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文檔簡介
2025屆黑龍江省牡東部地區(qū)四校聯(lián)考高考數(shù)學(xué)四模試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知集合.為自然數(shù)集,則下列表示不正確的是()A. B. C. D.2.集合,,則=()A. B.C. D.3.造紙術(shù)、印刷術(shù)、指南針、火藥被稱為中國古代四大發(fā)明,此說法最早由英國漢學(xué)家艾約瑟提出并為后來許多中國的歷史學(xué)家所繼承,普遍認(rèn)為這四種發(fā)明對中國古代的政治,經(jīng)濟(jì),文化的發(fā)展產(chǎn)生了巨大的推動作用.某小學(xué)三年級共有學(xué)生500名,隨機(jī)抽查100名學(xué)生并提問中國古代四大發(fā)明,能說出兩種發(fā)明的有45人,能說出3種及其以上發(fā)明的有32人,據(jù)此估計該校三級的500名學(xué)生中,對四大發(fā)明只能說出一種或一種也說不出的有()A.69人 B.84人 C.108人 D.115人4.已知命題:是“直線和直線互相垂直”的充要條件;命題:函數(shù)的最小值為4.給出下列命題:①;②;③;④,其中真命題的個數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.45.已知向量,若,則實數(shù)的值為()A. B. C. D.6.已知等差數(shù)列中,則()A.10 B.16 C.20 D.247.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的結(jié)果為3,則可輸入的實數(shù)值的個數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.48.的展開式中的系數(shù)是()A.160 B.240 C.280 D.3209.已知,則()A. B. C. D.10.已知下列命題:①“”的否定是“”;②已知為兩個命題,若“”為假命題,則“”為真命題;③“”是“”的充分不必要條件;④“若,則且”的逆否命題為真命題.其中真命題的序號為()A.③④ B.①② C.①③ D.②④11.已知數(shù)列滿足,(),則數(shù)列的通項公式()A. B. C. D.12.已知是邊長為1的等邊三角形,點,分別是邊,的中點,連接并延長到點,使得,則的值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù),若恒成立,則的取值范圍是___________.14.關(guān)于函數(shù)有下列四個命題:①函數(shù)在上是增函數(shù);②函數(shù)的圖象關(guān)于中心對稱;③不存在斜率小于且與函數(shù)的圖象相切的直線;④函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)不存在極小值.其中正確的命題有______.(寫出所有正確命題的序號)15.已知在等差數(shù)列中,,,前n項和為,則________.16.已知復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位),則的共軛復(fù)數(shù)是_____,_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知雙曲線及直線.(1)若l與C有兩個不同的交點,求實數(shù)k的取值范圍;(2)若l與C交于A,B兩點,O是原點,且,求實數(shù)k的值.18.(12分)已知點,直線與拋物線交于不同兩點、,直線、與拋物線的另一交點分別為兩點、,連接,點關(guān)于直線的對稱點為點,連接、.(1)證明:;(2)若的面積,求的取值范圍.19.(12分)已知函數(shù),,設(shè).(1)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)設(shè)方程(其中為常數(shù))的兩根分別為,,證明:.(注:是的導(dǎo)函數(shù))20.(12分)設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列,,已知,(1)求數(shù)列的首項和公比;(2)求數(shù)列的通項公式.21.(12分)如圖,四棱錐中,底面為直角梯形,,,,,在銳角中,E是邊PD上一點,且.(1)求證:平面ACE;(2)當(dāng)PA的長為何值時,AC與平面PCD所成的角為?22.(10分)在如圖所示的幾何體中,面CDEF為正方形,平面ABCD為等腰梯形,AB//CD,AB=2BC,點Q為AE的中點.(1)求證:AC//平面DQF;(2)若∠ABC=60°,AC⊥FB,求BC與平面DQF所成角的正弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
集合.為自然數(shù)集,由此能求出結(jié)果.【詳解】解:集合.為自然數(shù)集,在A中,,正確;在B中,,正確;在C中,,正確;在D中,不是的子集,故D錯誤.故選:D.【點睛】本題考查命題真假的判斷、元素與集合的關(guān)系、集合與集合的關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.2、C【解析】
先化簡集合A,B,結(jié)合并集計算方法,求解,即可.【詳解】解得集合,所以,故選C.【點睛】本道題考查了集合的運(yùn)算,考查了一元二次不等式解法,關(guān)鍵化簡集合A,B,難度較?。?、D【解析】
先求得名學(xué)生中,只能說出一種或一種也說不出的人數(shù),由此利用比例,求得名學(xué)生中對四大發(fā)明只能說出一種或一種也說不出的人數(shù).【詳解】在這100名學(xué)生中,只能說出一種或一種也說不出的有人,設(shè)對四大發(fā)明只能說出一種或一種也說不出的有人,則,解得人.故選:D【點睛】本小題主要考查利用樣本估計總體,屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】
先由兩直線垂直的條件判斷出命題p的真假,由基本不等式判斷命題q的真假,從而得出p,q的非命題的真假,繼而判斷復(fù)合命題的真假,可得出選項.【詳解】已知對于命題,由得,所以命題為假命題;關(guān)于命題,函數(shù),當(dāng)時,,當(dāng)即時,取等號,當(dāng)時,函數(shù)沒有最小值,所以命題為假命題.所以和是真命題,所以為假命題,為假命題,為假命題,為真命題,所以真命題的個數(shù)為1個.故選:A.【點睛】本題考查直線的垂直的判定和基本不等式的應(yīng)用,以及復(fù)合命題的真假的判斷,注意運(yùn)用基本不等式時,滿足所需的條件,屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】
由兩向量垂直可得,整理后可知,將已知條件代入后即可求出實數(shù)的值.【詳解】解:,,即,將和代入,得出,所以.故選:D.【點睛】本題考查了向量的數(shù)量積,考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算.對于向量問題,若已知垂直,通??傻玫絻蓚€向量的數(shù)量積為0,繼而結(jié)合條件進(jìn)行化簡、整理.6、C【解析】
根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)得到,再計算得到答案.【詳解】已知等差數(shù)列中,故答案選C【點睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì),是數(shù)列的??碱}型.7、C【解析】試題分析:根據(jù)題意,當(dāng)時,令,得;當(dāng)時,令,得,故輸入的實數(shù)值的個數(shù)為1.考點:程序框圖.8、C【解析】
首先把看作為一個整體,進(jìn)而利用二項展開式求得的系數(shù),再求的展開式中的系數(shù),二者相乘即可求解.【詳解】由二項展開式的通項公式可得的第項為,令,則,又的第為,令,則,所以的系數(shù)是.故選:C【點睛】本題考查二項展開式指定項的系數(shù),掌握二項展開式的通項是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】
利用誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡求解即可.【詳解】,本題正確選項:【點睛】本題考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用,考查計算能力.10、B【解析】
由命題的否定,復(fù)合命題的真假,充分必要條件,四種命題的關(guān)系對每個命題進(jìn)行判斷.【詳解】“”的否定是“”,正確;已知為兩個命題,若“”為假命題,則“”為真命題,正確;“”是“”的必要不充分條件,錯誤;“若,則且”是假命題,則它的逆否命題為假命題,錯誤.故選:B.【點睛】本題考查命題真假判斷,掌握四種命題的關(guān)系,復(fù)合命題的真假判斷,充分必要條件等概念是解題基礎(chǔ).11、A【解析】
利用數(shù)列的遞推關(guān)系式,通過累加法求解即可.【詳解】數(shù)列滿足:,,可得以上各式相加可得:,故選:.【點睛】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用,數(shù)列累加法以及通項公式的求法,考查計算能力.12、D【解析】
設(shè),,作為一個基底,表示向量,,,然后再用數(shù)量積公式求解.【詳解】設(shè),,所以,,,所以.故選:D【點睛】本題主要考查平面向量的基本運(yùn)算,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
求導(dǎo)得到,討論和兩種情況,計算時,函數(shù)在上單調(diào)遞減,故,不符合,排除,得到答案?!驹斀狻恳驗椋?,因為,所以.當(dāng),即時,,則在上單調(diào)遞增,從而,故符合題意;當(dāng),即時,因為在上單調(diào)遞增,且,所以存在唯一的,使得.令,得,則在上單調(diào)遞減,從而,故不符合題意.綜上,的取值范圍是.故答案為:.【點睛】本題考查了不等式恒成立問題,轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題是解題的關(guān)鍵.14、①②③【解析】
由單調(diào)性、對稱性概念、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系進(jìn)行判斷.【詳解】函數(shù)的定義域是,由于,在上遞增,∴函數(shù)在上是遞增,①正確;,∴函數(shù)的圖象關(guān)于中心對稱,②正確;,時取等號,∴③正確;,設(shè),則,顯然是即的極小值點,④錯誤.故答案為:①②③.【點睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性、對稱性,考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)與極值,解題時按照相關(guān)概念判斷即可,屬于中檔題.15、39【解析】
設(shè)等差數(shù)列公差為d,首項為,再利用基本量法列式求解公差與首項,進(jìn)而求得即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為d,首項為,根據(jù)題意可得,解得,所以.故答案為:39【點睛】本題考查等差數(shù)列的基本量計算以及前n項和的公式,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
直接利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算化簡,從而得到復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)和的模.【詳解】,則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為,且.故答案為:;.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查了復(fù)數(shù)的基本概念,是基礎(chǔ)的計算題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)或.【解析】
(1)聯(lián)立直線方程與雙曲線方程,消去,得到關(guān)于的一元二次方程,根據(jù)根的判別式,即可求出結(jié)論;(2)設(shè),由(1)可得關(guān)系,再由直線l過點,可得,進(jìn)而建立關(guān)于的方程,求解即可.【詳解】(1)雙曲線C與直線l有兩個不同的交點,則方程組有兩個不同的實數(shù)根,整理得,,解得且.雙曲線C與直線l有兩個不同交點時,k的取值范圍是.(2)設(shè)交點,直線l與y軸交于點,,.,即,整理得,解得或或.又,或時,的面積為.【點睛】本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系、三角形面積計算,要熟練掌握根與系數(shù)關(guān)系解決相交弦問題,考查計算求解能力,屬于中檔題.18、(1)見解析;(2).【解析】
(1)設(shè)點、,求出直線、的方程,與拋物線的方程聯(lián)立,求出點、的坐標(biāo),利用直線、的斜率相等證明出;(2)設(shè)點到直線、的距離分別為、,求出,利用相似得出,可得出的邊上的高,并利用弦長公式計算出,即可得出關(guān)于的表達(dá)式,結(jié)合不等式可解出實數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)設(shè)點、,則,直線的方程為:,由,消去并整理得,由韋達(dá)定理可知,,,代入直線的方程,得,解得,同理,可得,,,,代入得,因此,;(2)設(shè)點到直線、的距離分別為、,則,由(1)知,,,,,,同理,得,,由,整理得,由韋達(dá)定理得,,,得,設(shè)點到直線的高為,則,,,,解得,因此,實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查直線與直線平行的證明,考查實數(shù)的取值范圍的求法,考查拋物線、直線方程、韋達(dá)定理、弦長公式、直線的斜率等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想,是難題.19、(1)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.(2)見解析【解析】
(1)求出導(dǎo)函數(shù),由確定增區(qū)間,由確定減區(qū)間;(2)求出含有參數(shù)的,再求出,由的兩根是,得,計算,代入后可得結(jié)論.【詳解】解:,函數(shù)的定義域為,.(1)當(dāng)時,,由得,由得,故函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.(2)證明:由條件可得,,,方程的兩根分別為,,,且,可得..【點睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、方程根的知識.在可導(dǎo)函數(shù)中一般由確定增區(qū)間,由確定減區(qū)間.20、(1)(2)【解析】
本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式的求解,數(shù)列求和的錯位相減求和是數(shù)列求和中的重點與難點,要注意掌握.(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則q+q2=6,解方程可求q(2)由(1)可求an=a1?qn-1=2n-1,結(jié)合數(shù)列的特點,考慮利用錯位相減可求數(shù)列的和解:(1)(2),兩式相減:21、(1)證明見解析;(2)當(dāng)時,AC與平面PCD所成的角為.【解析】
(1)連接交于,由相似三角形可得,結(jié)合得出,故而平面;(2)過作,可證平面,根據(jù)計算,得出的大小,再計算的長.【詳解】(1)證明:連接BD交AC于點O,連接OE,,,又平面ACE,平面ACE,平面ACE.(2),,平面PAD作,F(xiàn)為垂足,連接CF平面PAD,平面PAD.,有,,平面就是AC與平面PCD所成的角,,,,,,時,AC與平面PCD所成的角為.【點睛】本題考查了線面平行的判定,線面垂直的判定與線面角的計算,屬于中檔題.22、(1)見解析(2)【解析】
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