隱圓與蒙日圓問題（學(xué)生版）-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

重難點(diǎn)24隱圓與蒙日圓問題【六大題型】

【新高考專用】

?題型歸納

【題型1隱圓類型一：到定點(diǎn)的距離等于定長】..................................................2

【題型2隱圓類型二：到兩定點(diǎn)距離的平方和為定值】............................................2

【題型3隱圓類型三：到兩定點(diǎn)的夾角為直角】..................................................3

【題型4隱圓類型四：定弦定角、數(shù)量積定值】..................................................3

【題型5阿波羅尼斯圓】.......................................................................4

【題型6蒙日圓］.............................................................................5

?命題規(guī)律

1、隱圓與蒙日圓問題

從近幾年的高考情況來看，在近幾年全國各地的解析幾何試題中可以發(fā)現(xiàn)許多試題涉及隱圓、蒙日圓,

這些問題聚焦了軌跡方程、定值、定點(diǎn)、弦長、面積等解析幾何的核心問題，難度為中高檔，需要靈活求

解.

?方法技巧總結(jié)

【知識(shí)點(diǎn)1隱圓與阿波羅尼斯圓】

1.隱圓問題

在題設(shè)中沒有明確給出圓的相關(guān)信息，而是隱含在題目中，要通過分析、轉(zhuǎn)化、發(fā)現(xiàn)圓(或圓的方程)，

從而最終利用圓的知識(shí)來求解，我們稱這類問題為“隱圓問題”.

2.隱圓問題的幾大類型

(1)隱圓類型一：到定點(diǎn)的距離等于定長；

(2)隱圓類型二：到兩定點(diǎn)距離的平方和為定值；

(3)隱圓類型三：到兩定點(diǎn)的夾角為直角；

(4)隱圓類型四：對(duì)角互補(bǔ)、數(shù)量積定值；

(5)隱圓類型五：阿波羅尼斯圓.

3,阿波羅尼斯圓

“阿波羅尼斯圓''的定義：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)/(-a,0),2(°,0)(。＞0)的距離之比為正數(shù)力(理1)的點(diǎn)的軌跡是

以C(多上1。,0)為圓心，召7為半徑的圓，即為阿波羅尼斯圓?

【知識(shí)點(diǎn)2蒙日圓】

1.蒙日圓

在橢圓i+￡=1(。＞6＞0)上，任意兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，它的圓心是橢圓

的中心，半徑等于橢圓長半軸與短半軸平方和的算術(shù)平方根，這個(gè)圓叫蒙日圓.

設(shè)尸為蒙日圓上任一點(diǎn)，過點(diǎn)P作橢圓的兩條切線，交橢圓于點(diǎn)4B,。為原點(diǎn)，如圖.

【題型1隱圓類型一：到定點(diǎn)的距離等于定長】

【例1】（2024?全國?二模）已知直線=tx+5（teR）與直線4：%+ty—t+4=0（teR）相交于點(diǎn)P,且

點(diǎn)P到點(diǎn)Q（a,3）的距離等于1,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.[-2V2-3,-2V2-1]

B.[-272-3,272-1]

C.[-2V2-3,-2V2-1]U[2V2+1.2V2+3]

D.[-2V2-3,-2V2-1]U[2V2-3,2V2-1]

【變式1-1]（24-25高三上?江西南昌?開學(xué)考試）已知橢圓1的右焦點(diǎn)為凡貝！IE上滿足|PF|=百

43

的P點(diǎn)有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【變式1-2]（2024?陜西咸陽?模擬預(yù)測）已知不是兩個(gè)單位向量，且忖+同=\a-b\,若向量西蔭足后―方―

同=2,則|?|的最大值為（）

A.2-V2B.2+V2C.V2D.2近

【變式1-3]（23-24高三下?湖南長沙?階段練習(xí)）已知”（句,乃），可。2，乃）是圓。（X+2尸+（y-4>=1

上的兩個(gè)不同的點(diǎn)，若|MN|=&,則％-yi|+|久2-丫21的取值范圍為（）

A.[10,14]B.[8,16]C.[5V2,742]D.[4位,8a]

【題型2隱圓類型二：到兩定點(diǎn)距離的平方和為定值】

【例2】（24-25高二上?全國?課后作業(yè)）平面上一動(dòng)點(diǎn)P滿足：|PM|2+|PN|2=6且M（—l,0）,N（l,0）,則動(dòng)

點(diǎn)P的軌跡方程為（）

A.（x+I）2+y2=3B.（%—I）2+y2=3

C./+產(chǎn)=2D.x2+y2—3

【變式2-l】（2024?河南?三模）在平面a內(nèi)，已知線段4B的長為4,點(diǎn)P為平面a內(nèi)一點(diǎn)，且|P*2+|Pfi|2=10；

則NP4B的最大值為（）

【變式2-2]（24-25高二上?江蘇徐州?階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系久。y中，已知點(diǎn)4（2,0）,若點(diǎn)M滿足“壽+

MO2=10,則點(diǎn)M的軌跡方程是.

【變式2-3]（23-24高二上?福建廈門?期末）已知圓。:/+y=1和圓。]：（久—2）2+產(chǎn)=1,過動(dòng)點(diǎn)p分別

作圓。，圓。1的切線24,PB（A,B為切點(diǎn)），且|P*2+仍切2=18,則|P4|的最大值為.

【題型3隱圓類型三：到兩定點(diǎn)的夾角為直角】

【例3】（2024?浙江嘉興?二模）已知圓C:（x—5）2+（y+2）2=?&>（））,力（―6,0）,B（0,8）,若圓C上存在點(diǎn)

P使得P41PB,貝懺的取值范圍為（）

A.（0,5]B.[5,15]C.[10,15]D.[15,+oo）

【變式3-1]（2024?北京平谷?模擬預(yù)測）設(shè)點(diǎn)力（1,0）,動(dòng)直線/：x+ay+2a-l=0,作力M11于點(diǎn)

則點(diǎn)M到坐標(biāo)原點(diǎn)。距離的最小值為（）

A.1B.V2+1C.V2-1D.V3

【變式3-2]（23-24高三下?江蘇揚(yáng)州?開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，己知M,N為圓/+y2=9上兩

點(diǎn)，點(diǎn)4（1,2）,且4M14V,則線段MN的長的取值范圍是（）

A.[4-V2,4+V2]B.[V13-V2,V13+V2]

C.[4-V5,4+V5]D.[V13-V5,V13+V5]

【變式3-3]（2024?廣西南寧?二模）已知直線y=fee+印0）與x軸和y軸分別交于4,B兩點(diǎn)，且|力B|=

2V2,動(dòng)點(diǎn)C滿足C41CB,則當(dāng)匕根變化時(shí)，點(diǎn)C到點(diǎn)的距離的最大值為（）

A.4V2B.3V2C.2V2D.V2

【題型4隱圓類型四：定弦定角、數(shù)量積定值】

2

【例4】（2024?北京?三模）已知圓+。一1）2=1和兩點(diǎn)力（一。0）,8（。0）&>0）,若圓C上存

在點(diǎn)P,使得可?麗=0,貝亞的取值范圍為（）

A.（0,1]B.[1,3]C.[2,3]D.[3,4]

【變式4-1]（2024?全國?模擬預(yù)測）M點(diǎn)是圓C:（x+2）2+產(chǎn)=1上任意一點(diǎn)，AB為圓的:Q—2>+產(chǎn)=3

的弦，且|4B|=2a,N為4B的中點(diǎn)，則|MN|的最小值為（）

A.1B.2C.3D.47

【變式4-2]（2024?江西贛州?一模）在邊長為4的正方體裕⑺-久%的小中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是側(cè)

面力內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（含四條邊），且tan/APD=4tan/EPB,貝摩的軌跡長度為（）

A.三B.空C.-D.巴

9999

【變式4-3］（2024?河南關(guān)B州?二模）在平面直角坐標(biāo)系宣》中，設(shè)A（2,4）,B（—2,—4）,動(dòng)點(diǎn)P滿足

PO-PA^-1,則tan/PB。的最大值為（）

A2V2In4V29k2V41cV2

A.-----B.-----C------D.—

2129412

【題型5阿波羅尼斯圓】

【例5】（23-24高二上?遼寧沈陽?期中）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，阿波羅尼斯圓是他的研究成果

之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩定點(diǎn)。，尸的距離之比需=4（4>0,4片1）,那么點(diǎn)M的軌跡就是阿波羅

尼斯圓.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為/+產(chǎn)=1,0為x軸上一定點(diǎn)，P（-p0）,且4=2,

則點(diǎn)。的坐標(biāo)為（）

A.（-1,0）B.（1,0）C.（-2,0）D.（2,0）

【變式5-1］（23-24高二上?江西南昌?階段練習(xí)）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德

并稱為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓

錐曲線》一書，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：己知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩定點(diǎn)0,P的距離之比匿=4

（4>0,4K1）,那么點(diǎn)M的軌跡就是阿波羅尼斯圓，已知?jiǎng)狱c(diǎn)的M與定點(diǎn)Q（m,0）和定點(diǎn)P（-a0）的距

離之比為2,其方程為刀2+>2=1,若點(diǎn)則2|MP|+|MB|的最小值為（）

A.V6B.V7C.V10D.V11

【變式5-2］（23-24高二上?陜西咸陽?階段練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯（約公元前262?公元前190

年）的著作《圓錐曲線論》是古代數(shù)學(xué)的重要成果.其中有這樣一個(gè)結(jié)論:平面內(nèi)與兩點(diǎn)距離的比為常數(shù)4Q牛

1）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人稱這個(gè)圓為阿波羅尼斯圓.已知點(diǎn)。（0,0）,力（3,0）,動(dòng)點(diǎn)P（x,y）滿足黑=3則點(diǎn)

I產(chǎn)力I乙

P的軌跡與圓C：（x—2）2+y2=1的公切線的條數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【變式5-3］（23-24高二上?湖南益陽?期末）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德并稱

為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐

曲線》一書，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一.指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩定點(diǎn)。P的距離之比靄=4（4>

0,471）,那么點(diǎn)”的軌跡就是阿波羅尼斯圓.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為/+y2=i,其

中，定點(diǎn)Q為X軸上一點(diǎn)，定點(diǎn)P的坐標(biāo)為（—,,0）,4=3,若點(diǎn)則31Mpi+|MB|的最小值為（）

A.V10B.VilC.V15D.V17

【題型6蒙日圓】

【例6】（23-24高三上?安徽六安?階段練習(xí)）橢圓5+《=l（a〉0,6>0,a46）任意兩條相互垂直的切線

的交點(diǎn)軌跡為圓：x2+y2=a2+h2,這個(gè)圓稱為橢圓的蒙日圓.在圓-4尸+（y-3A=N（廠>0）上總

存在點(diǎn)P,使得過點(diǎn)P能作橢圓/+1=1的兩條相互垂直的切線，貝懺的取值范圍是（）

A.[1,7]B.[1,9]C.[3,7]D.[3,9]

【變式6-1]（2024?貴州銅仁?二模）法國數(shù)學(xué)家加斯帕?蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”“微分幾何之父”.他發(fā)

現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日

圓.若橢圓「橐+==l（a>6>0）的蒙日圓為C:x2+y2=#，過C上的動(dòng)點(diǎn)M作r的兩條切線，分別與C交

于P,Q兩點(diǎn)，直線PQ交r于力，B兩點(diǎn)，則橢圓r的離心率為（）

A.包B.3C.3D.立

2233

【變式6?2】（2024高三?山東?專題練習(xí)）“蒙日圓”涉及幾何學(xué)中的一個(gè)著名定理，該定理的內(nèi)容為：橢圓

上兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)必在一個(gè)與橢圓同心的圓上，該圓稱為原橢圓的蒙日圓.若橢圓C：三+旺=1

a+1a

（a>0）的離心率為a則橢圓C的蒙日圓方程為（）

A.x2+y2=9B.x2+y2=7C.x2+y2=5D.x2+y2=4

【變式6-3]（23-24高二上?江蘇徐州?期中）畫法幾何學(xué)的創(chuàng)始人——法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙日發(fā)現(xiàn)：與

橢圓相切的兩條垂直切線的交點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓，我們通常把這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日

22

圓.已知橢圓a+方=l（a>b>0）的蒙日圓方程為第2+y2=a2+h2.若圓（％-3）2+（y-A）2=9與橢圓

f+y2=1的蒙日圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則久的值為（）

A.±3B.±4C.±5D.2V5

?過關(guān)測試

一、單選題

1.（24-25高二上?江蘇徐州?階段練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)。（0,0）,力（3,0）的距離之比為2,那么直線。M

的斜率的取值范圍是（）

A.[2V6,6V2]B.[-y,y]C.[-y,y]D.

2.（23-24高三上?重慶?期中）已知。為拋物線C:必=4%上的動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足到點(diǎn)/（2,0）的距離

與到點(diǎn)網(wǎng)歹是C的焦點(diǎn)）的距離之比為y,貝！JIQM+3I的最小值是（）

A.3-V2B.4-V2C.4+V2D.4

3.（23-24高二下?貴州六盤水?期末）已知線段力B的長度為4,動(dòng)點(diǎn)M與點(diǎn)力的距離是它與點(diǎn)B的距離的四

倍，則力B面積的最大值為（）

A.8V2B.8C.4V2D.y

4.（23-24高二上?河北石家莊?期末）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，曲線/=y+l與x軸相交于4,2兩點(diǎn)，P

是平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足|P*=&|PB|,則48面積的最大值是（）

A.V3B.2V3C.V2D.2近

5.（23-24高二下?陜西寶雞?期中）已知點(diǎn)/為直線3x+4y—5=0上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P（>n+2,l—n）,B（2,0）,

且滿足爪2+n2=2n-4m-4,則2|4P|+|BP|的最小值為（）

A.-B.-C.—D.-

5355

6.（2024?廣東?二模）法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙日在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢圓的兩條相互垂直切線的交點(diǎn)

軌跡為圓，我們通常稱這個(gè)圓為該橢圓的蒙日圓.根據(jù)此背景，設(shè)M為橢圓。乂2+弓=1的一個(gè)外切長方形

（M的四條邊所在直線均與橢圓C相切），若M在第一象限內(nèi)的一個(gè)頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為2,則M的面積為（）

A.13V3B.26C..D.音

7.（23-24高二下?浙江?期中）在中，BC=2,/.BAC=。為5c中點(diǎn)，在△4BC所在平面內(nèi)有一

動(dòng)點(diǎn)尸滿足麗?麗=麗?麗，則存?前的最大值為（）

A.—B.—C.V3D.—

333

8.（23-24高二下?山東青島?開學(xué)考試）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與阿基米德、歐幾里得并稱為亞

歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他研究發(fā)現(xiàn)：如果一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為常數(shù)4（2>0,且,

那么點(diǎn)P的軌跡為圓，這就是著名的阿波羅尼斯圓.若點(diǎn)C到4（-1,0）,B（l,0）的距離之比為百，則點(diǎn)C到直

線無一2y+8=0的距離的最小值為（）

A.2V5-V3B.V5-V3

C.2V5D.V3

二、多選題

9.（23-24高二上?福建泉州?期中）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯（約公元前262?前190）發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到

兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值4（4K1）的點(diǎn)的軌跡是圓.后來，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波

羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（—1,0），5（2,0）,動(dòng)點(diǎn)P滿足￡5［直線I:mx—y+

"IL

爪+1=0,貝ij（）

A.直線2過定點(diǎn)（—1,1）

B.動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為。+2）2+y2=4

C.動(dòng)點(diǎn)P到直線Z的距離的最大值為迎+1

D.若點(diǎn)。的坐標(biāo)為（—1,1）,則|PD|+21PAi的最小值為標(biāo)

10.（2024?山西太原?二模）已知兩定點(diǎn)力（一2,0）,B（l,0）,動(dòng)點(diǎn)M滿足條件|M川=2|MB|,其軌跡是曲線

C,過8作直線/交曲線C于尸，。兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.|PQ|取值范圍是［2舊,4］

B.當(dāng)點(diǎn)4,B,P,。不共線時(shí)，△4PQ面積的最大值為6

C.當(dāng)直線I斜率k力0時(shí)，AB平分NPAQ

D.tan乙P4Q最大值為機(jī)

11.（23-24高二上?江蘇蘇州?階段練習(xí)）畫法幾何的創(chuàng)始人一法國數(shù)學(xué)家蒙日發(fā)現(xiàn)：在橢圓C：S+/=

l（a>b>0）中，任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，它的圓心是橢圓的中心，半徑等于長、

短半軸平方和的算術(shù)平方根，這個(gè)圓就稱為橢圓。的蒙日圓，其圓方程為久2+y2=02+。2.已知橢圓C

的離心率為乎，點(diǎn)/,8均在橢圓C上，直線久+ay-4=0,則下列描述正確的為（）

A.點(diǎn)A與橢圓C的蒙日圓上任意一點(diǎn)的距離最小值為b

B.若/上恰有一點(diǎn)P滿足：過P作橢圓C的兩條切線互相垂直，則橢圓C的方程為9+y=1

C.若I上任意一點(diǎn)。都滿足9-QB>0,則0<b<l

D.若6=1,橢圓。的蒙日圓上存在點(diǎn)M滿足MALMB,則△AOB面積的最大值為日

三、填空題

12.（24-25高二上?江蘇徐州?階段練習(xí)）已知點(diǎn)力（—3,0）,8（1,0）,平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P滿足PB-3P4=0,則

點(diǎn)P的軌跡形成的圖形周長是.

13.（23-24高二下?湖南?開學(xué)考試）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯（約公元前262?公元前190年）的著作《圓

錐曲線論》是古代數(shù)學(xué)的重要成果，其中有這樣一個(gè)結(jié)論：平面內(nèi)與兩點(diǎn)距離的比為常數(shù)乂441)的點(diǎn)的軌

跡是圓，后人稱這個(gè)圓為阿波羅尼斯圓，已知點(diǎn)。(0,0),力(3,0),動(dòng)點(diǎn)P(x,y)滿足翳=:，則點(diǎn)P的軌跡與

圓C:0-1)2+y2=1的公切線的條數(shù)為.

14.(23-24高二上?山東棗莊?階段練習(xí))蒙日是法國著名的數(shù)學(xué)家，他首先發(fā)現(xiàn)橢圓的兩條相互垂直的切

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線的交點(diǎn)的軌跡是圓，所以這個(gè)圓又被叫做“蒙日圓”，已知點(diǎn)/、3為橢圓(0<fo<V3)上任

意兩個(gè)