.BC+CQ=26A,

.?"=26.4+2=13.2秒.

綜上所述：當(dāng)/為11秒或12秒或13.2秒時(shí)，△3CQ為等腰三角形.

圖3

Bp?-----A

南2

上

B-p圖'?-----A

49.（2022春?龍湖區(qū)期末）在杭州西湖風(fēng)景游船處，如圖，在離水面高度為5機(jī)

的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開(kāi)始時(shí)繩子的長(zhǎng)為13根，此人以0.5機(jī)/s

的速度收繩10s后船移動(dòng)到點(diǎn)。的位置，問(wèn)船向岸邊移動(dòng)了多少機(jī)？（假設(shè)

繩子是直的，結(jié)果保留根號(hào)）

【解答】解：?.?在RtZXZBC中，ZG45=90°,BC=13m,AC^Sm,

AAB=V132-52=12(m),

?此人以0.5根/s的速度收繩，10s后船移動(dòng)到點(diǎn)D的位置，

.\CD=13-0.5X10=8(m),

AD=VCD2-AC2=^64-25=V39(w))

**.BD=AB-AD=(12-V39)