中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：二次根式（解析版）

第02講二次根式

孽可目標(biāo)

i.了解二次根式的概念，借助現(xiàn)實(shí)情境了解代數(shù)式

2.了解二次根式乘除運(yùn)算法則，會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)算

3.了解最簡(jiǎn)二次根式的概念

4.了解二次根式的加減運(yùn)算法則，會(huì)進(jìn)行有關(guān)的簡(jiǎn)單運(yùn)算

★簡(jiǎn)單；★★易錯(cuò)；★★★中等；★★★★難；★★★★★壓軸

國(guó)考豆導(dǎo)感

考點(diǎn)1:二次根式有意義的條件........................................................3

考點(diǎn)2：最簡(jiǎn)二次根式.................................................................9

考點(diǎn)3：二次根式的性質(zhì)..............................................................13

考點(diǎn)4：二次根式的運(yùn)算..............................................................19

課堂總結(jié)：思維導(dǎo)圖..................................................................28

分層訓(xùn)練：課堂知識(shí)鞏固..............................................................29

考點(diǎn)1:二次根式有意義的條件

(1)二次根式的概念：形如J^(a20)的式子.

(2)二次根式有意義的條件：被開方數(shù)大于或等于0.

L…J學(xué)俞筆記

-Q州發(fā)行新

【例題精析n｛二次根式的概念★｝下列各式中，一定是二次根式的是（）

A.口B.VxC.&+4D.

【分析】根據(jù)平方根、算術(shù)平方根，二次根式以及二次根式的定義逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：A.因?yàn)?4沒有平方根，因此選項(xiàng)/不符合題意；A也表示x的立方根，因此選項(xiàng)8不符

合題意；C.因?yàn)?+4>0,因此選項(xiàng)C符合題意；D.當(dāng)工-1<0時(shí)，負(fù)數(shù)沒有平方根，因此選項(xiàng)。不

符合題意；故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的定義，理解二次根式的定義是解決問題的關(guān)鍵.

【例題精析2】｛二次根式有意義的條件★｝在函數(shù)y=乂叵中，自變量x的取值范圍是（）

2.x—1

A.x...—1B.x〉一1月.xw—C.x...—1日.\w—D.x?—1月—

222

【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)、分母不為0列出不等式，解不等式得到答案.

【解答】解：由題意得：x+1...0且2x—1w0,解得：x...-1且故選：C.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次根式有意義的條件，掌握二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)、分母不為0是解題的

關(guān)鍵.

【例題精析3】｛二次根式有意義的條件★★｝若實(shí)數(shù)x,y滿足>=4^+行=-1，則工-了的值是

（）

A.1B.-6C.4D.6

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件，求出無，代入關(guān)系式中求出y,從而得到x-y的值.

【解答】解：x-5...0,5-x...0,x...5,x?5,:.x=5,y=-l,x-y=5-（-1）=5+1=6,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式有意義的條件，掌握二次根式有意義的條件是被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)

鍵.

【例題精析4】｛二次根式有意義的條件**｝已知而不+&工意=6+10,則岳力的值為（）

A.6B.±6C.4D.±4

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件求出。的值，進(jìn)而得出b的值，再代入所求式子計(jì)算即可.

【解答】解：Ja-13+J13-a=Z)+10,而a-13...O,13-&..0,

.-.a-13=0,解得。=13,,6+10=0,解得6=—10,

y/2a-b=A/26+10=6.故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確把握二次根式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

【例題精析5】｛二次根式有意義的條件★★｝使等式、，區(qū)成立的條件時(shí)-34<2.

V2-x爽彳

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件、分式有意義的條件解決此題.

【解答】解：由題意得：x+320且2-x>0.

；.;(;2-3且％<2.；.-3Wx<2.故答案為：-3W無<2.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次根式有意義條件、分式有意義的條件，熟練掌握二次根式有意義的條件、分

式有意義的條件是解決本題的關(guān)鍵.

右對(duì)支祠伍

【對(duì)點(diǎn)精練1】｛二次根式的概念★｝在式子正，yja2+b2,-Ja+5,J-3yo,,0),一1和

源(a<0,6<0)中，是二次根式的有()

A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)

【分析】根據(jù)二次根式的定義：一般地，我們把形如G(a..O)的式子叫做二次根式進(jìn)行分析即可.

【解答】解：式子正，y/a2+b2,J-3y(%0),，石(a<0,b<0)是二次根式，共4個(gè)，故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式定義，關(guān)鍵是注意被開方數(shù)為非負(fù)數(shù).

【對(duì)點(diǎn)精練2】｛二次根式有意義的條件★｝如果是二次根式，那么x應(yīng)滿足的條件是()

3333

A.x——B.x<—C.x?—D.x...一

2222

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可知3-2"0,解出無的范圍即可.

【解答】解：由題意可知：3-2x...O,/.x”—.故選：C.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的定義，解題的關(guān)鍵是正確理解二次根式有意義的條件，本題屬于基礎(chǔ)題型.

【對(duì)點(diǎn)精練3】｛二次根式有意義的條件★｝若^^在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍在數(shù)軸上

表示正確的是()

A.----------O^B.4-----------Tc,D.16〉

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可得X+2...0,根據(jù)分式有意義的條件可得x+2w0,再解即可.

【解答】解：由題意得：x+2>0,

解得：x>-2,在數(shù)軸上表示為：-20,故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式有意義和分式的條件，關(guān)鍵是掌握二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù).分

式分母不為零.

【對(duì)點(diǎn)精練4】｛二次根式有意義的條件★★｝&a+1)(1-a)=而T-V5二高成立的條件是()

A.-1?a?1B.a?-1C.a..AD.-l<a<l

【分析】直接利用二次根式有意義的條件、二次根式的乘法運(yùn)算法則得出關(guān)于a的不等式組，進(jìn)而得出答

案.

【解答】解：由題意可得：?+1",0,解得：-L&1.故選：A.

[1-a...0

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式有意義的條件、二次根式的乘法運(yùn)算，正確掌握二次根式乘法運(yùn)算法則

是解題關(guān)鍵.

【對(duì)點(diǎn)精練5】｛二次根式有意義的條件★★｝已知實(shí)數(shù)。滿足|2020-。|+夜-2021=。,那么

a-20202+1的值是2022.

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件得出2021,根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)把原式變形，代入計(jì)算即可.

【解答】解：由題意得：a—2021...0,

解得：a..2021,則“-2020+Ja-2021=”,整理得：Ja-2021=2020，

.?.a-2021=20202,.?.a-202()2=2021,二原式=2021+1=2022,故答案為：2022.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次根式有意義的條件、絕對(duì)值的性質(zhì)，掌握二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題

的關(guān)鍵.

【實(shí)戰(zhàn)經(jīng)典1】（2021?內(nèi)江）函數(shù)歹=萬二+」一中，自變量x的取值范圍是（）

X+1

A.x?2B.%”2且xw-lC.x...2D.x...2且xw-l

【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)、分母不為。計(jì)算即可.

【解答】解：由題意得：2—x...0,x+1*0,解得：x?2且xw-1,故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是函數(shù)自變量的取值范圍的確定，掌握二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)、分母不為0是

解題的關(guān)鍵.

【實(shí)戰(zhàn)經(jīng)典2]（2021?日照）若分式立包有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為一.

X

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件和分式有意義的條件得出x+LO且xwO,再得出答案即可.

【解答】解：要使分式立包有意義，必須x+L.0且x*0,解得：黑.-1且xwO,故答案為：x...-1且

X

xw0.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式有意義的條件和分式有意義的條件，能根據(jù)題意得出x+LO且xwO是解此題

的關(guān)鍵.

【實(shí)戰(zhàn)經(jīng)典3]（2021?營(yíng)口）若代數(shù)式71萬有意義，則x的取值范圍是—.

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可得1-2工.0,再解不等式即可.

【解答】解：由題意得：1-2加0,解得：x?—,故答案為：x?—.

22

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式有意義的條件，關(guān)鍵是掌握二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù).

考點(diǎn)2:最簡(jiǎn)二次根式

最簡(jiǎn)二次根式：①被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式（分母中不含根號(hào)）；②被開方數(shù)中不含能開得盡方

的因數(shù)或因式

匹乳學(xué)有筆記

-Qj州做行新

【例題精析1】｛最簡(jiǎn)二次根式十｝（2021?桂林）下列根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是（）

A.AB.V?C.V?D.sja+b

【分析】直接根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母，分母中不含根號(hào)；（2）被開方數(shù)中不含

能開得盡方的因數(shù)或因式判斷即可.

【解答】解：4卜；,不是最簡(jiǎn)二次根式；B幣=2,不是最簡(jiǎn)二次根式；C.4^=\a\,不是最簡(jiǎn)二次

根式；D.y/a+b,是最簡(jiǎn)二次根式.故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是最簡(jiǎn)二次根式，掌握其概念是解決此題關(guān)鍵.

【例題精析2】｛最簡(jiǎn)二次根式★｝化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)二次根式：5V12=_10V3_；6（=—.

【分析】直接根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)

或因式.進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：（1）原式=5x26=106，故答案為：1073；（2）原式=6x"=￡l.故答案為：

42

376

【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是二次根式，掌握其性質(zhì)概念是解決此題關(guān)鍵.

【例題精析3】｛最簡(jiǎn)二次根式★★｝二次根式聲手（x、了均為正數(shù)）化成最簡(jiǎn)二次根式，結(jié)果為

xy42y—?

【分析】根據(jù)V7=|a|計(jì)算即可.

【解答】解：；x>0,y>0,《Zx2/=xyyf2y,故答案為：xyyfly.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次根式的化簡(jiǎn)，掌握最簡(jiǎn)二次根式的概念、二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【例題精析4】｛最簡(jiǎn)二次根式★★｝將式子化為最簡(jiǎn)二次根式二菊

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)即可求出答案.

【解答】解：由題意可知：m—n<0f

:.n-m>0,原式=一（冽一〃）一^—竺=Nn-m故答案為:-Jn-m

n-m

【點(diǎn)評(píng)】本題考查最簡(jiǎn)二次根式，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型.

我對(duì)主科珠

【對(duì)點(diǎn)精練1】｛最簡(jiǎn)二次根式十｝下列根式中，不是最簡(jiǎn)二次根式的是（）

A.V7B.J/+iC.AD.V3x

【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因

式逐一判斷即可.

【解答】解：/、5是最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；

B、是最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；

c、E=*不是最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)符合題意；

D、后是最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查最簡(jiǎn)二次根式，解題的關(guān)鍵是掌握最簡(jiǎn)二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母;

（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.

【對(duì)點(diǎn)精練2】｛最簡(jiǎn)二次根式支｝若二次根式反工7是最簡(jiǎn)二次根式，則x可取的最小整數(shù)

是—.

【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義解答即可.

【解答】解：???二次根式是最簡(jiǎn)二次根式，

2x+7...0,/.2x...-7,/.x...-3.5,TX取整數(shù)值，

當(dāng)x=-3時(shí)，二次根式為a=1,不是最簡(jiǎn)二次根式，不合題意；

當(dāng)x=-2時(shí)，二次根式為百，是最簡(jiǎn)二次根式，符合題意；

二.若二次根式5萬是最簡(jiǎn)二次根式，則x可取的最小整數(shù)是-2.故答案為：-2.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了最簡(jiǎn)二次根式的定義，熟記定義是解答此題的關(guān)鍵.

【對(duì)點(diǎn)精練3】｛最簡(jiǎn)二次根式★★｝化簡(jiǎn)：化成最簡(jiǎn)二次根式為_q_.

Va

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，可得答案.

【解答】解：由題意。＜0,—aj一~-=A（~^）2x（--）—,故答案為：4—a.

NaN-a

【點(diǎn)評(píng)】本題考查最簡(jiǎn)二次根式的定義，最簡(jiǎn)二次根式必須滿足兩個(gè)條件：被開方數(shù)不含分母；被開方數(shù)

不含能開得盡方的因數(shù)或因式.

【實(shí)戰(zhàn)經(jīng)典1】（2021?益陽）將竹化為最簡(jiǎn)二次根式，其結(jié)果是（）

AV45口廊「9函°3廂

2222

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)即可.

【解答】解：1=mp=半，故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了最簡(jiǎn)二次根式的定義和二次根式的性質(zhì)，注意：滿足以下兩個(gè)條件：①被開方數(shù)中的

因式是整式，因數(shù)是整數(shù)，②被開方數(shù)中不含有能開得盡方的因式或因數(shù)，像這樣的二次根式叫最簡(jiǎn)二次

根式.

【實(shí)戰(zhàn)經(jīng)典2】（2020?濟(jì)寧）下列各式是最簡(jiǎn)二次根式的是（）

A.V13B.V12C.而D.

【分析】利用最簡(jiǎn)二次根式定義判斷即可.

【解答】解：A,屈是最簡(jiǎn)二次根式，符合題意；B、712=273,不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；

C、=不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；D、后平,不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意.故

選：A.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了最簡(jiǎn)二次根式，熟練掌握最簡(jiǎn)二次根式的定義是解本題的關(guān)鍵.

【實(shí)戰(zhàn)經(jīng)典3]（2020?西寧）下列二次根式中，最簡(jiǎn)二次根式的是（）

A.AB.屈C.V5D.V50

【分析】最簡(jiǎn)二次根式滿足：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式，滿

足上述兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式.

【解答】解：/、A中被開方數(shù)是分?jǐn)?shù)，故不是最簡(jiǎn)二次根式；B、代中被開方數(shù)是分?jǐn)?shù)，故不是最

簡(jiǎn)二次根式；C、途中被開方數(shù)不含分母，不含能開得盡方的因數(shù)或因式，故是最簡(jiǎn)二次根式；

D、同中含能開得盡方的因數(shù)，故不是最簡(jiǎn)二次根式；故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了最簡(jiǎn)二次根式的定義，判定一個(gè)二次根式是不是最簡(jiǎn)二次根式的方法，就是逐個(gè)

檢查被開方數(shù)不含分母，也不含能開的盡方的因數(shù)或因式，同時(shí)滿足的就是最簡(jiǎn)二次根式，否則就不是.

考點(diǎn)3：二次根式的性質(zhì)

(1)雙重非負(fù)性：

①被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，即?！?；

②二次根式的值是非負(fù)數(shù)，即&NO.

注意：初中階段學(xué)過的非負(fù)數(shù)有：絕對(duì)值、偶累、算式平方根、二次根式.

⑵兩個(gè)重要性質(zhì)：

……,—\a(a>0)

①(02=4(Q》O)；②_^^=同={

-a(a<0)

(3)積的算術(shù)平方根：4ab=4a.a(40,6N0)；

同=，(心0,6>0).

⑷商的算術(shù)平方根:

野胃學(xué)霸筆記

@仍總卷書

【例題精析1】｛最簡(jiǎn)二次根式★★｝已知實(shí)數(shù)。在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置如圖，則化簡(jiǎn)I。-1|（。-2）2

的結(jié)果是（）

IIAI

012

A.2Q—3B.—1C.1D.3—2。

【分析】根據(jù)數(shù)軸上a點(diǎn)的位置，判斷出（。-1）和（。-2）的符號(hào)，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn).

【解答】解：由圖知：1<。<2,

.e.67—1>01（7—2<0>原式=a—1—[—（a—2）]=a—l+（a—2）=2a—3.故3^：A.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，正確得出2<0是解題關(guān)鍵.

【例題精析2】｛最簡(jiǎn)二次根式★★｝RtAABC三邊分別為a、b、c,c為斜邊，則代數(shù)式

廳m廬-77二廬的化簡(jiǎn)結(jié)果為—.

【分析】將代數(shù)式+/-Jc?—/化簡(jiǎn)為J（q+與2一萬,再根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)即

可.

【解答】解：:RtAABC三邊分別為a、b、c,c為斜邊，

c2-b2=a2,y/a2+2ab+b2-yjc1*V-b2=-^（a+ZJ）2-y[a^-a+b-a-b.故答案為：b.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，根據(jù)勾股定理和二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解題關(guān)鍵.

【例題精析3】｛最簡(jiǎn)二次根式★★｝（2020秋?雁江區(qū)期末）已知6>0,化簡(jiǎn)匚源=

—ub\—u__.

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)即可求出答案.

【解答】解：；6>0,>0,a<0,原式=1,=-ab4~a,故答案為：-abC^.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型.

【例題精析4】｛二次根式的性質(zhì)★★｝化簡(jiǎn)的結(jié)果為（）

V2cl

A.B.b42abC.一隊(duì)一2abD.-b242^b

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件進(jìn)行化簡(jiǎn)即可.

【解答】解：當(dāng)6<0,a>0時(shí)，原式=2ab乂——“=b-\b\\l-2ab=-b2y/-2ab.

2a

當(dāng)6>0,a<0時(shí)，原式=-2a6x——」乂？。=—b-bY-2ab=—b。］一2ab.故選：C.

2a

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解本題

的關(guān)鍵.

【例題精析5】{二次根式的性質(zhì)★★★}(2021秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考)設(shè),27+100=q+6,其中a

為正整數(shù)，0<6<1,則a-b=_7-g

【分析】先把J27+100化簡(jiǎn)求出。+方的值,再根據(jù)。為正整數(shù)，6在0,1之間求出符合條件的a的值,

求出對(duì)應(yīng)的6的值，代入原式進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：V‘27+10&=725+2X5A/2+(V2)2=J(5+@?=5+也.

a+6=5+&=6+(6■-1).:a為正整數(shù)，0<6<1,

a=6,b=V2—11ci—b=G—(V2-1)=7—A/2.

故答案為：7-垃.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次根式的化簡(jiǎn)求值及估算無理數(shù)的大小，根據(jù)題意求出符合條件的a、b的值是解

答此題的關(guān)鍵.

時(shí)直鐘依

【對(duì)點(diǎn)精練n｛二次根式的性質(zhì)★｝若77元7?=3-。，則。的取值范圍是()

A.a...3B.Q”3C.a”0D.a<3

【分析】結(jié)合完全平方公式對(duì)被開方式子進(jìn)行變形，然后利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，從而結(jié)合絕對(duì)值

的意義作出分析判斷.

【解答】解：a2—6a+9="(a-3>=\a-3\—3—a>a—3?0,a?3)故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查完全平方公式，二次根式的性質(zhì)，理解行=|a|,掌握完全平方公式(a±6)2=a2±2ab+b2

的結(jié)構(gòu)是解題關(guān)鍵.

【對(duì)點(diǎn)精練2】｛二次根式的性質(zhì)★｝當(dāng)l<x<4時(shí)，化簡(jiǎn)J(l-x)2-J(x-4)2結(jié)果是()

A.-3B.3C.2x-5D.5

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)即可.

【解答】解：當(dāng)l<x<4時(shí)，l-x<0,x-4<0,7(1-x)2-7(^-4)2=|l-x|-|x-4|=x-l+x-4

=2x-5,故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的化簡(jiǎn)，理解最簡(jiǎn)二次根式的意義和二次根式的化簡(jiǎn)方法是正確解答的前提.

【對(duì)點(diǎn)精練3】｛二次根式的性質(zhì)★★｝如圖，字母6的取值如圖所示，化簡(jiǎn)|6-1|+"IO6+25=—

IIII.

02b5

【分析】先利用數(shù)軸表示數(shù)的方法得到2<6<5,再利用二次根式的性質(zhì)得原式=|6-11+16-5|,然后去絕

對(duì)值后合并即可.

【解答】解：由數(shù)軸得2<6<5,所以原式=|6-1|+而萬7=2-1|+|6-5|=6-1+5-8=4.

故答案為4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)：熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解決此類的關(guān)鍵.也考查了數(shù)

軸.

【對(duì)點(diǎn)精練4】｛二次根式的性質(zhì)★★★｝(2018?涼山州)當(dāng)-1<”0時(shí),則

【分析】根據(jù)題意得到。+上<0,a-->0,根據(jù)完全平方公式把被開方數(shù)變形，根據(jù)二次根式的性質(zhì)計(jì)

aa

算即可.

【解答】解：v-1<(7<0,:.a+—<0,a>0,原式二)2—H—了

a

=a――-\-a+—=2tz,故答案為：2a.

aa

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次根式的化簡(jiǎn),掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【實(shí)戰(zhàn)經(jīng)典1](2021?婁底)2、5、羽是某三角形三邊的長(zhǎng)，則J(加-3)2+-7>等于()

A.2m-10B.10-2/77C.10D.4

【分析】直接利用三角形三邊關(guān)系得出m的取值范圍，再利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)得出答案.

【解答】解：：？、5、加是某三角形三邊的長(zhǎng)，.15-2〈加<5+2,故3(加<7,

-3)2+J(加-7)2=m-3+1-m=4.故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形三邊關(guān)系以及二次根式的化簡(jiǎn)，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵.

【實(shí)戰(zhàn)經(jīng)典2](2021?荊門)下列運(yùn)算正確的是()

A.(-x3)2=x5B.小(-x)。-xC.(-x)2+x=x3D.(-1+x)2=x2-2x+l

【分析】根據(jù)嘉的乘方與積的乘方，二次根式化簡(jiǎn)及整式乘法分別計(jì)算求解.

【解答】解：A.(-x3)2=x6,錯(cuò)誤，不滿足題意.8口了=匡|，錯(cuò)誤，不滿足題意.

C.(-x)2+x=x2+x,錯(cuò)誤，不滿足題意.D.(-1+x)2=x2-2x+l,正確，滿足題意.故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查幕的乘方與積的乘方、二次根式的化簡(jiǎn)、整式的運(yùn)算，解題關(guān)鍵是熟練掌握各種運(yùn)算的

方法.

【實(shí)戰(zhàn)經(jīng)典3](2020?呼倫貝爾)已知實(shí)數(shù)°在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置如圖所示，則化簡(jiǎn)一-2)2

的結(jié)果是()

a

——?-------u-------?-?

012

A.3-2aB.-1C.1D.2a-3

【分析】根據(jù)數(shù)軸上。點(diǎn)的位置，判斷出(。-1)和(a-2)的符號(hào)，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn).

【解答】解：由圖知：1<”2,

Q—1>0,。―2<0,原=Q—1—[―(a—2)]=tz—1+((7_2)=2cl—3.D.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，正確得出1>0,。-2<0是解題關(guān)鍵.

考點(diǎn)4:二次根式的運(yùn)算

二次根式的加減法：先將各根式化為最簡(jiǎn)二次根式，再合并被開方數(shù)相同的二次根式.

二次根式的乘除法：

(1)乘法：4a.4b=4ab(a20,620)；

(2)除法：=A(a20,6>0).

二次根式的混合運(yùn)算：運(yùn)算順序與實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)的先

算括號(hào)里面的(或先去括號(hào)).

上“與學(xué)森筆記

-Qj州做行新

【例題精析1】｛二次根式的乘除★｝V12^V27xVi8=_2V2_.

【分析】原式利用二次根式的乘除法則計(jì)算即可得到結(jié)果.

【解答】解：原式=412+27x18=J12xL18=V^=2也.故答案為：2/

V27

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二次根式的乘除法，熟練掌握法則是解本題的關(guān)鍵.

【例題精析2】｛二次根式的乘除★｝計(jì)算跖+3后xA的結(jié)果正確的是（）

A.1B.2.5C.5D.6

【分析】先化簡(jiǎn)原式=3遙+30x1,再運(yùn)算即可求解.

【解答】解：V45^3V2xJ|=3V5^3V2XJ|=^X^|=1,故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的運(yùn)算，熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

【例題精析3】｛同類二次根式十｝最簡(jiǎn)二次根式3H下與萬M是同類二次根式，則x的值是4.

【分析】根據(jù)同類二次根式：二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同列方程，解出即

可.

【解答】???最簡(jiǎn)二次根式3H行與萬工是同類二次根式，，2x-5=7-x,解得x=4；故答案為：4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查同類二次根式、最簡(jiǎn)二次根式，掌握同類二次根式的定義，根據(jù)定義列方程是解題關(guān)

鍵.

【例題精析4】｛同類二次根式支｝若二次根式工與是同類二次根式，則。=2或3.

【分析】根據(jù)同類二次根式的定義得出5a-2="+4,再求出方程的解即可.

【解答】解：???二次根式后二I與"時(shí)是同類二次根式，

5a-2=a2+4,解得：a=2或3,經(jīng)檢驗(yàn)a=2或3都符合題意，故答案為：2或3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程，二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)和同類二次根式的定義，能熟記同類二次根

式的定義是解此題的關(guān)鍵，注意：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個(gè)二

次根式叫同類二次根式.

【例題精析5】｛二次根式的加減★｝若最簡(jiǎn)二次根式而可與也可以合并，則〃，的值為（）

A.2019B.-2019C.2023D.-2023

【分析】根據(jù)同類二次根式的意義得出加+2021=2,進(jìn)而求出7〃的值即可.

【解答】解■:最簡(jiǎn)二次根式+2021與血可以合并,即最簡(jiǎn)二次根式而受而與也是同類二次根式,

.?.機(jī)+2021=2,.-.?7=-2019,故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查同類二次根式、最簡(jiǎn)二次根式，理解同類二次根式的意義是解決問題的關(guān)鍵.

【例題精析6】｛二次根式的加減★｝計(jì)算：V45-J|-V50=_3V5-^-5V2_.

【分析】根據(jù)二次根式的加減運(yùn)算法則即可求出答案.

【解答】解：原式=3指-叵-5后.故答案為：3石-巫-5收.

55

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的加減運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次根式的加減運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)

題型.

【例題精析7】｛二次根式的加減★｝計(jì)算：V80-V20+V5=_3V5_.

【分析】先化簡(jiǎn)二次根式，然后合并同類二次根式.

【解答】解：原式=46-2石+行=3^5,故答案為：3生1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的加減法，理解二次根式的性質(zhì)行=|。|正確化簡(jiǎn)各數(shù)是解題關(guān)鍵.

【例題精析8】｛分母有理化★｝（德州?中考真題）化簡(jiǎn)X的結(jié)果是_若_.

【分析】先把分子分母都乘以G，然后約分即可.

【解答】解：原式=半夕=6.故答案為百.

V3xV3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分母有理化：分母有理化是指把分母中的根號(hào)化去.

【例題精析9】｛分母有理化★｝化簡(jiǎn)」結(jié)果正確的是（）

3—2、2

A.3+2應(yīng)B.3-V2C.17+12拒D.17-1272

【分析】原式分子分母乘以有理化因式，計(jì)算即可得到結(jié)果.

3+20

【解答】解:原式==3+2后.故選:A.

(3-2拘(3+272)

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了分母有理化，找出原式的有理化因式是解本題的關(guān)鍵.

【例題精析10]｛二次根式的應(yīng)用★｝古希臘幾何學(xué)家海倫和我國(guó)宋代數(shù)學(xué)家秦九韶都曾提出利用三角

形的三邊求面積的公式，稱為海倫-秦九韶公式：如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是a,b,c,記

P=T那么三角形的面積為S=而二如圖‘在根恥中‘4'NB,ZC

所對(duì)的邊分別記為a,b,c,若a=5,6=7,c=8,則AA8C的面積為（）

A.14B.20C.10V3D.1076

【分析】利用閱讀材料，先計(jì)算出p的值，然后根據(jù)海倫公式計(jì)算A48c的面積；

【解答】解：（

,.,7=5,6=7,c=8.r._p=5+7+8=10,KABC的面積

2

S=710(10-5)(10-7)(10-8)=10國(guó)

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】考查了二次根式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是代入后正確的運(yùn)算.

=5對(duì)支刊珠

【對(duì)點(diǎn)精練1】｛二次根式的乘除★｝（聊城?中考真題）計(jì)算：病12.

【分析】直接利用二次根式乘除運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求出答案.

【解答】解：V27-4-=3y/3x=3^3xx2=12.故答案為：12.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的乘除運(yùn)算，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵.

【對(duì)點(diǎn)精練2】｛二次根式的乘除★｝（2021?銅仁市）計(jì)算（后+而）（由-揚(yáng)=3.

【分析】先把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，然后利用平方差公式計(jì)算.

【解答】解:原式=（3g+3夜）（6-a）

=3（指+亞）（6-亞）=3x（3-2）=3.故答案為3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則是解決問題的關(guān)鍵.

【對(duì)點(diǎn)精練3】｛二次根式的乘除★｝（2019?荷澤）已知工=逐+血，那么點(diǎn)-2疝的值是4.

【分析】根據(jù)二次根式的運(yùn)算以及完全平方公式即可求出答案.

【解答】解：：x=x-+2=6,X。-2A/^X=4,故答案為：4

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次根式的運(yùn)算以及完全平方公式，本題屬于

基礎(chǔ)題型.

【對(duì)點(diǎn)精練4】｛同類二次根式十｝（2021秋?寶山區(qū)月考）已知最簡(jiǎn)二次根式病工1和^^是同

類二次根式，則/=-.

一2一

【分析】根據(jù)同類二次根式的概念列方程組求解.

【解答】解：由題意可得解得：:=2一號(hào)，故答案為：I.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查同類二次根式的概念，解二元一次方程組，理解同類二次根式是化為最簡(jiǎn)二次根式后，

被開方數(shù)相同的二次根式稱為同類二次根式是解題關(guān)鍵.

【對(duì)點(diǎn)精練5】｛同類二次根式十｝（2021春?饒平縣校級(jí)月考）如果最簡(jiǎn)二次根式“舷壬和而方是

同類二次根式，則ab=。.

【分析】根據(jù)題意，它們的被開方數(shù)相同，根指數(shù)為2,列出方程求解.

【解答】解：最簡(jiǎn)二次根式弋品行和Vo前是同類二次根式,

6+1=2且2。+3=。+36,解得。=0,6=1,ab=0.故答案為：0.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了同類二次根式的定義.解題的關(guān)鍵是掌握同類二次根式的定義，即：二次根式化

成最簡(jiǎn)二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式叫做同類二次根式.

【對(duì)點(diǎn)精練6】｛二次根式的加減★｝(2021秋?洛寧縣月考)如圖，從一個(gè)大正方形中可以裁去面積為

8”?和32c/的兩個(gè)小正方形，則陰影部分的周長(zhǎng)為—24A份—cm.

【分析】根據(jù)已知部分面積求得相應(yīng)正方形的邊長(zhǎng)，從而得到陰影部分的周長(zhǎng).

【解答】解：從一個(gè)大正方形中裁去面積為8c療和32c療的兩個(gè)小正方形,

則兩個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)分別是&=2亞(c加)，V32=4V2(cm).

陰影部分的周長(zhǎng)為(2行+4A②x2x2=24板(cro).故答案為：24拒.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的應(yīng)用，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題的關(guān)鍵.

｛分母有理化★｝秋?普陀區(qū)校級(jí)月考)分母有理化：」^=-而

【對(duì)點(diǎn)精練71(2021_4

4+V13—

【分析】根據(jù)平方差公式進(jìn)行二次根式的分母有理化計(jì)算.

3(4-屈)3(4-拒)

【解答】解:原式==4—V13，故答案為：4—V13-

(4+713)(4-713)3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式分母有理化計(jì)算，掌握平方差公式(。+6)(°-6)=°2一62的結(jié)構(gòu)是解題關(guān)鍵.

【對(duì)點(diǎn)精練8】｛二次根式應(yīng)用★★｝我國(guó)南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公

式，此公式與古希臘幾何學(xué)家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,記

p="+：+c，則其面積S=Jp(p-a)(p-b)(p-c).這個(gè)公式也被稱為海倫--秦九韶公式.若

p=5,c=4,則此三角形面積的最大值為_2^5_.

【分析】把p=5,c=4代入”“+丁得到方=6-―然后求出a的取值范圍，再代入公式得到S的表達(dá)

式，利用配方法求最值即可.

【解答】解：；p="+g+。，p=5,c=4,

:.a+b=6,:.b=6-a,不妨設(shè)a..6,貝！]a...6-a,

解得：a...3,a-b=a-(6-a)=2a-6<c=4,

2a<10,:.a<5,：.3?a<5,

S=75(5-a)[5-(6-a)](5-4)=75(5-a)(a-1)=^5(-a*2+6a-5)

=7-5(fl-3)2+20,?.?3,,a<5,.?.當(dāng)a=3時(shí)，S有最大值，最大值為而=2遙，故答案為：2石.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了配方法的應(yīng)用，配方法的關(guān)鍵是：先將一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)化為1,然后在方程

兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.

【對(duì)點(diǎn)精練9】{二次根式應(yīng)用★★}(2016?廈門)公元3世紀(jì)，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽就能利用近似公

式向工，“+二得到夜的近似值.他的算法是：先將后看出爐Z：由近似公式得到

2a

__________

V2?i+—=-；再將應(yīng)看成,由近似值公式得到…依此算法,

2x12V242。312

2

所得后的近似值會(huì)越來越精確.當(dāng)應(yīng)取得近似值空時(shí)，近似公式中的a是"，，?是.

408一12一

【分析】利用2-(")2得到廠的值，利用題中e="再套用近似公式，因?yàn)??！?」42=文，從而

12121224x—17408

得到答案.

__________1_

【解答】解：應(yīng)看作+(-—),由近似值公式得到逝。^+」^=衛(wèi)1

144122><17408

12

所以“q時(shí)—故答案為。*1

144

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的應(yīng)用：利用類比的方法解決問題.

【實(shí)戰(zhàn)經(jīng)典1]（2021?綿陽）計(jì)算JfixJ詼的結(jié)果是（）

A.6B.672C.673D.676

【分析】根據(jù)二次根式的乘法法則計(jì)算即可.

【解答】解：718x712

=718x12=79x2x4x3=6屈,故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次根式的乘法運(yùn)算，掌握二次根式的乘法法則是解題的關(guān)鍵.

【實(shí)戰(zhàn)經(jīng)典2]（2021?泰州）下列各組二次根式中，化簡(jiǎn)后是同類二次根式的是（）

A.超馬也B.后與配C.#>與用D.J/與技

【分析】一般地，把幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個(gè)二次根式

叫做同類二次根式.先將各選項(xiàng)進(jìn)行化簡(jiǎn)，再根據(jù)被開方數(shù)是否相同進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：/、&=2后和6不是同類二次根式，本選項(xiàng)不合題意；

B、&1=2右與也不是同類二次根式，本選項(xiàng)不合題意；

C、石與A不是同類二次根式，本選項(xiàng)不合題意；

D、775=573,厲=3抬是同類二次根式，本選項(xiàng)符合題意.故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同類二次根式，解答本題的關(guān)鍵在于熟練掌握二次根式的化簡(jiǎn)及同類二次根式的概

念.

【實(shí)戰(zhàn)經(jīng)典3]（2021?重慶）計(jì)算內(nèi)xV7-血的結(jié)果是（）

A.7B.672C.772D.277

【分析】根據(jù)二次根式的乘法法則和減法法則運(yùn)算.

【解答】解：原式=j2x7xV7-血

=V2xV7xV7-V2=7V2-V2=6A/2.故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次

根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍.

【實(shí)戰(zhàn)經(jīng)典4】（2021?包頭）若》=g+1,則代數(shù)式f-2x+2的值為（）

A.7B.4C.3D.3-272

【分析】利用條件得到x-l=血，兩邊平方得V-2x=l,然后利用整體代入的方法計(jì)算.

【解答】解：X=V2+1,:.X-\=41,，(X-1)2=2,gpX2-2x+l=2,

x2—2x=1,x1—2x+2=l+2=3.故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值：完全平方公式的靈活運(yùn)用是解決問題的關(guān)鍵.利用整體代入的

方法可簡(jiǎn)化計(jì)算.

【實(shí)戰(zhàn)經(jīng)典5](2019?宜昌)古希臘幾何學(xué)家海倫和我國(guó)宋代數(shù)學(xué)家秦九韶都曾提出利用三角形的三邊

求面積的公式，稱為海倫-秦九韶公式：如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是a,b,c,記jl+g