中考數(shù)學一輪復習勾股定理講義及答案

中考數(shù)學一輪復習勾股定理（講義及答案）及解析

一、選擇題

1.勾股定理是幾何中的一個重要定理，在我國算書《網(wǎng)醉算經(jīng)》中就有“若勾三，股四,

則弦五”的記載.如圖1,是由邊長相等的小正方形和直角三角形構(gòu)成的，可以用其面積

關系驗證勾股定理.圖2是由圖1放入矩形內(nèi)得到的，ZBAC=90°,AB=3,BC=5,點D,

E,F,G,H,I都在矩形KLMJ的邊上，則矩形KLMJ的面積為（）

A.121B.110C.100D.90

2.如圖，在及AABC中，ZACB-90,AB=5cm,AC-3cm,動點P從點3出發(fā)，沿

射線BC以lcm/s的速度移動，設運動的時間為f秒，當/A3P為等腰三角形時，t的值

不可能為（）

3.如圖，將一個等腰直角三角形按圖示方式依次翻折，若DE=a,則下列說法正確的是

（）

①DC平分NBDE；②長為（直+2）a；③ABCD是等腰三角形；④△CED的周長

等于的長.

4.如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形。若正方形A、B、C、

D的邊長是3、5、2、3,則最大正方形E的面積是

A.13B.2忘+7?C.47D.岳

5.如圖，在HMABC中，NR4c=90°，以的三邊為邊分別向外作等邊三角形

NA'BC,AAB'C,△ABC',若VA'BC,△AB'C的面積分別是10和4,貝U

△ABC,的面積是（）

IV

A.4B.6C.8D.9

6.如圖，正方形ABCD的邊長為8,M在DC上，且DM=2,N是AC上的一動點，則

DN+MN的最小值是（）

AD

BC

A.8B.9C.10D.12

7.下列四組數(shù)中不能構(gòu)成直角三角形的一組是（）

A.1,2,76B.3,5,4C.5,12,13D.3,2,V13

8.在RtZiABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,則點C至!]AB的距離是（)

334一12

A.—B.-C.-D.

455T

9.《九章算術》是我國古代第一部數(shù)學專著，它的出現(xiàn)標志中國古代數(shù)學形成了完整的體

系."折竹抵地"問題源自《九章算術》中："今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，問折者

高幾何？"意思是：一根竹子，原高一丈，一陣風將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離

竹子底部4尺遠（如圖），則折斷后的竹子高度為多少尺？（1丈=10尺）（）

A.3B.5C.4.2D.4

10.下列四組線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是（）

A.1>V2>v3B.2、3、4C.1、2、3D.4、5、6

二、填空題

11.如圖，RTAABC,ZACB^90°,AC=6,BC=8,將邊AC沿CE翻折，使點

A落在AB上的點。處；再將邊BC沿CV翻折，使點3落在CD的延長線上的點3'

處，兩條折痕與斜邊A3分別交于點E、F,則△5'FC的面積為.

12.我國古代數(shù)學名著《九章算術》中有云：“今有木長二丈，圍之三尺.葛生其下，纏

木七周，上與木齊.問葛長幾何？”大意為：有一根木頭長2丈，上、下底面的周長為3

尺，葛生長在木下的一方，繞木7周，葛梢與木頭上端剛好齊平，則葛長是

尺.（注：/丈等于10m尺，葛纏木以最短的路徑向上生長，誤差忽略不計）

H

0g

13.在AABC中，AB=10cm,AC=11cm,邊上的高為8cm,則AABC的面積為

14.在AABC中，AB=6,AC=5,BC邊上的高AD=4,貝IjAABC的周長為.

15.如圖，。為坐標原點，四邊形Q鉆C為矩形，4（20,0）,。（0,8）,點。是。4的中

點，點P在邊上運動，當AQDP是以OD為腰的等腰三角形時，則P點的坐標為

16.已知，在AABC中，ZC=90°,AC=BC=7,D是AB的中點，點E在AC上，點F在BC

上，DE=DF,若BF=4,貝!]EF=

17.如圖所示，"趙爽弦圖"是由8個全等的直角三角形拼接而成的，記圖中正方形ABCD,

正方形EFGH,正方形MNKT的面積分別為耳㈤區(qū),己知4+邑+S3=10,則邑的值是

IL

R

18.如圖，E為等腰直角△八BC的邊曲上的一點，要使AE=3,BE=1,P為47上的動

點，則PB+PE的最小值為.

19.如圖，由兩個直角三角形和三個正方形組成的圖形，已知AB=25,AC=24其中

陰影部分面積是平方單位.

20.在HhABC中，NA=90。，其中一個銳角為60。，BC=2退，點P在直線AC上

（不與A，C兩點重合），當NABP=30°時，CP的長為.

三、解答題

21.如圖，在AABC中，AB=30cm,BC=35cm,ZB=60°,有一動點M自A向B以1

cm/s的速度運動，動點N自B向C以2cm/s的速度運動，若M,N同時分別從A,B出

發(fā).

⑴經(jīng)過多少秒，ABM/V為等邊三角形；

⑵經(jīng)過多少秒，△B/WN為直角三角形.

22.已知a,b,c滿足+Ja-8=|c-17|+b2-306+225,

（1）求a,b,c的值；

（2）試問以a,b,c為邊能否構(gòu)成三角形？若能構(gòu)成三角形，求出三角形的周長和面積；

若不能構(gòu)成三角形，請說明理由.

23.如圖，AABC中，NACB=90。，AB^Scm,BC=3cm,若點P從點4出發(fā)，以每秒2cm

的速度沿折線A-C-B-A運動，設運動時間為t秒（t>0）.

（1）若點P在AC上，且滿足%=PB時，求出此時t的值；

（2）若點P恰好在的角平分線上，求t的值；

（3）在運動過程中，直接寫出當t為何值時，ABCP為等腰三角形.

24.定義：如圖1,點“、N把線段A3分割成40、MN和BN,若以40、MN、

BN為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點M、N是線段A3的勾股分割點.

MN=3,求BN的長;

(2)如圖2,在RtAiABC中，AC=5C,點舷、N在斜邊AB上，ZMCN=45°,

求證：點M、N是線段A5的勾股分割點（提示：把△AQ0繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)

90°）；

（3）在（2）的問題中，ZACM=15°,AM=1,求的長.

25.如圖，AABC中，ZBAC=90°,AB=AC,P是線段BC上一點，且0°<NSAP<45°.作

點B關于直線AP的對稱點D,連結(jié)BD,CD,AD.

（1）補全圖形.

（2）設/BAP的大小為a.求NADC的大?。ㄓ煤琣的代數(shù)式表示）.

（3）延長CD與AP交于點E,直接用等式表示線段BD與DE之間的數(shù)量關系.

26.如圖，己知RtAABC,ZACB=90°,ZBAC=30°,斜邊AB=4，ED為A5垂

直平分線，且DE=2若，連接。5，DA.

(1)直接寫出BC=,AC=；

(2)求證：AABD是等邊三角形；

(3)如圖，連接CD,作耐，CD,垂足為點歹，直接寫出8斤的長;

(4)尸是直線AC上的一點，且CP=』AC,連接PE,直接寫出PE的長.

3

27.如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD,BC=DC,NA=60°,點E為AD邊上一

點，連接CE,BD.CE與BD交于點、F,且CE〃AB.

A

(1)求證:NCED=NAD5；

(2)若AB=8,CE=6.求BC的長.

28.閱讀下列一段文字，然后回答下列問題.

已知在平面內(nèi)有兩點《(七，%)、￡(々，%)，其兩點間的距離

々什={(七一々)2+(%—%)，同時，當兩點所在的直線在坐標軸或平行于坐標軸或垂

直于坐標軸時，兩點間距離公式可化簡為|石-々I或I%-%L

(1)已知4(2,4)、5(-3,-8),試求A、B兩點間的距離.

已知M、N在平行于y軸的直線上，點M的縱坐標為4,點N的縱坐標為-1,試求M、N

兩點的距離為;

(2)己知一個三角形各頂點坐標為。(1,6)、E(-3,3)、F(4,2),你能判定此三角

形的形狀嗎?說明理由.

(3)在(2)的條件下，平面直角坐標系中，在X軸上找一點P,使？D+?少的長度最

短，求出點P的坐標及？D+抄的最短長度.

29.如圖1,已知△ABC是等邊三角形，點D,E分別在邊BC,AC上，且CD=AE,40與

BE相交于點F.

(1)求證：ZABE=ZCAD-,

(2)如圖2,以4。為邊向左作等邊△A0G,連接BG.

i)試判斷四邊形AGBE的形狀，并說明理由；

ii)若設B0=l,DC=k(0<k<l),求四邊形AGBE與△ABC的周長比(用含k的代數(shù)

式表示).

A

E

G

BD。BD

圖1圖2

30.（發(fā)現(xiàn)）小慧和小雯用一個平面去截正方體，得到一個三角形截面（截出的面），發(fā)

現(xiàn)截面一定是銳角三角形.為什么呢？她們帶著這個疑問請教許老師.

（體驗）（1）從特殊入手許老師用1個鉀釘把長度分別為4和3的兩根窄木棒的一端連

在一起（如圖4B=4,4C=3），保持4B不動，讓AC從重合位置開始繞點4轉(zhuǎn)動，在轉(zhuǎn)動的

過程，觀測BC的大小和44BC的形狀，并列出下表：

B

?

BC的大小ZMBC的形狀

1<BC<m

BC=m直角三角形

m<EC<n

BC=n直角三角形

n<BC<7

請仔細體會其中的道理，并填空：血=，九=；

（2）猜想一般結(jié)論在44BC中，設BC=a,AC=b,AB=c<^a<b<c）,

①若zMBC為直角三角形，則a,b,c滿足+板=&；

②若為銳角三角形，貝i]a,b,c滿足；

③若4aBe為鈍角三角形，貝i]a,b,c滿足.

（探索）在許老師的啟發(fā)下，小慧用小刀在一個長方體橡皮上切出一個三角形截面4BC

（如圖1）,設=SB=y,SC=z,請幫助小慧說明44BC為銳角三角形的道理.

（應用）在小慧的基礎上，小雯又切掉一塊"角B",得到一個新的三角形截面DEF（如圖

2）,那么4DEF的形狀是（）

A.一定是銳角三角形

B.可能是銳角三角形或直角三角形，但不可能是鈍角三角形

C.可能是銳角三角形或直角三角形或鈍角三角形

【參考答案】***試卷處理標記，請不要刪除

一、選擇題

1.B

解析：B

【分析】

延長A5交替于點。，延長AC交于點P,可得四邊形AOLP是正方形，然后求

出正方形的邊長，再求出矩形KLM7的長與寬，然后根據(jù)矩形的面積公式列式計算即可得

解.

【詳解】

解：如圖，延長A5交"于點。，延長AC交GM于點P,則四邊形尸是矩形.

ZCBF=90°,

ZABC+NOBF=90°,

又?.?直角AABC中，ZABC+ZACB=90°,

NOBF=ZACB,

在AQBb和zUCB中，

ABAC=ZBOF

<ZACB=ZOBF,

BC=BF

\OBF=AACB(AAS),

AC—OB,

同理：AACB=APGC,

:.PC=AB,

:.OA=AP,

所以，矩形AOLP是正方形，

邊長AO=AB+AC=3+4=7,

所以，KL=3+7=10,LM=4+7=11,

因此，矩形缸加7的面積為10*11=110,

故選B.

本題考查了勾股定理的證明，作出輔助線構(gòu)造出正方形是解題的關鍵.

2.C

解析：C

【分析】

根據(jù)ZkABP為等腰三角形，分三種情況進行討論，分別求出BP的長度，從而求出t值即

可.

【詳解】

在HhABC中，BC2=AB2-AC2=52-32=16-

BC—4cm>

①如圖，當=時，BP=5cm,t=5；

B

②如圖，當AB=AP時，

?/AC±BP,

BP=2.BC=8cm,/=8；

③如圖，當5P=AP時，設AP=BP=xcm,則CP=(4-x)cnz,AC=3cm,

,/在中，AP?=

Rt^ACPAC2+cp?,

.-.x2=32+(4-X)2,

解得:x--，

8

,25

?,t-----,

8

25

綜上所述，當ZkAB尸為等腰三角形時，f=5或￡=8或/=彳.

8

故選：C.

【點睛】

本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，注意分類討論.

3.B

解析：B

【分析】

根據(jù)折疊前后得到對應線段相等，對應角相等判斷①③④式正誤即可，根據(jù)等腰直角三角

形性質(zhì)求BC和DE的關系.

【詳解】

解：根據(jù)折疊的性質(zhì)知，叢CED=bCED,且都是等腰直角三角形，

/.ZBDE<9Q°,ZCDE=45°,

ZCDE^-ZBDE

2

DC'不能平分NBD石①錯誤；

.\ZDCE=ZDCE=45°,CE=CE=DE=AD=af

CD=DC=缶，

/.AC=a+y/2a，BC=垃AC=（亞+2）a,

②正確；

?;ZABC=2ZDBC,

.-.ZDBC=22.5°,

?.?"CB=45°,

ZBDC=112.5°,

.?.ASCD不是等腰三角形，

故③錯誤；

.,.△。團的周長=以+叱+⑺入+口+衣^^+應）”—

故④正確.

故選：B.

【點睛】

本題利用了：①折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，

折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等；②等腰直角三角形，

三角形外角與內(nèi)角的關系，等角對等邊等知識點.

4.C

解析：c

【分析】

根據(jù)勾股定理即可得到正方形A的面積加上B的面積加上C的面積和D的面積是E的面

積.即可求解.

【詳解】

四個正方形的面積的和是正方形E的面積：即32+52+22+32=9+25+4+9=47;故答

案為C.

【點睛】

理解正方形A,B,C,D的面積的和是E的面積是解決本題的關鍵.

5.B

解析：B

【分析】

設AB=c,AC=b,BC=a,用a、b、c分別表示VA'BC,AAB'C,△ABC'的面積，再利

用RMABC得b2+c2=a2,求得c值代入即可求得的面積的面積.

【詳解】

設AB=c,AC=b,BC=a,

由題意得V45c的面積二Q.1"=10，

22

△AB'C的面積二工力.且人=4

22

在RtAABC中，ZBAC=90°,b2+c2=a2,

.2=2中=竺石-36=8百

33

△ABC'的面積=Lc?走c=3,2=，|x8百=6

2244

故此題選B

【點睛】

此題考察勾股定理的運用，用直角三角形的三邊分別表示三個等邊三角形的面積，運用勾

股定理的等式求得第三個三角形的面積

6.C

解析：c

【解析】

【分析】

要求DN+MN的最小值，DN,MN不能直接求，可考慮通過作輔助線轉(zhuǎn)化DN,MN的

值，從而找出其最小值求解.

【詳解】

解：：正方形是軸對稱圖形，點B與點D是關于直線AC為對稱軸的對稱點，

連接BN,BD,則直線AC即為BD的垂直平分線，

；.BN=ND；.DN+MN=BN+MN連接BM交AC于點P,

:點N為AC上的動點，

由三角形兩邊和大于第三邊，

知當點N運動到點P時，

BN+MN=BP+PM=BM,

BN+MN的最小值為BM的長度，

:四邊形ABCD為正方形，

；.BC=CD=8,CM=8-2=6,BCM=90°,

.?.BM=J6Z+8Z=10,

.?.DN+MN的最小值是10.

故選：c.

【點睛】

此題考查正方形的性質(zhì)和軸對稱及勾股定理等知識的綜合應用，解題的難點在于確定滿足

條件的點N的位置：利用軸對稱的方法.然后熟練運用勾股定理.

7.A

解析:A

【解析】

A.12+2^（V6）2,不能構(gòu)成直角三角形，故此選項符合題意；

B.32+42=52,能構(gòu)成直角三角形，故此選項不符合題意；

C.52+122=132,能構(gòu)成直角三角形，故此選項不符合題意；

D.32+22=（A/13）2,能構(gòu)成直角三角形，故此選項不符合題意;

故選A.

8.D

解析：D

【解析】

在RtAABC中ZC=90°,AC=3,BC=4,根據(jù)勾股定理求得AB=5,設點C到AB的距離為h,

即可得LhxAB=LACxBC,即Lhx5=^x3x4,解得h=U

故選D.

22225

9.C

解析：C

【分析】

根據(jù)題意可設折斷處離地面的高度0A是x尺，折斷處離竹梢AB是（10—x）尺，結(jié)合勾

股定理即可得出折斷處離地面的高度.

【詳解】

設折斷處離地面的高度OA是x尺，則折斷處離竹梢AB是（10—x）尺，

由勾股定理可得：042+032=452

222

即：X+4=（10-X）,

解得：x=4.2

故折斷處離地面的高度OA是4.2尺.

故答案選：C.

【點睛】

本題主要考查直角三角形勾股定理的應用，解題的關鍵是熟練運用勾股定理.

10.A

解析：A

【分析】

求出兩小邊的平方和、最長邊的平方，看看是否相等即可.

【詳解】

A、?.?1+(a)2=(百)2

???以1、&、出為邊組成的三角形是直角三角形，故本選項正確；

B、V22+32*42

以2、3、4為邊組成的三角形不是直角三角形，故本選項錯誤；

C、V12+22*32

.??以1、2、3為邊組成的三角形不是直角三角形，故本選項錯誤；

D、V42+52^62

.??以4、5、6為邊組成的三角形不是直角三角形，故本選項錯誤；

故選A..

【點睛】

本題考查了勾股定理的逆定理應用，掌握勾股定理逆定理的內(nèi)容就解答本題的關鍵.

二、填空題

【分析】

將ABTF的面積轉(zhuǎn)化為求4BCF的面積，由折疊的性質(zhì)可得CD=AC=6,/ACE=/DCE,

NBCF=/B'CF,CEXAB,可證得^ECF是等腰直角三角形，EF=CE,NEFC=45。，由等面

積法可求CE的長，由勾股定理可求AE的長，進而求得BF的長，即可求解.

【詳解】

根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，CD=AC=6,NACE=NDCE,/BCF=/B'CF,CE±AB,

.?.ZDCE+ZB,CF=ZACE+ZBCF,

?.,ZACB=90",

.,.ZECF=45",且CEJ_AB,

.-.△ECF是等腰直角三角形，

；.EF=CE,ZEFC=45",

11

VSAABC=—AC?BC=—AB?CE,

22

，AC?BC=AB?CE,

:根據(jù)勾股定理求得AB=10,

24

/.EF

5

VAE=7AC2-CE2

248

BF=AB-AE-EF=10———

555

SACBZF-

【點睛】

此題主要考查了翻折變換，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應用等知識，根據(jù)折疊

的性質(zhì)求得相等的角是解決本題的關鍵.

12.【分析】

這種立體圖形求最短路徑問題，可以展開成為平面內(nèi)的問題解決，展開后可轉(zhuǎn)化下圖，所

以是個直角三角形求斜邊的問題，根據(jù)勾股定理可求出.

【詳解】

解：如圖，一條直角邊（即木棍的高）長20尺，

另一條直角邊長7x3=21（尺），

因此葛藤長12（）2+2F=29（尺）.

答：葛藤長29尺.

故答案為：29.

【點睛】

本題考查了平面展開最短路徑問題，關鍵是把立體圖形展成平面圖形，本題是展成平面圖

形后為直角三角形按照勾股定理可求出解.

13.36或84

【分析】

過點A作于點。，利用勾股定理列式求出B。、CD,再分點。在邊BC上和在C8的

延長線上兩種情況分別求出BC的長度，然后根據(jù)三角形的面積公式列式計算即可得解.

【詳解】

解：過點A作AD_LBC于點D,

邊上的高為8cm,

/.AD=8cm,

VAC=17cm,

由勾股定理得：

2222

BD=A/A5-A￡>=A/10-8=6cm>

CD=VAC2-AD2=7n2-82=155，

如圖1,點。在邊8c上時，

BC=BD+CD=6+15=21cm,

"BC的面積=L3C?AD=Lx21x8=84cm2,

22

如圖2,點D在CB的延長線上時，

BC=CD-BD=15-6=9cm,

△ABC的面積=-.BC.AD=-X9X8=36cm2,

22

綜上所述，AABC的面積為36cm2或84cm2,

故答案為：36或84.

圖1圖2

【點睛】

本題考查了勾股定理，作輔助線構(gòu)造出直角三角形是解題的關鍵，難點是在于要分情況討

論.

14.14+2百或8+2百

【分析】

分兩種情況考慮：如圖1所示，此時△ABC為銳角三角形，在直角三角形ABD與直角三角

形ACD中，利用勾股定理求出BD與DC的長，由BD+DC求出BC的長，即可求出周長；如

圖2所示，此時△ABC為鈍角三角形，同理由BD-CD求出BC的長，即可求出周長.

【詳解】

解：分兩種情況考慮：

如圖1所示，此時AABC為銳角三角形，

圖1

2

在RtAABD中，根據(jù)勾股定理得：BD=y/AB2-AD2=A/6-42=275，

在RtAACD中，根據(jù)勾股定理得：CD=7AC2-AD2=/52—42=3，

.'-BC=2百+3，

.,.△ABC的周長為：6+5+26+3=14+26；

如圖2所示，此時AABC為鈍角三角形，

圖2

在RtAABD中，根據(jù)勾股定理得：BD=7AB2-AD2=762-42=2A/5，

在RtAACD中,根據(jù)勾股定理得：CD=y/AC2-AD2=A/52-42=3,

-'.BC=2A/5-3，

?,.△ABC的周長為：6+5+275-3=8+275；

綜合上述，AABC的周長為：14+2君或8+2君；

故答案為：14+26或8+2石.

【點睛】

此題考查了勾股定理，利用了分類討論的思想，熟練掌握勾股定理是解本題的關鍵.

15.（4,8）或（6,8）或（16,8）

【分析】

當AQDP是以OD為腰的等腰三角形時，分為兩種情況①點。是頂角頂點時，②D是頂角

頂點時，根據(jù)勾股定理求出CP,PM即可.

【詳解】

解：0D是等腰三角形的一條腰時：

①若點。是頂角頂點時，P點就是以點。為圓心，以10為半徑的弧與CB的交點，

在直角AOPC中，CP=yJoi^-OC2=V102-82=6-則P的坐標是（6,8）.

②若D是頂角頂點時，P點就是以點D為圓心，以10為半徑的弧與CB的交點，

過D作DM_LBC于點M,

在直角△PDM中，PM=7PD2-DM2=V102-82=6，

當P在M的左邊時，CP=10-6=4,則P的坐標是（4,8）；

當P在M的右側(cè)時，CP=10+6=16,則P的坐標是（16,8）.

故P的坐標為：（6,8）或（4,8）或（16,8）.

故答案為：（6,8）或（4,8）或（16,8）.

【點睛】

本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理的運用，注意正確地進行分類，考慮到所有的

可能情況是解題的關鍵.

16.3后或11后或5或一

【分析】

分別就E,F在AC,BC上和延長線上，分別畫出圖形，過D作DG_LAC,DH±BC,垂足為G,

H,通過構(gòu)造全等三角形和運用勾股定理作答即可.

【詳解】

解：①過D作DG_LAC,DH±BC,垂足為G,H

；.DG〃BC,ZCDG=ZCDH=45°

又是AB的中點,

1.

??DG——BC

2

同理：DH=-AC

2

又YBC=AC

ADG=DH

在RtADGE和RtADHF中

DG=DH,DE=DF

.?.RtADGE^RtADHF(HL)

AGE=HF

又「DG=DH,DC=DC

.,.△GDC^AFHC

???CG=HC

???CE=GC-GE=CH-HF=CF=AB-BF=3

?'-EF=A/32+32=372

②過D作DG_LAC,DH±BC,垂足為G,H

，DG〃BC,ZCDG=ZCDH=45°

又；D是AB的中點，

1

.\DG=-BC

2

同理：DH=—AC

2

又：BC=AC

.\DG=DH

在RtADGE和RtADHF中

DG=DH,DE=DF

.,.RtADGE^RtADHF(HL)

；.GE=HF

XVDG=DH,DC=DC

.,.△GDC^AFHC

；.CG=HC

，CE=CF=AC+AE=AB+BF=7+4=11

-'-EF=7112+ll2=1172

③如圖，以點D為圓心，以DF長為半徑畫圓交AC邊分別為E、E'，過點D作DHLAC于

點H,可知DF=DE=DE',可證AEHD之△E'HD,^CE'DRCFD,△DHC為等腰直

角三角形，

.,.Zl+Z2=45°

；./EDF=2(Z1+Z2)=90°

.,.△EDF為等腰直角三角形

可證△AEO^ACFD

；.AE=CF=3,CE=BF=4

-■?EF=A/C￡2+CF2=V42+32=5

，ED=DF=m，可證△&ECFSXEDE,

2

E'

3y

5夜—572

---------------------FX

22

綜上可得：x=絲亞

5

E'F'=JOE"+DF'2d2DE'2

E'F'=—

5

【點睛】

本題考查了全等三角形和勾股定理方面的知識，做出輔助線、運用數(shù)形結(jié)合思想是解答本

題的關鍵.

【分析】

根據(jù)八個直角三角形全等，四邊形ABCD,EFGH,MNKT是正方形，得出CG=NG,

2

CF=DG=NF,再根據(jù)S1=(CG+DG)2,S2=GF,S3=(NG-NF^,

S[+$2+63=10,即可得出答案.

【詳解】

:八個直三角形全等，四邊形ABCD,EFGH,MNKT是正方形

；.CG=NG,CF=DG=NF

S]=(CG+DG)2=CG-+DG2+2CG?DG=GF~+2CG?DG

2

S2=GF

12

S3=(NG-NF》=NG+NF-2NG?NF

/.S1+S^S^GF2+2CGDG+GF-+NG~+NF~-2NGNF=3GF2=10

.._10

故§v2=W

故答案為---

3

【點睛】

本題主要考查了勾股定理的應用，用到的知識點由勾股定理和正方形、全等三角形的性質(zhì).

18.5

【解析】

試題分析：作點B關于AC的對稱點F,構(gòu)建直角三角形，根據(jù)最短路徑可知：此時PB+PE

的值最小，接下來要求出這個最小值，即求。的長即可，因此要先求AF的長，證明

△AOF烏△COB,可以解決這個問題，從而得出EF=5,貝UPB+PE的最小值為5.

解：如圖，過B作BO_LAC,垂足為D,并截取DF=BD,連接EF交AC于P,連接PB、AF,

則此時PB+PE的值最小，

?△ABC是等腰直角三角形，

.AB=CB,ZABC=90°,AD=DC,

.ZBAC=ZC=^5°,

'ZADF=ZCDB,

.△ADF咨LCDB,

.AF=BC,ZFAD=ZC=45°,

'AE=3,BE=1,

.AB=BC=4,

.AF=4,

'/BAF=/BAC+/MD=45°+45°=90°,

.由勾股定理得：EF=y/AF2+AE2=A/42+32=5,

?AC是BF的垂直平分線，

.BP=PF,

：.PB+PE=PF+PE=EF=5,

故答案為5.

點睛：本題主要考查最短路徑問題.解題的關鍵在于要利用軸對稱知識，結(jié)合兩點之間線段

最短來求解.

19.49

【分析】

先計算出BC的長，再由勾股定理求出陰影部分的面積即可.

【詳解】

ZACB=90°,AB=25,AC=24,

BC2=AB2-AC2=252-242=49,

...陰影部分的面積=BC2=49，

故答案為：49.

【點睛】

此題考查勾股定理，能利用根據(jù)直角三角形計算得到所需的邊長，題中根據(jù)勾股定理的圖

形得到陰影部分面積等于BC的平方是解題的關鍵.

20.2百或2或4

【分析】

根據(jù)題意畫出圖形，分4種情況進行討論，利用含30。角直角三角形與勾股定理解答.

【詳解】

當/C=60°時，ZABC=3O°,與NABP=30°矛盾;

如圖2：

.?.ZCBP=60°,

APBC是等邊三角形,

CP=BC=26；

如圖3：

當NABC=60°時，ZC=30°,

VZABP=30°,

.?.ZPBC=60°-30o=30°,

.*.PC=PB,

,/BC=26,

：.AB=-BC=y/3,AC=yjBC2-AB2=J(2^)2-(V3)2=3,

2

在RtAAPB中，根據(jù)勾股定理Ap2+A52=§p2,

即(AC-PC)2+AB-=PC2,

即(3—PC『+(百了=「。2,解得。。=2,

如圖4：

?.,ZABP=30°,

；./PBC=60°+30°=90°,

：.BP=-PC

2

在RtABCP中，根據(jù)勾股定理3P2+3。2=/>02,

即(Lpc)2+(2^)2=PC2,解得PC=4(已舍去負值).

2

綜上所述，CP的長為26或2或4.

故答案為：28或2或4.

【點睛】

本題考查含30。角直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理.理解直角三角形30。

角所對邊是斜邊的一半，并能通過勾股定理去求另外一個直角邊是解決此題的關鍵.

三、解答題

21.(1)出發(fā)10s后，△BMN為等邊三角形；(2)出發(fā)6s或15s后，△BMN為直角三角形.

【分析】

(1)設時間為X,表示出AM=x、BN=2x、BM=30-x,根據(jù)等邊三角形的判定列出方程，解

之可得；

(2)分兩種情況：①NBNM=90。時，即可知/BMN=30。，依據(jù)BN=—BM列方程求解可

2

得；②/BMN=90。時，知NBNM=30。，依據(jù)BM=4BN列方程求解可得.

2

【詳解】

解(1)設經(jīng)過x秒，ABMN為等邊三角形，

則AM=x,BN=2x,

；.BM=AB—AM=30—x,

根據(jù)題意得30—x=2x,

解得x=10,

答：經(jīng)過10秒，ABMN為等邊三角形；

(2)經(jīng)過X秒，ABMN是直角三角形，

①當/BNM=90。時，

VZB=60°,

；./BMN=30°,

.1.BN=—BM,即2x=；(30-x),

解得x=6；

②當/BMN=90。時，

VZB=60°,

；./BNM=30°,

/.BM=—BN,即30—X=LX2X,

22

解得x=15,

答：經(jīng)過6秒或15秒，ABIVIN是直角三角形.

【點睛】

本題考查勾股定理的逆定理，等邊三角形的判定.

22.(1)a—8,b=15,c—17；(2)能，60

【分析】

（1）根據(jù)算術平方根，絕對值，平方的非負性即可求出a、b、c的值；

（2）根據(jù)勾股定理的逆定理即可求出此三角形是直角三角形，由此得到面積和周長

【詳解】

解：（1）,：a,b,c滿足j8—a+Ja—8=|c-17|+1-30b+225,

-a+個a-8=|c_17|+（Z?—15）",

.*.a-8=0,b-15=0,c-17=0,

...a=8,b=15,c=17；

（2）能.

\?由（1）知a=8,6=15,c=17,

/.82+152=172.

：.a2+c2=b2,

此三角形是直角三角形，

，三角形的周長=8+15+17=40；

三角形的面積=x8xl5=60.

2

【點睛】

此題考查算術平方根，絕對值，平方的非負性，勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀.

25Q]53]9

23.（1）—；（2）/=—或6；（3）當/=—,5,一或一時，ABCP為等腰三角形.

1632104

【分析】

（1）設存在點P,使得PA=PB,此時以=P5=2f,PC=4-2t,根據(jù)勾股定理列

方程即可得到結(jié)論；

（2）當點P在/。LB的平分線上時，如圖1,過點P作？E_LA3于點E,此時

BP=Q—2t,PE=PC=2t—4,BE=5—4=1,根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論；

（3）在中，根據(jù)勾股定理得到AC=4m,根據(jù)題意得：AP=2t,當P在AC

上時，ABCP為等腰三角形，得到PC=6C,即4—2/=3,求得/=—,當P在AB上

2

時，△BCP為等腰三角形，若CP=PB,點P在BC的垂直平分線上，如圖2,過P作

194

PELBC于E,求得/=一，若PB=BC,即27—3—4=3,解得/=5,

4

③PC=BC,如圖3,過C作CRLAB于F,由射影定理得；BC2=BFAB，列方程

c2Z-3-4

32=--------x5,即可得到結(jié)論.

2

【詳解】

解：在HhABC中，AB=5cm,BC-3cm,

/.AC-4cm,

（1）設存在點P,使得巴4=夫_6,

此時PA=P5=2%,PC=A-2t,

在HhPCB中，PC-+CB-=PB~，

BP：（4—2/f+32=（2/）2,

25

解得：t=—,

16

,251

二當。=—時，PA=PB；

16

（2）當點P在/B4C的平分線上時，如圖1,過點P作？于點E,

圖1

此時的=7—2f,PE=PC=2t—4,BE=5-4=1,

在Rt^BEP中，PE2+BE2=BP~，

BP：（2/-4）2+儼=（7—2/）2,

Q

解得：t=-,

3

當/=6時，點P與A重合，也符合條件，

Q

,當^=一或6時，P在AABC的角平分線上；

3

（3）根據(jù)題意得：AP=2t,

當P在AC上時，△BCP為等腰三角形，

:.PC=BC,即4—21=3,

1

/.t——,

2

當P在AB上時，ABCP為等腰三角形，

?CP=PB,點P在BC的垂直平分線上，

如圖2,過P作PE_L5C于E,

13

:.BE=-BC=-,

22

1519

:.PB=-AB,即2r—3—4=—,解得：t=—,

224

②PB=BC,即2/—3—4=3,

解得：t=5,

③PC=BC,如圖3,過C作CbLAB于F,

?.?/ACB=90。，

由射影定理得；BC?=BF-AB，

即BZMZL-S

2

53

解得：t=—,

10

153IQ

二當。=工,5,二或一時，ABCP為等腰三角形.

2104

【點睛】

本題考查了等腰三角形的判定，三角形的面積，難度適中.利用分類討論的思想是解(3)

題的關鍵.

24.(1)也或岳;(2)見解析；(3)2+73

【分析】

(1)分兩種分割法利用勾股定理即可解決問題；

(2)如圖，過點A作AD_LAB,且AD=BN.只要證明△ADCgZkBNC,推出CD=CN,

ZACD=ZBCN,再證明△MDCgZXMNC,可得MD=MN,由此即可解決問題；

(3)過點B作BP_LAB,使得BP=AM=1,根據(jù)題意可得△CPB^^CMA,△CMN四△CPN,

利用全等性質(zhì)推出NBNP=30。，從而得到NB和NP的長,即得BM.

【詳解】

解：(1)當MN最長時，BN={MN?-AM。=非，

當BN最長時，BN=yjAM2+MN2=屈；

(2)證明：如圖，過點A作AD_LAB,且AD=BN,

在4ADC和△BNC中，

AD=BN

<ZDAC=ZB,

AC=BC

.?.△ADC^ABNC(SAS),

；.CD=CN,ZACD=ZBCN,

VZMCN=45°,

，/DCA+/ACM=/ACM+NBCN=45°,

，/MCD=NMCN,

在^MDC和△MNC中，

CD=CN

<ZMCD=ZMCN,

CM=CM

.'.△MDC^AMNC(SAS),

；.MD=MN

在RtZkMDA中，AD2+AM2=DM2,

.?.BN2+AM2=MN2,

...點M,N是線段AB的勾股分割點;

c

(3)過點B作BP_LAB,使得BP=AM=1,

根據(jù)(2)中過程可得：△CPBZ/iCMA,△CMN注△CPN,

.?.ZAMC=ZBPC=120°,AM=PB=1,

ZCMN=ZCPN=ZA+ZACM=45°+15°=60°,

.?.ZBPN=120°-60°=60°,

.?.ZBNP=30°,

，NP=2BP=2=MN,

.-.BN=722-l2=后,

；.BM=MN+BN=2+B

AB

MN

【點睛】

本題是三角形的綜合問題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關

鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型.

25.（1）見解析；（2）ZADC=45°+a；（3）BD=y[lDE

【分析】

（1）根據(jù)題意畫出圖形即可；

（2）根據(jù)對稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)及角與角之間的和差關系進行計算即可；

（3）畫出圖形，結(jié)合（2）的結(jié)論證明ABED為等腰直角三角形，從而得出結(jié)論.

【詳解】

解：（1）如圖所不；

(2);點B與點D關于直線AP對稱，/BAP=a,

；./PAD=a,AB=AD,

VABAC=90°,

：.ZDAC^90°-2a,

又；AB=AC,

；.AD=AC,

/.ZADC=|x[l80°-(90°-2a)]=45°+a；

Jt

由(2)知：NADC=45°+a,

：/ADC=/AED+NEAD,且/EAD=a,

；.NAED=45°,

:點B與點D關于直線AP對稱，即AP垂直平分BD,

；./AED=/AEB=45°,BE=DE,

.?.ZBED=90°,

.'.△BED是等腰直角三角形，

BD1=BE2+DE2=2DE2-

BD=叵DE-

【點睛】

本題考查了軸對稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，明確角與角之間的關

系，學會添加常用輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關鍵.

26.（1）2，273（2）證明見解析（3）2叵（4）述或組

733

【分析】

（1）根據(jù)含有30°角的直角三角形的性質(zhì)可得BC=2,再由勾股定理即可求出AC的長；

（2）由ED為垂直平分線可得DB=DA,在RtZkBDE中，由勾股定理可得BD=4,可得

BD=2BE,故/BDE為60°,即可證明AABD是等邊三角形；

（3）由（1）（2）可知，AC=2也,AD=4,進而可求得CD的長，再由等積法可得

S四邊形ACBD=SABCD+>代入求解即可；

（4）分點P在線段AC上和AC的延長線上兩種情況，過點E作AC的垂線交AC于點Q,

構(gòu)造RtaPQE,再根據(jù)勾股定理即可求解.

【詳解】

（1）RtAABC,ZACfi=90°,ZSAC=30°,斜邊AB=4,

：,BC=-AB=2,：.AC=^AB--BC-=2^