直線、平面垂直的判定與性質(zhì)（6題型分類）-2025年高考數(shù)學專項復習（解析版）

專題34直線、平面垂直的判定與性質(zhì)6題型分類

彩題如工總

題型6：垂直關系的綜合應用題型1:線面垂直關系的判斷

題型5：證面面垂直題型2：證線線垂直

直線、平面垂直的判定與性質(zhì)6題

型分類

題型4：面面垂直關系的判斷題型3：證線面垂直

彩先也寶庫

1.直線與平面垂直

(1)直線和平面垂直的定義

一般地，如果直線/與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直,就說直線/與平面a互相垂直.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形表示符號表示

如果一條直線與一個平mUa、

1

nUa

面內(nèi)的兩條相交直線垂

判定定理加「1幾=初

直，那么該直線與此平7

ILm

面垂直/_L〃J

ab

垂直于同一個平面的兩a-La\

性質(zhì)定理

條直線平行27

2.直線和平面所成的角

(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個平面所成的角.一條直線垂

直于平面，我們說它們所成的角是鱉；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說它們所成的角是

TT

(2)范圍：0,2.

3.二面角

(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.

(2)二面角的平面角：如圖，在二面角a一/一/的棱/上任取一點。，以點。為垂足，在半平面a和6內(nèi)分

別作垂直于棱)的射線OA和則射線OA和OB構成的ZAOB叫做二面角的平面角.

(3)二面角的范圍：［0,兀］.

4.平面與平面垂直

(1)平面與平面垂直的定義

一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角,就說這兩個平面互相垂直.

(2)判定定理與性質(zhì)定理

文字語言圖形表示符號表示

如果一個平面過另一個4

判定定理平面的垂線,那么這兩

—It1〃_1_川〃

-ir?

個平面垂直

兩個平面垂直，如果一

a工B、

個平面內(nèi)有一直線垂直

aG6'='a

性質(zhì)定理于這兩個平面的交線,0/_La

工l-La

那么這條直線與另一個

平面垂直

E常用結論與

1.三垂線定理

平面內(nèi)的一條直線如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.

2.三垂線定理的逆定理

平面內(nèi)的一條直線如果和穿過該平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在該平面內(nèi)的射影垂直.

3.兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面.

彩他題海籍

(一)

證明線面垂直的常用方法及關鍵

(1)證明直線和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(〃〃。，Q_La=b_La);③面面平行

的性質(zhì)(a_La,a〃④面面垂直的性質(zhì).

（2）證明線面垂直的關鍵是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì).

題型1：線面垂直關系的判斷

1-1.（2024?廣西南寧?三模）已知/，機，w是三條不同的直線，a，夕是不同的平面，則下列條件中能推出a，4

的是（）

A.Iua,mu（3,且

B.lea,mu/3,〃u/?,且ILn

C.mua,nu0,mUn,且/_L“z

D.Iua,IIIm,且機_L￡

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，利用充分條件、必要條件的定義，結合線面垂直、面面垂直判定逐項判斷作答.

【詳解】對于A,Iua，mu（3,且/，〃?，a,夕可以平行、相交不垂直、垂直，A不正確；

對于B,/ua,“zu分，nu0,且/Zin,當私”不相交時，/不一定與￡垂直，則a不一定與用垂

直，B不正確；

對于C,mua,n^/3,mlln,且/，加，顯然直線/與a,6無關系，a,夕可以平行、相交不垂直、垂直，

C不正確；

對于D,由〃/m，得/，乃，又/ua,根據(jù)面面垂直的判定知D正確.

故選：D

1-2.（2024?重慶?模擬預測）已知/,切，〃表示不同的直線，a,夕，/表示不同的平面，則下列四個命題

正確的是（）

A.若〃/<z,_1.mlla,貝B.若mlla,nV（3,則就/〃

C.若mill,且機_La,貝！|/_LaD.若加_L〃，mLa,nll/3,則aJL#

【答案】C

【分析】根據(jù)線、面位置關系逐項分析判斷.

【詳解】對于選項A：若〃/a,且〃〃/夕，則/,機可能平行、相交或異面，并不一定垂直，故A錯誤；

對于選項B：若al/3,m"a,"工。，貝心小〃可能平行、相交或異面，并不一定平行，故B錯誤；

對于選項C：若加///,且根,c,根據(jù)線面垂直可得：/_La,故C正確；

對于選項D：若根_1_〃，mLa,但不能得到〃_Le,

所以雖然〃//,不能得到C分，故D錯誤；

故選：c.

1-3.（2024?甘肅天水?一模）設〃7，”是兩條不同的直線，夕,尸是兩個不同的平面，則下列說法正確的是（）

A.若根_!_〃,〃〃a,則

B.若m〃/3,0La,則

C.若機_Lw,〃_L夕,￡_Le,則mJ_tz

D.若機_!_/?,〃_L/?,〃_La,則〃?J_a

【答案】D

【分析】根據(jù)空間中點線面的位置關系，即可結合選項逐一求解.

【詳解】對于A,若機_1_"，〃〃媛，則根ua或者加〃Q；或者相交，故A錯誤，

對于B,若〃?〃/?,0上a,則mua或者m//=或者相交，故B錯誤，

對于C,若mJ_〃，77,萬，/3La,則mua或者機//以或者相交，故C錯誤，

對于D,若m工0,及工0,則“〃M，又"_La,所以mJ_a,故D正確，

故選：D.

題型2:證線線垂直

2-1.（2024高三?全國?專題練習）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABC。為矩形，24,平面

ABCD,PA=AD=y/2AB,點/是PD的中點，證明：AMA.PC.

【分析】

先利用面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理推得CD_1_平面PAD,再利用線面垂直的判定定理證得AM1平面

PCD,從而得解.

【詳解】因為叢=AD,點M是尸。的中點，所以AVfLQD.

因為PA_L平面ABCD,PAu平面PAD,所以平面R4￡>_L平面ABCD,

因為四邊形A3CQ為矩形，所以CDJ_AD,

因為平面E4￡）c平面ASCD=AD,CDu平面A5CD,

所以CD_L平面PAD,又AMu平面PAD,所以CO_LAM,

因為PDcCD=D,PD,CDu平面尸CD,

所以AM2平面PCD,

因為PCu平面尸CD,所以A〃_LPC.

2-2.（2024高三?全國?專題練習）如圖，在三棱柱ABC-AB?中，AB=BC,AB}=BtC.證明：AC1BtB

4k_____________C}

B

【答案】證明見解析

【分析】取AC的中點。，利用等腰三角形結合線面垂直判定定理先證明AC1,平面然后由線面垂

直性質(zhì)可得AC，與2.

【詳解】取AC的中點。，連接80,BQ,

-.-AB=BC,AB】=B?,:.AC±BD,AC±B,D,

又BDCBp=D,BRBQu平面BBQ,

二4。4平面8瓦。，

又因為8瓦u平面BBQ,

/.AC上B]B.

B

2-3.（2024高三?全國?專題練習）已知三棱柱ABC-A.B.C,中，A3=AC=2,4A=AXB=A.C=2,ABAC=90°,E

是5C的中點，尸是線段AG上一點.求證：AB±EF；

A,F_______Cx

二B

【答案】證明見解析

【分析】先證平面ABC,由線面垂直的性質(zhì)可得AE_LAB,然后結合/BAC=90。可證平面

AGE，然后可證AB_LEF.

【詳解】證明：連接AE,AE,EC

4FG

B

-.■ABAC=90°,AS=AC=2,E是8C的中點，

:.AELBC,

:.BC=y/2,AB=2y/2,AE=BE=EC=-BC=-j2,

2

AA=A8=AC=2,E是8C的中點，

.-.\ELBC,.?./￡■=4笈-臺序=)4-2=夜,

222

^A=AE+AtE,AEV\E,

■■AEr>BC=E,AE,BCu平面ABC,

r.AEJ■平面ABC,

???ABu平面ABC,A^ELAB,

■：在三棱柱ABC-ABC1中，AG//AC,

VAB±AC,AB1\CX,

AEcAC=A,A瓦AGu平面ACE

平面AGE,

?.?￡Fu平面AGE,

.\AB±EF.

2-4.（2024高三?全國?專題練習）在梯形ABC。中，ABHDC,ZDAB=90°,CD=2,AC=AB=4,如圖

1.沿對角線AC將△D4C折起，使點。到達點P的位置，E為BC的中點，如圖2.證明：PELAC.

圖1圖2

【答案】證明見解析

【分析】由題意，結合圖1,連接OE交AC于點。，可證明COLDE,根據(jù)折起后ACLOP,AC1OE,

結合線面垂直的判定定理與性質(zhì)即可證明.

【詳解】因為AB//DC,ZDAB=90°,所以44DC=90。，

DC1

所以cosNACO=—=—,所以NACD=60。，則/C4B=ZACD=60。，

AC2

XAC=AB=4,所以44BC為等邊三角形，所以3。=4,又E為BC的中點，

連接DE交AC于點0,貝ljDC=CE=2,ZDCO=ZECO=60°,

所以ADCO-ECO,所以/COD=NCOE=90。，即CO1.DE,

則折起后，如圖，AC1OP,AC1OE,5LOEC\OP=O,OE,OPu平面尸OE,

所以AC_L平面尸OE,PEu平面尸OE,所以PE_LAC.

A

題型3:證線面垂直

3-1.（2024高三?全國?專題練習）如圖,在三棱柱ABC-4與G中，平面ACQA，平面ABC,AC=BC=CCVD

是AA的中點，且，ACB=90。,ND4c=60。.證明：44,，平面C3D；

B

【答案】證明見解析

【分析】由等邊三角形得COLAA，由面面垂直的性質(zhì)定理得3C1平面ACGA，從而得BC_LAA，再由

線面垂直的判定定理得證線面垂直.

【詳解】連接CA，

由題意可知：△AC41為等邊三角形，且。是AA的中點，

所以COLA4,,

因為平面ACC0_L平面ABC,平面ACC】AC平面ABC=AC,ACIBC,3Cu平面ABC,

所以BC-L平面ACC〕A,

且A4,u平面ACGA，可得BCJ.AA，

CDcBC=C,CD,8Cu平面CBD,

所以44,，平面CBD.

-----------------4

/一.

B

3-2.（2024高三?全國?專題練習）如圖所示，在三棱錐尸-ABC中，已知PAL平面ABC,平面平面

PBC.證明：平面加B；

【答案】證明見解析

【分析】過點A作先證明AE_LBC,再證明PA_L3C,根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明結論.

【詳解】過點A作于點E,

因為平面上平面PBC,且平面RIBc平面P8C=PB,AEu平面R鉆，

所以平面PBC,

又BCu平面P3C,所以AE_LBC,

又B4_L平面ABC,3Cu平面P5C,

所以E4JL3C,

又因為AEn「A=A，平面承B,

所以3cl平面R鉆.

3-3.（2024高三?全國?專題練習）如圖1,在五邊形至3中，四邊形ABCE為正方形，CDIDE,CD=DE,

如圖2,將AABE沿BE折起，使得A至A處，且證明：平面ABE;

圖1圖2

【答案】證明見解析

【分析】先證明"ELBE,繼而證明48,平面AE。，可得。E，A8,根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明

結論.

【詳解】由題意四邊形ABCE為正方形，CDLDE,CD=DE,

TTTT

得/BEC=/CED=—,則ZBEE>=—,故

42

因為ABLAE,則A3_LAiE,

又A3,A。，4E口4。=4,424〃<=面4瓦》,所以人由，平面

又DEu面AED,則。

又DE_LBE,AtBr\BE=B,A]Bu平面4BE,BEu平面42后，

所以DE1平面ABE.

3-4.(2024高三?全國?專題練習)如圖，在三棱錐C-ABO中，平面AB。，E為A8的中點，

AB=BC=AC=2,CG=2EG.證明：45/平面?！辍?；

【分析】按線垂直于面的判斷定理，需證CDLAB,CE1AB.

【詳解】因為CD_L平面AB￡),ABu平面AB￡),所以CD_LAB,

又因為AB=BC=AC,E為AB的中點，所以CE是AABC的中線，

所以CEIAB,且CEcCD=C,CE,C￡>u平面CEO,

所以平面CED.

彩他題秘籍(_)

(1)判定面面垂直的方法

①面面垂直的定義.②面面垂直的判定定理.

(2)面面垂直性質(zhì)的應用

①面面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù)，運用時要注意“平面內(nèi)的直線”.②若兩個

相交平面同時垂直于第三個平面，則它們的交線也垂直于第三個平面.

題型4:面面垂直關系的判斷

4-L（2024?陜西咸陽?二模）已知加，〃是兩條不同的直線，夕是兩個不同的平面，有以下四個命題：

①若加回〃，nua,則加國a,②若加ua,ml/?,則。_14，

③若m_La,ml/?,則。團/，④若al■尸，加ua,〃ua,則機

其中正確的命題是（）

A.②③B.②④C.①③D.①②

【答案】A

【分析】對于①，由線面平行的判定定理分析判斷，對于②，由面面垂直的判定定理分析判斷，對于③,

由線面垂直的性質(zhì)分析判斷，對于④，舉例判斷

【詳解】對于①，當機［aw,wua時，機|aa或加ua,所以①錯誤，

對于②，當加ua,時，由面面垂直的判定定理可得a,所以②正確，

對于③，當相，尸時，有a團廣，所以③正確，

對于④，當。，尸，機ua,"ua時，如圖所示，加回"，所以④錯誤，

故選：A

42（2024?陜西咸陽?模擬預測）如圖所示的菱形ABCD中，AB=2,/胡。=60。,對角線AC,M交于點0,

將/XABD沿BD折到AA'3￡＞位置，使平面AfiDJ_平面BCD.以下命題：

（T）BD±A'C；

②平面AOC_L平面BCD；

③平面ABC，平面ACD；

④三棱錐A'-BCD體積為1.

其中正確命題序號為（）

A.①②③B.②③C.③④D.①②④

【答案】D

【分析】通過證班）上面AOC可判斷①②；求兩平面所成的二面角可判斷③；得到三棱錐的高后可判斷

④.

【詳解】如圖：

所以ABMADMBCMCDMBD,。為30的中點，

所以3D_LAO,BD1CO,4OcCO=O,4'0,。。＜=面4。。，

所以面A0C,又HCu面A0C,所以8DJ.AC,即①正確；

由①知面A0C,又BDu面BCD,所以平面A'0C_L平面BCD,即②正確;

如圖：

取AC的中點為E,連接BE,DE,依題意，A'B=BC=A'D=CD,

所3E1AE,DELAC,所以乙BED是二面角3—4C—D的平面角，

又因為平面ABD_L平面BCD,平面A'BDPI平面BCD=3。，BD_LA'O

所以A。，面BCD,AABD和△BCD是邊長為2的正三角形，

所以A0=OC=V?二？=百，且有AOJ_OC,

所以在Rt^AOC中，AC=布,

又△A3C和AADC是兩全等的等腰三角形，AB=BC=AD=CD=2,

AC的中點為E,所以BE=DE=

由已知可得△"二）是邊長為2的正三角形，得BD=2,

則在△BDE中，容易算得a=2,BE=DE=—,BD2^BE2+DE2>

2

所以NBSDW90。，所以二面角3-A'C-O不是直二面角，故③錯誤；

由已知可得△BCD是邊長為2的正三角形，又由上得A0_1面5CZ）,

所以三棱錐A-i3co的高即為AO,AO=6△BCD是邊長為2的正三角形，

所以三棱錐A—38的體積為:S“-AO=；x；x2x2x*x^=l,故④正確.

故選：D.

4-3.（2024?河南?模擬預測）已知名夕是兩個不同的平面，相，”是兩條不同的直線，則下列命題中正確的是

（）

A.若a_L尸，相_La,相_1_"，則〃_L，B.若a〃/3,mua,nu。,則加〃”

C.若mLn,mua,nu0,則（z_L,D.若m工a,m〃n,n〃/3,則夕_1_尸

【答案】D

【分析】

根據(jù)線面位置關系及面面位置關系逐項判斷即可.

【詳解】

對于A,可能會出現(xiàn)“〃尸，或〃與￡相交但不垂直的情況，所以A不正確；

對于B,私〃可能平行、可能異面，所以B不正確；

對于C,若a〃尸，仍然滿足根ua,wuQ且〃z_L〃，所以C不正確；

對于D,77z_La,7〃//7z,則〃_La,再由〃///?,可得。_1_尸,可知D正確.

故選：D.

題型5:證面面垂直

5-1.（2024高三?全國?專題練習）如圖，已知直角梯形ABCD與ADEb,2DE=2BC=AD=AB=AF=2,

ADVAF,ED//AF,AD^AB,BC//AD,G是線段上一點.求證：平面ABCDEI平面ABF

F

【答案】證明見解析

【分析】根據(jù)線線垂直可證線面垂直，進而可得面面垂直.

【詳解】因為AD，"1,ADJ.AB,AFr^AB=A,AF,ABu平面A8尸，

所以4￡>EI平面ABF,又ADu平面ABC￡）,

所以平面ABCD團平面ABF.

.2兀

5-2.（2024IWJ二,全國,專題練習）如圖，P為圓錐的頂點，A,8為底面圓。上兩點，Z.AOB=—,E為PB

中點，點尸在線段上，且AF=2FB.證明：平面AOP_L平面OEF；

【答案】證明見解析

【分析】證明面面垂直，先證線面垂直，利用勾股定理證明。4_L。尸，再由尸底面。。，OPu底面。

得出「OLOF,即可得證.

【詳解】設圓。的半徑為r,

27r7t

在AAQ3中，OA=OB=r/AOB=——,ZOAB=-,

f36

故48=技，又AF=2FB,故生，

3

在AAO尸中，由余弦定理得。歹2=04+4尸2—加3幽4歹ZOAF=1r2,

所以OT+O尸2=A尸2,即Q4_LO//；

圓錐中，尸。工底面。O,OPu底面0O,故PO_LOF,

又OAcOP=O,所以OP,平面AOP,

又Obu平面OEF,所以平面AOP_L平面OEE

5-3.（2024局二,全國,專題練習）如圖，在二棱柱ABC-AB]G中，側(cè)面BB[C]C為菱形，ACBBt=60°,

AB—BC—2,AC=A4=0.證明：平面ACB]_L平面2片（7。；

【分析】

根據(jù)三角形邊角關系可得AO^BC，進而結合勾股定理可得80,即可求證線面垂直，進而可證面面

垂直.

【詳解】如圖，連接BG，交gC于。，連接49.

因為側(cè)面22。。為菱形，所以4CLBG，且。為BG的中點.又4?=做=應，故A。，片C.

又AB=BC=2,且NCB耳=60。，所以CO=1,BO=VL

所以4。="1C2_CO2=1.又AB=2,所以AB?=3。2+4。2,所以AOJ_3O.

因為80,CB|U平面84GC,BOpCB]=O,所以AO,平面88。。.

又AOu平面AC4，所以平面AC瓦，平面8片GC.

5-4.（2024高三?全國?專題練習）在如圖所示的空間幾何體中，AACD與/XACB均是等邊三角形，直線￡DJ_

平面AC。，直線EB_L平面A5C,DELBE.求證：平面ASC/平面AT>C；

【分析】根據(jù)線面垂直得線線垂直，進而結合等邊三角形的性質(zhì)可得二面角AC-。的平面角為-30D,

由平面四邊形可得/3OD=90。，即可求證.

圖1

如圖1,設平面與直線AC的交點為0,連接8。，D0.

因為直線￡D_L平面AC￡>,直線EBJ_平面ABC,ACu平面AC。，ACu平面ABC,

所以DE1AC,BELAC.

因為DEcBE=E,DEu平面3DE,3Eu平面BDE,

所以AC_L平面

因為BOu平面BDE,DOu平面5DE,

所以301AC,DO±AC.

又因為AACD與AACB均是等邊三角形，

所以0為AC中點，且二面角B-AC—D的平面角為/3OD.

在平面四邊形BODE中，

因為ZBED=ZEDO=NEBO=90°,

所以/83>=90。，

所以平面ABC，平面ADC.

5-5.（2024高三?全國?專題練習）如圖所示，在幾何體PABCD中，AD_L平面上4B,點C在平面上鉆的投

影在線段尸3上（BC<PC）,BP=6,AB=AP=2拒,DC=2,CD〃平面HU3.證明：平面PCD_L平面尸AD.

【答案】證明見解析

【分析】由題意可知平面BCP_L平面過點C作CE_LP3,如圖，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得AT>_L平面

PAB,進而CE〃94,由線面平行的性質(zhì)可得四邊形AECD為平行四邊形，利用正弦定理可得

結合面面垂直的判定定理即可證明.

【詳解】由題知，平面3cpl,平面PAB,過點C作必的垂線，垂足為E,連接AE,

又平面BCPfl平面上鉆=尸3，所以CE_L平面R4B.

因為AD_L平面PAB,所以CE〃ZM,則C,D,A,E共面.

因為CD〃平面CDu平面CZME,平面CZMECl平面E4B=E4，

所以C￡）〃E4,則四邊形AECD為平行四邊形，所以AE=OC=2.

因為BP=6,AB=AP=2#）,所以cosZS4PE=—尸=――,

2V32

TTTT

因為OvNA尸Ev二，所以44尸￡=一，

26

ADAE_2

由正弦定理得「石石=./dpf,即sin/A￡?=T，

sin/AEPsm/APE—

2

所以sinNAEP=立，因為0</AEP<W，所以/AEP=工，

223

TT

所以/胡尸=-,即AEJLAP.

2

因為">_L平面E4B,AEu平面BIB,所以AE_LAD,

又因為"）「4尸=4,">,APu平面PW,所以AE_L平面AT>P.

由CD〃E4,得C￡>_L平面ADP.

又CDu平面PCD,所以平面PCD_L平面PAO.

彩僻題秘籍(二)

垂直關系的綜合應用

(1)三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進行線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化.

(2)對于線面關系中的存在性問題，首先假設存在，然后在該假設條件下，利用線面關系的相關定理、性質(zhì)

進行推理論證.

題型6:垂直關系的綜合應用

6-L(2024?安徽淮北?一模)如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是平行四邊形，側(cè)面是等邊三角形,

BC=2AB,ZABC=60°,PB1AC.

⑴求證：面巳4/?_1_面48。。；

⑵設。為側(cè)棱尸。上一點，四邊形是過8,。兩點的截面，且AC〃平面BE。凡是否存在點。，使

得平面5EQ尸，平面必。？若存在，確定點。的位置；若不存在，說明理由.

【答案】⑴證明見解析；

2

(2)存在點。，DQ=-DP.

【分析】(工)結合余弦定理，勾股定理可得ACLAB,又AC,尸3,所以AC,面進而得出結論；

(2)建立以A為原點的空間直角坐標系，求出平面的法向量)，設力0=4而，求得平面BE0F的

法向量第，由晨鼠=0得出答案.

【詳解】（1）在AABC中，因為3c=2AB,ZABC=60°,

所以3=AB?+BC2-2AB-BCcos60°=3AB2,AC=也AB,

所以ACZ+A笈MBC?,則/BAC=90。，即ACLAB,

又AC_LP3,PBcAB=B,PB,ABu面B42,

所以47_1面出8,又ACu面ABC。，

所以面叢8_1面488；

（2）假設存在點。，使得平面，平面E4D；

如圖，以A為原點，分別以血，而為x,y軸的正方向建立空間直角坐標系A-孫z,

設AB=2,則4（0,0,0）,5（2,0,0）,D（-2,273,0）,P（LO,#）,

AD=（-2,2A/3,0）,AP=（1,0,A/3）,胡=卜4,2迅,0）,那=（3,-26,6），

一n,,AD=—2x+2y/3y.=0一/廣\

設4=（占,%,zj是平面EW的法向量，貝i］二——廠__，取4=（73,1,-1）,

設而=ADP，其中0W2W1.

貝1|詼=麗+雙=麗+WP=02-4,2A/3-2技,而）

連接ER因AC,平面8EQEACu平面以C,平面PACpI平面8片。9=砂，故AC〃EF,

取與而同向的單位向量/=（0,1,0）,

設％=（%2，%/2）是平面BE。尸的法向量，

則］，取,=（技,0,4-3”.

7

%.BQ=（32-4）X2+26（1-㈤％+收心2=0,

由平面BEQ尸，平面BW,知鼠，有）.^=32+32-4=0,解得％=§.

2

故在側(cè)棱尸。上存在點。且當。。=：￡＞尸時，使得平面BEQF，平面PAD.

6-2.（2024?江西贛州?模擬預測）如圖，在三棱柱ABC-ABC中，側(cè)面A41c＜是矩形，側(cè)面88?！闶橇庑?

ZBtBC=6Q\D、E分別為棱AB、qG的中點，尸為線段的中點.

A

（1）證明：A廠〃平面4。石；

（2）在棱8月上是否存在一點G,使平面ACGL平面若存在，請指出點G的位置，并證明你的結論;

若不存在，請說明理由.

【答案】⑴證明見解析

（2）存在，且點G為棱B片的中點

【分析】（1）取4G的中點連接A"、EM、FM,證明出平面AW〃平面AOE，再利用面面平行

的性質(zhì)可證得結論成立；

（2）當點G為棱2月的中點時，推導出8男，平面ACG,再結合面面垂直的判定定理可得出結論.

【詳解】（1）證明：取AG的中點M，連接AAf、EM、FM,

因為AA〃B瓦且A4,=BB1,故四邊形為平行四邊形，所以，AB//4與且AB=A4，

因為。為A8的中點，則ADHA{B{且A￡＞=g4耳，

因為M、E分別為4G、耳￡的中點，所以，EM//A4且，

所以，ACM/EM且A￡＞=EM,故四邊形ADEM為平行四邊形，所以，AMHDE,

因為AM（Z平面AOE,DEu平面ADE，所以，AM〃平面

因為M、尸分別為AG、GE的中點，所以，F(xiàn)M//A.E,

因為平面AQE,AEu平面AOE,所以，F(xiàn)M〃平面AQE,

因為AMc引0=",AM,府＜=平面”河，所以，平面AR0〃平面4DE,

因為AFu平面AFM,故A尸〃平面HOE.

（2）解：當點G為B片的中點時，平面ACGL平面BBCC，

A

因為四邊形A4CC為矩形，則AC_LCG，因為BB'/CG，則BB|_LAC,

因為四邊形BBC。為菱形，則BC=84，

因為NB|BC=60。，貝必用BC為等邊三角形，

因為G為8片的中點，所以，BB.1CG,

因為ACcCG=C,AC,CGu平面ACG,所以，2月，平面ACG,

因為平面BBCC，所以，平面ACGL平面2片GC,

因此，當點G為2月的中點時，平面ACGL平面B4GC.

6-3.（2024?天津?二模）如圖，在三棱錐A-BCD中，頂點A在底面BCD上的射影。在棱3。上，AB=AD

=母,BC=BD=2,0CB￡>=9O°,E為CD的中點.

A

C

（1）求證：AZ?平面ABC；

（2）求二面角8-AE-C的余弦值；

（3）已知尸是平面A3。內(nèi)一點，點。為AE中點，且PQ回平面ABE,求線段P。的長.

【答案】（1）證明見解析；（2）（3）B.

32

【分析】（1）只需證明BCHAZ）及AZBAB,即可得證；

（2）建立空間直角坐標系，求出兩平面的法向量，利用向量公式求解；

（3）設出點P的坐標，依題意迎//沅，進而求解.

【詳解】（1）因為頂點A在底面BCD上的投影。在棱8。上，

所以AO0平面BCD,

因為AOu平面ABD,

所以平面ABLCI平面BCD,

因為回C&)=90°,

所以362，

因為平面ABDc平面BCD=BD,BCu平面BCD,

所以803平面A8D,

又ADu平面AB。，

所以BCSAD,

由AB=AD=，BD=2,得BZ)?=AB?+AD?，

所以AZMAB,

因為A8cBC=B,A8u平面ABC,BCu平面ABC,

所以AIM平面ABC.

(2)連接OE,因為。為3￡)的中點，E為CD的中點，0￡B8C,所以。瓦2。，

如圖，以。為坐標原點，分別以OE,OD,OA為x軸，y軸，z軸為正方向，建立空間直角坐標系,

則。(0,0,0),A(0,0,1),B(0,-1,0),C(2,-1,0),D(0,1,0),E

(1,0,0),

AC-(2,-1,-1),AB=(O,-1,-1),A￡=(l,0,-l),

設平面ABE的一個法向量/=(x,y,z),

m-AB-—y-z-0

m-AE=x-z=0

取x=l,得而=(1,-1,1),

設平面ACE的一個法向量分=(a,b,c),

【答案】⑴證明見解析

(2)存在點。，它就是點8；

【分析】(1)由M、N、P分別是CG，AB,B片的中點.利用平行四邊形、三角形中位線定理即可得出

NPUAB,,CPUMB,,再利用線面面面平行的判定定理即可得出結論.

(2)假設在線段8耳上存在一點。使A與，平面四邊形AB4A是正方形，因此點。為B點.不妨

取8c=2.判斷甌?荻=0是否成立即可得出結論.

【詳解】(1)(1)證明：?.,M、N、P分別是C。，AB,8瓦的中點.

.■.NP//AB,,四邊形A/CP4為平行四邊形，可得CP//MA，

因為NP仁平面AB,M；ABtu平面AB.M；

.?.NP//平面；

同理可得CP〃平面A4M;

又CPCNP=P,CP,Ayu平面NPC,

平面NPC〃平面A4M.

(2)假設在線段上存在一點。使A與，平面AM。.

?.?四邊形A3與4是正方形，因此點8為點Q.

不妨取3C=2,如圖建立空間直角坐標系，則河(0,-1,1),2(0,1,0),A(6,0,0),4(0,1,2),A(6,0,2)

鬲=卜"1,2),Me=(O,2,-l),V7=(-73-1,-1)

ABl-MQ=0fA/?1.x]x(-1)+2x(-1)=0.

所以甌，汲，AB^^M,又MQ，AMu平面AMQ,所以ABJ_平面AM。，

在線段2片上存在一點Q,使A瓦，平面AMQ,其中點B為。點.

B煉習與梭升

一、單選題

1.（2024高三上?湖北?開學考試）已知a,6是兩條不重合的直線，a為一個平面，且曲。,貝1|"舶a"是

的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】利用充分條件、必要條件的定義即可得出選項.

【詳解】當加a時，結合a回可得a〃6,充分性滿足;

當。〃6時，結合aEla,可得流la,必要性滿足.

故選：C.

2.（2024高三上?山東濰坊?階段練習）在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ABC。-4月6。中,

4

M=2,異面直線A8與A2所成角的余弦值為則直線A2與直線5c的距離為（）

A.2B.1C.J3D.72

【答案】B

4

【分析】根據(jù)異面直線48與AR所成角的余弦值為|■求出底面正方形的邊長，進而可求解.

【詳解】

如圖，該四棱柱為長方體，因為

所以為異面直線A.B與AD,所成角，

設底面正方形邊長為a,貝ljAC=缶,AD,=CR=y/a2+4，

一AD;+CD;-AC284

在△中，

A2ccosZADjC=—?:——2

C-JLX|2a+8-5

解得a=l,

因為該四棱柱為長方體，所以A5工平面BCG瓦，4Cu平面JBCG片,

所以A8L與C,同理ABLAj,

所以直線AR與直線gC的距離為|鉆|=4=1，

故選:B.

3.（2024高一下?全國?課后作業(yè)）若平面C平面夕，平面尸，平面乙則（）

A.aPy

B.?-L/

C.。與7相交但不垂直

D.以上都有可能

【答案】D

【分析】以正方體為模型可得D正確.

【詳解】在正方體中，相鄰兩側(cè)面都與底面垂直；相對的兩側(cè)面都與底面垂直；一側(cè)面和一對角面都與底

面垂直，故選D.

【點睛】立體幾何中關于點、線、面之間位置關系的命題的真假問題，可在正方體中考慮它們成立與否，

因為正方體中涵蓋了點、線、面的所有位置關系，注意有時需要動態(tài)地考慮位置關系.

4.（2024高三?全國?專題練習）空間中直線/和三角形的兩邊AC,8C同時垂直，則這條直線和三角形的

第三邊A3的位置關系是（）

A.平行B.垂直C.相交D.不確定

【答案】B

【分析】由線面垂直的判定以及線面垂直的定義可判斷結果.

【詳解】因為三角形的兩邊AC，有交點C,

且直線/和AC,BC同時垂直，

所以該直線垂直平面A3C,故該直線與A3垂直.

故選：B

5.（2024?全國）在正方體ABCD-A46。中，P為BQ的中點，則直線PB與所成的角為（）

兀

C.D.

4

【答案】D

【分析】平移直線AQ至BC-將直線網(wǎng)與AR所成的角轉(zhuǎn)化為PB與BG所成的角，解三角形即可.

如圖，連接BG，PG，PB,因為ARiaBG，

所以NP3G或其補角為直線PB與A'所成的角，

因為3片J_平面4片GR,所以又PCR,BBqBR=Bi，

所以PG，平面尸7狙，所以PG，尸8,

設正方體棱長為2,則BQ=2夜,PQ=g2旦=后，

sinZPBC1=^=1,所以

nCj26

故選：D

6.（2024?黑龍江齊齊哈爾?一模）已知兩條不同的直線/,加及三個不同的平面a,P，y,下列條件中能推出

a〃〃的是（）

A./與a,0所成角相等B.,）3Ly

C.ILa,mL（3,IIImD.Iua,m<^（3,IIIm

【答案】C

【分析】ABD可舉出反例；C選項，可根據(jù)平行的傳遞性和垂直關系進行證明.

【詳解】對于A,正方體ABCO-ABCR中，設邊長為。，連接的，則NQ明為與平面4班出所成

角，

由勾股定理得到AB]=缶,AQ=瓜，故sinK他=宕=*,

同理可得AG和ADD^所成角的正弦值為B,故AG與平面A即A和">24所成角大小相等，

3

但平面ABB,A與平面ADDA不平行，故A錯誤；

G

C

B選項，平面ABCDEI平面,平面A3CDEI平面,但平面與平面AD