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文檔簡(jiǎn)介
云南省昆明市云南師范大學(xué)附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上
學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題
學(xué)校:姓名:班級(jí):考號(hào):
一、單選題
1.復(fù)數(shù)z=W,則z+i=()
i
A--1B-l+2iC--l+2iD-1
2.集合4={耶尤2-10尤+3<0},貝嚴(yán),是sm尤>0的()
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.,既不充分也不必要條件
3.已知直線。,b,c,平面or,p,下列選項(xiàng)能推出“〃6的是()
A.a±c,b±cB.a,6與所成角相同
C.aPa,a〃夕,aC\/3=bD.aPaJbua
4.如圖是某市隨機(jī)抽取的100戶居民的月均用水量頻率分布直方圖,如果要讓60%的居民
a的數(shù)為()
D.10
5.已知函數(shù)/(%)=/,記2
試卷第11頁(yè),共33頁(yè)
A.B.
a<b<ca<c<b
CD
b<a<c'c<a<b
6.已知直線?x-陽(yáng)+1=°與幻*+>-加+2=。交于點(diǎn)尸,點(diǎn)4G°),則的最
大值為()
A-2V2B.2+&C.3D.4
7.已知三棱錐尸的所有頂點(diǎn)都在球0的球面上,其中AP/B為正三角形,YABC為
等腰直角三角形,ZACB=~,"3=2,PC=址,則球。的表面積為()
2
A20兀&8兀28?!?2兀
A.D.C.D.
333
22
8.雙曲線c:3—/Ui?。?。,,?。]的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為生£一。,0勺,直線
/:y=9(x+c)與雙曲線。交于“'8兩點(diǎn)(其中A在第一象限),己知°片。/=-C2,
耶=/即(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則;1=()
二、多選題
9.函數(shù)/(x)=cos[s+:ko</<l)的部分圖象如圖所示,則()
試卷第21頁(yè),共33頁(yè)
A.的最小正周期為3兀
B.的圖象可由y=cos|x的圖象向左平移§個(gè)單位得到
C.若點(diǎn)(X。,%)在jH/fx?的圖象上,則點(diǎn)七一天,-為]也在的圖
象上
D.若點(diǎn)(X。,為)在jH/Sx?的圖象上,則點(diǎn),]一%,%]也在》的圖
象上
10.己知定點(diǎn)/(TO),3(1,0),動(dòng)點(diǎn)尸到8的距離和它到直線/:x=4的距離的比是常數(shù)
則下列說法正確的是()
2
2
A.點(diǎn)尸的軌跡方程為:土+/=1
4-
B.P,A,8不共線時(shí),AP/8面積的最大值為百
C.存在點(diǎn)尸,使得N/p8=90。
D.0為坐標(biāo)原點(diǎn),忸0|+2忸則的最小值為4
11.在棱長(zhǎng)為1的正方體48co中,。為AC;的中點(diǎn),。為48的中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)尸
試卷第31頁(yè),共33頁(yè)
滿足方=%存+〃而,其中4e[0,1],〃式05,則()
A.當(dāng)"二°,時(shí),平面〃尸。截正方體所得截面為四邊形
B.當(dāng)4+〃=2時(shí),4Pl平面08/
c.當(dāng),+〃=1時(shí),P/+PG的最小值為也上,!
2
D.當(dāng)op=叵時(shí),動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為叵
64
三、填空題
12.圓錐的底面積為兀,其母線與底面所成角為“,且c°sO=巫,則該圓錐的體積為一
10
13.在V"8C中,內(nèi)角a8,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知"“方。的面積為”祖,
4
b-c=22兀,sinC
’r則嬴?
14.已知函數(shù)〃x)=lnx+f_ax+2有兩個(gè)極值點(diǎn),則。的取值范圍為一;若〃x)的極
小值小于零,則a的取值范圍為
四、解答題
15.甲袋中裝有2個(gè)紅球、2個(gè)白球,乙袋中裝有1個(gè)紅球、3個(gè)白球.拋擲一枚質(zhì)地均勻的
骰子,如果點(diǎn)數(shù)為1或2,從甲袋中隨機(jī)摸出2個(gè)球;如果點(diǎn)數(shù)為3,4,5,6,從乙袋中
隨機(jī)摸出2個(gè)球.
試卷第41頁(yè),共33頁(yè)
(1)記摸出紅球的個(gè)數(shù)為X,求X的分布列和期望E(x);
(2)已知摸出的2個(gè)球是1紅1白,求這2個(gè)球來自乙袋的概率.
16.已知在長(zhǎng)方形/geo中,4D=2,A8=4,點(diǎn)”是邊CD的中點(diǎn),如圖甲所示?將
AADM沿AM翻折到APAM,連接PB,PC,得到四棱錐P-ABCM,其中尸g=2行,
如圖乙所示.
(1)求證:平面平面/BCM;
(2)求平面尸和平面尸3c夾角的余弦值?
17.已知函數(shù)/(x)=x2+0a)x+l.
(1)若直線y=3是曲線V=/(x)的一條切線,求。的值;
e
⑵若/(X)在[0,2]上的最大值為1,求。的取值范圍?
18.設(shè)廠為拋物線%/=2內(nèi)儲(chǔ)>0)的焦點(diǎn),過可[夕3作拋物線準(zhǔn)線的垂線,垂足為
M△EAW的面積為
⑴求拋物線"的方程;
(2)直線點(diǎn)》-了-1=0與£交于點(diǎn)4B(/在X軸上方),直線小了一了一6=0僅>1盧
試卷第51頁(yè),共33頁(yè)
£交于點(diǎn)C,D(。在x軸上方),直線/c與8。的交點(diǎn)為〃
①證明:〃在一條定直線上;
②若〃坐標(biāo)(4,2),求AFCD的面積.
19.已知數(shù)列{%}的前〃項(xiàng)和為耳,若耳=(。%+療(“eN*),其中,qeR,reN*,則
稱{%}為“P-q-r數(shù)列”.
⑴若{(}是“2-2-2數(shù)列”,求滿足條件的一個(gè)
(2)若{叫是“""I數(shù)列",且證明:*安;
"2P2
(3)是否存在等差數(shù)列{%}是“p-4-r數(shù)列”?若存在,求出所有滿足條件的{%},并指
出(。一l)2+g_])2取最小值時(shí){叫的通項(xiàng);若不存在,請(qǐng)說明理由
試卷第61頁(yè),共33頁(yè)
參考答案:
題號(hào)12345678910
答案DACABBCCACBD
題號(hào)11
答案BC
1.D
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算.
【詳解】z+i=—+i=(1+i)(~i:)+i=-i+l+i=l,
ii-(-i)
故選:D.
2.A
【分析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷.
【詳解】由已知/={x|;<x<3},由0<;<x<3爪,因此充分性滿足,
但當(dāng)x=2時(shí),smx=l>。,但亞冷,必要性不滿足,
22
應(yīng)是充分不必要條件,
故選:A.
3.C
【分析】根據(jù)兩直線的位置關(guān)系,結(jié)合直線與平面的位置關(guān)系判斷各選項(xiàng).
【詳解】選項(xiàng)A,直線凡方可能相交,可能平行也可能異面,A錯(cuò);
選項(xiàng)B,直線°力可能相交,可能平行也可能異面,B錯(cuò);
選項(xiàng)C,如圖,apa,a///3,aC\/3=b,
過a作平面7rlor=c,〈alia,,a//c,
同理過。作平面5口0=",〃戶,
:,c/Id,又cua,d(za<?-d//a>而夕0夕=6,du尸,
答案第11頁(yè),共22頁(yè)
?,dllb''-allb-C正確.
選項(xiàng)D中,直線應(yīng)6可能平行也可能異面,D錯(cuò);
故選:C.
4.A
【分析】首先判斷。位于[7.2,10.2)之間,再根據(jù)百分位數(shù)計(jì)算規(guī)則計(jì)算可得結(jié)論.
【詳解】因?yàn)?(0.077+0.107)=0.552<0.60,3(0.077+0.107+0.043)=0.681>0,6,
所以a應(yīng)在[7.2,10.2),
所以3(0.077+0.107)+(A-7.2)x0.043=0.60>解得”8.316?
故最接近8.316的數(shù)為8s
故選:A.
5.B
【分析】確定函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性,利用奇偶性轉(zhuǎn)化,結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)性質(zhì)比
較大小,再利用單調(diào)性得結(jié)論.
【詳解】是偶函數(shù),在9+°°)上是增函數(shù),
b=/(log31)=/(-log32)=/(log32),
log32>log3V3=1,5下=5<:'
答案第21頁(yè),共22頁(yè)
即0<5下<;<1。832,所以/(5《)</(;)</(logs?),即.〈。〈方,
故選:B.
6.B
【分析】由直線方程確定尸點(diǎn)軌跡是以"N為直徑的圓,圓心為2(0,-1),求出A到圓心距
離后再加上半徑即得最大值.
【詳解】由直線4的方程是x-〃V+1=0知直線4過定點(diǎn)直線的方程是
加x+y-〃2+2=0知直線過定點(diǎn)N(l,-2),
又m=0時(shí)兩直線方程分別為x=-1和y=-2,它們垂直,
時(shí),兩直線的斜率分別為上和,而(_")=_],因此它們垂直,
mm
即4-L4-
所以P點(diǎn)軌跡是以""為直徑的圓,圓心為以°'一D,半徑為r=(一J1)2+2=后,
又|/同=4")?+1=2,
所以|/訓(xùn)最大值是2+收,
答案第31頁(yè),共22頁(yè)
7.C
【分析】找到球心的位置,計(jì)算出球的半徑,進(jìn)而求得球的表面積.
【詳解】依題意,AB=PA=PB=2,AC=BC=日
設(shè)的中點(diǎn)為q,則Q是等腰直角三角形48。的外心,
設(shè)連接POi>設(shè)o2是等邊三角形PAB的外心,則P0,:=2:1,
pO\=6,co、=i,pc=4i,在三角形尸eq中,
1+3-7V3
由余弦理得COSZPO{C=----,
2x1x62
所以“尸℃為鈍角,且/尸℃=*
由于PQ1AB,CO,LAB'所以NPqC是二面角尸一N8-C的平面角,
過?作平面48。的垂線,過2作平面尸48的垂線,設(shè)兩條垂線相交于0,
則0是三棱錐p_ABC外接球的球心.
15兀兀兀
。。2=嚴(yán)^^00,02=--
23
所以=2002=平
所以外接球的半徑R=02=
728兀
所以外接球的表面積為47r斫=X—=---------
33
故選:C
答案第41頁(yè),共22頁(yè)
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛:
構(gòu)造輔助線與幾何位置確定:首先通過輔助線構(gòu)造,確定了三角形的中點(diǎn)和外心,從而找
到球心的位置.
使用余弦定理判斷角度:利用余弦定理來判斷三角形中的角度性質(zhì),以此作為進(jìn)一步計(jì)算
球半徑的依據(jù).
計(jì)算半徑并推導(dǎo)表面積:通過幾何關(guān)系求出外接球的半徑,并利用球的公式計(jì)算其表面積.
8.C
【分析】利用已知可求得點(diǎn)兒的少),利用點(diǎn)在直線上可求得,=囪。,b=區(qū),進(jìn)而利用
a
片2=4瓦3,求得點(diǎn)2(2%_c,或),代入橢圓方程求解可.
a
【詳解】設(shè)/(尤,y)(X>0/>0),所以。3=(x,y),西=(-c,0)
由西?厲=一02,可得一XC=-02,解得X=C,
代入雙曲線方程E一心=1,可得且_廿=1,解得尸里,
a2b2a2b2ya
所以/(c,9,又點(diǎn)4(c,\)在/:y="(x+c)上,所以d="(c+c)
所以/二述4,所以/一/=空或,所以3/-2也%一3a2=0,
33
答案第51頁(yè),共22頁(yè)
所以(V§c+a)(6c-30)=0,解得c=所以6=收”,
設(shè).⑼,由電=2帚,所以5+c,〃)=2(2c,&,解得相=2日…=型,
aa
所以8(2立-(:,生),又點(diǎn)3(22c-c,生)在雙曲線。:£-匕=1上,
aacrb-
/、23(22-1)2-2%=110A2-12A+2=0
所以(24-1)2,2(丁)所以,所以
------0------------0---=1
ab
所以5日62+1=0,所以(5"1)("1)=0,解得為=g或"=%舍去).
故選:C.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛:利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得點(diǎn)A的坐標(biāo),進(jìn)而表示出點(diǎn)R是關(guān)鍵,在平
AD
面幾何中注重向量的運(yùn)算.
9.AC
【分析】由圖象確定函數(shù)解析式,然后由周期性判斷A,由圖象變換判斷B,由對(duì)稱性判
斷CD.
【詳解】由已知/(W^cos(5-+-)=0,又(女,0)在“X)的減區(qū)間上,
8
二匚I、I38c兀兀16左+2
所以---+-=2ft,+-Z左Gco=女WZ,
8423
答案第61頁(yè),共22頁(yè)
?0<?<l.2
又,所fiC以h。=一,
3
2兀
即/(x)=cos(jx+-),
7=多=3兀
最小正周期是2,A正確;
3
y=cos|x的圖象向左平移1個(gè)單位得到>=cos=cos]§x+%]的圖象,B錯(cuò);
圖象關(guān)于點(diǎn)(包,0)對(duì)稱,則竭-X(=yfX所以,若點(diǎn)(不,%)在丁目/曾莉的圖
84
象上,則點(diǎn)[曰一]也在jH/Sx?的圖象上C正確,
點(diǎn)(-%,0)不是函數(shù)圖象的對(duì)稱點(diǎn),若點(diǎn)(X。,%)在的圖象上,則點(diǎn)
8
不一定在的圖象上,所以D錯(cuò)誤,
故選:AC.
10.BD
【分析】設(shè)P(x,y),用坐標(biāo)表示出題設(shè)條件化簡(jiǎn)即得軌跡方程,從而判斷A,由橢圓的性
質(zhì)確定三角形面積最大值判斷B,利用以為直徑的圓與橢圓是否相交判斷C,把4尸回
轉(zhuǎn)化為尸到直線/:x=4的距離0尸01后,當(dāng)。,尸,C共線時(shí)取得最小值,從而判斷D.
答案第71頁(yè),共22頁(yè)
【詳解】選項(xiàng)A,設(shè)玖“J),則jiy+v,1,平方整理得旦+《=i,即為尸點(diǎn)軌跡
\x-4\243
方程,A錯(cuò);
選項(xiàng)B,由軌跡方程知P點(diǎn)軌跡是橢圓,a=2,b=6由于4-3=1,橢圓的焦點(diǎn)是42,
當(dāng)尸點(diǎn)為橢圓短軸頂點(diǎn)時(shí),△以"面積最大,此時(shí)面積為S=LX2X^=VLB正確;
2
選項(xiàng)C,由于%=?>i=c,因此以為直徑的圓與橢圓沒有交點(diǎn),因此不存在P,使得
ZAPB=90°-C錯(cuò);
選項(xiàng)D,如圖,作尸C_U,C為垂足,則1Pq=2|尸四,\PO\+2\PB\=\PO\+\PC\'
當(dāng)且僅當(dāng)O,尸,C共線時(shí),|po|+|pq取得最小值4,即|po|+21P目的最小值為4,D正確.
【詳解】AP=AAB+piAD'則尸在平面/BCD中,
選項(xiàng)A,當(dāng)“二°,時(shí),尸在棱上,"上,且
延長(zhǎng)尸。交C8延長(zhǎng)線于s,則8S=4P,過D悍DTHPS交CB于T
DP^T1T
則是平行四邊形,所以ST=DP>L,所以在線段上(不含端點(diǎn)),
2
答案第81頁(yè),共22頁(yè)
作交GA于點(diǎn)M,則M在線段4G上(不含端點(diǎn)),
連接MS交臺(tái)用于五,連接。R,則截面為五邊形PQ?Aff)i,A錯(cuò);
選項(xiàng)B,當(dāng)為+〃=2時(shí),則2=〃=1,即萬=萬+赤=就,P與C重合,
如圖,正方體中44]_L平面44G2,片"u平面44G2,貝1
又用2_L4C,A41c4cl=4,X4],4Gu平面A4£C,
所以耳〃_L平面44]C]C,而&Cu平面44clC,所以耳同理/月,/?,
又因?yàn)镹8JBQi=Bl,481,耳〃u平面48.,
所以&C_L平面42Q],即4Pl平面442,B正確;
選項(xiàng)C,當(dāng)彳+〃=1時(shí),P在8。上,把等腰直角△/瓦)和等邊AMG沿3。攤平到一個(gè)平
面上,
如圖,則當(dāng)4P,G三點(diǎn)共線時(shí),/P+GP最小,
答案第91頁(yè),共22頁(yè)
由圖可知這個(gè)最小值是1+1*拒=立上",c正確;
222
D
選項(xiàng)D,如圖,設(shè)〃是底面45co中對(duì)角線的交點(diǎn),即為底面中心,
OH_*ABCDPHUREABCD.OH1PH曰八八〃1
由正方體性質(zhì)知平面,平面,則n,易知=
2
所以P/Z=slOP2-OH2=/(乎PT,=g'
因此尸點(diǎn)軌跡是平面,BCD內(nèi)以“為圓心,'[為半徑的圓在正方形“'0。內(nèi)的部分,
3
正方形邊長(zhǎng)是1,因此該圓與正方形的四邊都相交,設(shè)其與的交點(diǎn)為/“,
由對(duì)稱性得
=HJ=HI'
是正三角形,ZIHJ=~,
3
所以動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)度為如南萍屋匚=工,D錯(cuò),
3339
答案第101頁(yè),共22頁(yè)
故選:BC.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:本題考查向量基本定理的應(yīng)用,考查空間圖形的截面與軌跡問題.解
題時(shí)需要利用向量運(yùn)算的法則確定尸點(diǎn)軌跡,然后再根據(jù)空間幾何知識(shí)求解。對(duì)空間線段
和的最小值問題可以把空間問題平面化,利用平面上兩點(diǎn)間距離線段最短的性質(zhì)求解.
12.71
【分析】根據(jù)題意可求出圓錐的底面半徑與母線的長(zhǎng),然后利用勾股定理求得高,從而可
求體積.
【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為『,母線為/,
因?yàn)閳A錐的底面積為兀,所以3m2=,解得r=l,
又因?yàn)槟妇€與底面所成角為",且cosO=巫,所以二=巫,解得/=廂,
10I10
所以圓錐的高為:〃=()_1=3,
所以圓錐的體積為.
3
故答案為:兀.
3
13.-
5
【分析】由面積公式求得兒,結(jié)合已知求得仇。,再利用正弦定理可得結(jié)論.
【詳解】由已知s=」bcsinZ='bcsin@'
加c2234
由p-c=2,解得件5(負(fù)值舍去),
[be=15[c=3
答案第111頁(yè),共22頁(yè)
sinCc_3
所以
sin5b~5
故答案為:
5
14.(2血,+oo)(3,+8)
A8=—>
a八
【分析】空1:求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)有兩個(gè)正根可得%1+%2=->0,求解即可;空2:利用空
1
X1X2=~
1,可得函數(shù)/(X)的單調(diào)性,可得x=x?時(shí),函數(shù)/(X)取得極小值,由已知計(jì)算可得超>1,
根據(jù)q=2%+,可求結(jié)論.
x2
【詳解】空1:函數(shù)〃x)=lnx+/_ax+2的定義域?yàn)椋?,+s)
求導(dǎo)得了,(x)」+2x-a=”W±l,令/'(x)=°,可得2X“6+I=°
xX
因?yàn)楹瘮?shù)[(x)=ln尤+--辦+2有兩個(gè)極值點(diǎn),所以2--辦+1=0有兩個(gè)不等的正根,
x1,x2x1<x2a>2^2
A8=(2d—>
a八
設(shè)兩根分別為且,所以可得Xl+X2=">0,解得
1
X1X2=2
所以。的取值范圍為(20,+00);
答案第121頁(yè),共22頁(yè)
空2:由(1)可得o<x<X]時(shí),f,^x)>0?當(dāng)為<%<%2時(shí),
當(dāng)%>12時(shí),/所以%=%時(shí),函數(shù)/(%)取得極小值,
所以丫g上且2只-陋+1=0,即辦2=2尤+1,
242
極小值〃%)=1眸+¥-仁+2<0,所以lnx2-*+l<0,
令g(Z)=lnzY+1,求導(dǎo)可得ga)=J__2%=匕過<0,
x2x2
所以8(%)=111丁君+1在(字內(nèi))上為減函數(shù),
又g⑴=lnl—F+1=0,所以工2>1時(shí),g(x2)<0?
由"2=2*+1,可得4=2%+,,
x2
令人(%2)=2%2+,,可得〃'(%2)=2—-y>0,
*^2
所以〃(%)=2%+工在(1'+°°)上單調(diào)遞增,心2)>如)=3,所以"3,
x2
所以a的取值范圍為(3,+oo).
故答案案為:(2夜,+oo);(3,+⑹?
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛:函數(shù)有極值點(diǎn)轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)為0的方程的根的問題,進(jìn)而可轉(zhuǎn)化為函數(shù)
的零點(diǎn)問題.
15.(1)分布列見解析,期望為4;
3
答案第131頁(yè),共22頁(yè)
【分析】(1)分別求出從甲袋中摸出兩球,兩紅,一紅一白,兩白的概率,從乙袋中摸出
兩球,兩紅,一紅一白,兩白的概率,再計(jì)算出從甲摸球和從乙摸的概率,利用獨(dú)立事件
的概率公式求得分布列,然后由期望公式求得期望;
(2)由(1)得兩球是一紅一白的概率,及從乙袋中摸得一白一紅兩球的概率,再由條件
概率公式計(jì)算.
【詳解】(1)由題意X的可能值是0,1,2,
甲袋2個(gè)紅球、2個(gè)白球,分別編號(hào)為紅1,紅2,白1,白2,
任意抽取2球的可能情形是:紅1紅2,紅1白1,紅1白2,紅2白1,紅2白2,白1白2
共6種,
因此抽取的兩球均紅的概率為一紅一白的概率為3=2,兩球均白的概率是工,
6636
乙袋1個(gè)紅球、3個(gè)白球,3個(gè)白球編號(hào)為1,2,3,
抽取2球的可能情形有:紅1,紅2,紅3,12,13,23共6種,
311
抽取的兩球均紅的概率為0,一紅一白的概率為士=上,兩球均白的概率是上,
622
又抽取的球從甲袋抽取的概率為47=上1,從乙袋抽取的概率是4々=74,
6363
117171?2151
所以P(X=0)=—x—+—x—=’,+—x—=p(x=2.)=-x-=
3632183293618
X的分布列為:
答案第141頁(yè),共22頁(yè)
751?
MBH>3£1(X)=0x—+lx-+2x—=-;
189183
(2)由(1)知兩球一紅一白的概率是耳=*,一紅一白兩球是從乙袋中抽取的概率是
19
?211
P?——x—=一,
323
]_
P33
所以在摸出的2個(gè)球是1紅1白,這2個(gè)球來自乙袋的概率D尸=工2=號(hào)=三.
9
16.(1)證明見解析.
11
【分析】(1)證明PM1BM,從而證得BAf_L平面/p/0,再由面面垂直的
判定定理得證面面垂直;
(2)以河為原點(diǎn),過河平行于C8的直線為x軸,吹為V軸,過w平行于2Vp的直線為
z軸建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面P4W和平面尸8c的一個(gè)法向量,則法向量夾角的余
弦值得二面角的余弦值.
【詳解】(1)連接因?yàn)镸是CD中點(diǎn),所以〃/*/2,2。萬,
AM=BM=yjZ9+2?=272
AM2+BM2AB2,所以
又PB=2也,所以PA/2+3河2=尸臺(tái)2,所以尸河_L8”,
AM^PM=M,平面/PM,
答案第151頁(yè),共22頁(yè)
所以平面/PM,又因?yàn)锽Mu平面N8CW
所以平面APM,平面ABCM;
(2)取NM的中點(diǎn)N,連接PN,則尸N_LNAT又平面4PM_L平面48cA/,平面
APMn平面ABCM=AM,
所以PN?平面48cM)
PN^-AM=42,
2
以初為原點(diǎn),過M平行于C3的直線為X軸,MC為y軸,過“平行于NP的直線為z軸
建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,
則4(2,-2,0),8(2,2,0),N(l,T,0),P(1,T,/),C(0,2,0),
M4=(2,-2,0),CB=(2,0,0),Aff=(1,-1,V2),CP=(1,-3,A/2);
設(shè)平面尸4M的一個(gè)法向量是J=(X],M,Z),
玉=1H=(1,1,0)
n?MA=2xx-2yl=0
則,取得
n-MP=xl-yi+近Z[=0
設(shè)平面MC的一個(gè)法向量是五=(%,%,z2),
答案第161頁(yè),共22頁(yè)
y2-V2m=(0,V2,3)
mCB=2X2=0
,
則m-CP=x2-3y2+42z2=0取,得
__m-nV2Vil
cosm,n=,,,,=——T=='
|m||w|V2xVfT11
所以平面和平面尸'C夾角的余弦值為1.
11
17.⑴”。
(2)[3-e,+8)
【分析】(1)求導(dǎo),令/(力=0,可得%或%=1,分類討論計(jì)算可得結(jié)論;
(2)=,分心。,0<a<1,a=1,1<a<2,“22五種情況討論可
得結(jié)論.
【詳解】(1)因?yàn)榍芯€為歹=士,所以切線斜率為0,
e
2-
由「()2x+(1—Q)—/(1Q)1-]—%+^6Z+1^X^7
令/,(x)=0,角軍得%=〃或x=l,
若了=;是函數(shù)在“一"的切線,則有了⑷/2+(—”+1=3,
所以=?=1即3e"=e(a+l),
令g(a)=3e"-e(a+l),求導(dǎo)得g<a)=3e"-e,令g[a)=。,解得a=l-ln3,
答案第171頁(yè),共22頁(yè)
當(dāng)Q<1-ln3時(shí),gr(6z)<0,函數(shù)g(q)在(-oo,l-ln3)上單調(diào)遞減,
當(dāng)?!?-ln3時(shí),g,(a)>0,函數(shù)g(q)在(1-In3,+8)上單調(diào)遞增,
所以g(l-如3尸3「i3一一次3+1)=34一e+e(ln3-1)=e(ln3-1)>0,
所以3e"=e(a+1)無解;
若y=m是函數(shù)在x=l的切線,/⑴」+(之)43,解得4=0;
eee
(2)因?yàn)?⑼少竺.=1,
因?yàn)?'(x)==(xq)(xl),
令r(x)=0,解得x=?;騲=l,
當(dāng)a40時(shí),若0<x<l,(口)>0,函數(shù)/(x)在[01]單調(diào)遞增,
所以/(I)>/(0)=1不符合題意,
當(dāng)0<a<1時(shí),
若0<x<a時(shí),/(x)<0>函數(shù)/(尤)在(-8,a]單調(diào)遞減,
若a<x<l,尸3>0,函數(shù)/(x)在[。,1]單調(diào)遞增,
若x>l,/(尤)<0,函數(shù)[(x)在口,2]單調(diào)遞減,
所以。時(shí),函數(shù)在丫_1時(shí)取得極大值,
所以/⑴」+(1丁)+-1,解得"'"e,又。<1,所以3-皿<1
答案第181頁(yè),共22頁(yè)
當(dāng)a=l,可得xe[0,2]時(shí),/<x)<0,函數(shù)/(x)在2]單調(diào)遞減,符合題意;
當(dāng)1<。<2時(shí),若0〈尤<1,((x)<0,函數(shù)〃x)在QI]單調(diào)遞減,
若l<x<a,f'(x)>0,函數(shù)/(x)在[1,單調(diào)遞增,
若a<x<2,/(力<0,函數(shù)在3,2]單調(diào)遞減,
所以"一“時(shí)函數(shù)/(X)取得極大值,又/⑷=/+0少「+1二號(hào),
令=e"-(a+1),求導(dǎo)/(a)=ea-l>0f所以=/z(l)=e-2>0J
即e">("+D,所以空所以1<°<2時(shí),/(x)在[0,2]上的最大值為i,
ea
當(dāng)“22時(shí),在[0,1]單調(diào)遞減,/(%)在[1,2]單調(diào)遞增,
/⑵=22+(1:卜2+1=,<],符合題意,
綜上所述:a的取值范圍為[3-e,+8).
18.(l)/=4x
⑵①證明見解析;②色1
2
【分析】(1)根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程以及三角形面積公式來求解拋物線方程.
(2)①先聯(lián)立直線與拋物線方程求出交點(diǎn)坐標(biāo),再根據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)求出直線方程,進(jìn)而證明
交點(diǎn)在定直線上.
②,先求出方的值,再根據(jù)三角形面積公式求出AFC。的面積.
【詳解】⑴拋物線y=2830)的焦點(diǎn)/坐標(biāo)為或⑼,準(zhǔn)線方程為》=一勺
答案第191頁(yè),共22頁(yè)
已知嗯M),N(~gp),則網(wǎng)=。,可明"
根據(jù)三角形面積公式的面積S=^-x|FAf|x|AfiV|=^-xpxp=2,
即#=2,解得1或I(因?yàn)椤?gt;。,舍去I).
所以拋物線£的方程為/=4獷
(2)①設(shè)/(再必),3(/必),“工3皿),。小,小4)?
聯(lián)立]歹2=4%,得「_4歹_4=0,則必+8=4,必%=-4.
[x-yT=o
聯(lián)立卜2=4x,得)2—4y-46=0,則%+乂=4,8乂=-46.
\x-y-b=0
金:了一切二21^—%),代入玉=里花=正,
%]一%344
化簡(jiǎn)得%:(必+%)y=4x+M%,
同理得做:(%+%)y=4x+W
聯(lián)立兩直線方程,得到k乂%一%乂=必%-(4f)(4f)=4(必+乃)-16=2.
必+>3->2-^4必+>3一(4一必)一(4一P3)2(必+y3)-8
所以“在定直線y=2上.
②因?yàn)镠(4,2)在直線ZC與5。的交點(diǎn)上,把H(4,2)代入直線/C,方程得到
必=2注一16,%=2區(qū)一16,由于乃%=-4
%—2%—2
答案第201頁(yè),共22頁(yè)
2%T6*2%-16=_4,,4%乂-32(%+乂)+256=
%-2匕-2%”-2(%+%)+4
代入%+乂=4,為州=-46,,可得二1世土世=_4,可求出6=1.
-4b-4-2
所以?、说拿娣e為31_1卜乂_%|=,⑴+%)-”4=竽.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:解答直線與圓錐曲線的題目時(shí),時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立,消去
x(或y)建立一元二次方程,然后借助根與系數(shù)的關(guān)系,并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的
等量關(guān)系,涉及到直線方程的設(shè)法時(shí),務(wù)必考慮全面,不要忽略直線斜率為0或不存在等
特殊情形,強(qiáng)化有關(guān)直線與圓錐曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力,重視根與系數(shù)
之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問題.
19.⑴."一2"(答案不唯一)
(2)證明見解析
⑶存在;a,"””.;%=2〃-1或4=-2〃+1
【分析】(1)直接驗(yàn)證滿足條件即可;
(2)使用數(shù)學(xué)歸納法即可證明結(jié)論;
=(27)”兇,再利用不等式方法確定
(3)先分類討論確定所有可能的數(shù)列為為
(p_iy+(q_l)2取得最小值的情況對(duì)應(yīng)的1的取值,即可確定相應(yīng)的通項(xiàng)公式.
答案第211頁(yè),共22頁(yè)
【詳解】(1)當(dāng)""二一2"時(shí),有$=_2.竺」-2(2"-1)=-22+2=2%+2,故
"2-1
應(yīng)=(2%+2戶
所以2"是一個(gè)"2-2-2數(shù)列”.
是數(shù)列",故()2。,;.
(2)由于“""IS,=W"=
而%>0,故S〃〉0,從而由P2個(gè)=s〃〉0知夕
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:s>(?+1)3.
4/
Sa
當(dāng)〃=1時(shí),由"=P'"知H=P~a;=p-s;,所以q_]422_(1+1)2(1+1)2.
=---------------2----------------
S'下4p24p24P2_4P2
這表明結(jié)論在〃二1時(shí)成立;
假設(shè)當(dāng)"二人時(shí)結(jié)論成立,即
4夕
Sz=p2a3,_,(
則由知內(nèi)+i=加4+1=歷同+1/)4加|Sy
所以以即
>0'
402402
2,也
1I小1)一+1
這就得到
2\p\—4P2
假設(shè)西-<-工,矛盾?
-2〃23
答案第221頁(yè),共22頁(yè)
2(匯+咪+
1>&k+D+l1+J11+(左+1)左+2
所以6+i-
,故卮2=
而一2》2H21^|l\p\
所以g>(小2『,這表明結(jié)論在”=后+1時(shí)成立.
/i\2n
由數(shù)學(xué)歸納法知s工(〃+:)對(duì)任意正整數(shù)成立.
2
=s>("+(知(〃+l)t.r(〃+1
所以由p2“;42故%-
4P24P42P
(3)若存在公差為"的等差數(shù)列8?J是“Pff數(shù)列",則由S=w+"("T)d,
〃12
%=4+5-1"S;=(M+q)2<力(〃-1)
=(p(4+("+
,以及,可知?1?+—;—d
若“=。,則(〃aj=(p%+q)2,從而(〃%),與,無關(guān),由于rwN*,故%=0?
從而〃“=0,這就得到o=g2,所以g=o.
dwO((_八y
若,則由\"=(p(%+(〃_i)d)+q)~可知
n(n-l]
a^n-\——--d=|夕(。1+(〃-i)d)+g|,
假設(shè)’2
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