一次方程（組）及其應(yīng)用（考點(diǎn)解讀）-2023年中考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)

專題05一次方程（組）及其應(yīng)用（考點(diǎn)解讀）

中考命題解讀》

本節(jié)主要考查基本的計(jì)算能力和簡(jiǎn)單的應(yīng)用，中考以容易題為主，題型多為選擇

題、填空題和解答題。

考標(biāo)要求〉

1.了解等式、方程、一元一次方程的概念，會(huì)解一元一次

方程；

2.了解二元一次方程組的定義，會(huì)用代入消元法、加減消元法解二元一次方程組；

3.能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程（組），體會(huì)方程思想和轉(zhuǎn)化思想.

考點(diǎn)精講

考點(diǎn)1：等式的基本性質(zhì)

1.等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等，

即如果a=b,那么a土c二b土c

2.等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等,

即如果a=b，那么ac=be;如果a=b（cNO），那么—=—

cc

考點(diǎn)2：一元一次方程

定義：只含有一個(gè)未知數(shù),并且未知數(shù)的次數(shù)是1的整式方程叫做一元一次方程，其標(biāo)準(zhǔn)形式

是：ai+6=0（a,。是常數(shù)，且a#0）

9

步驟例：2—專注意事項(xiàng)

去分母6—2（才+1）=64不要漏乘不含分母的項(xiàng)

括號(hào)前是負(fù)號(hào)時(shí)，去括號(hào)后括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)

解法步驟與去括號(hào)6—20c一2=6/

I均要變號(hào)

注意事項(xiàng)

移項(xiàng)-2x-6?r=2-6移項(xiàng)要變號(hào)

合并同類項(xiàng)—8JT=-4合并時(shí)，系數(shù)相加，字母及其指數(shù)均不變

_1

系數(shù)化為1分子、分母不要顛倒

x~~2

考點(diǎn)3：二元一次方程組

L定義：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程組

2.解法基本思想：消元，即將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程

（1）代入消元法：當(dāng)方程組中一個(gè)方程的常數(shù)項(xiàng)為0或者方程組中某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)為1

或T時(shí)，用代入消元法比較簡(jiǎn)單

（2）加減消元法：當(dāng)兩個(gè)方程中某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相同、互為相反數(shù)或成整數(shù)倍數(shù)關(guān)系

時(shí)，用加減消元法比較簡(jiǎn)單

考點(diǎn)4：一次方程（組）應(yīng)用

（1）審清題意，搞清楚什么是條件，求什么

（2）設(shè)未知數(shù)（直接設(shè)未知數(shù)，問什么就設(shè)什么；或間接設(shè)未知數(shù)）

（3）找出能夠包含未知數(shù)的等量關(guān)系（一般情況下設(shè)幾個(gè)未知數(shù)，就找?guī)讉€(gè)等量關(guān)系）

⑷列出方程（組）

（5）求出方程（組）的解

（6）檢驗(yàn)（看是否符合題意）

（7）寫出答案（包括單位名稱）

?？碱愋完P(guān)系式

總價(jià)=單價(jià)X數(shù)量

購(gòu)買問題甲單價(jià)X甲數(shù)量+乙單價(jià)X乙數(shù)量=總價(jià)

甲數(shù)量+乙數(shù)量=總數(shù)量

售價(jià)=標(biāo)價(jià)X折扣（如打8折即“標(biāo)價(jià)X0.8”）

銷售額=售價(jià)X銷量

打折銷售

利潤(rùn)=售價(jià)一進(jìn)價(jià)

問題

利潤(rùn)率=瞿契X100%

進(jìn)價(jià)

工作量=工作效率義工作時(shí)間

工程問題

工作總量=甲工作量+乙工作量

相遇問題（相向而行）

行程問題

全路程=甲走的路程+乙走的路程

同地不同時(shí)出發(fā):前者走的路程=追者走的路程

追及問題

同時(shí)不同地出發(fā)：前者走的路程+兩者間距離=追者走的路程

母題精講

【典例I】（2022?柳州）解方程組：|'一廠22

I2x+y=7②

【典例2】（2020秋?原州區(qū)期末）希臘數(shù)學(xué)家丟番圖（公元3--4世紀(jì)）的墓碑上記載

著：

“他生命的六分之一是幸福的童年；再活了他生命的十二分之一，兩頰長(zhǎng)起了細(xì)細(xì)的

胡須；他結(jié)了婚，又度過了一生的七分之一；再過五年，他有了兒子，感到很幸福；

可是兒子只活了他父親全部年齡的一半；兒子死后，他在極度悲痛中度過了四年，也

與世常辭了.”

根據(jù)以上信息，請(qǐng)你求出：

（1）丟番圖的壽命；

（2）兒子死時(shí)丟番圖的年齡.

【典例3】（2021?桂林）為了美化環(huán)境，建設(shè)生態(tài)桂林，某社區(qū)需要進(jìn)行綠化改造，現(xiàn)

有甲、乙兩個(gè)綠化工程隊(duì)可供選擇，已知甲隊(duì)每天能完成的綠化改造面積比乙隊(duì)多

200平方米，甲隊(duì)與乙隊(duì)合作一天能完成800平方米的綠化改造面積.

（1）甲、乙兩工程隊(duì)每天各能完成多少平方米的綠化改造面積？

（2）該社區(qū)需要進(jìn)行綠化改造的區(qū)域共有12000平方米，甲隊(duì)每天的施工費(fèi)用為600

元，乙隊(duì)每天的施工費(fèi)用為400元，比較以下三種方案：

①甲隊(duì)單獨(dú)完成；②乙隊(duì)單獨(dú)完成；③甲、乙兩隊(duì)全程合作完成.

哪一種方案的施工費(fèi)用最少？

【典例4】（2012秋?北侖區(qū)期末）某種原料的價(jià)格為每噸1000元，用該原料制成產(chǎn)品后

原料將損耗25%,產(chǎn)品的價(jià)格是每噸8000元，如圖，長(zhǎng)青化工廠與A、8兩地游公路、

鐵路相連.這家工廠從A地購(gòu)買一批原料運(yùn)回工廠，將原料制成產(chǎn)品后全部運(yùn)往8

地.已知公路運(yùn)價(jià)為1.5元/（噸?千米），鐵路運(yùn)價(jià)為1.2元/（噸?千米）.

（1）若設(shè)購(gòu)買原料x噸，則可制成產(chǎn)品噸；

（2）若兩次運(yùn)輸共支出公路運(yùn)輸費(fèi)和鐵路運(yùn)輸費(fèi)112200元，求該工廠從A地購(gòu)買了

多少噸原料？制成運(yùn)往8地的產(chǎn)品多少噸？

（3）在（2）的條件下，這批產(chǎn)品的銷售款比原料費(fèi)與運(yùn)輸費(fèi)的和多多少元？

【典例5】（2021?賀州）為了提倡節(jié)約用水，某市制定了兩種收費(fèi)方式：當(dāng)每戶每月用

水量不超過12〃時(shí)，按一級(jí)單價(jià)收費(fèi)；當(dāng)每戶每月用水量超過12小時(shí)，超過部分按

二級(jí)單價(jià)收費(fèi).已知李阿姨家五月份用水量為10/，繳納水費(fèi)32元.七月份因孩子

放假在家，用水量為14/,繳納水費(fèi)51.4元.

（1）問該市一級(jí)水費(fèi)，二級(jí)水費(fèi)的單價(jià)分別是多少？

（2）某戶某月繳納水費(fèi)為64.4元時(shí)，用水量為多少？

【典例6】（2018?長(zhǎng)沙）隨著中國(guó)傳統(tǒng)節(jié)日“端午節(jié)”的臨近，東方紅商場(chǎng)決定開展

“歡度端午，回饋顧客”的讓利促銷活動(dòng)，對(duì)部分品牌粽子進(jìn)行打折銷售，其中甲品

牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，買6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌

粽子需660元；打折后，買50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元.

（1）打折前甲、乙兩種品牌粽子每盒分別為多少元？

（2）陽光敬老院需購(gòu)買甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，問打折后購(gòu)買這批粽

子比不打折節(jié)省了多少錢？

真題精選

命題1一次方程（組）的解法

1.（2022?青海）根據(jù)等式的性質(zhì)，下列各式變形正確的是（）

A.若曳則a=bB.右*=貝U〃=

cc

C.若a2=b2,則a=bD.若-Xc=6,則x=-2

3

2.（2022?黔西南州）小明解方程三包-1=三2的步驟如下：

23

解：方程兩邊同乘6,得3（x+1）-1=2（x-2）①

去括號(hào)，得3x+3-l=2x-2②

移項(xiàng)，得3x-2x=-2-3+1③

合并同類項(xiàng)，得x=-4④

以上解題步驟中，開始出錯(cuò)的一步是（）

A.①B.②C.③D.@

3.（2021?溫州）解方程-2（2x+l）=x,以下去括號(hào)正確的是（）

A.-4x+l=-xB.-4x+2=-xC.-4x-1=xD.-4x-2=x

4.（2022?株洲）對(duì)于二元一次方程組卜二x-lQ,將①式代入②式，消去y可以得到

Ix+2y=7②

（）

A.x+2x-1=7B.x+2x-2=7C.x+x-l=7D.x+2x+2=7

5.（2022?隨州）已知二元一次方程組，＞+2丫=4,則X_、的值為_.

I2x-^y=5

6.（2022?桂林）解二元一次方程組：卜一安1①.

lx+y=3②

命題1一次方程（組）的應(yīng)用;

7.（2022?營(yíng)口）我國(guó)元朝朱世杰所著的《算

學(xué)啟蒙》一書是中國(guó)較早的數(shù)學(xué)著作之一，書中記載一道問題：“良馬日行二百四十

里，弩馬日行一百五十里，弩馬先行一十二日，問良馬幾何追及之？”題意是：快馬

每天走240里，慢馬每天走150里，慢馬先走12天，試問快馬幾天可以追上慢馬？若

設(shè)快馬了天可以追上慢馬，則下列方程正確的是（）

A.240x+150x=150X12B.240x-150x=240X12

C.240.r+150x=240X12D.240x-150.r=150X12

8.（2022?銅仁市）為了增強(qiáng)學(xué)生的安全防范意識(shí)，某校初三（1）班班委舉行了一次安

全知識(shí)搶答賽，搶答題一共20個(gè)，記分規(guī)則如下：每答對(duì)一個(gè)得5分，每答錯(cuò)或不答

一個(gè)扣I分.小紅一共得70分，則小紅答對(duì)的個(gè)數(shù)為（）

A.14B.15C.16D.17

9.（2022?十堰）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《張邱建算經(jīng)》中記載：“今有清酒一斗直粟十斗,

釀酒一斗直粟三斗.今持粟三斛，得酒五斗，問清、醋酒各幾何？”意思是：現(xiàn)在一

斗清酒價(jià)值10斗谷子，一斗醋酒價(jià)值3斗谷子，現(xiàn)在拿30斗谷子，共換了5斗酒，

問清、醋酒各幾斗？如果設(shè)清酒x斗，那么可列方程為（）

A.lO.r+3（5-x）=30B.3x+10（5-%）=30

C.工+30-x=5D.2L+30-X=5

103310

10.（2022?貴陽）“方程”二字最早見于我國(guó)《九章算術(shù)》這部經(jīng)典著作中，該書的第

八章名為“方程”.如:從左到右列出的算籌數(shù)分別表示方程中

未知數(shù)x,y的系數(shù)與相應(yīng)的常數(shù)項(xiàng)，即可表示方程x+4y=23,則

表示的方程是

11.（2022?張家界）中國(guó)“最美扶貧高鐵”之一的“張吉懷高鐵”開通后，張家界到懷

化的運(yùn)行時(shí)間由原來的3.5小時(shí)縮短至1小時(shí)，運(yùn)行里程縮短了40千米.已知高鐵的

平均速度比普通列車的平均速度每小時(shí)快200千米，求高鐵的平均速度.

張東界西站

12.(2022?重慶)在全民健身運(yùn)動(dòng)中，騎行運(yùn)動(dòng)頗受市民青睞，甲、乙兩騎行愛好者約

定從4地沿相同路線騎行去距A地30千米的8地，已知甲騎行的速度是乙的1.2倍.

(1)若乙先騎行2千米，甲才開始從A地出發(fā)，則甲出發(fā)半小時(shí)恰好追上乙，求甲騎

行的速度；

(2)若乙先騎行20分鐘，甲才開始從A地出發(fā)，則甲、乙恰好同時(shí)到達(dá)8地，求甲

騎行的速度.

13.(2022?泰安)泰安某茶葉店經(jīng)銷泰山女兒茶，第一次購(gòu)進(jìn)了A種茶30盒，8種茶

20盒，共花費(fèi)6000元；第二次購(gòu)進(jìn)時(shí)，兩種茶每盒的價(jià)格都提高了20%,該店又購(gòu)

進(jìn)了A種茶20盒，8種茶15盒，共花費(fèi)5100元.求第一次購(gòu)進(jìn)的A、8兩種茶每盒

的價(jià)格.

14.(2022?安徽)某地區(qū)2020年進(jìn)出口總額為520億元，2021年進(jìn)出口總額比2020年

有所增加，其中進(jìn)口額增加了25%,出口額增加了30%.

注：進(jìn)出口總額=進(jìn)口額+出口額.

(1)設(shè)2020年進(jìn)口額為x億元，出口額為y億元，請(qǐng)用含x,y的代數(shù)式填表：

年份進(jìn)口額/億出口額/億進(jìn)出口總額/億元

元元

2020Xy520

20211.25%1.3y_______

(2)已知2021年進(jìn)出口總額比2020年增加了140億元，求2021年進(jìn)口額和出口額

分別是多少億元？

15.(2020?百色)某玩具生產(chǎn)廠家A車間原來有30名工人，8車間原來有20名工人，

現(xiàn)將新增25名工人分配到兩車間，使A車間工人總數(shù)是B車間工人總數(shù)的2倍.

(1)新分配到A、8車間各是多少人？

(2)A車間有生產(chǎn)效率相同的若干條生產(chǎn)線，每條生產(chǎn)線配置5名工人，現(xiàn)要制作一

批玩具，若A車間用一條生產(chǎn)線單獨(dú)完成任務(wù)需要30天，問A車間新增工人和生產(chǎn)線

后比原來提前幾天完成任務(wù)?

專題05一次方程（組）及其應(yīng)用（考點(diǎn)解讀）

中考命題解讀）

本節(jié)主要考查基本的計(jì)算能力和簡(jiǎn)單的應(yīng)用，中考以容易題為主，題型多為選擇

題、填空題和解答題。

考標(biāo)要求〉

1.了解等式、方程、一元一次方程的概念，會(huì)解一元一次

方程；

2.了解二元一次方程組的定義，會(huì)用代入消元法、加減消元法解二元一次方程組；

3.能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程（組），體會(huì)方程思想和轉(zhuǎn)化思想.

考點(diǎn)精講

考點(diǎn)L等式的基本性質(zhì)

1.等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等，

即如果a=b,那么a土c二b土c

2.等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等,

即如果a=b，那么ac=be;如果a=b（cWO），那么—=—

cc

考點(diǎn)2：一元一次方程

定義：只含有一個(gè)未知數(shù),并且未知數(shù)的次數(shù)是1的整式方程叫做一元一次方程，其標(biāo)準(zhǔn)形式

是：ai+6=0（a,。是常數(shù)，且a#0）

9

步驟例：2—專注意事項(xiàng)

去分母6—2（才+1）=64不要漏乘不含分母的項(xiàng)

括號(hào)前是負(fù)號(hào)時(shí)，去括號(hào)后括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)

解法步驟與去括號(hào)6—20c一2=6/

I均要變號(hào)

注意事項(xiàng)

移項(xiàng)-2x-6?r=2-6移項(xiàng)要變號(hào)

合并同類項(xiàng)—8JT=-4合并時(shí)，系數(shù)相加，字母及其指數(shù)均不變

_1

系數(shù)化為1分子、分母不要顛倒

x~~2

考點(diǎn)3：二元一次方程組

L定義：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程組

2.解法基本思想：消元，即將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程

（1）代入消元法：當(dāng)方程組中一個(gè)方程的常數(shù)項(xiàng)為0或者方程組中某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)為1

或T時(shí)，用代入消元法比較簡(jiǎn)單

（2）加減消元法：當(dāng)兩個(gè)方程中某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相同、互為相反數(shù)或成整數(shù)倍數(shù)關(guān)系

時(shí)，用加減消元法比較簡(jiǎn)單

考點(diǎn)4：一次方程（組）應(yīng)用

（1）審清題意，搞清楚什么是條件，求什么

（2）設(shè)未知數(shù)（直接設(shè)未知數(shù)，問什么就設(shè)什么；或間接設(shè)未知數(shù)）

（3）找出能夠包含未知數(shù)的等量關(guān)系（一般情況下設(shè)幾個(gè)未知數(shù)，就找?guī)讉€(gè)等量關(guān)系）

⑷列出方程（組）

（5）求出方程（組）的解

（6）檢驗(yàn)（看是否符合題意）

（7）寫出答案（包括單位名稱）

常考類型關(guān)系式

總價(jià)=單價(jià)X數(shù)量

購(gòu)買問題甲單價(jià)X甲數(shù)量+乙單價(jià)X乙數(shù)量=總價(jià)

甲數(shù)量+乙數(shù)量=總數(shù)量

售價(jià)=標(biāo)價(jià)X折扣（如打8折即“標(biāo)價(jià)X0.8”）

銷售額=售價(jià)X銷量

打折銷售

利潤(rùn)=售價(jià)一進(jìn)價(jià)

問題

利潤(rùn)率=瞿契X100%

進(jìn)價(jià)

工作量=工作效率義工作時(shí)間

工程問題

工作總量=甲工作量+乙工作量

相遇問題（相向而行）

行程問題

全路程=甲走的路程+乙走的路程

同地不同時(shí)出發(fā):前者走的路程=追者走的路程

追及問題

同時(shí)不同地出發(fā)：前者走的路程+兩者間距離=追者走的路程

母題精講

【典例I】（2022?柳州）解方程組：|'一廠22

I2x+y=7②

【解答】解：①+②得：3x=9,

，x=3,

將元=3代入②得：6+y=7,

???y=L

原方程組的解為：fx=3.

Iy=l

【典例2】（2020秋?原州區(qū)期末）希臘數(shù)學(xué)家丟番圖（公元3--4世紀(jì)）的墓碑上記載

著：

“他生命的六分之一是幸福的童年；再活了他生命的十二分之一，兩頰長(zhǎng)起了細(xì)細(xì)的

胡須；他結(jié)了婚，又度過了一生的七分之一；再過五年，他有了兒子，感到很幸福；

可是兒子只活了他父親全部年齡的一半；兒子死后，他在極度悲痛中度過了四年，也

與世常辭了.”

根據(jù)以上信息，請(qǐng)你求出：

(1)丟番圖的壽命；

(2)兒子死時(shí)丟番圖的年齡.

【解答】解：(1)設(shè)丟番圖的壽命為x歲，

依題意得：L+_L_X+_1X+5+L+4=X,

61272

解得：x=84.

答：丟番圖的壽命為84歲.

(2)84-4=80(歲).

答：兒子死時(shí)丟番圖的年齡為80歲.

【典例3】(2021?桂林)為了美化環(huán)境，建設(shè)生態(tài)桂林，某社區(qū)需要進(jìn)行綠化改造，現(xiàn)

有甲、乙兩個(gè)綠化工程隊(duì)可供選擇，已知甲隊(duì)每天能完成的綠化改造面積比乙隊(duì)多

200平方米，甲隊(duì)與乙隊(duì)合作一天能完成800平方米的綠化改造面積.

(1)甲、乙兩工程隊(duì)每天各能完成多少平方米的綠化改造面積？

(2)該社區(qū)需要進(jìn)行綠化改造的區(qū)域共有12000平方米，甲隊(duì)每天的施工費(fèi)用為600

元，乙隊(duì)每天的施工費(fèi)用為400元，比較以下三種方案：

①甲隊(duì)單獨(dú)完成；②乙隊(duì)單獨(dú)完成；③甲、乙兩隊(duì)全程合作完成.

哪一種方案的施工費(fèi)用最少？

【解答】解：(1)設(shè)乙工程隊(duì)每天能完成x平方米的綠化改造面積，則甲工程隊(duì)每天

能完成(x+200)平方米的綠化改造面積，

依題意得：x+200+x=800,

解得：x=300,

x+200=300+200=500.

答：甲工程隊(duì)每天能完成500平方米的綠化改造面積，乙工程隊(duì)每天能完成300平方

米的綠化改造面積.

(2)選擇方案①所需施工費(fèi)用為600X3匹1=14400(元)；

500

選擇方案②所需施工費(fèi)用為400X儂2=16000(元)；

300

選擇方案③所需施工費(fèi)用為（600+400）X12000=15000（元）.

500+300

V14400<15000<16000,

..?選擇方案①的施工費(fèi)用最少.

【典例4】（2012秋?北侖區(qū)期末）某種原料的價(jià)格為每噸1000元，用該原料制成產(chǎn)品后

原料將損耗25%,產(chǎn)品的價(jià)格是每噸8000元，如圖，長(zhǎng)青化工廠與A、8兩地游公路、

鐵路相連.這家工廠從A地購(gòu)買一批原料運(yùn)回工廠，將原料制成產(chǎn)品后全部運(yùn)往8

地.已知公路運(yùn)價(jià)為1.5元/（噸?千米），鐵路運(yùn)價(jià)為1.2元/（噸?千米）.

（1）若設(shè)購(gòu)買原料x噸，則可制成產(chǎn)品噸；

（2）若兩次運(yùn)輸共支出公路運(yùn)輸費(fèi)和鐵路運(yùn)輸費(fèi)H2200元，求該工廠從A地購(gòu)買了

多少噸原料？制成運(yùn)往8地的產(chǎn)品多少噸？

（3）在（2）的條件下，這批產(chǎn)品的銷售款比原料費(fèi)與運(yùn)輸費(fèi)的和多多少元？

帙路120kli

公路1Oka

長(zhǎng)青化工廠

公第20kB鐵路

【解答】解：（1）???用該原料制成產(chǎn)品后原料將損耗25%,

購(gòu)買原料x噸，則可制成產(chǎn)品75%x噸；

故答案為：75%x；

（2）由題意得出：1.5（10x+20X75%x）+1.2（120x+110X75%x）=112200,

整理得出:280.5%=112200,

解得：x=400,則75%x=300,

答：從A地購(gòu)買了400噸，制成運(yùn)往8地的產(chǎn)品300噸；

（3）依據(jù)題意得出：

300X8000-400X1000-112200=1887800,

...這批產(chǎn)品的銷售款比原料費(fèi)與運(yùn)輸費(fèi)的和多1887800元.

【典例5】（2021?賀州）為了提倡節(jié)約用水，某市制定了兩種收費(fèi)方式：當(dāng)每戶每月用

水量不超過12加時(shí)，按一級(jí)單價(jià)收費(fèi)；當(dāng)每戶每月用水量超過12/時(shí)，超過部分按

二級(jí)單價(jià)收費(fèi).已知李阿姨家五月份用水量為10/,繳納水費(fèi)32元.七月份因孩子

放假在家，用水量為14/,繳納水費(fèi)51.4元.

（1）問該市一級(jí)水費(fèi)，二級(jí)水費(fèi)的單價(jià)分別是多少？

（2）某戶某月繳納水費(fèi)為64.4元時(shí)，用水量為多少？

【解答】解：（1）設(shè)該市一級(jí)水費(fèi)的單價(jià)為x元，二級(jí)水費(fèi)的單價(jià)為y元，

依題意得：［期=32,

I12x+（14-12）y=51.4

解得：fx=3.2.

|y=6.5

答：該市一級(jí)水費(fèi)的單價(jià)為3.2元，二級(jí)水費(fèi)的單價(jià)為6.5元.

（2）V3.2X12=38.4（元）,38.4<64.4,

用水量超過12m3.

設(shè)用水量為。加，

依題意得：38.4+6.5（a-12）=64.4,

解得：<2=16.

答：當(dāng)繳納水費(fèi)為64.4元時(shí)，用水量為16/.

【典例6】（2018?長(zhǎng)沙）隨著中國(guó)傳統(tǒng)節(jié)日“端午節(jié)”的臨近，東方紅商場(chǎng)決定開展

“歡度端午，回饋顧客”的讓利促銷活動(dòng)，對(duì)部分品牌粽子進(jìn)行打折銷售，其中甲品

牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，買6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌

粽子需660元；打折后，買50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元.

（1）打折前甲、乙兩種品牌粽子每盒分別為多少元？

（2）陽光敬老院需購(gòu)買甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，問打折后購(gòu)買這批粽

子比不打折節(jié)省了多少錢？

【解答】解：（1）設(shè)打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，

根據(jù)題意得：，6x+3v=66°,

（50X0.8x+40X0.75y=520C

解得：0=70.

ly=80

答：打折前甲品牌粽子每盒70元，乙品牌粽子每盒80元.

(2)80X70X(1-80%)+100X80X(1-75%)=3120(元).

答：打折后購(gòu)買這批粽子比不打折節(jié)省了3120元.

真題精選

命題1一次方程(組)的解法

1.(2022?青海)根據(jù)等式的性質(zhì)，下列各式變形正確的是()

A.若旦=2,則a=AB.若ac=bc,則a=b

cc

C.若/=〃，貝Ua=6D.若-』=6,則x=-2

3

【答案】A

【解答】解：A、若曳=上，則。=依故A符合題意；

CC

B、若ac=bc(cWO),則〃=A,故3不符合題意；

C、若序=/，則〃=±。，故C不符合題意；

D、-JL=6,貝!jx=-18,故。不符合題意；

3

故選：A.

2.(2022?黔西南州)小明解方程主包-1=主2的步驟如下：

23

解：方程兩邊同乘6,得3(x+1)-1=2(%-2)①

去括號(hào)，得3x+3-l=2x-2②

移項(xiàng)，得3x-2x=-2-3+1③

合并同類項(xiàng)，得x=-4④

以上解題步驟中，開始出錯(cuò)的一步是()

A.①B.②C.③D.④

【答案】A

【解答】解：方程兩邊同乘6應(yīng)為：3(x+1)-6=2(x-2),

...出錯(cuò)的步驟為：①，

故選：A.

3.(2021?溫州)解方程-2(2x+l)=%,以下去括號(hào)正確的是()

A.-4x+l=-xB.-4x+2=-xC.-4x-1=xD.-4x-2—x

【答案】D

【解答】解：根據(jù)乘法分配律得：-(4x+2)=x,

去括號(hào)得：-4x-2=x,

故選：D.

4.(2022?株洲)對(duì)于二元一次方程組卜=x-l2,將①式代入②式，消去>可以得到

Ix+2y=7②

()

A.x+2x-1=1B.x+2x-2=7C.x+x-l=7D.x+2x+2=7

【答案】B

【答案】B

【解答】解：［yr-lQ,將①式代入②式，

Ix+2y=7②

得x+2(x-1)=7,

.\x+2x-2=7,

故選：B.

5.(2022?隨州)已知二元一次方程組卜+2丫=4,則的值為____.

I2x+y=5

【答案】1

【解答】解：解法一：由x+2y=4可得：

x=4-2y,

代入第二個(gè)方程中，可得：

2(4-2y)+y=5,

解得：y=l,

將y=l代入第一個(gè)方程中，可得

x+2Xl=4,

解得：x=2,

??x~y—2~1=1,

故答案為：1;

[x+2y=40

解法二:

I2x+y=5②

由②-①可得:

x-y=l,

故答案為：I.

x-y=1①

6.（2022?桂林）解二元一次方程組:

x~3②

【解答】解：①+②得：2x=4,

??x=2,

把x=2代入①得：2-y=l,

.4=1,

原方程組的解為：］x=2.

ly=l

命題1一次方程（組）的應(yīng)用）

7.（2022?營(yíng)口）我國(guó)元朝朱世杰所著的《算

學(xué)啟蒙》一書是中國(guó)較早的數(shù)學(xué)著作之一，書中記載一道問題：“良馬日行二百四十

里，弩馬日行一百五十里，弩馬先行一十二日，問良馬幾何追及之？”題意是：快馬

每天走240里，慢馬每天走150里，慢馬先走12天，試問快馬幾天可以追上慢馬？若

設(shè)快馬x天可以追上慢馬，則下列方程正確的是（）

A.240.r+150.r=150X12B.240x-150x=240X12

C.240.r+150x=240X12D.240x-150.r=150X12

【答案】D

【解答】解：依題意得：240x-150x=150X12.

故選：D.

8.（2022?銅仁市）為了增強(qiáng)學(xué)生的安全防范意識(shí)，某校初三（1）班班委舉行了一次安

全知識(shí)搶答賽，搶答題一共20個(gè)，記分規(guī)則如下：每答對(duì)一個(gè)得5分，每答錯(cuò)或不答

一個(gè)扣I分.小紅一共得70分，則小紅答對(duì)的個(gè)數(shù)為（)

A.14B.15C.16D.17

【答案】B

【解答】解：設(shè)小紅答對(duì)的個(gè)數(shù)為x個(gè)，

由題意得5x-（20-x）=70,

解得x=15,

故選：B.

9.（2022?十堰）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《張邱建算經(jīng)》中記載：“今有清酒一斗直粟十斗,

醴酒一斗直粟三斗.今持粟三斛，得酒五斗，問清、醋酒各幾何？”意思是：現(xiàn)在一

斗清酒價(jià)值10斗谷子，一斗酷酒價(jià)值3斗谷子，現(xiàn)在拿30斗谷子，共換了5斗酒，

問清、醋酒各幾斗？如果設(shè)清酒x斗，那么可列方程為（）

A.10x+3（5-x）=30B.3x+10（5-%）=30

C.工+30-x=5D.三+30-x=5

103310

【答案】A

【解答】解：設(shè)清酒x斗，則醋酒（5-x）斗，

由題意可得：lQx+3（5-x）=30,

故選：A.

10.（2022?貴陽）“方程”二字最早見于我國(guó)《九章算術(shù)》這部經(jīng)典著作中，該書的第

八章名為“方程”.如:從左到右列出的算籌數(shù)分別表示方程中

未知數(shù)x,y的系數(shù)與相應(yīng)的常數(shù)項(xiàng)，即可表示方程x+4y=23,則

表示的方程是

［答案］x+2y=32

【解答】解：根據(jù)題知：從左到右列出的算籌數(shù)分別表示方程中未知數(shù)x,y的系數(shù)與

相應(yīng)的常數(shù)項(xiàng)，

一個(gè)豎線表示一個(gè)，一條橫線表示一十,

所以該圖表示的方程是：x+2y=32.

11.(2022?張家界)中國(guó)“最美扶貧高鐵”之一的“張吉懷高鐵”開通后，張家界到懷

化的運(yùn)行時(shí)間由原來的3.5小時(shí)縮短至1小時(shí)，運(yùn)行里程縮短了40千米.已知高鐵的

平均速度比普通列車的平均速度每小時(shí)快200千米，求高鐵的平均速度.

【解答】解：設(shè)高鐵的平均速度為底冽/九則普通列車的平均速度為(%-200)km/h,

由題意得：x+40=3.5(%-200),

解得：x=296,

答：高鐵的平均速度為296%/瓦

12.(2022?重慶)在全民健身運(yùn)動(dòng)中，騎行運(yùn)動(dòng)頗受市民青睞，甲、乙兩騎行愛好者約

定從A地沿相同路線騎行去距A地30千米的B地，已知甲騎行的速度是乙的1.2倍.

(1)若乙先騎行2千米，甲才開始從A地出發(fā)，則甲出發(fā)半小時(shí)恰好追上乙，求甲騎

行的速度；

(2)若乙先騎行20分鐘，甲才開始從A地出發(fā)，則甲、乙恰好同時(shí)到達(dá)8地，求甲

騎行的速度.

【解答】解：(1)設(shè)乙騎行的速度為x千米/時(shí)，則甲騎行的速度為1.2%千米/時(shí)，

依題意得：—Xi.2x=2+—x,

22

解得：x=20,

,?.1.2^=1.2X20=24.

答：甲騎行的速度為24千米/時(shí).

(2)設(shè)乙騎行的速度為y千米/時(shí)，則甲騎行的速度為L(zhǎng)2y千