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文檔簡介
四川省眉山市第一中學(xué)2025屆高考數(shù)學(xué)二模試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,且,則()A. B. C.1 D.22.在平面直角坐標(biāo)系中,經(jīng)過點(diǎn),漸近線方程為的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A. B. C. D.3.在邊長為2的菱形中,,將菱形沿對(duì)角線對(duì)折,使二面角的余弦值為,則所得三棱錐的外接球的表面積為()A. B. C. D.4.隨著人民生活水平的提高,對(duì)城市空氣質(zhì)量的關(guān)注度也逐步增大,下圖是某城市月至月的空氣質(zhì)量檢測(cè)情況,圖中一、二、三、四級(jí)是空氣質(zhì)量等級(jí),一級(jí)空氣質(zhì)量最好,一級(jí)和二級(jí)都是質(zhì)量合格天氣,下面敘述不正確的是()A.1月至8月空氣合格天數(shù)超過天的月份有個(gè)B.第二季度與第一季度相比,空氣達(dá)標(biāo)天數(shù)的比重下降了C.8月是空氣質(zhì)量最好的一個(gè)月D.6月份的空氣質(zhì)量最差.5.已知雙曲線的焦距為,若的漸近線上存在點(diǎn),使得經(jīng)過點(diǎn)所作的圓的兩條切線互相垂直,則雙曲線的離心率的取值范圍是()A. B. C. D.6.設(shè),則,則()A. B. C. D.7.若點(diǎn)是角的終邊上一點(diǎn),則()A. B. C. D.8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出的結(jié)果為()A. B. C. D.9.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,,()A. B. C. D.10.已知雙曲線與雙曲線沒有公共點(diǎn),則雙曲線的離心率的取值范圍是()A. B. C. D.11.設(shè)全集,集合,,則集合()A. B. C. D.12.在一個(gè)數(shù)列中,如果,都有(為常數(shù)),那么這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列,叫做這個(gè)數(shù)列的公積.已知數(shù)列是等積數(shù)列,且,,公積為,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知集合A=,B=,若AB中有且只有一個(gè)元素,則實(shí)數(shù)a的值為_______.14.在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)是直線:上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn).已知以為直徑的圓被直線所截得的弦長為,則點(diǎn)的坐標(biāo)__________.15.某高校開展安全教育活動(dòng),安排6名老師到4個(gè)班進(jìn)行講解,要求1班和2班各安排一名老師,其余兩個(gè)班各安排兩名老師,其中劉老師和王老師不在一起,則不同的安排方案有________種.16.展開式中的系數(shù)為_______________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),,且,為的導(dǎo)函數(shù),設(shè),求的取值范圍,并求取到最小值時(shí)所對(duì)應(yīng)的的值.18.(12分)已知函數(shù).(1)若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.(12分)已知函數(shù)在上的最大值為3.(1)求的值及函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)若銳角中角所對(duì)的邊分別為,且,求的取值范圍.20.(12分)中的內(nèi)角,,的對(duì)邊分別是,,,若,.(1)求;(2)若,點(diǎn)為邊上一點(diǎn),且,求的面積.21.(12分)某調(diào)查機(jī)構(gòu)對(duì)某校學(xué)生做了一個(gè)是否同意生“二孩”抽樣調(diào)查,該調(diào)查機(jī)構(gòu)從該校隨機(jī)抽查了100名不同性別的學(xué)生,調(diào)查統(tǒng)計(jì)他們是同意父母生“二孩”還是反對(duì)父母生“二孩”,現(xiàn)已得知100人中同意父母生“二孩”占60%,統(tǒng)計(jì)情況如下表:同意不同意合計(jì)男生a5女生40d合計(jì)100(1)求a,d的值,根據(jù)以上數(shù)據(jù),能否有97.5%的把握認(rèn)為是否同意父母生“二孩”與性別有關(guān)?請(qǐng)說明理由;(2)將上述調(diào)查所得的頻率視為概率,現(xiàn)在從所有學(xué)生中,采用隨機(jī)抽樣的方法抽取4位學(xué)生進(jìn)行長期跟蹤調(diào)查,記被抽取的4位學(xué)生中持“同意”態(tài)度的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.附:0.150.1000.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.63522.(10分)已知函數(shù),,設(shè).(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)設(shè)方程(其中為常數(shù))的兩根分別為,,證明:.(注:是的導(dǎo)函數(shù))
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
利用等差數(shù)列的性質(zhì)化簡已知條件,求得的值.【詳解】由于等差數(shù)列滿足,所以,,.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】
根據(jù)所求雙曲線的漸近線方程為,可設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為k.再把點(diǎn)代入,求得k的值,可得要求的雙曲線的方程.【詳解】∵雙曲線的漸近線方程為設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為k.又在雙曲線上,則k=16-2=14,即雙曲線的方程為∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查用待定系數(shù)法求雙曲線的方程,雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程,以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】
取AC中點(diǎn)N,由題意得即為二面角的平面角,過點(diǎn)B作于O,易得點(diǎn)O為的中心,則三棱錐的外接球球心在直線BO上,設(shè)球心為,半徑為,列出方程即可得解.【詳解】如圖,由題意易知與均為正三角形,取AC中點(diǎn)N,連接BN,DN,則,,即為二面角的平面角,過點(diǎn)B作于O,則平面ACD,由,可得,,,即點(diǎn)O為的中心,三棱錐的外接球球心在直線BO上,設(shè)球心為,半徑為,,,解得,三棱錐的外接球的表面積為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了立體圖形外接球表面積的求解,考查了空間想象能力,屬于中檔題.4、D【解析】由圖表可知月空氣質(zhì)量合格天氣只有天,月份的空氣質(zhì)量最差.故本題答案選.5、B【解析】
由可得;由過點(diǎn)所作的圓的兩條切線互相垂直可得,又焦點(diǎn)到雙曲線漸近線的距離為,則,進(jìn)而求解.【詳解】,所以離心率,又圓是以為圓心,半徑的圓,要使得經(jīng)過點(diǎn)所作的圓的兩條切線互相垂直,必有,而焦點(diǎn)到雙曲線漸近線的距離為,所以,即,所以,所以雙曲線的離心率的取值范圍是.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率的范圍,考查雙曲線的性質(zhì)的應(yīng)用.6、A【解析】
根據(jù)換底公式可得,再化簡,比較的大小,即得答案.【詳解】,,.,顯然.,即,,即.綜上,.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查換底公式和對(duì)數(shù)的運(yùn)算,屬于中檔題.7、A【解析】
根據(jù)三角函數(shù)的定義,求得,再由正弦的倍角公式,即可求解.【詳解】由題意,點(diǎn)是角的終邊上一點(diǎn),根據(jù)三角函數(shù)的定義,可得,則,故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的定義和正弦的倍角公式的化簡、求值,其中解答中根據(jù)三角函數(shù)的定義和正弦的倍角公式,準(zhǔn)確化簡、計(jì)算是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】
由程序框圖確定程序功能后可得出結(jié)論.【詳解】執(zhí)行該程序可得.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖.解題可模擬程序運(yùn)行,觀察變量值的變化,然后可得結(jié)論,也可以由程序框圖確定程序功能,然后求解.9、B【解析】
利用正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可得出,進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】,所以,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查利用正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性求概率,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】
先求得的漸近線方程,根據(jù)沒有公共點(diǎn),判斷出漸近線斜率的取值范圍,由此求得離心率的取值范圍.【詳解】雙曲線的漸近線方程為,由于雙曲線與雙曲線沒有公共點(diǎn),所以雙曲線的漸近線的斜率,所以雙曲線的離心率.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線的漸近線,考查雙曲線離心率的取值范圍的求法,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】∵集合,,∴點(diǎn)睛:本題是道易錯(cuò)題,看清所問問題求并集而不是交集.12、B【解析】
計(jì)算出的值,推導(dǎo)出,再由,結(jié)合數(shù)列的周期性可求得數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】由題意可知,則對(duì)任意的,,則,,由,得,,,,因此,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列求和,考查了數(shù)列的新定義,推導(dǎo)出數(shù)列的周期性是解答的關(guān)鍵,考查推理能力與計(jì)算能力,屬于中等題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、2【解析】
利用AB中有且只有一個(gè)元素,可得,可求實(shí)數(shù)a的值.【詳解】由題意AB中有且只有一個(gè)元素,所以,即.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的交集運(yùn)算,集合交集的運(yùn)算本質(zhì)是存同去異,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).14、【解析】
依題意畫圖,設(shè),根據(jù)圓的直徑所對(duì)的圓周角為直角,可得,通過勾股定理得,再利用兩點(diǎn)間的距離公式即可求出,進(jìn)而得出點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】解:依題意畫圖,設(shè)以為直徑的圓被直線所截得的弦長為,且,又因?yàn)闉閳A的直徑,則所對(duì)的圓周角,則,則為點(diǎn)到直線:的距離.所以,則.又因?yàn)辄c(diǎn)在直線:上,設(shè),則.解得,則.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系,考查了兩點(diǎn)間的距離公式,點(diǎn)到直線的距離公式,是基礎(chǔ)題.15、156【解析】
先考慮每班安排的老師人數(shù),然后計(jì)算出對(duì)應(yīng)的方案數(shù),再考慮劉老師和王老師在同一班級(jí)的方案數(shù),兩者作差即可得到不同安排的方案數(shù).【詳解】安排6名老師到4個(gè)班則每班老師人數(shù)為1,1,2,2,共有種,劉老師和王老師分配到一個(gè)班,共有種,所以種.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的綜合應(yīng)用,難度一般.對(duì)于分組的問題,首先確定每組的數(shù)量,對(duì)于其中特殊元素,可通過“正難則反”的思想進(jìn)行分析.16、【解析】
把按照二項(xiàng)式定理展開,可得的展開式中的系數(shù).【詳解】解:,故它的展開式中的系數(shù)為,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式,二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為(2)的取值范圍是;對(duì)應(yīng)的的值為.【解析】
(1)當(dāng)時(shí),求的導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),,且,利用導(dǎo)函數(shù),可得的范圍,再表達(dá),構(gòu)造新函數(shù)可求的取值范圍,從而可求取到最小值時(shí)所對(duì)應(yīng)的的值.【詳解】(1)函數(shù)由條件得函數(shù)的定義域:,當(dāng)時(shí),,所以:,時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng),時(shí),,則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為:,單調(diào)遞減區(qū)間為:,;(2)由條件得:,,由條件得有兩根:,,滿足,△,可得:或;由,可得:.,函數(shù)的對(duì)稱軸為,,所以:,;,可得:,,,則:,所以:;所以:,令,,,則,因?yàn)椋簳r(shí),,所以:在,上是單調(diào)遞減,在,上單調(diào)遞增,因?yàn)椋?,?),,(1),所以,;即的取值范圍是:,;,所以有,則,;所以當(dāng)取到最小值時(shí)所對(duì)應(yīng)的的值為;【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和單調(diào)區(qū)間問題,考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法,屬于難題.18、(1)增區(qū)間為,減區(qū)間為;(2).【解析】
(1)將代入函數(shù)的解析式,利用導(dǎo)數(shù)可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),分類討論的范圍,利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的最值可判斷是否恒成立,可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,則,當(dāng)時(shí),,則,此時(shí),函數(shù)為減函數(shù);當(dāng)時(shí),,則,此時(shí),函數(shù)為增函數(shù).所以,函數(shù)的增區(qū)間為,減區(qū)間為;(2),則,.①當(dāng)時(shí),即當(dāng)時(shí),,由,得,此時(shí),函數(shù)為增函數(shù);由,得,此時(shí),函數(shù)為減函數(shù).則,不合乎題意;②當(dāng)時(shí),即時(shí),.不妨設(shè),其中,令,則或.(i)當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,此時(shí),函數(shù)為增函數(shù);當(dāng)時(shí),,此時(shí),函數(shù)為減函數(shù);當(dāng)時(shí),,此時(shí),函數(shù)為增函數(shù).此時(shí),而,構(gòu)造函數(shù),,則,所以,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則,即當(dāng)時(shí),,所以,.,符合題意;②當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上為增函數(shù),,符合題意;③當(dāng)時(shí),同理可得函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,此時(shí),則,解得.綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用,考查函數(shù)的單調(diào)性與最值,考查恒成立問題,正確求導(dǎo)和分類討論是關(guān)鍵,屬于難題.19、(1),函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為;(2).【解析】
(1)運(yùn)用降冪公式和輔助角公式,把函數(shù)的解析式化為正弦型函數(shù)解析式形式,根據(jù)已知,可以求出的值,再結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)由(1)結(jié)合已知,可以求出角的值,通過正弦定理把問題的取值范圍轉(zhuǎn)化為兩邊對(duì)角的正弦值的比值的取值范圍,結(jié)合已知是銳角三角形,三角形內(nèi)角和定理,最后求出的取值范圍.【詳解】解:(1)由已知,所以因此令得因此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2)由已知,∴由得,因此所以因?yàn)闉殇J角三角形,所以,解得因此,那么【點(diǎn)睛】本題考查了降冪公式、輔助角公式,考查了正弦定理,考查了正弦型三角函數(shù)的單調(diào)性,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.20、(1)(2)10【解析】
(1)由二倍角的正弦公式以及正弦定理,可得,再根據(jù)二倍角的余弦公式計(jì)算即可;(2)由已知可得,利用余弦定理解出,由已知計(jì)算出與,再根據(jù)三角形的面積公式求出結(jié)果即可.【詳解】(1),,在中,由正弦定理得,,又,,,(2),,,由余弦定理得,,則,化簡得,,解得或(負(fù)值舍去),,,,,,的面積.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形面積
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