已知圖形面積求反比例函數(shù)系數(shù)k（雙函數(shù)）模型-2024-2025學(xué)年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之函數(shù)模型

已知圖形面積求反比例函數(shù)系數(shù)k（雙函數(shù)）模型

反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義：反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)與坐標(biāo)軸的兩條垂線所圍成的矩形

面積等于悶.

模型呈現(xiàn)：

注意上面結(jié)論中的等式正反兩個(gè)方面的靈活應(yīng)用.

雙反比例函數(shù)與圖象上一點(diǎn)與坐標(biāo)軸的兩條垂線所圍成的矩形面積等于人-身

如圖，點(diǎn)A在反比例函數(shù)%=2（x>0）的圖象上，點(diǎn)8在反比例函數(shù)%=4》<0）的圖象上,

X%

〃無(wú)軸，C是x軸上一點(diǎn)，連接AC,BC,若VABC的面積是6,則上的值為（）

設(shè)直線48與y軸交于點(diǎn)由題意得出工0M=1x

1磔=1,S4A0B=S&ABC=6,

BOM+^AOM=^AOB=6得出%。“=；附=5,即可得解.

再結(jié)合2

憶』詳細(xì)解析

解：連接OAO3,設(shè)直線2B與y軸交于點(diǎn)M,如圖所示:

=加,

|2|=1,^^AOB=S^ABC=6,S&BOM

?S&BOM+^AOM=S&AOB=6,

?V=s

,?0ABOM一」，

=5網(wǎng)=5,

'：k<Of

k=—10,

故選：c.

X

變式題

試卷第2頁(yè)，共6頁(yè)

3k

1.如圖，點(diǎn)A是函數(shù)y=--(x<0)圖象上一點(diǎn)，點(diǎn)5是丁=一(k>0,x>0)圖象上

xx

一點(diǎn)，點(diǎn)。在x軸上，連結(jié)A5,C4,CB.若A3〃1軸，S&a=4,貝心=().

2.如圖，點(diǎn)A在反比例函數(shù)>=-9(]<0)上，過(guò)點(diǎn)A作AB〃x軸，交y軸于點(diǎn)C,交反

x

比例函數(shù)，="(%〉0)于點(diǎn)B.若AC=25C,則％的值為()

X

X

A.6B.-6C.-3D.3

k

3.如圖，四邊形Q4CB為平行四邊形，其中，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=-(左>0,%>0)的圖象上,

X

12

點(diǎn)8在反比例函數(shù)>=-上(x>0)的圖象上，點(diǎn)C在X軸的正半軸上，若四邊形Q4CB的面積

X

為40,貝必的值是()

A.28B.27C.26D.25

4.如圖，A,3兩點(diǎn)在反比例函數(shù)y=勺的圖象上，C,。兩點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖

XX

象上，AC_Lx軸于點(diǎn)E,BDLx軸于點(diǎn)尸，AC=4,BD=6,EF=10,則人一人等于（）

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M為x軸正半軸上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M的直線/〃V軸，且直

6k

線/分別與反比例函數(shù)y=?（x>0）和尸￡（x>0）的圖象交于尸，。兩點(diǎn)，若5.2=12,則左

xx

的值為.

6.如圖，點(diǎn)A,B在反比例函數(shù)y=』（x>0）的圖象上，點(diǎn)C,D在反比例函數(shù)y=（?）

%X

的圖象上，AC〃9〃y軸，已知點(diǎn)A,8的橫坐標(biāo)分別為1,2,AQ4C與△河的面積之

和為3,則上的值為

7.如圖，矩形Q4BC與反比例函數(shù)％=勺（/是非零常數(shù)，x>0）的圖象交于點(diǎn)M,N,

X

反比例函數(shù)%=S（網(wǎng)是非零常數(shù)，x>0）的圖象交于點(diǎn)B,連接OMQN.若四邊形OMBN

X

試卷第4頁(yè)，共6頁(yè)

的面積為3,貝I2k2-2kl=

8.如圖，點(diǎn)A,3分別在函數(shù)y=2（。＞。）圖像的兩支上（A在第一象限），連結(jié)A3交x軸

于點(diǎn)。.點(diǎn)。，E在函數(shù)y=（。＜0,%＜。）圖像上，AE〃x軸，89〃y軸，連結(jié)DE,BE.若

AC=2BC,石的面積為12,四邊形ABDE的面積為15,則的值為.

9G

9.如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)％=4圖象上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作y軸的平行線，交函數(shù)%=—的圖

%x

象于點(diǎn)8,連接。8,交反比例函數(shù)M=二的圖象于點(diǎn)C,已知&A°B=3.

X

⑴求上的值；

（2）連接AC,若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4,求△AOC的面積.

10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)尸（6,0）的直線/與y軸平行，且直線/與反比例函數(shù)

17k

%=?（x＞0）和％=＞0）的圖象分別交于點(diǎn)A、B.

ft

⑴求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)若VA03的面積為24,求左的值.

⑶在(2)的條件下，若x軸上有一點(diǎn)使AO則為等腰三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿足條

件M點(diǎn)的坐標(biāo).

試卷第6頁(yè)，共6頁(yè)

參考答案:

1.D

【分析】本題考查反比例函數(shù)上的幾何意義，讀懂題意，數(shù)形結(jié)合是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

連接。4、OB,如圖所示，得至再結(jié)合反比例函數(shù)%的幾何意義即可得到

3k

=+g=4,解方程即可得到答案.

22

【詳解】解：連接。4、OB,如圖所示：

1?"S&4CB=4,

3k

；.=+；=4,解得上=5,

22

故選：D.

2.D

【分析】本題考查反比例函數(shù)％值的幾何意義，連接OAO3,易得，A℃=3,根據(jù)同高三

角形的面積比等底邊比，求出S.B"的面積，即可得出上的值.

:.軸，

6k

?點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=(x<0)上，點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=—(x>0)上,

xx

k

,.04A0C_Q&B0C_2，

?/AC=2BC,

答案第1頁(yè)，共9頁(yè)

?q?v—9?1

.?°AAOC.°&BOC_4」，

?S_j_Q-l-L

??MBOC-5%AOC_5_5，

k=3；

故選：D.

3.A

【分析】本題考查反比例圖象與四邊形結(jié)合，熟練掌握反比例函數(shù)系數(shù)上的幾何意義是解題

關(guān)鍵.根據(jù)題意作軸，BE。軸，根據(jù)點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=-上17(x>0)的圖象上可以

X

求出“OEB，進(jìn)而求出以.。，進(jìn)而求出上值.

【詳解】作軸，軸

,四邊形OACB為平行四邊形，面積為40,

S-ACO=S-BCO=2。

?.?點(diǎn)2在反比例函數(shù)y=-上17(彳>0)的圖象上；

X

9?S^OEB=/x|-12|=6,

??SACEB=Loo=20-6=14

,4=14,

2

即k=28

故選：A

4.C

【分析】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，比例系數(shù)的幾何意義，連接。4、oaOD、OB,

答案第2頁(yè)，共9頁(yè)

由反比例函數(shù)的性質(zhì)可知LOE=】BOF=；同=一)勺，S^COE=S^DOF=^k2,由

SxAOC=SMOE+S&OE，S^BOD=^^DOF+SABOF即可求解，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：連接。4、oaOD、OB,如圖，

由反比例函數(shù)的性質(zhì)可知工4O￡=s.=*|=-9],S^C0E=SADOF=^k2,

,?Q—C_i_V

?3Aoe-"AAOE丁QACOE，

.1.|ACxO￡=1x4OE=2OE=1(^2-)tl)(l),

?S4BOD=S/\DOF+S^BOF，

.1.1B￡>XG>F=1X6(￡F-6>￡)=1X6(10-OE)=30-3O￡=1(^2-^)(2),

由①②兩式解得OE=6,

則履-左=24,

故選：C.

5.-18

【分析】本題考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)上的幾何意義：在反比例函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)向

坐標(biāo)軸作垂線，這一點(diǎn)和垂足以及坐標(biāo)原點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積是:1口，且保持不變.

由于S.O2=SMMQ+S.OMP，根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義得到gkl+gx|6|=12,

然后結(jié)合函數(shù)y=人的圖象所在的象限解方程得到滿足條件的k的值.

x

【詳解】解：:SAP0Q=S&OMQ+SQMP9

:」|%|+』x16bl2,

22

.?.網(wǎng)=18,

而左<0,

答案第3頁(yè)，共9頁(yè)

/.k=—18.

故答案為：-18.

6.5

【分析】本題主要考查反比例函數(shù)的性質(zhì)、上的幾何意義等知識(shí)點(diǎn)，用人表示出相關(guān)圖形的

面積是解題的關(guān)鍵.

如圖：過(guò)A作x軸垂線，過(guò)8作x軸垂線，可求出?2,\,C（l,k）,。"，鼻，將

9

面積進(jìn)行轉(zhuǎn)換=^hCOM~^hAOMSMBD=S梯形AMNO—S梯形AMNB進(jìn)而求解即可.

【詳解】解：如圖：過(guò)A作X軸垂線，過(guò)5作X軸垂線，

..?點(diǎn)A,2在反比例函數(shù)＞=!（?）的圖象上，點(diǎn)A,B的橫坐標(biāo)分別為1,2,

.5（1,1）,

AC〃血）〃y軸，

/.C（l,k）,。。，金，

：AOAC與△ABD的面積之和為3,

S

SSOAC=SACOM-LAOM=gx上一;xlxl=5_g,

?_??_If,ky.1（.I一左-1

=1+Xi-X+X1=—

=3梯形AMW_3梯形AMNB2I2J2r2J^）

k1Z--1

??----+^-3,解得：k=5.

224

故答案為：5.

7.6

【分析】本題考查反比例函數(shù)中％的幾何意義的應(yīng)用，讀懂題意，數(shù)形結(jié)合，將所求代數(shù)式

準(zhǔn)確用k的幾何意義對(duì)應(yīng)的圖形面積表示出來(lái)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

根據(jù)反比例函數(shù)中左的幾何意義：反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線，與原點(diǎn)構(gòu)成的直角

答案第4頁(yè)，共9頁(yè)

三角形面積等于口，數(shù)形結(jié)合可以得到山*=?凡孫爸，5矩…c=網(wǎng)，根據(jù)圖象均

在第一象限可知勺>0,&>0,再由四邊形OMBN的面積為3,得到&=5+3+3,即可得到

答案.

k

【詳解】解：?.?矩形Q4BC與反比例函數(shù)兇=」（勺是非零常數(shù)，元>0）的圖象交于點(diǎn)憶N,

x

???由反比例函數(shù)中七的幾何意義知，S,AOM=邛，S，CON=?，

?.,矩形OABC與反比例函數(shù)%=&（鼠是非零常數(shù)，%>0）的圖象交于點(diǎn)8,

X

???由反比例函數(shù)中k的幾何意義知，S矩形6MBe=履|，

,??四邊形OMBN的面積為3,

由圖可知，S矩形0A5C-SAAOM+S衛(wèi)ON+S四邊形，

kk

即《=^+3+3,解得左2—匕=3,

/.2k2一2左1=6,

故答案為：6.

8.16

[分析】依據(jù)題意，設(shè)A、,身，再由AE〃x軸，8?！▂軸，AC=2BC,可得812m,一言],

D[-2m,-^\,fif—,-L再結(jié)合AABE的面積為12,四邊形的面積為15,即可

[2m）\amJ

得解.

【詳解】解：設(shè)《九靠],

?.?AE〃x軸，且點(diǎn)E在函數(shù)y=2上，

VAC=2BC,且點(diǎn)8在函數(shù)y=9上,

X

—2m,———].

（2mJ

?.?3?！╚軸，點(diǎn)。在函數(shù)丫=9上，

「△AfiE的面積為12,

答案第5頁(yè)，共9頁(yè)

aaa1a-b3a_3（〃-b）

SAABE=萬(wàn)*—+——m=—m-------=------=12.

m2mI2m2a2m4

a-b-16.

【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)與圖形的綜合，掌握反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，幾何圖形點(diǎn)

坐標(biāo)的計(jì)算方法，相似三角形的判定和性質(zhì)，圖形面積的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵.

9.⑴%=8

【分析】本題考查了反比例函數(shù)左的幾何意義，求反比例函數(shù)的解析式;

(1)延長(zhǎng)交x軸于。點(diǎn)，根據(jù)反比例函數(shù)%的幾何意義直接計(jì)算即可;

(2)過(guò)點(diǎn)C作先求出正比例函數(shù)的解析式，然后求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，從而求

出，最后根據(jù)=2.5-久的。計(jì)算即可;

熟知反比例函數(shù)上的幾何意義是關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：如圖，延長(zhǎng)8。交了軸于。點(diǎn),

過(guò)點(diǎn)A作y軸的平行線，交函數(shù)％=A的圖象于點(diǎn)

XX

B,且后＞0

S^OBD=5%，SAOAD=1

?-J

S&AOB=SQBD-S4AD=/"—1=3

解得，k=8

故女的值為8；

(2)如圖，過(guò)點(diǎn)C作CEL54,

答案第6頁(yè)，共9頁(yè)

O\D*

:點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4,點(diǎn)A是反比例函數(shù)y=2圖象上一點(diǎn)，

X

：54平行于y軸，

Q

...點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4,%=—

X

.?.8(4,2)

.1

x

-'y0B=-

..2

…工

—=~x^x>0)

解得，x=2

，正比例函數(shù)為的圖象與反比例函數(shù)%,圖象的交點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,1)

X

/.CE—2,

13

：.BA=2——=—

22

A5ASC=-X-X2=-

AABC222

.33

=

,?SAAOC=SAA08-S^BC3--=—

3

故△AOC的面積為

10.(1)(6,2)

⑵-36

⑶(6夜,0)或(-672,0)或(12,0)或(6,0)

答案第7頁(yè)，共9頁(yè)

【分析】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)4的幾何意義、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理以及兩點(diǎn)

間的距離等知識(shí)，具有一定的綜合性，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

19

(1)把尤=6代入(尤