中考數學專項突破：奔馳模型（含答案及解析）

@0

研j模型介紹

因為像奔馳車標，所以叫奔馳模型

0【結論】如圖，等邊△ABC,PA=3,PB=4,PC=5,

團關鍵：旋轉可以讓線段動起來

證明：過點B作BQ±AP與點Q以AP為邊向左側作等邊4APD,連接

ZAPB=150°BD

:.ZBPQ=30°BP=4BQ=2VAABC,Z\ADP為等邊三角形

/.ZDAB=60°-ZBAP

PQ=J/-BQ2=2禽

ZPAC=600-ZBAP

:.ZDAB=ZPAC

：.AB2=AQ2-BQ2=25+12A/3

易證△DABBZ\PAC(SAS)

sT旃2^/.DB=PC=5

44VDP!+BP；!=DB;!

:.ZDPB=90°ZAPB=150°

各種旋法:

A

國超酷炫又實肋s亭

例題精講

【例1]如圖，點。是等邊△ABC內部一點，BD=1,DC=2,AD=e，則

A變式訓練

【變式1T】.如圖，點。是等邊△ABC內一點，AD=3,BD=3,CD=372，△ACE是

由△ABD繞點A逆時針旋轉得到的，則NAOC的度數是（）

A.40°B.45°C.105°D.55°

【變式1-2].如圖，等邊三角形ABC內有一點尸，分別連接AP、BP、CP,若AP=6,BP

=8,CP=1Q.貝U5^A3P+SZ^PC=

【變式1-3].如圖，點尸是正方形ABC。內的一點，且必=1,PB=PD=近,貝IJ/AP8

的度數為.

（■1m

成j實戰(zhàn)演練

1.如圖，點。是等邊三角形ABC內一點，0A=2,OB=l,0C=J§,則△AOB與△BOC

3V3

BrV_-?------D.M

A?哼-44

2.如圖，P是等邊三角形ABC內一點，將線段AP繞點A順時針旋轉60°得到線段AQ,

連接2。.若用=6,PB=8,PC=10,則四邊形APB。的面積為（）

A.24+9愿B.48+9愿C.24+18我D.48+1873

3.如圖，。是正AABC內一點，0A=3,0B=4,0C=5,將線段B0以點B為旋轉中心逆時針旋

轉60。得到線段B0',有下列結論：

①△BO'A可以由△BOC繞點B逆時針旋轉60°得到；

②點。與0'的距離為4;③NA0B=150°;

④S四邊形=6+3V3;=6+^V3

AOB。，?S&AOC+S&AOB

其中正確的結論是（）

A

A.①②③⑤B.①②③④C.①②③④⑤D.①②③

4.如圖，在菱形ABCD中，ZABC=60°,對角線AC平分/BAD,點P是4ABC內一點，連接

PA,PB,PC.若PA=6,PB=8,PC=10,則菱形ABCD的面積等于.

5.如圖，點尸是正方形ABC。內一點,若PA=V^，PB=&，PC=\,貝iJ/BPC=

6.已知P是等邊AABC內一點，若鞏=3,PB=5,PC=4,則△4BC的面積=

54

R

7.如圖，P是等邊三角形ABC內一點，將線段AP繞點A順時針旋轉60°得到線段AQ,

連接2。.若B4=6,PB=8,PC=10,則四邊形AP30的面積為.

8.如圖，P是等邊三角形ABC內的一點，且以=3,PB=4,PC=5,以BC為邊在△ABC

外作△BQC咨△BB4,連接P。，則以下結論中正確有(填序號)

①△BP。是等邊三角形②△PC。是直角三角形③ZAPB=150°④ZAPC=120°

9.如圖，尸是正三角形ABC內的一點，且%=6,PB=8,PC=10.若將△R1C繞點A逆

時針旋轉后，得到△「'AB.

(1)求點尸與點。之間的距離;

(2)求NAP8的度數.

AC

10.下面是一道例題及其解答過程，請補充完整.

(1)如圖1,在等邊三角形ABC內部有一點P,PA=3,尸8=4,PC=5,求NAPB的度

數.

解：將△APC繞點A逆時針旋轉60°,得到△AP'B,連接PP,則△APP為等邊三

角形.

"：PP'=E4=3,PB=4,P'B=PC=5,

：.P'P2+PB2=P,B1.

：.4BPP'為三角形.

ZAPB的度數為.

(2)類比延伸

如圖2,在正方形4BCD內部有一點尸，若NAP￡)=135°,試判斷線段陰、PB、PD之

間的數量關系，并說明理由.

11.【方法呈現】：

（1）已知，點尸是正方形ABC。內的一點，連B4、PB、PC.將△加3繞點B順時針旋

轉90°到△P'CB的位置（如圖1）,設48的長為a,PB的長為b求△必8

旋轉到△「'CB的過程中邊B4所掃過區(qū)域（圖1中陰影部分）的面積；

【實際運用工

（2）如圖2,點P是等腰Rt^ABC內一點，AB=BC,連接抬，PB,PC.若B4=2,

尸3=4,PC=6,求/APB的大??；

【拓展延伸工

（3）如圖3,點P是等邊△ABC內一點，B4=3,PB=4,PC=5,則△APC的面積是

（直接填答案）

12.（1）如圖1,點尸是等邊△ABC內一點，已知E4=3,PB=4,PC=5,求NAPB的度

數.

分析：要直接求NAPB的度數顯然很困難，注意到條件中的三邊長恰好是一組勾股數，

因此考慮借助旋轉把這三邊集中到一個三角形內.

解：如圖2,作/以。=60°使AZ）=AP,連接PD,CD,則△B4D是等邊三角形.

=AD=AP=3,ZADP=ZPAD=60°

,/AABC是等邊三角形

J.AC^AB,ZBAC=60°；./BAP=

AABP^AACD

.?.BP=CD=4,^ZADC

?.?在△2[￡）中，PD=3,PC=5,CD=4,PD2+CD2=PC2

：.NPDC=°

ZAPB=ZADC^ZADP+ZPDC^6Q°+90°=150°

（2）如圖3,在△ABC中，AB=BC,ZABC=90°,點P是△ABC內一點，B4=l,PB

=2,PC=3,求/APB的度數.

（3）拓展應用.如圖（4）,/XABC中，ZABC=30°,AB=4,BC=5,尸是△ABC內

部的任意一點，連接抬，PB,PC,貝I鞏+PB+PC的最小值為.

13.（原題初探）（1）小明在數學作業(yè)本中看到有這樣一道作業(yè)題：如圖bP是正方形ABC。

內一點，連結PA,PB,PC現將△出8繞點B順時針旋轉90°得到的△?'CB,連接

PP'.若以=魚，PB=3,ZAPB=135°,則尸C的長為,正方形ABCQ的邊

長為.

（變式猜想）（2）如圖2,若點尸是等邊△ABC內的一點，且以=3,尸8=4,PC=5,

請猜想NAPB的度數，并說明理由.

（拓展應用）（3）聰明的小明經過上述兩小題的訓練后，善于反思的他又提出了如下的

問題：

如圖3,在四邊形ABC。中，AD=3,CD=2,ZABC^ZACB=ZADC=45°,則BO

的長度為.

14.閱讀下面材料：

小明遇到這樣一個問題：如圖1，在等邊三角形ABC內有一點P,且%=3,PB=4,PC

=5,求NAPB度數.

小明發(fā)現，利用旋轉和全等的知識構造C,連接PP',得到兩個特殊的三角形，

從而將問題解決（如圖2）.

請回答：圖1中NAPB的度數等于,圖2中/PPC的度數等于.

參考小明思考問題的方法，解決問題：

如圖3,在平面直角坐標系尤0y中，點A坐標為（―g,1）,連接A0.如果點8是無軸

上的一動點，以AB為邊作等邊三角形ABC.當C（x,y）在第一象限內時，求y與x之

間的函數表達式.

yc

詞E］模型介紹

因為像奔馳車標，所以叫奔馳模型

國關鍵：旋轉可以讓線段動起來

證明：過點B作BQ_LAP與點Q以AP為邊向左側作等邊AAPD,連接

,:ZAPB=150°BD

:.NBPQ=30°BP=4BQ=2VAABC,Z\ADP為等邊三角形

AZDAB=600-ZBAP

:.PQ=J>P2_BQ2=2百

NPAC=60°-ZBAP

NDAB=NPAC

：.AB2=AQ2-BQ2=25+12A/3

易證△DABB^PAC(SAS)

，DB=PC=5

5AAsc乎

44VDP!+BP2=DB2

:.ZDPB=900ZAPB=150°

各種旋法：

國超酷炫又實用:s亭

Qp

目白例題精講

【例1].如圖，點。是等邊△ABC內部一點,3D=1,￡>C=2,AZ）=禽，則NAZ38=_J^_。.

解：將△BCO繞點8逆時針旋轉60°得到△AB。,

：.BD=BD',AD'=CD,

：.ZDBD'=60°,

...△20。是等邊三角形，

：.ZBDD'=60°,

'：BD=l,DC=2,AD=M，

.".DD'=1,AD'=2,

在△AOU中，AD'2=AD2+DD'2,

：.ZADD'=90°,

AZADB=60°+90°=150°,

故答案為150.

A變式訓練

【變式17].如圖，點。是等邊△ABC內一點，AD=3,BD=3,CD=3^2>AACE是

由△ABO繞點A逆時針旋轉得到的，則/AOC的度數是（）

A

D.55°

由旋轉可知，AACE@AABD,

.?.AE=AD=3,CE=BD=3,CD=3^2>

ZBAD=ZCAE,

VAABC是等邊三角形，

AZBAC=60°,

：.ZBAD+ZDAC^6Q°,

.,.ZCA￡+ZDAC=60°,即NZME=60°,

：.ADAE是等邊三角形，

.?.r>E=A￡>=3,

V32+32=(3A/2)2,

：.DE1+CE1=CD2,

...△OEC是直角三角形，且NZ)EC=90°,

：.DE=CE,Z￡DC=45°,

AZADC=ZADE+ZCDE=105°,故選：C.

【變式1-2].如圖，等邊三角形ABC內有一點P,分別連接AP、BP、CP,若AP=6,BP

=8,CP—10.則S人ABP+SABPC=24+16E_.

解：如圖，將△BPC繞點8逆時針旋轉60°后得連接PP,

A

根據旋轉的性質可知，

旋轉角NPBP，=ZCAB=60°,BP=BP',

：.4BPP'為等邊三角形，

：.BP'=BP=8=PP；

由旋轉的性質可知，AP'=PC=10,

在△BPP中，PP'=8,AP=6,

由勾股定理的逆定理得，AAPP'是直角三角形,

2

S^ABP+S^BPC—S四邊形AP'BP=SABP'P+SAAP'P=返BP+—XPPXAP=24+16A/3

4

故答案為：24+16我

【變式1-3].如圖，點P是正方形ABC。內的一點，且B4=l,PB=PD=M，貝IJ/APB

的度數為105°.

解：如圖，將AAPB繞點A逆時針旋轉90°得到△AOE,連接EP,

AAPB^AAED,

：.AE=AP=1,PB=DE=M，ZPAE=90Q,NAED=NAPB,

:.PE=?AE=?ZAEP=ZAPE=45°,

:.DE=DP=PE=近,

.?.△OEP是等邊三角形，

AZD￡P=60°,

AZAED=1Q5°=ZAPB,

故答案為：105°.

（■Ip

僦j實戰(zhàn)演練

1.如圖，點。是等邊三角形ABC內一點，0A=2,OB=1,0C=M，則△AOB與△BOC

的面積之和為（）

解：將△AOB繞點B順時針旋轉60°得△C￡>8,連接0Z）,

：.OB=BD,ZOBD=60°,CD=OA=2,

△BOZ）是等邊二角形，

：.OD=OB=1,

'：OD2+OC2=l2+（V3）2=4,CD2=22=4,

:.OD1+OC2=CD1,

：.ZDOC=90°,

/\AOB與△8OC的面積之和為SABOC+S&BCD=S4BOD+SACOD="^-X12+—X1XV§

42

3V3

故選：C.

2.如圖，尸是等邊三角形ABC內一點，將線段AP繞點A順時針旋轉60°得到線段AQ,

連接B。.若B4=6,PB=8,PC=10,則四邊形AP3Q的面積為（）

C.24+18愿D.48+18百

解：連接尸。，如圖，

?:△ABC為等邊三角形，

：.AB=AC,ZBAC=6Q°,

???線段AP繞點A順時針旋轉60。得到線段AQ,

：.AQ=AP,ZPAQ=6O°,

??.△AP2為等邊三角形，

尸=6,

VZPAQ-ZPAB=ZCAB-ZPAB,

：.ZCAP=ZBAQ,

在△APC和△AQB中

'AP=AQ

<ZCAP=ZBAQ-

AC=AB

A/\APC^/\AQB(SAS),

：.CP=BQ=10,

在△BPQ中，：PQ=6,BP=8,BQ^10,

而62+82=102,

:.PQ2+PB2^BQ2,

.?.△BP。為直角三角形，ZBPQ=9O°,

四邊形APBQ的面積=SABPO+SAAPQ

=AX6X8+^5.X62

24

=24+973.

故選：A.

3.如圖，0是正AABC內一點，0A=3,0B=4,0C=5,將線段BO以點B為旋轉中心逆時針旋

轉60°得到線段B01,有下列結論：

①△BO'A可以由ABOC繞點B逆時針旋轉60°得到；

②點0與。’的距離為4;③/A0B=150°;

心S四邊形AOBO,=6+38；⑤SAAOC+SAAOB=6+^V3

其中正確的結論是（）

A.①②③⑤B.①②③④C.①②③④⑤D.①②③

解：如圖，連接00'.

①由奔馳模型推導過程可知N0B0'=60°,ABOC^ABO^A,N②A0B=150°,△BOO'為等邊

三角形，所以00'=0B=4,故①②③正確?Sa^A0B0，=S,A00.+SAOBO.=|X3X4+f義

42=6+4V3,故④錯誤.

如圖，將AAOB繞點A逆時針旋轉60°,使得AB與AC重合，點。旋轉至點0".

易知△A00”是邊長為3的等邊三角形，△C00”是直角三角形，

則S?40c+SAAOB=S四邊形AOBO，=Sbco。—SkAOO"

=1X3X4+—X3M+-V3,故⑤正確.綜上所述，正確的結論為①②③⑤.故選A.

244

4.如圖，在菱形ABCD中，ZABC=60°,對角線AC平分/BAD,點P是4ABC內一點，連接

PA,PB,PC.若PA=6,PB=8,PC=10,則菱形ABCD的面積等于

D

解：過A點作AHLBP,交BP的延長線于H,

由奔馳模型可知/APB=150°,.-.ZAPH=30°,

AH=|PA=3,PH=3V3,.,.BH=8+3V3,/.AB2=AH2+BH2=100+4873,X

S?ABCD=2SAJ4BC=2

—XAB2=50V3+72

4

5.如圖，點尸是正方形ABC。內一點，若FA=f，PB=&，PC=1，則/3PC=135°

解：：四邊形A8CO為正方形，

AZABC=90°,BA=BC,

把△BAP繞點B順時針旋轉90°得到△BCE,連接PE,如圖,

:.BP=BE=如,CE=AP=?NPBE=9Q°,

...△P8E為等腰直角三角形，

：.ZBPE=45°,PE=HPB=H乂迎=2,

在中，：PC=1,PE=2,CE=正

;.PC2+PE2=C爛,

...△PCE為直角三角形，ZCP￡=90°,

AZBPC=ZBPE+ZCPE=450+90°=135°.

故答案為：135°.

36+25F

6.已知P是等邊△ABC內一點，若B4=3,PB=5,PC=4,則△ABC的面積=

4

解：:△ABC為等邊三角形，

J.AB^AC,ZBAC=60°,

把△APC繞點A順時針旋轉60°可得到△A8D如圖，

：.AD=AP=3,BD=PC=4,ND4P=60°,ZADB=ZAPC,

?*.△AOP為等邊三角形，

：.DP=AP^3,ZADP=6Q°,

在△BOP中，*：DP=3,￡)8=4,BP=5,

而32+42=52,

：.DP1+DB1=BP1,

...△8。尸為直角三角形，NBDP=90°,

：.ZADB^ZADP+ZBDP^60°+90°=150°,

ZAPC=150°；

作8ELW于E,如圖

；.NBDE=30°,

在RtZ\B￡)E中，BE=LBD=2,DE=6BE=2M，

2

：.AE^AD+DE^3+273,

在RtAABE中，^=7BE2+AE2=V22+(,3+2^3)2=V25+12V3，

返義(“25+12E)2=36+25五,

44

故答案為：36+2543.

4

7.如圖，P是等邊三角形ABC內一點，將線段AP繞點A順時針旋轉60。得到線段AQ,

連接3。.若用=6,PB=8,PC=10,則四邊形APB。的面積為24+9\伍.

解：連接P。，如圖，

,/AABC為等邊三角形，

：.ZBAC^60°,4B=AC,

?..線段A尸繞點A順時針旋轉60°得到線段A。,

：.AP=PQ=6,NB4Q=60°,

：./\APQ為等邊三角形，

：.PQ=AP=6,

VZCAP+ZBAP^60°,ZBAP+ZBAQ^6Q°,

：.ZCAP=ZBAQ,

在△APC和△ABQ中，

，AC=AB

<ZCAP=ZBAQ>

AP=AQ

AAPC^AABe，

：.PC=QB=10,

在△BPQ中，：PB2=82=64,PQ2=62,BQ2^102^

而64+36=100,

:.PB2+P^=BQ2,

...△尸2。為直角三角形，ZBPQ=90°,

S四邊形APBQ=SABPQ+S/^APQ——X6X8+

2

故答案為24+9V3.

CA

8.如圖，P是等邊三角形ABC內的一點，且必=3,PB=4,PC=5,以8C為邊在AABC

外作△BQCg/XB朋，連接P。，則以下結論中正確有（填序號）

①△BP0是等邊三角形②△PCQ是直角三角形③NAPB=150°④NAPC=120°

解：①:△ABC是等邊三角形，...NABC=60°,

"：/\BQC^/\BPA,：.ZCBQ=ZABP,PB=QB=4,PA=QC=?>,ZBPA=ZBQC,

:.NPBQ=NPBC+NCBQ=NPBC+NABP=NABC=6Q°,△BP。是等邊三角形，

所以①正確；?PQ=PB=4,PQ2+QC2=42+32=25,PC2=52=25,：.PQL+QC1=PC1,

：.ZPQC=9Q°,...△PC。是直角三角形，所以②正確；

③?.,△8PQ是等邊三角形，.'.ZPQB=ZBPQ=60°,

AZAPB=ZBQC=ZBQP+ZPQC=60°+90°=150°,所以③正確；

④NAPC=360°-150°-60°-ZQPC=l50°-ZQPC,

'：ZPQC=90°,PCW2QC,：.ZQPC^30°,AZAPC^120°.所以④錯誤.

所以正確的有①②③.

9.如圖，P是正三角形48c內的一點，且以=6,尸8=8,PC=10.若將C繞點A逆

時針旋轉后，得到△「'AB.

（1）求點P與點P'之間的距離；

（2）求NAP8的度數.

解：（1）連接PP,由題意可知BP=PC=10,AP'=AP,

ZPAC=ZP'AB,而/以C+/3AP=60°,所以/B4P'=60度.故△APP為等邊三

角形，所以PP'=AP=AP'=6；

（2）利用勾股定理的逆定理可知：

PP,2+Bp2=BP'2,所以ABPP'為直角三角形，且NBPP'=90°

可求NAPB=90°+60°=150°.

10.下面是一道例題及其解答過程，請補充完整.

(1)如圖1,在等邊三角形ABC內部有一點P,PA=3,PB=4,PC=5,求NAPB的度

數.

解：將繞點A逆時針旋轉60°,得到B,連接PP',則△APP'為等邊三

角形.

,:PP'=E4=3,PB=4,P'B=PC=5,

：.P'P2+PB2^P'B~.

:.△BPP，為三角形.

ZAPB的度數為.

(2)類比延伸

如圖2,在正方形A8CD內部有一點P,若NAPO=135°,試判斷線段m、PB、PD之

間的數量關系，并說明理由.

解：(1)如圖1,將繞點A逆時針旋轉60°,得到△APB,連接尸P',貝！］△APP

為等邊三角形.

,:PP'=PA=3,PB=4,P'B=PC=5,：.P'P1+PB1=P'B2.

：.^BPP'為直角三角形....NAPB的度數為90°+60°=150°.故答案為:直角；150°；

(2)2PA2+PD2=PB2.理由如下：

如圖2,把繞點A順時針旋轉90°得到,連接尸尸’.

則P'B=PD,P'A=PA,ZPAP'=90°,

:.△APP'是等腰直角三角形，：.PP'2=B42+P,A2=2B42,ZPP'A=45°,

VZAPD=135°,AZAP'B=ZAPD=135°,：.ZPP'8=135°-45°=90°,

在RtAPP2中，由勾股定理得，PP'2+P'B2=PB2,：.2R\2+PD2^PB2.

圖2

H.【方法呈現】：

(1)已知，點尸是正方形ABC。內的一點，連B4、PB、PC.將△加2繞點B順時針旋

轉90°到CB的位置(如圖1),設A8的長為a,PB的長為b(b〈a),求△物8

旋轉到的過程中邊RL所掃過區(qū)域(圖1中陰影部分)的面積；

【實際運用】：

(2)如圖2,點尸是等腰RtzXABC內一點，AB=BC,連接以，PB,PC.若B4=2,

PB=4,PC=6,求/APB的大?。?/p>

【拓展延伸工

(3)如圖3,點尸是等邊△ABC內一點，B4=3,PB=4,PC=5,則△APC的面積是

(直接填答案)

解：(1)?.?將△以8繞點8順時針旋轉90°到CB的位置，

.'.△E4Bg△PCB,.*.5AP4B=SAP,CB,S陰影=S扇形BAC-S扇形BPP，=m(/-信)；

(2)如圖2,連接PP.

:將繞8點順時針旋轉90°,與△「'CB重合，

：.4PAB9叢P'CB,ZPBP'=90°,

：.BP=BP',ZAPB=ZCP'B,AP=CP'=2,

：.^PBP'是等腰直角三角形，...PP'=V2PB=4V2,ZBP'P=45°.

在△CPP中，':PP'=4V2,CP'=2,PC=6,：.PP'2+CP'2=PC2,

.?.△CPP是直角三角形，ZCP'P=90°,

：.ZCP'B=/BP'P+ZCP'P=45°+90°=135°；

(3)如圖3①，將繞A點逆時針旋轉60°得到△PAC,連接PP1,

AAAPB^AAPiC,：.AP^APi,NP4尸i=60°,CPi=BP=4,

...△B4P1是等邊三角形，：.PPi=AP=3,

"：CP=5,CP=4,PPi=3,：.PPi2+CPi2=CP2,

.?.△CPiP是直角三角形，ZCPiP=90°,

.。=1n373973。1八/“一

??S^APPI5x3xQ—,S^PPIc—5x3X416,

9^/5

：?S四邊形APCPl=S/iAPPl+Sz\PPlC=7-+6；

9、百

*.*AAPB^AAPiC,/.SAABP+SMPC=S四邊形APCPI=—<—+6；

4,

如圖3②，同理可求：/XABP和△BPC的面積的和另x4x竽+卜3義4=4b+6,

△APC和△BPC的面積的和=JX5X畢+Jx3X4=粵§+6,

ZZZ4

.?.△ABC的面積=/(—+6+4V3+6++6)=^^+9,

Z444

25J3

??.△APC的面積=A45c的面積-AAPB與△BPC的面積的和=(----+9)-(4遮+6)

=-J—+3.故答案為一1+3.

4,4

12.(1)如圖1,點尸是等邊△ABC內一點，已知E4=3,PB=4,PC=5,求NAPB的度

數.

分析：要直接求NAPB的度數顯然很困難，注意到條件中的三邊長恰好是一組勾股數，

因此考慮借助旋轉把這三邊集中到一個三角形內.

解：如圖2,作/以。=60°使AZ)=AP,連接PD,CD,則△B4D是等邊三角形.

APD=AD=AP=3,ZADP=ZPAD=60°

'：AABC是等邊三角形

J.AC^AB,ZBAC=60°AZBAP^ZCAD

：.AABP^/\ACD

.?.BP=CD=4,ZAPB=ZADC

?.?在△PCD中，PD=3,PC=5,CD=4,PD2+CD2=PC2

：.NPDC=90°

ZAPB=ZADC^ZADP+ZPDC^60°+90°=150°

(2)如圖3,在△ABC中，AB=BC,ZABC=90°,點P是△ABC內一點，E4=l,PB

=2,PC=3,求/APB的度數.

(3)拓展應用.如圖(4),/XABC中，ZABC=30°,AB=4,BC=5,尸是△ABC內

部的任意一點，連接抬，PB,PC,則出+P8+PC的最小值為

解：(1)如圖2,作NB4D=6(r使A￡)=AP,連接尸￡>,CD,則△E4D是等邊三角形.

：.PD=AD=AP=3,ZADP=ZPAD=60°

?/△ABC是等邊三角形

：.AC=AB,ZBAC=6Q°,

：.ZBAP=ZCAD,

：./\ABP^/\ACD(SAS)

：.BP=CD=4,ZAPB=ZADC

:在△PC。中，PD=3,PC=5,CD=4,PD1+CD1=PC2

：.ZPDC=90°

：.ZAPB=ZADC=ZADP+ZPDC=600+90°=150°

故答案為：PD,ZCAD,ZAPB,90.

(2)解：VZABC=9Q°,BC=AB,

:.把△P2C繞8點逆時針旋轉90°得到△￡＞血1,如圖,

圖3

：.AD=PC=3,BD=BP=2,

VZPBD=90°

:.DP=?PB=2近,/DPB=45°,

在△APO中，AD=3,PD=242>PA=1,

'：12+(2A/2)2=32,

:.AP2+PD2=BD2,

.?.△APO為直角三角形，

AZAPD=90°,

：.ZAPB=ZAPD+ZDPB=900+45°=135

(3)解：如圖4中，將△ABP繞著點B逆時針旋轉60°,得到連接EP,CD,

:.NABP=NDBE,BD=AB=4,NPBE=60°,BE=PE,AP=DE,

；.ABPE是等邊三角形

：.EP=BP

AP+BP+PC=PC+EP+DE

當點。，點E,點P,點C共線時，以+PB+PC有最小值CD

VZABC=30°=ZABP+ZPBC

；?NDBE+NPBC=30°

：.ZDBC=90°

???CD=VBD2+BC2=VS2+42=V41，

故答案為JIL

13.（原題初探）（1）小明在數學作業(yè)本中看到有這樣一道作業(yè)題：如圖1,P是正方形ABC。

內一點，連結PA,PB,PC現將繞點B順時針旋轉90°得到的CB,連接

PP'.若以=&,PB=3,ZAPB=135°,則尸C的長為,正方形ABC。的邊

長為.

（變式猜想）（2）如圖2,若點尸是等邊△ABC內的一點，且B4=3,PB=4,PC=5,

請猜想/APB的度數，并說明理由.

（拓展應用）（3）聰明的小明經過上述兩小題的訓練后，善于反思的他又提出了如下的

問題：

如圖3,在四邊形中，A￡>=3,0）=2,ZABC^ZACB=ZADC^450,則

的長度為.

解：(1)?.,△RIB繞點2順時針旋轉90°得到的△「'CB,

：.BP=BP'=3,P'C=PA=V2,ZPBP'=90°,ZBP'C=ZAPB=135°,

:.△BPP'為等腰直角三角形，:./BP'P=45°,PP'=V2PB=3A/2,

:./PP'C=135°-45°=90°,

在Rtz^PP'C中，由勾股定理得：PC=7PP'2+P￡2=J(3V2)2+(V2)2=2A/5,

過點A作交8尸的延長線于E,如圖1所示：

VZAPB=135°,：.ZAPE