直線、平面平行與垂直的判定與性質(zhì)（原卷版）-2025年天津高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第30講直線、平面平行與垂直的判定與性質(zhì)

（6類核心考點精講精練）

I他.考情探究?

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析

2024年天津卷，第6題,5分線面關(guān)系有關(guān)命題的判斷

2024年天津卷，第17題,15分證明線面平行面面角的向量求法點到平面距離的向量求

2023年天津卷，第17題,15分證明線面平行廣求點面距離求二面角

2022年天津卷，第17題,15分空間位置關(guān)系的向量證明線面角的向量求法，面面角的向量求法

2021年天津卷，第17題,15分空間位置關(guān)系的向量證明線面角的向量求法，面面角的向量求法

2020年天津卷，第17題,15分空間向量垂直的坐標(biāo)表示線面角的向量求法面面角的向量求法

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中檔，分值為15分

【備考策略】1.理解、掌握空間集體中的線面關(guān)系。

2.能掌握線面平行與垂直的問題。

3.會解空間中的動點問題，利用線與面中的平行與垂直關(guān)系去參數(shù)問題。

【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般給出幾何體求解線與面的關(guān)系，以及動點問題。

12.考點梳理*

知識講解

知識點一.直線和平面平行

1.定義：直線與平面沒有公共點，則稱此直線/與平面a平行，記作/〃a

2.判定方法（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

如果平面外的一條直線和這個1//1,

線〃線n線〃面平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條Z_/Ilua>n/〃a

直線和這個平面平行（簡記為“線線1Ua

平行n線面平行

如果兩個平面平行，那么在一a〃g

//>=>a//p

面〃面n線〃面?zhèn)€平面內(nèi)的所有直線都平行于另一aua

個平面X/

3.性質(zhì)定理（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

如果一條直線和1//a

一個平面平行，經(jīng)過IS

線〃面n線〃線這條直線的平面和這a0=1'

個平面相交，那么這

條直線就和交線平行

知識點二.兩個平面平行

1.定義:沒有公共點的兩個平面叫作平行平面，用符號表示為：對于平面a和夕，若a/3=@,則a〃4

2.判定方法（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

判定定理如果一個平面內(nèi)有兩aua,bua,ab=P

線〃面=>條相交的直線都平行于另/

B，b//j3^a//j3

面〃面一個平面，那么這兩個平面//

平行（簡記為“線面平行n

面面平行

線_1_面=>如果兩個平面同垂直I.La]

\na〃B

面〃面于一條直線，那么這兩個平lVf3\

面平行

3.性質(zhì)定理（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

如果兩個平面平行，那

面〃面二>線〃面aII(3

么在一個平面中的所有直線〃u。>=>〃//6

都平行于另外一個平面

如果兩個平行平面同時

a11[3

和第三個平面相交，那么他二ay=al1匕.

性質(zhì)定理

們的交線平行（簡記為“面面By=b

平行n線面平行”）

如果兩個平面中有一個

al1p

面〃面二>線，面垂直于一條直線，那么另一>n/_L尸

I-La

個平面也垂直于這條直線三

【解題方法總結(jié)】

線線平行、線面平行、面面平行的轉(zhuǎn)換如圖所示.

1.證明直線與平面平行的常用方法:

①利用定義，證明直線。與平面a沒有公共點，一般結(jié)合反證法證明；

②利用線面平行的判定定理，即線線平行n線面平行.輔助線的作法為：平面外直線的端點進(jìn)平面，同向

進(jìn)面，得平行四邊形的對邊，不同向進(jìn)面，延長交于一點得平行于第三邊的線段；

③利用面面平行的性質(zhì)定理，把面面平行轉(zhuǎn)化成線面平行；

2.證明面面平行的常用方法：

①利用面面平行的定義，此法一般與反證法結(jié)合；

②利用面面平行的判定定理；

③利用兩個平面垂直于同一條直線；

④證明兩個平面同時平行于第三個平面.

3.證明線線平行的常用方法：①利用直線和平面平行的判定定理；②利用平行公理；

知識點三.直線與平面垂直

1.定義

如果一條直線和這個平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，那稱這條直線和這個平面相互垂直.

2.判定定理（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

一條直線與一1

個平面內(nèi)的兩條相a,bua

aLI

判斷定理交直線都垂直，則>n/J_。

b-Ll

該直線與此平面垂acb=P

直

兩個平面垂

直，則在一個平面a-LJ3

ac/3=a

面，面今線，面內(nèi)垂直于交線的直>nh_La

/bu。

線與另一個平面垂zCb-La

直

一條直線與兩—

平行平面中的一個

alm

平行與垂直的關(guān)系平面垂直，則該直>nq_L夕

ala

線與另一個平面也//

垂直

兩平行直線中g(shù)b

有一條與平面垂allb

平行與垂直的關(guān)系

直，則另一條直線a.La

—

與該平面也垂直

3.性質(zhì)定理（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

1b

alia

垂直于同一平面

性質(zhì)定理auB卜=>〃///?

的兩條直線平行

ac0=b

文字語言圖形語言符號語言

垂直于同一

ala]

垂直與平行的關(guān)系直線的兩個平面

平行

如果一條直

線垂直于一個平

線垂直于面的性質(zhì)面，則該直線與平/_La,aua=/_La

面內(nèi)所有直線都

垂直

知識點四.平面與平面垂直

L定義：如果兩個相交平面的交線與第三個平面垂直，又這兩個平面與第三個平面相交所得的兩條交線互相

垂直.（如圖所示，若ac0=CD,CDLy,且cy=AB,4c7=BE,ABBE,則c_L/）

一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.

2.判定定理（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

判定定理一個平面過bLa]

$=>a_L"

另一個平面的垂bu隊

線，則這兩個平面

垂直

3.性質(zhì)定理（文字語言、圖形語言、符號語言）

文字語言圖形語言符號語言

性質(zhì)定理兩個平面垂直，aVP

則一個平面內(nèi)垂直ac(3=a

7)>=>Z7_La

bu(3

于交線的直線與另

二b-La

一個平面垂直Z

【解題方法總結(jié)】

判定定理,判定定理、

線上線(性質(zhì)定理線上面《性質(zhì)定理面,面

1.證明線線垂直的方法

①等腰三角形底邊上的中線是高；

②勾股定理逆定理；

③菱形對角線互相垂直；

④直徑所對的圓周角是直角；

⑤向量的數(shù)量積為零；

⑥線面垂直的性質(zhì)(a_La,6uen“_L6);

⑦平行線垂直直線的傳遞性(aLc,a/IbnbLc).

2.證明線面垂直的方法

①線面垂直的定義；

②線面垂直的判定(a_LZ?M_LGcu%bua,bcc=P=>a_L6Z)；

③面面垂直的性質(zhì)(a工(3,ac/3=b,a工b,aua=a工/3);

平行線垂直平面的傳遞性(a_La,Z?//a=>b_La)；

⑤面面垂直的性質(zhì)(a_Lcc尸=/=

3.證明面面垂直的方法

①面面垂直的定義；

②面面垂直的判定定理(aLB，aua=aLB).

空間中的線面平行、垂直的位置關(guān)系結(jié)構(gòu)圖如圖所示，由圖可知，線面垂直在所有關(guān)系中處于核心位置.

考點一、線面平行問題

典例引領(lǐng)

1.(2025高三?全國?專題練習(xí))如圖，在正方體4BCD-4/1的。1中，E是棱。區(qū)的中點.

(1)證明：BDi〃平面4EC；

(2)若正方體棱長為2,求三棱錐D-4EC的體積.

2.(2024?陜西商洛?模擬預(yù)測)如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形力BCD是矩形，MN分別是PD和BC的

中點，平面PAB_L平面4BCD,P4=PB=AB=AD=2.

(1)證明：MN〃平面/MB；

(2)求三棱錐M-ABC的體積.

即時檢測

I____________________

1.(2024?江西?模擬預(yù)測)如圖所示，四邊形BCDE為直角梯形，且BC//DE,ED1CD,BC=2,CD=V3,

ED=1.△力BE為等邊三角形，平面ABE_1_平面8。。￡.

(1)線段4C上是否存在一點G,使得。G//平面4BE,若存在，請說明G點的位置；若不存在，請說明理由；

(2)空間中有一動點Q,滿足力Q1BE,且礪?無=0.求點Q的軌跡長度.

2.(2024?寧夏吳忠.模擬預(yù)測)如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面4BCD是邊長為2的正方形,P。1底面48CD,

(1)試確定點E的位置，并說明理由；

(2)是否存在實數(shù)九使三棱錐E-BPD體積為豈若存在，請求出具體值，若不存在，請說明理由.

3.(2025高三?全國?專題練習(xí))如圖，在四棱臺4BCD—4B1GD1中，DA_L平面ABCD,4D〃BC,AD=DC=2,

BC=1,乙BCD=60。,4。1==1.記平面與平面B/CC1的交線為/,證明：1//BC-,

4.(2025高三?全國?專題練習(xí))如圖，在三棱柱力BC-a/iQ中，AC=BC,ArC=ArB,側(cè)面BBiQC為矩

形.記平面&BCi與平面ABC交線為I,證明：AC//1-,

考點二、面面平行問題

典例引領(lǐng)

1.（2025高三?全國?專題練習(xí)）如圖，在四棱錐P-4BCD中，PA=3,AB=2,四邊形2BCD為菱形，NABC=$

PAL^^ABCD,E,F,Q分別是BC,PC,PD的中點.證明：平面EFQ〃平面PH8；

P

2.（2025高三?全國?專題練習(xí)）如圖，在三棱柱ABC-4/ICI中，側(cè)面441cle為矩形，M,N分別為AC,

久的的中點.求證：平面BM4〃平面BiNC；

1.（2025高三?全國?專題練習(xí)）由正棱錐截得的棱臺稱為正棱臺.如圖，正四棱臺力BCD-A/iGA中，E,F分

別為力的中點，48=24/1=4,側(cè)面8/6。與底面4BCD所成角為45。.求證：B。4/平面&EF；

2.（23-24高三上?河北承德?期中）如圖，在四棱錐S-4BCD中，平面SBD_L平面力BCD,底面力BCD是正方

形，且E、尸分別是SB、SD上靠近S的三等分點.

（2）在SC上是否存在一點M,使平面MBD〃平面4EF?若存在，求出差的值；若不存在，請說明理由.

3.（2024高三.全國.專題練習(xí)）如圖1,直角梯形4BCD中，AB=^CD=2,AD=2,AD1CD,ABIICD,將直

角梯形4BCD繞4。旋轉(zhuǎn)一周得到如圖2的圓臺，EF為圓臺的母線，且CF=4,M是BC的中點.在線段CF上

是否存在一點N,使MN//平面AEFD?說明理由；

圖1圖2

考點三、平行中的動點問題

典例引領(lǐng)

1.（2024?四川樂山?三模）在三棱柱ABC-&&C1中，點。在棱BBi上，滿足力-BCQD=1cl，點M在

棱41cl上，且而^=而溫，點N在直線上，若MN〃平面4DC],則箸=（）

A.2B.3C.4D.5

2.（2024?遼寧?模擬預(yù)測）已知四棱錐P-ABC。的底面48CD是邊長舊的正方形，PA=V3,PA1平面ABCD,

M為線段P4的中點，若空間中存在平而a滿足BD〃a,MCuct,記平面a與直線PD,PB分別交于點E,F,

貝|PE=,四邊形MECF的面積為.

即0唧（

1.（2024?西藏拉薩?二模）如圖，正四棱錐P-4BCD的所有棱長都為2,E為PC的中點，M是底面力BCD內(nèi)（包

括邊界）的動點，且EM||平面P4B,則EM長度的取值范圍是.

2.（2024.陜西榆林.三模）如圖是一個半圓柱,DC,4B分別是上、下底面圓的直徑，。為4B的中點，且4B=2。=

2,E是半圓腦上任一點（不與人B重合）.

（1）證明：平面DE41平面CEB,并在圖中畫出平面DEA與平面CEB的交線（不用證明）;

⑵若點E滿足DE=當(dāng)EB,空間中一點P滿足麗=2PB,求三棱錐。-EOP的體積.

考點四、線線、線面垂直問題

1.（2024?陜西咸陽?模擬預(yù)測）如圖1,在高為6的等腰梯形力BCD中，AB//CD,且CD=6,4B=12,將它

沿對稱軸。Oi折起，使平面ADO1。，平面BCOi。，如圖2,點P為BC的中點，點E在線段力B上（不同于4B

兩點），連接。E并延長至點Q,使4Q〃。叢

（2）若BE=24E,求三棱錐P-4BQ的體積.

2.（24-25高三上?山西大同?期末）如圖，四棱錐P-4BCD中，底面4BCD為矩形，PA_L底面2BCD,且M,N分

別為棱ZB,PC的中點，平面CMN與平面P2D交于直線，.

（2）若PD與底面A8CD所成角為a,當(dāng)a滿足什么條件時，MN1平面PCD.

■?即時購

1.（2024?廣東東莞?模擬預(yù)測）如圖，已知四棱臺48CD-4/164的上、下底面分別是邊長為2和4的正

方形，441=4,且441，底面ABCD,點P、Q分別是棱DD1的中點.

⑴在底面A/IGA內(nèi)是否存在點M,滿足AM，平面CPQ?若存在，請說明點M的位置，若不存在，請說明

理由；

（2）設(shè)平面CPQ交棱441于點T,平面CPTQ將四棱臺4BCD-&B1C1D1，分成上、下兩部分，求上、下兩

部分的體積比.

2.（22-23高三上?貴州黔東南?階段練習(xí)）如圖，在四棱錐P-4BC。中，PA1平面48CD,四邊形2BCD為正

方形，4B=4P,點F為線段PC的中點，過力，D,F三點的平面與PB交于點E.

（1）求證：PB1FD.

（2）求平面2DFE將四棱錐分成兩部分的體積之比.

3.（2025高三?全國?專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱aBC—a/iG中，E是上的點，且&E1平面ABiQ.

4.（2025高三?全國?專題練習(xí)）如圖，多面體力BCDEf1中，已知面力BCD是邊長為4的正方形，△FBC是等邊

三角形，EF//AB,EF=平面F8C1平面力BCD.求證：EF1BF；

考點五、面面垂直問題

典例引領(lǐng)

1.(23-24高三上?重慶南岸?階段練習(xí))如圖，在三棱柱ABC—4/16中，側(cè)面BBQC為矩形，^BAC=90°,

AB=AC^4,44i=8,4在底面ABC的射影為BC的中點N,M為的中點.

(1)求證：平面4MM4_1_平面&BC；

(2)求三棱柱的體積和表面積.

2.(2022.河南安陽?模擬預(yù)測)如圖，在正三棱柱ABC—4B1G中，4B=2,C6=3,點O,E分別在棱441和

棱CCi上，且4。=1,CE=2.

(1)求證：平面BDE1平面BCC/i；

(2)求多面體-D8E的體積.

即時檢測

I_________________

1.(2025高三?全國?專題練習(xí))在三棱臺中，底面△ABC是等邊三角形，側(cè)面4遇CC1是等腰梯

形，。是4C的中點，當(dāng)0是兩異面直線8/和2C的公垂線，且4B=9&Bi=2百，BB1=2V2.證明：側(cè)面

ABBrAr1平面BMC；

2.（2025高三?全國?專題練習(xí)）如圖，在三棱錐P—48C中，平面PAC_L平面PBC,△P4C和△48c均為等腰

直角三角形，且P力=PC=V2,PB=①.證明：平面ABC1平面P4C

3.（2025高三?全國?專題練習(xí)）如圖，4B是圓的直徑，平面P4C1面4CB,S.AP1AC.求證：BC，平面P4C；

4.（2025高三?全國?專題練習(xí)）如圖，在三棱臺ABC—中，AB1BC,BB1VAC,平面4BB1&1平面

ABC.求證：BB1_L平面ABC；

考點六、垂直中的動點問題

典例引領(lǐng)

1.（2024高三?全國?專題練習(xí)）已知二面角a-是直二面角，AEa,BEp,設(shè)直線4B與平面a,。所成

角分別為。1，。2,則（）

A.%+62=90°B.er+e2>90°

c.4+。2490°口.er+e2<90°

2.（24-25高三上?湖南?開學(xué)考試）己知三棱錐4-BCD中，AC=舊，其余各校長均為2,P是三棱錐4-BCD

外接球的球面上的動點，則點P到平面BCD的距離的最大值為（）

AV26DV26c1+V1314-V13

A.D.C.-------D.----------

6363

即時檢測

1.（23-24高三上?湖南?階段練習(xí)）如圖，平面4BCD，平面ABEF,正方形ABCD的邊長為4,矩形ABEF

的邊AF的長為2,若G是邊EF上的動點，則三棱錐C-A8G的外接球體積的最小值為.

GE

2.（23-24高三上?河南?期中）已知在四棱錐P—48CD中，AD//BC,AD=3,BC=1,PB=3/，PA1AB,

4D_L平面PAB,當(dāng)四棱錐P—A8CD的體積最大時，coszCPD=

22

3.（22-23高三下?江蘇連云港?階段練習(xí)）已知雙曲線C+一a=l（a>0,b>0）的左、右焦點分別是F1.，

過點Fi的直線與C交于4B兩點，且力B1&F2，現(xiàn)將平面人0尸2沿尸1尸2所在直線折起，點4到達(dá)點P處，使面

。叱2，面BFiB，若COS"F2B=|，則雙曲線C的離心率為.

4.（2024.黑龍江?三模）如圖所示，A/IBC中，力C18C,2C=2,8C=4,E,F分別是邊上的點，

將ABEF沿EF折起，點B折起后的位置記為點P,得到四棱錐P-4CFE,則四棱錐P-ACFE體積的最大值

為.

IN.好題沖關(guān)

1.（2023?河北保定?一模）設(shè)a,0是兩個不同的平面，貝「a內(nèi)有無數(shù)條直線與￡平行”是“a〃夕”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.(21-22高三上?天津南開?階段練習(xí))如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1,AA1=2,點P為

DD1的中點.

(1)求證：直線BD1〃平面PAC；

(2)求證：平面PAC_L平面BDD1；

(3)求三棱錐D-PAC的體積.

3.(22-23高三上?廣西玉林?階段練習(xí))如圖，在四棱錐P-2BCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面P2。，底

面ABCD,E,F分別為PA,BD中點，PH=PD=4D=2.

(1)求證：EF//平面PBC；

(2)求四面體P-D48的體積.

4.(2025高三?全國?專題練習(xí))已知四棱柱ABCD-481GA中，底面4BCD為梯形，AB//CD,，平面

ABCD,AD_LA8,其中AB=AA1=2,AD=DC=1.N是當(dāng)前的中點,M是。久的中點.求證〃平面C/M；

5.(2025高三?全國?專題練習(xí))如圖，在四棱錐P-4BCD中，BC//AD,AB=BC=1,4D=3,點E在4D

上，且PE14D,PE=DE=2.若尸為線段PE中點，求證：BF//平面PCD.

p

D

BC

6.（2025高三?全國?專題練習(xí)）如圖，在四棱錐P—4BCD中，PAl￥ffiXBCD,底面4BCD為正方形，E為

線段48的中點，PA=4B=2.

7.（2025高三?全國?專題練習(xí)）如圖，已知多面體A8CD的底面ABCD是菱形，側(cè)棱1底面

ABCD,且CC】=2441=4BB1=證明：ArC1BD；

B能力提升

1.（2024.全國.模擬預(yù)測）如圖，四棱錐a—8CDE是棱長均為2的正四棱錐，三棱錐2-CDF是正四面體,

G為BE的中點，則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.點4B,C,F共面B.平面ABE〃平面CDF

C.FG1CDD.FG_L平面ACD

2.（2025高三?全國?專題練習(xí)）由平行六面體ABCD-公當(dāng)?shù)摹?gt;1截去三棱錐當(dāng)-后得到如圖所示的幾

何體，其體積為5,底面ABCD為菱形，AC與BD交于點O,ArB=BCr.

（1）證明：必。〃平面4/Ci；

（2）證明：平面A。。_L平面A18cl.

3.（2024高三?全國?專題練習(xí)）如圖，在正三棱柱力BC-4B1G中，BC=CG，M,N,P分別是以1，28,8當(dāng)?shù)?/p>

中點.在線段BBi上是否存在一點Q,使44，平面&MQ?若存在，確定點Q的位置；若不存在，也請說明

4.（2025高三?全國?專題練習(xí)）如圖，在三棱錐P-4BC中，AB1BC,AB=2,BC=2或，