北師版八年級數(shù)學(xué)上冊期末復(fù)習(xí)考點(diǎn) 清單02 實(shí)數(shù)（14個考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）

清單02實(shí)數(shù)（14個考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）

【清單01】平方根1.算術(shù)平方根的定義如果一個正數(shù)的平方等于，即,那么這個正數(shù)叫做的算術(shù)平方根（規(guī)定0的算術(shù)平方根還是0）；的算術(shù)平方根記作，讀作“的算術(shù)平方根”，叫做被開方數(shù).注意：當(dāng)式子有意義時，一定表示一個非負(fù)數(shù)，即≥0，≥0.2.平方根的定義如果，那么叫做的平方根.求一個數(shù)的平方根的運(yùn)算，叫做開平方.平方與開平方互為逆運(yùn)算.(≥0)的平方根的符號表達(dá)為，其中是的算術(shù)平方根.3.平方根的性質(zhì)4.平方根小數(shù)點(diǎn)位數(shù)移動規(guī)律被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右或者向左移動2位，它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)就相應(yīng)地向右或者向左移動1位.例如：，，，.【清單02】無理數(shù)有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都稱為有理數(shù).無限不循環(huán)小數(shù)又叫無理數(shù).注意：（1）無理數(shù)的特征：無理數(shù)的小數(shù)部分位數(shù)無限.無理數(shù)的小數(shù)部分不循環(huán)，不能表示成分?jǐn)?shù)的形式常見的無理數(shù)有三種形式：①含類.②看似循環(huán)而實(shí)質(zhì)不循環(huán)的數(shù)，如：1.313113111…….③帶有根號的數(shù)，但根號下的數(shù)字開方開不盡，如.【清單03】立方根的定義1.定義：如果一個數(shù)的立方等于，那么這個數(shù)叫做的立方根或三次方根.這就是說，如果，那么叫做的立方根.求一個數(shù)的立方根的運(yùn)算，叫做開立方.注意：一個數(shù)的立方根，用表示，其中是被開方數(shù)，3是根指數(shù).開立方和立方互為逆運(yùn)算.2.立方根的特征立方根的特征：正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，0的立方根是0.注意：任何數(shù)都有立方根，一個數(shù)的立方根有且只有一個，并且它的符號與這個非零數(shù)的符號相同.兩個互為相反數(shù)的數(shù)的立方根也互為相反數(shù).3.立方根的性質(zhì)注意：第一個公式可以將求負(fù)數(shù)的立方根的問題轉(zhuǎn)化為求正數(shù)的立方根的問題.4.立方根小數(shù)點(diǎn)位數(shù)移動規(guī)律被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右或者向左移動3位，它的立方根的小數(shù)點(diǎn)就相應(yīng)地向右或者向左移動1位.例如，，，，.【清單04】實(shí)數(shù)有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù).1.實(shí)數(shù)的分類按定義分：實(shí)數(shù)按與0的大小關(guān)系分：實(shí)數(shù)2.實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng).數(shù)軸上的任何一個點(diǎn)都對應(yīng)一個實(shí)數(shù)，反之任何一個實(shí)數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個點(diǎn)與之對應(yīng)3.實(shí)數(shù)運(yùn)算（1）注意：有理數(shù)關(guān)于絕對值、相反數(shù)的意義同樣適用于實(shí)數(shù)。（2）運(yùn)算法則：先算乘方開方，再算乘除，最后算加減；如果有括號，先算括號里面的。【清單05】二次根式二次根式的概念一般地，我們把形如的式子的式子叫做二次根式，稱為稱為二次根號．如都是二次根式。2.二次根式有無意義的條件條件字母表示二次根式有意義被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)二次根式無意義被開方數(shù)為負(fù)數(shù)3.二次根式的性質(zhì)(1)有最小值，為0

(2)【清單06】二次根式的乘除法法則1.二次根式的乘法法則：（二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變）2.二次根式的乘法法則的推廣，即當(dāng)二次根式前面有系數(shù)時，可類比單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的法則進(jìn)行計(jì)算，即將系數(shù)之積作為系數(shù)，被開方數(shù)之積作為被開方數(shù)。3.二次根式的乘法法則的逆用（二次根式的乘法法則的逆用實(shí)為積的算數(shù)平方根的性質(zhì)）4.二次根式的乘法法則的逆用的推廣4.二次根式的除法法則（二次根式相除，把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變）5.二次根式的除法法則的推廣【清單07】最簡二次根式1.最簡二次根式的概念被開方數(shù)不含分母被開方數(shù)中不含能開方開得盡得因數(shù)或因式2.分母有理化分母有理化：當(dāng)分母含有根式時，依據(jù)分式的基本性質(zhì)化去分母中的根號。方法：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，將分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根號?！厩鍐?8】同類二次根式同類二次根式概念：化簡后被開方數(shù)相同的二次根式叫做同類二次根式。合并同類二次根式的方法：把根號外的因數(shù)（式）相加，根指數(shù)和被開方數(shù)不變，合并的依據(jù)式乘法分配律，如【清單09】二次根式的加減二次根式加減法則：先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并。二次根式加減運(yùn)算的步驟：①化：將各個二次根式化成最簡二次根式；②找：找出化簡后被開方數(shù)相同的二次根式；③合：合并被開方數(shù)相同的二次根式——將”系數(shù)”相加作為和的系數(shù)，根指數(shù)與被開方數(shù)保持不變。【清單10】二次根式的混合運(yùn)算二次根式的混合運(yùn)算順序與整式的混合運(yùn)算順序一樣：先乘方，再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的（或先去掉括號）【考點(diǎn)題型一】平方根與算術(shù)平方根

【典例1】實(shí)數(shù)16的平方根是（

）A．8 B．±8 C．4 D．±4【變式1-1】9的算術(shù)平方根是（

）A．±9 B．9 C．±3 D．3【變式1-2】若2m?4與3m?1是同一個數(shù)的平方根，則m的值是（）A．?3 B．?1 C．1 D．?3或1【變式1-3】下列各式中，正確的是（

）A．?32=?3 B．?32=?3 【變式1-4】81的平方根是（）A．±3 B．3 C．±9 D．9【考點(diǎn)題型二】非負(fù)數(shù)的性質(zhì):算術(shù)平方根

【典例2】已知x?1+y+2=0，那么x+yA．1 B．?1 C．32024 D．【變式2-1】若a?4+|b?9|=0，則ba的平方根是（A．32 B．±32 C．9【變式2-2】若y=x?5+5?x+3，則A．－15 B．－9 C．9 D．15【變式2-3】若2x+1+y?32=0

【考點(diǎn)題型三】立方根

【典例3】64的立方根是（

）A．2 B．4 C．±2 D．±4【變式3-1】一個正方體的體積擴(kuò)大為原來的64倍，則它的棱長變?yōu)樵瓉淼模?/p>

）A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．9倍【變式3-2】已知x的平方根是±8，則x的立方根是．【變式3-3】計(jì)算：3?27的結(jié)果等于【考點(diǎn)題型四】平方根與立方根綜合

【典例4-1】求下列式子中x的值(1)49(2)2x?1【典例4-2】已知6a+3的立方根是3，3a+b?1的算術(shù)平方根是4．(1)求a，b的值；(2)求a2【變式4-1】求下列各式中的x：(1)9x(2)x+13【變式4-2】一個正數(shù)x的平方根是2a?3與5?a，y的立方根是?3，求x+y+3的算術(shù)平方根．【變式4-3】已知，2x+y?1的立方根是2，x+y與y?3是某數(shù)的兩個平方根．(1)求x與y的值；(2)求x+y的算術(shù)平方根．【變式4-4】求下列各式中x的值．(1)9x(2)2x+53【考點(diǎn)題型五】無理數(shù)

【典例5】在π3，2，3.14，0，52，4?1A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【變式5-1】下列實(shí)數(shù)：23、37、0、?π3、0.16·、0.1212212221……（每相鄰兩個1之間依次多A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式5-2】在?13，π，0.131131113…，3，227A．6個 B．5個 C．4個 D．3個【變式5-3】下列各數(shù)：3625，316，0，?20，A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【考點(diǎn)題型六】實(shí)數(shù)的定義和性質(zhì)

【典例6】下列說法正確的是（

）A．兩個無理數(shù)的和一定是無理數(shù) B．無限小數(shù)都是無理數(shù)C．實(shí)數(shù)可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示 D．分?jǐn)?shù)可能是無理數(shù)【變式6-1】實(shí)數(shù)?32的倒數(shù)是（A．32 B．23 C．?【變式6-2】下列說法正確的是(

)A．實(shí)數(shù)分為正實(shí)數(shù)和負(fù)實(shí)數(shù) B．無限小數(shù)都是無理數(shù)C．帶根號的數(shù)都是無理數(shù) D．無理數(shù)都是無限不循環(huán)小數(shù)【變式6-3】實(shí)數(shù)a的相反數(shù)是2023，那么實(shí)數(shù)a是（

）A．2023 B．?2023 C．12023 D．【變式6-4】?2的絕對值是（

A．?2 B．22 C．2 【變式6-5】已知a滿足2024?a+a?2025=a，則a?【考點(diǎn)題型七】實(shí)數(shù)大小比較

【典例7】在數(shù)?3、2、0、5A．?3 B．0 C．2 D．【變式7-1】實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示．把a(bǔ),b,?a,?b按照從小到大的順序排列，正確的是（

）A．b<?a<?b<a B．?a<?b<a<bC．?b<a<?a<b D．b<?a<a<?b【變式7-2】比較大小：637．【變式7-3】比較大?。?33【變式7-4】估計(jì)大小關(guān)系：7?1256（填>【考點(diǎn)題型八】估算無理數(shù)的大小

【典例8】估計(jì)6的值是在（

）A．1到2之間 B．2到3之間 C．3到4之間 D．4到5之間【變式8-1】與15最接近的整數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．5【變式8-2】估計(jì)14+1的值在（

A．2和3之間 B．3和4之間 C．4和5之間 D．5和6之間【變式8-3】實(shí)數(shù)7的整數(shù)部分是．【考點(diǎn)題型九】實(shí)數(shù)的運(yùn)算

【典例9】計(jì)算4+【變式9-1】計(jì)算：327【變式9-2】計(jì)算：4?2÷【變式9-3】計(jì)算：|?2|?16【考點(diǎn)題型十】二次根式有意義的條件

【典例10】式子x?3有意義，則x的取值范圍是（

）A．x>3 B．x≥3 C．x<3 D．x≤3【變式10-1】若式子x?2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（

）A．x>2 B．x≥2 C．x<2 D．x≤2A．x>4 B．x≥?4 C．x≥4 D．x≠4【變式10-3】若2?x3y有意義，則A．x≤0,y≥0 B．x>0,y<0 C．x<0,y<0 D．xy<0【考點(diǎn)題型十一】二次根式的性質(zhì)與化簡

【典例11】將m?1m中根號外的mA．??m B．?m C．m D．【變式11-1】實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示，則(a?4)2?(a?11)A．2a?15 B．?7 C．7 D．無法確定【變式11-2】已知實(shí)數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的位置如圖所示：則a2?【變式11-3】實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上位置如圖，化簡：|a?b|?a+b2＝【考點(diǎn)題型十二】最簡二次根式和同類二次根式

【典例12】下列選項(xiàng)中，最簡二次根式是（

）A．4 B．0.8 C．5 D．1【變式12-1】下列各式中，不能與12合并的是（

A．2 B．8 C．118 D．【變式12-2】下列二次根式中，與3是同類二次根式的是（

）A．6 B．8 C．9 D．27【變式12-3】已知最簡二次根式x?1與二次根式8是同類二次根式，則x=．【考點(diǎn)題型十三】二次根式的混合運(yùn)算【典例13】計(jì)算：(1)8+12【變式13-1】計(jì)算：(1)27×(2)22【變式13-2】計(jì)算：(1)27?(2)41【變式13-3】計(jì)算：(1)32+(2)26(3)5×(4)(3【變式13-4】計(jì)算：(1)212(2)3?1【考點(diǎn)題型十四】二次根式化簡求值

【典例14-1】已知a=7(1)a?b；(2)a2【典例14-2】先化簡，再求值xx2y2?xy【變式14-1】先化簡，再求值：3a?1a+1?a+1÷【變式14-2】已知a=7+2，(1)a2(2)a2【變式14-3】先化簡，再求值：(a+5)(a?5

清單02實(shí)數(shù)（14個考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）

【清單01】平方根1.算術(shù)平方根的定義如果一個正數(shù)的平方等于，即,那么這個正數(shù)叫做的算術(shù)平方根（規(guī)定0的算術(shù)平方根還是0）；的算術(shù)平方根記作，讀作“的算術(shù)平方根”，叫做被開方數(shù).注意：當(dāng)式子有意義時，一定表示一個非負(fù)數(shù)，即≥0，≥0.2.平方根的定義如果，那么叫做的平方根.求一個數(shù)的平方根的運(yùn)算，叫做開平方.平方與開平方互為逆運(yùn)算.(≥0)的平方根的符號表達(dá)為，其中是的算術(shù)平方根.3.平方根的性質(zhì)4.平方根小數(shù)點(diǎn)位數(shù)移動規(guī)律被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右或者向左移動2位，它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)就相應(yīng)地向右或者向左移動1位.例如：，，，.【清單02】無理數(shù)有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都稱為有理數(shù).無限不循環(huán)小數(shù)又叫無理數(shù).注意：（1）無理數(shù)的特征：無理數(shù)的小數(shù)部分位數(shù)無限.無理數(shù)的小數(shù)部分不循環(huán)，不能表示成分?jǐn)?shù)的形式常見的無理數(shù)有三種形式：①含類.②看似循環(huán)而實(shí)質(zhì)不循環(huán)的數(shù)，如：1.313113111…….③帶有根號的數(shù)，但根號下的數(shù)字開方開不盡，如.【清單03】立方根的定義1.定義：如果一個數(shù)的立方等于，那么這個數(shù)叫做的立方根或三次方根.這就是說，如果，那么叫做的立方根.求一個數(shù)的立方根的運(yùn)算，叫做開立方.注意：一個數(shù)的立方根，用表示，其中是被開方數(shù)，3是根指數(shù).開立方和立方互為逆運(yùn)算.2.立方根的特征立方根的特征：正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，0的立方根是0.注意：任何數(shù)都有立方根，一個數(shù)的立方根有且只有一個，并且它的符號與這個非零數(shù)的符號相同.兩個互為相反數(shù)的數(shù)的立方根也互為相反數(shù).3.立方根的性質(zhì)注意：第一個公式可以將求負(fù)數(shù)的立方根的問題轉(zhuǎn)化為求正數(shù)的立方根的問題.4.立方根小數(shù)點(diǎn)位數(shù)移動規(guī)律被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右或者向左移動3位，它的立方根的小數(shù)點(diǎn)就相應(yīng)地向右或者向左移動1位.例如，，，，.【清單04】實(shí)數(shù)有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù).1.實(shí)數(shù)的分類按定義分：實(shí)數(shù)按與0的大小關(guān)系分：實(shí)數(shù)2.實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng).數(shù)軸上的任何一個點(diǎn)都對應(yīng)一個實(shí)數(shù)，反之任何一個實(shí)數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個點(diǎn)與之對應(yīng)3.實(shí)數(shù)運(yùn)算（1）注意：有理數(shù)關(guān)于絕對值、相反數(shù)的意義同樣適用于實(shí)數(shù)。（2）運(yùn)算法則：先算乘方開方，再算乘除，最后算加減；如果有括號，先算括號里面的?！厩鍐?5】二次根式二次根式的概念一般地，我們把形如的式子的式子叫做二次根式，稱為稱為二次根號．如都是二次根式。2.二次根式有無意義的條件條件字母表示二次根式有意義被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)二次根式無意義被開方數(shù)為負(fù)數(shù)3.二次根式的性質(zhì)(1)有最小值，為0

(2)【清單06】二次根式的乘除法法則1.二次根式的乘法法則：（二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變）2.二次根式的乘法法則的推廣，即當(dāng)二次根式前面有系數(shù)時，可類比單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的法則進(jìn)行計(jì)算，即將系數(shù)之積作為系數(shù)，被開方數(shù)之積作為被開方數(shù)。3.二次根式的乘法法則的逆用（二次根式的乘法法則的逆用實(shí)為積的算數(shù)平方根的性質(zhì)）4.二次根式的乘法法則的逆用的推廣4.二次根式的除法法則（二次根式相除，把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變）5.二次根式的除法法則的推廣【清單07】最簡二次根式1.最簡二次根式的概念被開方數(shù)不含分母被開方數(shù)中不含能開方開得盡得因數(shù)或因式2.分母有理化分母有理化：當(dāng)分母含有根式時，依據(jù)分式的基本性質(zhì)化去分母中的根號。方法：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，將分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根號。【清單08】同類二次根式同類二次根式概念：化簡后被開方數(shù)相同的二次根式叫做同類二次根式。合并同類二次根式的方法：把根號外的因數(shù)（式）相加，根指數(shù)和被開方數(shù)不變，合并的依據(jù)式乘法分配律，如【清單09】二次根式的加減二次根式加減法則：先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并。二次根式加減運(yùn)算的步驟：①化：將各個二次根式化成最簡二次根式；②找：找出化簡后被開方數(shù)相同的二次根式；③合：合并被開方數(shù)相同的二次根式——將”系數(shù)”相加作為和的系數(shù)，根指數(shù)與被開方數(shù)保持不變?！厩鍐?0】二次根式的混合運(yùn)算二次根式的混合運(yùn)算順序與整式的混合運(yùn)算順序一樣：先乘方，再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的（或先去掉括號）【考點(diǎn)題型一】平方根與算術(shù)平方根

【典例1】實(shí)數(shù)16的平方根是（

）A．8 B．±8 C．4 D．±4【答案】D【分析】根據(jù)平方根的定義進(jìn)行判斷即可．本題考查平方根，理解平方根的定義是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵±42∴16的平方根為±4，故選：D．【變式1-1】9的算術(shù)平方根是（

）A．±9 B．9 C．±3 D．3【答案】D【分析】本題考查算術(shù)平方根，利用算術(shù)平方根的定義，進(jìn)行求解即可，熟練掌握算術(shù)平方根的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：9的算術(shù)平方根是9=3故選：D．【變式1-2】若2m?4與3m?1是同一個數(shù)的平方根，則m的值是（）A．?3 B．?1 C．1 D．?3或1【答案】D【分析】本題主要考查了平方根定義，根據(jù)2m?4與3m?1是同一個數(shù)的平方根得出2m?4=3m?1或2m?4+3m?1=0，求出m的值即可．【詳解】解：∵2m?4與3m?1是同一個數(shù)的平方根，∴2m?4=3m?1或2m?4+3m?1=0，解得：m=?3或m=1．故選：D．【變式1-3】下列各式中，正確的是（

）A．?32=?3 B．?32=?3 【答案】B【分析】本題考查了算術(shù)平方根．直接利用算術(shù)平方根的性質(zhì)對各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、?32B、?3C、?32D、33故選：B．【變式1-4】81的平方根是（）A．±3 B．3 C．±9 D．9【答案】A【分析】本題主要考查了求一個數(shù)的算術(shù)平方根和平方根，對于兩個實(shí)數(shù)a、b若滿足a2=b，那么a就叫做b的平方根，若a為非負(fù)數(shù)，那么a就叫做【詳解】解：81=9∵9的平方根為±3，∴81的平方根是±3，故選：A．【考點(diǎn)題型二】非負(fù)數(shù)的性質(zhì):算術(shù)平方根

【典例2】已知x?1+y+2=0，那么x+yA．1 B．?1 C．32024 D．【答案】A【分析】本題考查了算術(shù)平方根的非負(fù)性和絕對值的非負(fù)性，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出x、y的值再代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵x?1∴x?1=0,y+2=0∴x=1,y=?2∴(x+y)故選：A【變式2-1】若a?4+|b?9|=0，則ba的平方根是（A．32 B．±32 C．9【答案】B【分析】本題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，求一個數(shù)的平方根，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到a?4=0，b?9=0，則a=4，b=9，再根據(jù)若兩個實(shí)數(shù)a、b滿足a2【詳解】解：∵a?4+|b?9|=0，a?4∴a?4=|b?9|=0∴a?4=0，∴a=4，∴ba∴ba的平方根為±故選：B．【變式2-2】若y=x?5+5?x+3，則A．－15 B．－9 C．9 D．15【答案】D【分析】此題主要考查了算術(shù)平方根的非負(fù)性質(zhì)，正確得出x，y的值是解題關(guān)鍵．非負(fù)數(shù)x?5和5?x的值均為0時，算術(shù)平方根才有意義，直接利用算術(shù)平方根的非負(fù)性質(zhì)得出x，y的值，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：∵y=x?5∴x?5≥0∴x=5，當(dāng)x=5時，y=5?5∴xy=15．故選：D【變式2-3】若2x+1+y?32=0【答案】52/21【分析】本題主要考查偶次方及算術(shù)平方根的非負(fù)性，代數(shù)式求值，根據(jù)偶次方及算術(shù)平方根的非負(fù)性求出x,y的值，代入x+y即可．【詳解】解：∵2x+1∴2x+1=0,y?3=0，∴x=?1∴x+y=?1故答案為：52

【考點(diǎn)題型三】立方根

【典例3】64的立方根是（

）A．2 B．4 C．±2 D．±4【答案】A【分析】本題考查立方根的計(jì)算，注意看清題目是關(guān)鍵．64=【詳解】∵64=∴64的立方根是2．選A．【變式3-1】一個正方體的體積擴(kuò)大為原來的64倍，則它的棱長變?yōu)樵瓉淼模?/p>

）A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．9倍【答案】B【分析】本題考查了正方體的體積和立方根的應(yīng)用，熟練應(yīng)用立方根和正方體的體積計(jì)算方法是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)正方體的體積公式計(jì)算并判斷即可．【詳解】解：設(shè)原正方體的邊長為a，則體積為a3∴將體積擴(kuò)大為原來的64倍，為64a∴擴(kuò)大后的正方體的邊長為364∴它的棱長為原來的4倍，故選：B．【變式3-2】已知x的平方根是±8，則x的立方根是．【答案】4【分析】本題考查了平方根，立方根，根據(jù)x的平方根是±8得x=64，即可得；掌握平方根，立方根是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵x的平方根是±8，∴x=(±8)x=64，∴3x故答案為：4．【變式3-3】計(jì)算：3?27的結(jié)果等于【答案】?3【分析】本題主要考查了立方根的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握立方根定義，根據(jù)立方根定義求出結(jié)果即可．【詳解】解：3?27故答案為：﹣3．【考點(diǎn)題型四】平方根與立方根綜合

【典例4-1】求下列式子中x的值(1)49(2)2x?1【答案】(1)x=±(2)x=?【分析】本題考查利用平方根和立方根解方程：（1）利用平方根解方程即可；（2）利用立方根解方程即可．【詳解】（1）解：49x49x2∴x=±4（2）2x?132x?1=?2，解得：x=?1【典例4-2】已知6a+3的立方根是3，3a+b?1的算術(shù)平方根是4．(1)求a，b的值；(2)求a2【答案】(1)a=4，b=5(2)±6【分析】本題主要考查了根據(jù)立方根和算術(shù)平方根求原數(shù)，求一個數(shù)的平方根：（1）（1）對于兩個實(shí)數(shù)a、b若滿足a2=b，那么a就叫做b的平方根，若a為非負(fù)數(shù)，那么a就叫做b的算術(shù)平方根，對于兩個實(shí)數(shù)a、b若滿足a3=b，那么（2）根據(jù)（1）所求得到a2【詳解】（1）解：∵6a+3的立方根是3，∴6a+3=3∴a=4，∵3a+b?1的算術(shù)平方根是4，∴3×4+b?1=4∴b=5；（2）解：∵a=4，b=5，∴a2∵36的平方根是±6，∴a2+ab的平方根是【變式4-1】求下列各式中的x：(1)9x(2)x+13【答案】(1)x=±(2)x=?4【分析】本題考查了利用平方根、立方根的定義解方程，掌握平方根、立方根的定義是解題的關(guān)鍵．注意開平方時一定不要漏掉負(fù)的平方根．（1）先將方程轉(zhuǎn)化為一邊是含未知數(shù)的平方式，另一邊是一個非負(fù)數(shù)的形式，再將含未知數(shù)的平方式的系數(shù)化為1，最后左右同時開平方即可．（2）直接開立方將方程變?yōu)橐辉淮畏匠毯笤偾蠼猓驹斀狻浚?）解：9x∴9x∴x2∴x=±2（2）解：x+13∴x+1=?3，∴x=?4．【變式4-2】一個正數(shù)x的平方根是2a?3與5?a，y的立方根是?3，求x+y+3的算術(shù)平方根．【答案】5【分析】本題考查了平方根，立方根，算術(shù)平方根，解題的關(guān)鍵是掌握平方根，立方根，算術(shù)平方根的定義．根據(jù)平方根的定義求出a，進(jìn)而求出x，再根據(jù)立方根的定義求出y，然后求出x+y+3的值，最后根據(jù)算術(shù)平方根的定義即可求解．【詳解】解：∵一個正數(shù)x的平方根是2a?3與5?a，∴2a?3+5?a=0，解得a=?2，∴2a?3=?7，5?a=7，∴x=49，∵y的立方根是?3，，∴y=?27，∴x+y+3=49?27+3=25，∴x+y+3的算術(shù)平方根25=5【變式4-3】已知，2x+y?1的立方根是2，x+y與y?3是某數(shù)的兩個平方根．(1)求x與y的值；(2)求x+y的算術(shù)平方根．【答案】(1)x=5(2)2【分析】本題主要考查平方根、立方根、算術(shù)平方根，解二元一次方程組，熟練掌握平方根、立方根、算術(shù)平方根的定義是解決本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平方根、立方根定義列式即可求解；（2）由（1）可得x+y的值，即可求解．【詳解】（1）解：由題意得：2x+y?1=8化簡得：2x+y=9∴x=5（2）x+y的算術(shù)平方根是：x+y=【變式4-4】求下列各式中x的值．(1)9x(2)2x+53【答案】(1)x=±(2)x=?5【分析】本題考查了利用平方根和立方根解方程，一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒有平方根；所有的數(shù)都只有一個立方根，要注意整體思想的利用．（1）根據(jù)平方根的性質(zhì)，直接開平方求解即可；（2）根據(jù)立方根的性質(zhì)，直接開平方求解即可．【詳解】（1）解：9x∴9x∴x∴x∴x=±2（2）2x+53∴2x+5=?5，∴2x=?10，∴x=?5．【考點(diǎn)題型五】無理數(shù)

【典例5】在π3，2，3.14，0，52，4?1A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【分析】本題考查了無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)稱為無理數(shù)，常見無理數(shù)有：含π類；開不盡方的數(shù)是無理數(shù)；形如1.3030030003?（每兩個3間依次增加一個0）；熟悉無理數(shù)的概念及常見三類無理數(shù)是關(guān)鍵；根據(jù)無理數(shù)概念進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵4?1∴無理數(shù)的有：π3，2，5故選：B．【變式5-1】下列實(shí)數(shù)：23、37、0、?π3、0.16·、0.1212212221……（每相鄰兩個1之間依次多A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】本題考查的知識點(diǎn)是無理數(shù)的定義，解題關(guān)鍵是熟練掌握無理數(shù)辨析方法．無理數(shù)：無限不循環(huán)的小數(shù)是無理數(shù)，據(jù)此定義對實(shí)數(shù)進(jìn)行逐一判斷即可求解．【詳解】解：根據(jù)無理數(shù)的定義可得：23370不是無理數(shù)，不符合題意；?π0.160.1212212221……（每相鄰兩個1之間依次多1個2）是無理數(shù)，符合題意；綜上，無理數(shù)有3個．故選：C．【變式5-2】在?13，π，0.131131113…，3，227A．6個 B．5個 C．4個 D．3個【答案】D【分析】此題主要考查了無理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無理數(shù)有：π,2π等；開方開不盡的數(shù)；以及像0.5757757775…（相鄰兩個5之間的7的個數(shù)逐次加1）等有這樣規(guī)律的數(shù)．無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)．理解無理數(shù)的概念，一定要同時理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)．由此即可判定選擇項(xiàng)．【詳解】解：?13，227π，0.131131113…，3，屬于無理數(shù)．故選：D．【變式5-3】下列各數(shù)：3625，316，0，?20，A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【分析】本題主要考查了無理數(shù)的定義，注意帶根號的要開不盡方才是無理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)為無理數(shù)．如π，6，0.8080080008…（每兩個8之間依次多1個0)等形式．【詳解】解：3625=6故無理數(shù)有316，π故選：B．【考點(diǎn)題型六】實(shí)數(shù)的定義和性質(zhì)

【典例6】下列說法正確的是（

）A．兩個無理數(shù)的和一定是無理數(shù) B．無限小數(shù)都是無理數(shù)C．實(shí)數(shù)可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示 D．分?jǐn)?shù)可能是無理數(shù)【答案】C【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)的有關(guān)概念、實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系對各項(xiàng)逐一分析判斷即可．【詳解】A.兩個無理數(shù)的和可能是無理數(shù)，也可能是有理數(shù)，如互為相反數(shù)的一對無理數(shù)2和?2B.無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，無限小數(shù)不一定是無理數(shù)，故本選項(xiàng)說法錯誤，不符合題意；C.實(shí)數(shù)可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示，說法正確，符合題意；D.分?jǐn)?shù)是有理數(shù)，故本選項(xiàng)說法錯誤，不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)的有關(guān)概念和實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系，熟練掌握實(shí)數(shù)的基本概念是解題的關(guān)鍵．

【變式6-1】實(shí)數(shù)?32的倒數(shù)是（A．32 B．23 C．?【答案】C【分析】本題主要考查實(shí)數(shù)與倒數(shù)的定義，熟練掌握倒數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)倒數(shù)的定義可直接進(jìn)行求解．【詳解】解：∵?∴實(shí)數(shù)?32的倒數(shù)是故選：C．【變式6-2】下列說法正確的是(

)A．實(shí)數(shù)分為正實(shí)數(shù)和負(fù)實(shí)數(shù) B．無限小數(shù)都是無理數(shù)C．帶根號的數(shù)都是無理數(shù) D．無理數(shù)都是無限不循環(huán)小數(shù)【答案】D【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)的分類以及有關(guān)概念逐一分析即可解決.【詳解】A.實(shí)數(shù)分為正實(shí)數(shù)、負(fù)實(shí)數(shù)和零，故此選項(xiàng)錯誤；B.無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，故此選項(xiàng)錯誤；C.帶根號的數(shù)不一定是無理數(shù)，如4，9等，故此選項(xiàng)錯誤；D.無理數(shù)都是無限不循環(huán)小數(shù)，故此選項(xiàng)正確；故選：D【點(diǎn)睛】此題考查了實(shí)數(shù)的分類以及有關(guān)概念，掌握實(shí)數(shù)的分類和相關(guān)概念是解答此題的關(guān)鍵.【變式6-3】實(shí)數(shù)a的相反數(shù)是2023，那么實(shí)數(shù)a是（

）A．2023 B．?2023 C．12023 D．【答案】B【分析】直接利用相反數(shù)的定義分析得出答案．【詳解】∵實(shí)數(shù)a的相反數(shù)是2023，∴a=?2023，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了相反數(shù)的定義，只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)，解題的關(guān)鍵是正確把握定義．【變式6-4】?2的絕對值是（

A．?2 B．22 C．2 【答案】C【分析】本題考查實(shí)數(shù)的絕對值，根據(jù)絕對值的定義進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：?2的絕對值是?故選：C．【變式6-5】已知a滿足2024?a+a?2025=a，則a?【答案】2025【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)的性質(zhì)，代數(shù)式求值，根據(jù)實(shí)數(shù)的性質(zhì)可得a?2025≥0，進(jìn)而得到a?2024+a?2025=a，則可求出【詳解】解；∵2024?a+∴a?2025≥0，∴a≥2025，∴2024?a<0，∵2024?a+∴a?2024+a?2025∴a?2025=2024∴a?2025=2024∴a?故答案為：2025．【考點(diǎn)題型七】實(shí)數(shù)大小比較

【典例7】在數(shù)?3、2、0、5A．?3 B．0 C．2 D．【答案】D【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)大小的比較，掌握“正數(shù)大于0，0大于一切負(fù)數(shù)”是解決本題的關(guān)鍵．根據(jù)正數(shù)、0、負(fù)數(shù)比較大小的辦法得結(jié)論．【詳解】解：∵正數(shù)>0>負(fù)數(shù)，∴數(shù)?3、2、0、5故選：D．【變式7-1】實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示．把a(bǔ),b,?a,?b按照從小到大的順序排列，正確的是（

）A．b<?a<?b<a B．?a<?b<a<bC．?b<a<?a<b D．b<?a<a<?b【答案】D【分析】此題主要考查了實(shí)數(shù)大小比較的方法，以及數(shù)軸的特征：一般來說，當(dāng)數(shù)軸正方向朝右時，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大．根據(jù)圖示，可得0<a<1，b<?1，判斷出?a、?b的取值范圍，把a(bǔ)，b，?a，?b按照從小到大的順序排列即可．【詳解】解：根據(jù)圖示，可得0<a<1，b<?1，∴?1<?a<0，?b>1，∴b<?a<a<?b．故選：D．【變式7-2】比較大?。?37．【答案】<【分析】本題主要查了實(shí)數(shù)的大小比較．根據(jù)實(shí)數(shù)的大小比較法則解答，即可求解．【詳解】解：∵6=36∴6<37故答案為：<【變式7-3】比較大小：233【答案】<【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)大小比較，將兩個無理數(shù)平方即可比較出大小．【詳解】解：232=12∵12<18，∴23故答案為：<．【變式7-4】估計(jì)大小關(guān)系：7?1256（填>【答案】<【分析】本題考查了實(shí)數(shù)大小的比較，任意兩個實(shí)數(shù)都可以比較大?。龑?shí)數(shù)都大于0，負(fù)實(shí)數(shù)都小于0，正實(shí)數(shù)大于一切負(fù)實(shí)數(shù)，兩個負(fù)實(shí)數(shù)絕對值大的反而?。驹斀狻拷猓河深}可得：7?1∵37∴37∴7?1故答案為：<．【考點(diǎn)題型八】估算無理數(shù)的大小

【典例8】估計(jì)6的值是在（

）A．1到2之間 B．2到3之間 C．3到4之間 D．4到5之間【答案】B【分析】本題考查估算無理數(shù)大小，解題的關(guān)鍵是掌握算術(shù)平方根的定義，能估算無理數(shù)大?。?2<6<3【詳解】解：∵2∴2<6故選：B【變式8-1】與15最接近的整數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】本題考查了無理數(shù)的估算；估算出15的范圍，根據(jù)15與16更接近得出答案．【詳解】解：∵9<15<16，∴3<15故選：C．【變式8-2】估計(jì)14+1的值在（

A．2和3之間 B．3和4之間 C．4和5之間 D．5和6之間【答案】C【分析】本題考查了估算無理數(shù)的大?。豪猛耆椒綌?shù)和算術(shù)平方根對無理數(shù)的大小進(jìn)行估算．先確定9<14<16，再利用算術(shù)平方根的性質(zhì)即可求得答案．【詳解】解：∵9<14<16，∴9<∴9+1<即：4<故選：C．【變式8-3】實(shí)數(shù)7的整數(shù)部分是．【答案】2【分析】此題主要考查了無理數(shù)的估算能力，關(guān)鍵是能夠正確估算出一個較復(fù)雜的無理數(shù)的大?。?yàn)?<7<3，由此可以得到實(shí)數(shù)【詳解】解：∵即2<7∴實(shí)數(shù)7的整數(shù)部分是2．故答案為：2．【考點(diǎn)題型九】實(shí)數(shù)的運(yùn)算

【典例9】計(jì)算4+【答案】?4【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算．根據(jù)平方根、立方根的性質(zhì)化簡，再計(jì)算加減即可求解．【詳解】解：4=2+=?4．【變式9-1】計(jì)算：327【答案】?【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算．先化簡各式，然后再進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：3=3+2?=3+2?=?3【變式9-2】計(jì)算：4?2÷【答案】?6【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)的混合計(jì)算，熟練掌握運(yùn)算法則正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．利用算術(shù)平方根，有理數(shù)除法以及立方根的性質(zhì)、絕對值的非負(fù)性，冪的計(jì)算分別化簡、計(jì)算得出答案；【詳解】解：4=2?2×2?2+=2?4?2?2=?6【變式9-3】計(jì)算：|?2|?16【答案】?5【分析】本題主要考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，原式分別化簡絕對值，算術(shù)平方根以及立方根，然后再進(jìn)行加減運(yùn)算即可．【詳解】解：|?2|?=2?4?3=?5．【考點(diǎn)題型十】二次根式有意義的條件

【典例10】式子x?3有意義，則x的取值范圍是（

）A．x>3 B．x≥3 C．x<3 D．x≤3【答案】B【分析】本題考查二次根式有意義的條件，理解二次根式的被開方數(shù)要大于等于零，二次根式才有意義是解答關(guān)鍵．根據(jù)二次根式的被開方數(shù)在大于等于零列出不等式求解．【詳解】解：∵式子x?3有意義，∴x?3≥0，∴x≥3．故選：B．【變式10-1】若式子x?2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（

）A．x>2 B．x≥2 C．x<2 D．x≤2【答案】B【分析】本題考查了二次根式有意義的條件“被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)”．根據(jù)二次根式有意義的條件得到x?2≥0，解之即可求出x的取值范圍．【詳解】解：根據(jù)題意得：x?2≥0，解得：x≥2．故選：B．【變式10-2】函數(shù)y=1x?4中自變量x的取值范圍是（A．x>4 B．x≥?4 C．x≥4 D．x≠4【答案】A【分析】本題主要考查二次根式，熟練掌握二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次根式有意義的條件即可得到答案．【詳解】解：由題意可知，x?4>0，解得x>4．故選：A．【變式10-3】若2?x3y有意義，則A．x≤0,y≥0 B．x>0,y<0 C．x<0,y<0 D．xy<0【答案】C【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，根據(jù)二次根式的非負(fù)性可求得結(jié)果，掌握二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、當(dāng)x≤0,y≥0時，被開方數(shù)?xB、當(dāng)x>0,y<0時，被開方數(shù)?xC、當(dāng)x<0,y<0時，被開方數(shù)?xD、當(dāng)xy<0時，被開方數(shù)?x故選：C．【考點(diǎn)題型十一】二次根式的性質(zhì)與化簡

【典例11】將m?1m中根號外的mA．??m B．?m C．m D．【答案】A【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，二次根式的乘法，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次根式有意義的條件得出?1【詳解】解：由題意可知：?1∴m<0，∴m故選：A．【變式11-1】實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示，則(a?4)2?(a?11)A．2a?15 B．?7 C．7 D．無法確定【答案】A【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)，實(shí)數(shù)與數(shù)軸，先根據(jù)數(shù)軸判斷a?4,a?11的正負(fù)，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡．【詳解】解：由數(shù)軸可知，a?4>,a?11<0，∴(a?4)=a?4+a?11=2a?15故選A．【變式11-2】已知實(shí)數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的位置如圖所示：則a2?【答案】0【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，絕對值的性質(zhì)，根據(jù)數(shù)軸判斷出a、b、c的情況是解題的關(guān)鍵．根據(jù)數(shù)軸判斷出a、b、c的正負(fù)情況以及絕對值的大小，然后根據(jù)絕對值和二次根式的性質(zhì)去掉根號和絕對值號，再進(jìn)行計(jì)算即可得解．【詳解】解：由圖可知：c<a<0<b，而且|a|<|c|<|b|，∴a+c<0,c?b<0，∴==?a+a+c?c+b?b=0，故答案為：0．【變式11-3】實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上位置如圖，化簡：|a?b|?a+b2＝【答案】2b【分析】本題考查了根據(jù)數(shù)軸化簡求值，由數(shù)軸可知，a<0<b，a>b，則【詳解】解：∵a<0<b，a∴a?b<0,a+b<0，∴|a?b|?故答案為：2b．【考點(diǎn)題型十二】最簡二次根式和同類二次根式

【典例12】下列選項(xiàng)中，最簡二次根式是（

）A．4 B．0.8 C．5 D．1【答案】C【分析】本題考查最簡二次根式的定義．判定一個二次根式是不是最簡二次根式的方法，就是逐個檢查最簡二次根式的兩個條件是否同時滿足，同時滿足的就是最簡二次根式，否則就不是．【詳解】解：A、4=2B、0.8=C、5是最簡二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；D、13故選：C【變式12-1】下列各式中，不能與12合并的是（

A．2 B．8 C．118 D．【答案】D【分析】本題考查了二次根式的合并，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的化簡方法，以及同類二次根式才可以合并．將各選項(xiàng)化為最簡二次根式即可解答．【詳解】解：12A、2與12B、8=22與C、118=2D、0.2=15故選：D．【變式12-2】下列二次根式中，與3是同類二次根式的是（

）A．6 B．8 C．9 D．27【答案】D【分析】本題主要考查了同類二次根式的定義，即：化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式叫做同類二次根式．先將各選項(xiàng)化簡，再找到被開方數(shù)與3相同的選項(xiàng)即可．【詳解】解：A．6與3不是同類二次根式，故該選項(xiàng)不符合題意；B．8=22，22C．9=3D．27=33，33故選：D．【變式12-3】已知最簡二次根式x?1與二次根式8是同類二次根式，則x=．【答案】3【分析】根據(jù)最簡二次根式及同類二次根式的定義列方程求解．【詳解】解：∵8=2根據(jù)題意得：x?1=2，解得：x=3．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了最簡二次根式，同類二次根式的定義，即化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式叫做同類二次根式．【考點(diǎn)題型十三】二次根式的混合運(yùn)算【典例13】計(jì)算：(1)8(2)2【答案】(1)5(2)6【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)，二次根式的加減、乘除的混合運(yùn)算，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法