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河北省衡水市2025屆高考考前提分?jǐn)?shù)學(xué)仿真卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效;在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4.作圖可先使用鉛筆畫(huà)出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合,,則()A. B. C. D.2.已知拋物線的焦點(diǎn)為,對(duì)稱(chēng)軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)為,為上任意一點(diǎn),若,則()A.30° B.45° C.60° D.75°3.已知底面為邊長(zhǎng)為的正方形,側(cè)棱長(zhǎng)為的直四棱柱中,是上底面上的動(dòng)點(diǎn).給出以下四個(gè)結(jié)論中,正確的個(gè)數(shù)是()①與點(diǎn)距離為的點(diǎn)形成一條曲線,則該曲線的長(zhǎng)度是;②若面,則與面所成角的正切值取值范圍是;③若,則在該四棱柱六個(gè)面上的正投影長(zhǎng)度之和的最大值為.A. B. C. D.4.若集合,,則()A. B. C. D.5.對(duì)于函數(shù),若滿(mǎn)足,則稱(chēng)為函數(shù)的一對(duì)“線性對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”.若實(shí)數(shù)與和與為函數(shù)的兩對(duì)“線性對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”,則的最大值為()A. B. C. D.6.集合,則集合的真子集的個(gè)數(shù)是A.1個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.7個(gè)7.設(shè)是定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù),滿(mǎn)足條件是偶函數(shù),且當(dāng)時(shí),,則,,的大小關(guān)系是()A. B. C. D.8.一個(gè)正三棱柱的正(主)視圖如圖,則該正三棱柱的側(cè)面積是()A.16 B.12 C.8 D.69.已知全集,則集合的子集個(gè)數(shù)為()A. B. C. D.10.設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線方程為,則()A.1 B.2 C.3 D.411.若,則()A. B. C. D.12.某市氣象部門(mén)根據(jù)2018年各月的每天最高氣溫平均數(shù)據(jù),繪制如下折線圖,那么,下列敘述錯(cuò)誤的是()A.各月最高氣溫平均值與最低氣溫平均值總體呈正相關(guān)B.全年中,2月份的最高氣溫平均值與最低氣溫平均值的差值最大C.全年中各月最低氣溫平均值不高于10°C的月份有5個(gè)D.從2018年7月至12月該市每天最高氣溫平均值與最低氣溫平均值呈下降趨勢(shì)二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知一個(gè)正四棱錐的側(cè)棱與底面所成的角為,側(cè)面積為,則該棱錐的體積為_(kāi)_________.14.已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,P為C上一點(diǎn),PQ垂直l于點(diǎn)Q,M,N分別為PQ,PF的中點(diǎn),MN與x軸相交于點(diǎn)R,若∠NRF=60°,則|FR|等于_____.15.給出以下式子:①tan25°+tan35°tan25°tan35°;②2(sin35°cos25°+cos35°cos65°);③其中,結(jié)果為的式子的序號(hào)是_____.16.設(shè)(其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),,若函數(shù)恰有4個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知點(diǎn),直線與拋物線交于不同兩點(diǎn)、,直線、與拋物線的另一交點(diǎn)分別為兩點(diǎn)、,連接,點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn),連接、.(1)證明:;(2)若的面積,求的取值范圍.18.(12分)貧困人口全面脫貧是全面建成小康社會(huì)的標(biāo)志性指標(biāo).黨的十九屆四中全會(huì)提出“堅(jiān)決打贏脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn),建立解決相對(duì)貧困的長(zhǎng)效機(jī)制”對(duì)當(dāng)前和下一個(gè)階段的扶貧工作進(jìn)行了前瞻性的部署,即2020年要通過(guò)精準(zhǔn)扶貧全面消除絕對(duì)貧困,實(shí)現(xiàn)全面建成小康社會(huì)的奮斗目標(biāo).為了響應(yīng)黨的號(hào)召,某市對(duì)口某貧困鄉(xiāng)鎮(zhèn)開(kāi)展扶貧工作.對(duì)某種農(nóng)產(chǎn)品加工生產(chǎn)銷(xiāo)售進(jìn)行指導(dǎo),經(jīng)調(diào)查知,在一個(gè)銷(xiāo)售季度內(nèi),每售出一噸該產(chǎn)品獲利5萬(wàn)元,未售出的商品,每噸虧損2萬(wàn)元.經(jīng)統(tǒng)計(jì),兩市場(chǎng)以往100個(gè)銷(xiāo)售周期該產(chǎn)品的市場(chǎng)需求量的頻數(shù)分布如下表:市場(chǎng):需求量(噸)90100110頻數(shù)205030市場(chǎng):需求量(噸)90100110頻數(shù)106030把市場(chǎng)需求量的頻率視為需求量的概率,設(shè)該廠在下個(gè)銷(xiāo)售周期內(nèi)生產(chǎn)噸該產(chǎn)品,在、兩市場(chǎng)同時(shí)銷(xiāo)售,以(單位:噸)表示下一個(gè)銷(xiāo)售周期兩市場(chǎng)的需求量,(單位:萬(wàn)元)表示下一個(gè)銷(xiāo)售周期兩市場(chǎng)的銷(xiāo)售總利潤(rùn).(1)求的概率;(2)以銷(xiāo)售利潤(rùn)的期望為決策依據(jù),確定下個(gè)銷(xiāo)售周期內(nèi)生產(chǎn)量噸還是噸?并說(shuō)明理由.19.(12分)已知函數(shù),,.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在上存在零點(diǎn).求實(shí)數(shù)的取值范圍;若存在實(shí)數(shù),當(dāng)時(shí),函數(shù)在時(shí)取得最大值,求正實(shí)數(shù)的最大值;若直線與曲線和都相切,且在軸上的截距為,求實(shí)數(shù)的值.20.(12分)如圖:在中,,,.(1)求角;(2)設(shè)為的中點(diǎn),求中線的長(zhǎng).21.(12分)已知函數(shù),其中.(1)當(dāng)時(shí),求在的切線方程;(2)求證:的極大值恒大于0.22.(10分)如圖所示,三棱柱中,平面,點(diǎn),分別在線段,上,且,,是線段的中點(diǎn).(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)若,,,求直線與平面所成角的正弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
先求出集合B,再與集合A求交集即可.【詳解】由已知,,故,所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算,考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力,是一道容易題.2、C【解析】
如圖所示:作垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于,則,故,得到答案.【詳解】如圖所示:作垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于,則,在中,,故,即.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線中角度的計(jì)算,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.3、C【解析】
①與點(diǎn)距離為的點(diǎn)形成以為圓心,半徑為的圓弧,利用弧長(zhǎng)公式,可得結(jié)論;②當(dāng)在(或時(shí),與面所成角(或的正切值為最小,當(dāng)在時(shí),與面所成角的正切值為最大,可得正切值取值范圍是;③設(shè),,,則,即,可得在前后、左右、上下面上的正投影長(zhǎng),即可求出六個(gè)面上的正投影長(zhǎng)度之和.【詳解】如圖:①錯(cuò)誤,因?yàn)?,與點(diǎn)距離為的點(diǎn)形成以為圓心,半徑為的圓弧,長(zhǎng)度為;②正確,因?yàn)槊婷妫渣c(diǎn)必須在面對(duì)角線上運(yùn)動(dòng),當(dāng)在(或)時(shí),與面所成角(或)的正切值為最?。橄碌酌婷鎸?duì)角線的交點(diǎn)),當(dāng)在時(shí),與面所成角的正切值為最大,所以正切值取值范圍是;③正確,設(shè),則,即,在前后、左右、上下面上的正投影長(zhǎng)分別為,,,所以六個(gè)面上的正投影長(zhǎng)度之,當(dāng)且僅當(dāng)在時(shí)取等號(hào).故選:.【點(diǎn)睛】本題以命題的真假判斷為載體,考查了軌跡問(wèn)題、線面角、正投影等知識(shí)點(diǎn),綜合性強(qiáng),屬于難題.4、A【解析】
用轉(zhuǎn)化的思想求出中不等式的解集,再利用并集的定義求解即可.【詳解】解:由集合,解得,則故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了并集及其運(yùn)算,分式不等式的解法,熟練掌握并集的定義是解本題的關(guān)鍵.屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】
根據(jù)已知有,可得,只需求出的最小值,根據(jù),利用基本不等式,得到的最小值,即可得出結(jié)論.【詳解】依題意知,與為函數(shù)的“線性對(duì)稱(chēng)點(diǎn)”,所以,故(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)).又與為函數(shù)的“線性對(duì)稱(chēng)點(diǎn),所以,所以,從而的最大值為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題以新定義為背景,考查指數(shù)函數(shù)的運(yùn)算和圖像性質(zhì)、基本不等式,理解新定義含義,正確求出的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.6、B【解析】
由題意,結(jié)合集合,求得集合,得到集合中元素的個(gè)數(shù),即可求解,得到答案.【詳解】由題意,集合,則,所以集合的真子集的個(gè)數(shù)為個(gè),故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的運(yùn)算和集合中真子集的個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)的求解,其中作出集合的運(yùn)算,得到集合,再由真子集個(gè)數(shù)的公式作出計(jì)算是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力.7、C【解析】∵y=f(x+1)是偶函數(shù),∴f(-x+1)=f(x+1),即函數(shù)f(x)關(guān)于x=1對(duì)稱(chēng).
∵當(dāng)x≥1時(shí),為減函數(shù),∵f(log32)=f(2-log32)=f()且==log34,log34<<3,∴b>a>c,
故選C8、B【解析】
根據(jù)正三棱柱的主視圖,以及長(zhǎng)度,可知該幾何體的底面正三角形的邊長(zhǎng),然后根據(jù)矩形的面積公式,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:該幾何體的底面正三角形的邊長(zhǎng)為2所以該正三棱柱的三個(gè)側(cè)面均為邊長(zhǎng)為2的正方形,所以該正三棱柱的側(cè)面積為故選:B【點(diǎn)睛】本題考查正三棱柱側(cè)面積的計(jì)算以及三視圖的認(rèn)識(shí),關(guān)鍵在于求得底面正三角形的邊長(zhǎng),掌握一些常見(jiàn)的幾何體的三視圖,比如:三棱錐,圓錐,圓柱等,屬基礎(chǔ)題.9、C【解析】
先求B.再求,求得則子集個(gè)數(shù)可求【詳解】由題=,則集合,故其子集個(gè)數(shù)為故選C【點(diǎn)睛】此題考查了交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算及子集個(gè)數(shù),熟練掌握各自的定義是解本題的關(guān)鍵,是基礎(chǔ)題10、D【解析】
利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得直線的斜率,列出a的方程即可求解【詳解】因?yàn)椋以邳c(diǎn)處的切線的斜率為3,所以,即.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題11、D【解析】
直接利用二倍角余弦公式與弦化切即可得到結(jié)果.【詳解】∵,∴,故選D【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn):三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變變換,同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力,屬于基礎(chǔ)題型.12、D【解析】
根據(jù)折線圖依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.【詳解】由繪制出的折線圖知:在A中,各月最高氣溫平均值與最低氣溫平均值為正相關(guān),故A正確;在B中,全年中,2月的最高氣溫平均值與最低氣溫平均值的差值最大,故B正確;在C中,全年中各月最低氣溫平均值不高于10℃的月份有1月,2月,3月,11月,12月,共5個(gè),故C正確;在D中,從2018年7月至12月該市每天最高氣溫平均值與最低氣溫平均值,先上升后下降,故D錯(cuò)誤.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了折線圖,意在考查學(xué)生的理解能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
如圖所示,正四棱錐,為底面的中心,點(diǎn)為的中點(diǎn),則,設(shè),根據(jù)正四棱錐的側(cè)面積求出的值,再利用勾股定理求得正四棱錐的高,代入體積公式,即可得到答案.【詳解】如圖所示,正四棱錐,為底面的中心,點(diǎn)為的中點(diǎn),則,設(shè),,,,,,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查棱錐的側(cè)面積和體積,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查運(yùn)算求解能力.14、2【解析】
由題意知:,,,.由∠NRF=60°,可得為等邊三角形,MF⊥PQ,可得F為HR的中點(diǎn),即求.【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限,如圖所示,連接MF,QF.∵拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,P為C上一點(diǎn)∴,.∵M(jìn),N分別為PQ,PF的中點(diǎn),∴,∵PQ垂直l于點(diǎn)Q,∴PQ//OR,∵,∠NRF=60°,∴為等邊三角形,∴MF⊥PQ,易知四邊形和四邊形都是平行四邊形,∴F為HR的中點(diǎn),∴,故答案為:2.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的定義,屬于基礎(chǔ)題.15、①②③【解析】
由已知分別結(jié)合和差角的正切及正弦余弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】①∵tan60°=tan(25°+35°),tan25°+tan35°tan25°tan35°;tan25°tan35°,,②2(sin35°cos25°+cos35°cos65°)=2(sin35°cos25°+cos35°sin25°),=2sin60°;③tan(45°+15°)=tan60°;故答案為:①②③【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩角和與差的三角公式在三角化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用,屬于中檔試題.16、【解析】
求函數(shù),研究函數(shù)的單調(diào)性和極值,作出函數(shù)的圖象,設(shè),若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn),則等價(jià)為函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),滿(mǎn)足或,利用一元二次函數(shù)根的分布進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí),,由得:,解得,由得:,解得,即當(dāng)時(shí),函數(shù)取得極大值,同時(shí)也是最大值,(e),當(dāng),,當(dāng),,作出函數(shù)的圖象如圖,設(shè),由圖象知,當(dāng)或,方程有一個(gè)根,當(dāng)或時(shí),方程有2個(gè)根,當(dāng)時(shí),方程有3個(gè)根,則,等價(jià)為,當(dāng)時(shí),,若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn),則等價(jià)為函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),滿(mǎn)足或,則,即(1)解得:,故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用,利用換元法進(jìn)行轉(zhuǎn)化一元二次函數(shù)根的分布以及.求的導(dǎo)數(shù),研究函數(shù)的的單調(diào)性和極值是解決本題的關(guān)鍵,屬于難題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)見(jiàn)解析;(2).【解析】
(1)設(shè)點(diǎn)、,求出直線、的方程,與拋物線的方程聯(lián)立,求出點(diǎn)、的坐標(biāo),利用直線、的斜率相等證明出;(2)設(shè)點(diǎn)到直線、的距離分別為、,求出,利用相似得出,可得出的邊上的高,并利用弦長(zhǎng)公式計(jì)算出,即可得出關(guān)于的表達(dá)式,結(jié)合不等式可解出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)設(shè)點(diǎn)、,則,直線的方程為:,由,消去并整理得,由韋達(dá)定理可知,,,代入直線的方程,得,解得,同理,可得,,,,代入得,因此,;(2)設(shè)點(diǎn)到直線、的距離分別為、,則,由(1)知,,,,,,同理,得,,由,整理得,由韋達(dá)定理得,,,得,設(shè)點(diǎn)到直線的高為,則,,,,解得,因此,實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查直線與直線平行的證明,考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法,考查拋物線、直線方程、韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式、直線的斜率等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想,是難題.18、(1);(2)噸,理由見(jiàn)解析【解析】
(1)設(shè)“市場(chǎng)需求量為90,100,110噸”分別記為事件,,,“市場(chǎng)需求量為90,100,110噸”分別記為事件,,,由題可得,,,,,,代入,計(jì)算可得答案;(2)可取180,190,200,210,220,求出噸和噸時(shí)的期望,比較大小即可.【詳解】(1)設(shè)“市場(chǎng)需求量為90,100,110噸”分別記為事件,,,“市場(chǎng)需求量為90,100,110噸”分別記為事件,,,則,,,,,,;(2)可取180,190,200,210,220,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),.,時(shí),平均利潤(rùn)大,所以下個(gè)銷(xiāo)售周期內(nèi)生產(chǎn)量噸.【點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量的期望,是中檔題.19、;4;12.【解析】
由題意可知,,求導(dǎo)函數(shù),方程在區(qū)間上有實(shí)數(shù)解,求出實(shí)數(shù)的取值范圍;由,則,分步討論,并利用導(dǎo)函數(shù)在函數(shù)的單調(diào)性的研究,得出正實(shí)數(shù)的最大值;設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)為,因?yàn)?,所以切線斜率,切線方程為,設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)為,因?yàn)?,所以切線斜率,即切線方程為,整理得.所以,求得,設(shè),則,所以在上單調(diào)遞增,最后求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】由題意可知,,則,即方程在區(qū)間上有實(shí)數(shù)解,解得;因?yàn)?,則,①當(dāng),即時(shí),恒成立,所以在上單調(diào)遞增,不符題意;②當(dāng)時(shí),令,解得:,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,所以不存在,使得在上的最大值為,不符題意;③當(dāng)時(shí),,解得:,且當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,若,則在上單調(diào)遞減,所以,若,則上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,由題意可知,,即,整理得,因?yàn)榇嬖冢仙鲜?,所以,解得,綜上,的最大值為4;設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)為,因?yàn)?,所以切線斜率,即切線方程整理得:由題意可知,,即,即,解得所以切線方程為,設(shè)直線與曲線的切點(diǎn)為,因?yàn)椋郧芯€斜率,即切線方程為,整理得.所以,消去,整理得,且因?yàn)?,解得,設(shè),則,所以在上單調(diào)遞增,因?yàn)?,所以,所以,?【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的研究,導(dǎo)數(shù)的幾何意義,屬于難題.20、(1);(2)【解析】
(1)通過(guò)求出的值,利用正弦定理求出即可得角;(2)根據(jù)求出的值,由正弦定理求出邊,最后在中由余弦定理即可得結(jié)果.【詳解】(1)∵,∴.由正弦定理,即.得,∵,∴為鈍角,為銳角,故.(2)∵,∴.由
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