蘇科版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)壓軸題攻略：構(gòu)造等腰三角形的技巧（壓軸題三種模型）原卷版+解析

專(zhuān)題07解題技巧專(zhuān)題:構(gòu)造等腰三角形的技巧壓軸題三種模型全攻略

蹦■骨

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Kf【考點(diǎn)導(dǎo)航】

目錄

【典型例題】...................................................................................1

【類(lèi)型一利用平行線+角平分線構(gòu)造新等腰三角形】...........................................1

【類(lèi)型二過(guò)腰或底作平行線構(gòu)造新等腰（邊）三角形】..........................................4

【類(lèi)型三利用倍角關(guān)系構(gòu)造新等腰三角形】..................................................6

【典型例題】

【類(lèi)型一利用平行線+角平分線構(gòu)造新等腰三角形】

例題：（2022秋?廣東潮州?八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，如圖AABC中，/ABC、—ACB的平分線相交于點(diǎn)O,

過(guò)點(diǎn)。作EF〃BC交AB、AC于E、F.

⑴如圖1若AB=AC,圖中有個(gè)等腰三角形，且斯與助、CF的數(shù)量關(guān)系是

（2）如圖2若ABHAC,其他條件不變，（1）問(wèn)中所與血、C尸間的關(guān)系還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

⑶如圖3在ULBC中，若ABfAC,的平分線與三角形外角/ACD的平分線CO交于O,過(guò)。點(diǎn)作

OE〃BC交AB于E,交AC于F.請(qǐng)直接寫(xiě)出E尸與麻、CF間的數(shù)量關(guān)系是.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023春?重慶合川?八年級(jí)期末）如圖，在AABC中，AB=AC,的是44BC的角平分線，EF〃BC交

AB于點(diǎn)EAABC的一個(gè)外角/ACD的平分線與BE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G.

⑴求證：BF=EF；

⑵若NA=80。，求NG的大小.

2.（2023春?陜西榆林?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在AABC中，AB^AC,3D平分NABC交AC于點(diǎn)O,過(guò)

點(diǎn)A作AE〃3C交8。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

（1）若/BAC=40。，求—E的度數(shù)；

⑵若P是DE上的一點(diǎn)，且酢=4。，判斷3。與跖的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

3.（2023春?江蘇南通?七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知AB||CD,"平分ZBAC,且APLPC,點(diǎn)M是射線A2上

一動(dòng)點(diǎn)，M尸交射線8于點(diǎn)N.

（備用圖）

⑴當(dāng)/&LP=2NACP時(shí)，求，PCD的度數(shù)；

（2）當(dāng)MN_LCD時(shí)，求證：MP=PN；

（3）試探究線段4%NC,AC之間的數(shù)量關(guān)系.

4.（2023春?江西吉安?八年級(jí)統(tǒng)考期末）類(lèi)比、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中經(jīng)常用到，如下

是一個(gè)案例，請(qǐng)補(bǔ)充完整.

已知EL4BC.

⑴觀察發(fā)現(xiàn)

如圖①，若點(diǎn)。是—ABC和NACB的角平分線的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作E尸〃3c分別交AB,AC于E,F.填

空：EF與BE、W的數(shù)量關(guān)系是.請(qǐng)說(shuō)明理由

⑵猜想論證

如圖②，若點(diǎn)。是外角NCBE和/BCF的角平分線的交點(diǎn)，其他條件不變，填：EF與BE、CF的數(shù)量關(guān)

系是.請(qǐng)說(shuō)明理由

⑶類(lèi)比探究

如圖③，若點(diǎn)。是—ABC和外角NACG的角平分線的交點(diǎn).其他條件不變，則（1）中的關(guān)系成立嗎？若

成立，請(qǐng)加以證明；若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出關(guān)系式，再證明.

5.（2022春?黑龍江牡丹江?八年級(jí)統(tǒng)考期中）在AABC中，點(diǎn)E,點(diǎn)P在直線上，BE=EF,過(guò)點(diǎn)B作

BN//AC,交射線AE于點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)尸作R0〃AC,交直線A3于點(diǎn)

⑴當(dāng)AE是44BC的角平分線，點(diǎn)M在邊54延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖①，求證：A〃+MP=3N；（提示：延長(zhǎng)N4,

月W相交于點(diǎn)尸.）

⑵當(dāng)AE是AABC的角平分線，點(diǎn)Af在邊A3上時(shí)，如圖②；當(dāng)AE■是AABC外角的角平分線，點(diǎn)"在邊AB

延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖③，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段AM,MF,M之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明；

3

（3）在（1）、（2）的條件下，^BM^-AB=6,則.

【類(lèi)型二過(guò)腰或底作平行線構(gòu)造新等腰（邊）三角形】

方法點(diǎn)撥:在等腰三角形內(nèi)部或外部作任意一邊

的平行線均可構(gòu)造出新的等腰三角形.如圖，若AC=

BC,過(guò)D作平行線，圖①可得到為等腰三角

形；圖②中可得到ACDE為等腰三角形.

圖①（作腰的平行線）困②（作底的平行線）

例題：（2022春?湖北武漢?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知：等邊AABC中.

AN

⑴如圖1,點(diǎn)?是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在鉆邊上，滿足〃=6。。,求麗的值;

（2）如圖2,點(diǎn)M在A8邊上（M為非中點(diǎn)，不與A,8重合），點(diǎn)N在CB的延長(zhǎng)線上且NMNB=NMCB,

求證：AM=BN.

（3）如圖3,點(diǎn)P為AC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)尸在BC的延長(zhǎng)線上，滿足NA￡P(guān)=ZP產(chǎn)C,求

絲辭的值.

nC

【變式訓(xùn)練】

1.（2023春?廣東?八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)￡在A3上，點(diǎn)。在CB的延長(zhǎng)線上,

且ED=EC.

（1）【特殊情況，探索結(jié)論】如圖1,當(dāng)點(diǎn)E為A3的中點(diǎn)時(shí)，確定線段AE與D8的大小關(guān)系，請(qǐng)你直接寫(xiě)

出結(jié)論：AEDB（填">"、"<"或"="）.

⑵【特例啟發(fā)，解答題目】如圖2,當(dāng)點(diǎn)￡為A3邊上任意一點(diǎn)時(shí)，確定線段AE與。8的大小關(guān)系，請(qǐng)你

寫(xiě)出結(jié)論，并說(shuō)明理由.AEDB（填">"、"<"或"="）；理由如下，過(guò)點(diǎn)E作EF〃BC,交AC于

點(diǎn)E（請(qǐng)你完成以下解答過(guò)程）.

（3）【拓展結(jié)論,設(shè)計(jì)新題】在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在直線上，點(diǎn)。在線段CB的延長(zhǎng)線上,且=EC,

若AABC的邊長(zhǎng)為1,AE=2,求CD的長(zhǎng)（直接寫(xiě)出結(jié)果）.

2.（2022春?遼寧大連?八年級(jí)期末）是等邊三角形，點(diǎn)。是AC上一點(diǎn)，點(diǎn)E在3c的延長(zhǎng)線上，且

AD=CE.

⑴如圖1,當(dāng)點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)時(shí)，求證：DB=DE；

⑵如圖2,當(dāng)點(diǎn)。是AC上任意一點(diǎn)時(shí)，取8。的中點(diǎn)F，連接ARAE.求44E的度數(shù)

3.(2022春?吉林長(zhǎng)春?八年級(jí)統(tǒng)考期末)在等邊AABC中，。是BC的中點(diǎn)，NEER=120。，/￡E＞尸的兩邊

分別交直線AB、AC于E、F.

(1)問(wèn)題：如圖1,當(dāng)E、尸分別在邊AB、AC上，DEJ.AB,Db/AC時(shí)，直接寫(xiě)出線段QE與D廠的數(shù)

量關(guān)系；

(2)探究：如圖2,當(dāng)E落在邊AB上，尸落在射線AC上時(shí)，(1)中的結(jié)論是否仍然成立？寫(xiě)出理由；

(3)應(yīng)用：如圖3,當(dāng)石落在射線54上，F(xiàn)尸落在射線AC上時(shí)，AE=3,CF=6,則.

【類(lèi)型三利用倍角關(guān)系構(gòu)造新等腰三角形】

方法點(diǎn)撥:當(dāng)一下三角形中出現(xiàn)一不笛息身一個(gè)

角的2倍時(shí)，一般通過(guò)轉(zhuǎn)化倍角尋找等腰三角形.如圖

:①，若NABC=2/C,作BD平分NABC,則△DBC是

:等腰三角形；如圖②，若/ABC=2/C,延長(zhǎng)CB到D,

使BD=BA,連接AD,則△ADC是等腰三角形；如圖

:③，若NB=2NACB,以C為角的頂點(diǎn)，CA為角的一

邊，在三角形外作NACD=/ACB,交BA的延長(zhǎng)線于

點(diǎn)。，則△D5C是等腰三角形.

例題：（2022秋?黑龍江大慶?八年級(jí)大慶市第六十九中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在AABC中，NB=2NC,ZBAC

的平分線AD交BC于點(diǎn)D求證：AB+BD^AC.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022春?浙江?八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）在AA?C中，ZACB=2/B,

圖③

⑴如圖①，當(dāng)NC=90。，AO為—3AC的角平分線時(shí)，在AB上截取AF=AC,連接DE,易證

AB^AC+CD.請(qǐng)證明AS=AC+CD；

（2）①如圖②，當(dāng)NC*90。，AD為NBAC的角平分線時(shí)，線段AB、AC、CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直

接寫(xiě)出你的結(jié)論，不要求證明；

②如圖③，當(dāng)NC/90。，AD為AABC的外角平分線時(shí)，線段AB、AC、CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出

你的猜想并證明.

3.(2022春?江蘇揚(yáng)州?八年級(jí)統(tǒng)考期中)【問(wèn)題背景】

小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1,在RtAABC中，/力四=90。,//=60。，CD平分/ACB,試判斷BC和

AC.AD之間的數(shù)量關(guān)系.

【初步探索】

小明發(fā)現(xiàn)，將AACD沿8翻折，使點(diǎn)A落在2C邊上的￡處，展開(kāi)后連接OE,則得到一對(duì)全等的三角形，

從而將問(wèn)題解決(如圖2)

(1)寫(xiě)出圖2中全等的三角形；

(2)直接寫(xiě)出BC和AC、AD之間的數(shù)量關(guān)系；

【類(lèi)比運(yùn)用】

(3)如圖3,在中，ZC=2ZB,AD平分NG46,AB=3,AD=2,求AACD的周長(zhǎng).

小明的思路：借鑒上述方法，將AACD沿AD翻折，使點(diǎn)C落在邊上的E處，展開(kāi)后連接。E,這樣可

以將問(wèn)題解決(如圖4)；

cC

D

DD

圖3圖4圖5

請(qǐng)幫小明寫(xiě)出解答過(guò)程：

【實(shí)踐拓展】

（4）如圖5,在一塊形狀為四邊形A8C。的空地上，養(yǎng)殖場(chǎng)丁師傅想把這塊地用柵欄圍成兩個(gè)小型的養(yǎng)殖

場(chǎng),即圖5中的AABC和AACD,若AC平分NSW,BC=CD=10m,AC=17m,AD=9m.請(qǐng)你幫丁師傅

算一下需要買(mǎi)多長(zhǎng)的柵欄.

專(zhuān)題07解題技巧專(zhuān)題:構(gòu)造等腰三角形的技巧壓軸題三種模型全攻略

【考點(diǎn)導(dǎo)航】

【典型例題】

【類(lèi)型一利用平行線+角平分線構(gòu)造新等腰三角形】

【類(lèi)型二過(guò)腰或底作平行線構(gòu)造新等腰（邊）三角形】

【類(lèi)型三利用倍角關(guān)系構(gòu)造新等腰三角形】

【典型例題】

【類(lèi)型一利用平行線+角平分線構(gòu)造新等腰三角形】

例題：（2022秋?廣東潮州?八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，如圖AABC中，ZABC.—ACB的平分線相交于點(diǎn)O,

過(guò)點(diǎn)。作交AB、AC于E、F.

E/\F

EO\F

8圖］C8圖2CB圖3cD

⑴如圖1若AB=AC,圖中有個(gè)等腰三角形，且EF與BE、CF的數(shù)量關(guān)系是.

（2）如圖2若ABHAC,其他條件不變，（1）問(wèn)中所與血、C尸間的關(guān)系還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

⑶如圖3在ULBC中，若ABfAC,-3的平分線與三角形外角/ACD的平分線CO交于O,過(guò)。點(diǎn)作

。￡〃3c交于E,交AC于F.請(qǐng)直接寫(xiě)出E尸與BE、CF間的數(shù)量關(guān)系是.

【答案】⑴5；EF=BE+CF

（2）成立；理由見(jiàn)解析

⑶EF=BE-CF

【分析】（1）根據(jù)E尸〃3C，ZABC.—ACB的平分線相交于點(diǎn)。，可得NEO3=NO3C,NFOC=NOCB,

ZEOB=ZOBE,NFCO=NFOC,再加上題目中給出的AB=AC,可得出等腰三角形的個(gè)數(shù)；根據(jù)等腰三

角形的性質(zhì)，即可得出跖與BE、CF之間的關(guān)系；

（2）證明△OBE和△OCT是等腰三角形，利用等腰三角形的性質(zhì)即可得出政與跖、CF的關(guān)系；

(3)證明△5EO和△CFO是等腰三角形，利用等腰三角形的性質(zhì)即可得出防與m、C尸的關(guān)系.

【詳解】(1)解：^\EF//BC,

也NEOB=NOBC,ZFOC=ZOCB,

團(tuán)/ABC、—ACB的平分線相交于點(diǎn)。，

0ZEBO=ZOBC=-ZABC,ZFCO=ZOCB=-ZACB,

22

⑦ZEOB=NOBE,ZFCO=ZFOC,

回OE=BE,OF=CF,

國(guó)EF=OE+OF=BE+CF,

又回AB=AC,

國(guó)NABC=/ACB,

團(tuán)ZEOB=ZOBE=ZFCO=ZFOC,

^1ZOBC=ZOCB,

國(guó)OB=OC,

在△O3E和△OCF中，

ZOBE=ZOCF

<OB=OC,

ZEOB=ZFOC

0AOBE^AOCF(ASA),

團(tuán)BE-CF,

團(tuán)EF=BE+CF=2BE=2CF,AE=AF,

團(tuán)等腰三角形有：AABC,AAEF,△OBC,AEOB,AFOC,共5個(gè),

EF與BE、。廠的數(shù)量關(guān)系是：EF=BE^CF=2BE=2CF,

故答案為：5；EF=BE+CF,

(2)EF與BE、。尸的數(shù)量關(guān)系是：EF=BE+CF.理由如下：

回。5平分/ABC,OC平分NACB,

回NC5O=NABO,ZBCO=ZACO,

^\EF//BC,

⑦ZBOE=NCBO,NCOF=/BCO,

^ZABO=ABOE,ZACO=ZCOF,

SBE=OE,CF=OF,

SEF=OE+OF=BE+CF.

(3)EF與BE、CP間的數(shù)量關(guān)系是：EF=BE-CF.

理由如下：

^OE//BC,

忸NEOB=NOBC,ZEOC=NOCD,

又回OB,OC分別是/ABC與—ACD的角平分線，

^ZEBO=ZOBC,ZACO=ZOCD,

0ZEOB=ZEBO,ZFCO=ZFOC,

SBE=OE,CF=FO,

回砂=OE-OF=BE-CF.

【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，全等

三角形的判定和性質(zhì).線段間的等量代換是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.(2023春?重慶合川?八年級(jí)期末)如圖，在ULBC中，AB=AC,破是AMC的角平分線，EF〃BC交

于點(diǎn)冗AABC的一個(gè)外角ZACD的平分線與BE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G.

⑴求證：BF=EF；

(2)若NA=80。,求NG的大小.

【答案】⑴見(jiàn)解析

(2)40°

【分析】(1)根據(jù)角平分線的概念得到=根據(jù)平行線的性質(zhì)得到ZFEB=NCBE,進(jìn)而得到

ZFEB=ZFBE,最后根據(jù)等角對(duì)等邊即可證明出=；

(2)首先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得到445C=NACB=50。，然后根據(jù)角平分線的概念

得到NCBG=25。，ZDCG=65°,最后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求解即可.

【詳解】(1)回8E是AABC的角平分線，

^\ZABE=ZCBE

^\EF//BC

⑦NFEB=NCBE

⑦NFEB=NFBE

國(guó)BF=EF；

(2)回AB=AC,ZA=80°

0ZABC=ZACB=1(18O0-ZA)=5O°

ZACD=180O-ZACB=130°

EIBE是AABC的角平分線，CG是/ACD的角平分線,

0ZCBG=-NABC=25°,ZDCG=-ZACD=65°

22

回NG=ZDCG-ZCBG=40°.

【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線的概念，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)解題

的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn).

2.(2023春,陜西榆林?七年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，在AABC中，AB^AC,3。平分NABC交AC于點(diǎn)O,過(guò)

點(diǎn)A作AE〃3C交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

(1)若/BAC=40。，求一E的度數(shù)；

⑵若F是DE上的一點(diǎn)，且AF=A。，判斷3。與跖的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【答案】⑴35。

(2)BD=EF,見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)等腰三角形兩底角相等，已知頂角，可以求出底角，再根據(jù)角平分線的定義求出

ZCBD=|ZABC=35°,最后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出；

(2)先證明=再得出N/4DF=NAFD,ZADB=ZAFE,根據(jù)AAS證明△ABD絲A4E廣，根據(jù)全

等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：SAB=AC,

^ZABC=ZACB,

0ZBAC=4O°,

團(tuán)ZABC=-1(180°-ABAC)=70°,

回3。平分/ABC,

0ZCBD=-ZABC=35°,

2

BAE//BC

⑦NE=NCBD=35。；

(2)解：回平分/ABC,

國(guó)NCBD=NABD,

^\AE//BC,

^\ZAEF=ZCBD,

^ZABD=ZAEF,

BAB=AE,

^AF=AD,

⑦ZADF=ZAFD,

ZADB=1800-ZADF,ZAFE=1800-ZAFD,

BZADB=ZAFE,

在△ABD和△女產(chǎn)中，

"NADB=NAFE

<ZABD=ZAEFf

AB=AE

0AABD^ZkAEF(AAS),

⑦BD=EF.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形全等，考核學(xué)生的推理

能力，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

3.(2023春?江蘇南通?七年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，已知AB||CD,AP平分NB4c且尸G點(diǎn)M是射線A3上

一動(dòng)點(diǎn)，叱交射線于點(diǎn)N.

(備用圖)

⑴當(dāng)NBAP=2NAC尸時(shí)，求一尸CO的度數(shù)；

(2)當(dāng)MN_LCD時(shí)，求證：MP=PN；

⑶試探究線段AM,NC,AC之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】⑴30。；

⑵見(jiàn)解析；

[i}AM+NC=AC.

【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)求出角度之間的關(guān)系，利用角平分線求出相等的角，最后推出答案.

(2)延長(zhǎng)"交8于E,根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義可得△AEC是等腰三角形，由〃等腰三角形

三線合一”的性質(zhì)可得AP=尸石，再根據(jù)ASA證明AWP二由此可證=

(3)延長(zhǎng)轉(zhuǎn)交。。于R根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義可得是等腰三角形，由〃等腰三角形

三線合一〃的性質(zhì)可得AP=PF,再根據(jù)ASA證明^MPw/NP,由此可證AM=MV,最后可證得

AM+NC=AC.

【詳解】(1)VAB||CD,

/.ZBAC+ZACD=180°,

團(tuán)AP平分NBA。，

/./BAP=/CAP,

???APIPC,

.?.NPAC+ZAC尸=90。，

.?.NB4P+NPCD=90。，

,\ZACP=ZPCD9

\-ZBAP=2ZACP,

NBAP=2NPCD,

:.3ZPCD=90°,

.\ZPCD=30°.

(2)如圖，MN,CD,延長(zhǎng)轉(zhuǎn)交CD于5

BMA

:.ZBAE=ZAEC,

團(tuán)AP平分NB4c

/BAE=ZEAC=ZAEC,

「.△AEC為等腰三角形，

???APIPC,

:.AP=EP,

在△AMP和△E7VP中，

'/MAP=/NEP

<AP=EP,

NAPM=ZEPN

:.AAMP=^ENPCASA),

:.MP=PN.

(3)AM+NC=AC,

如圖，延長(zhǎng)AP交S于點(diǎn)死

.\ZBAF=ZAFC,

團(tuán)AP平分NA4c

ZBAF=ZFAC=ZAFC,

「.△AFC為等腰三角形，

\AC=FC,

vAPIPC,

:.AP=FP,

在AAMP和△WVP中,

ZMAP=ZNFP

<AP=FP,

ZAPM=ZFPN

:.^AMP=^ENPQASA),

AM=FN,

FN+NC=FC,

:.AM+NC=AC.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的判定和性質(zhì)，綜合性

較強(qiáng)，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

4.(2023春?江西吉安?八年級(jí)統(tǒng)考期末)類(lèi)比、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中經(jīng)常用到，如下

是一個(gè)案例，請(qǐng)補(bǔ)充完整.

已知0ABC.

⑴觀察發(fā)現(xiàn)

如圖①，若點(diǎn)。是/ABC和NACB的角平分線的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作班〃3c分別交AB,AC于E,F.填

空：EF與BE、CF的數(shù)量關(guān)系是.請(qǐng)說(shuō)明理由

(2)猜想論證

如圖②，若點(diǎn)。是外角NCBE和才的角平分線的交點(diǎn)，其他條件不變，填：EF與BE、b的數(shù)量關(guān)

系是.請(qǐng)說(shuō)明理由

⑶類(lèi)比探究

如圖③，若點(diǎn)。是/ABC和外角/ACG的角平分線的交點(diǎn).其他條件不變，則(1)中的關(guān)系成立嗎？若

成立，請(qǐng)加以證明；若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出關(guān)系式，再證明.

【答案】(1)砂=3E+C/

(2)EF=BE+CF,理由見(jiàn)詳解

(3)不成立，理由見(jiàn)詳解

【分析】(1)根據(jù)角平分線的定義得到/ABD=/CBD,根據(jù)EF〃3C,得到NBDE=NCBD,根據(jù)等腰

三角形的判定定理得到座同理得到=結(jié)合圖形證明即可；

(2)仿照(1)的證明方法，先利用平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，得到角的關(guān)系，再利用等角對(duì)等邊，

得到邊與邊的關(guān)系，解答即可；

(3)根據(jù)平行線的性質(zhì)、角平分線的定義得到=得到虛=DE,結(jié)合圖形解答即可.

【詳解】(1)解：QBD平分/ABC,

:.ZABD=NCBD,

?：EF//BC,

:.NBDE=NCBD,

:.ZABD=ABDE,

BE=DE,

同理，CF=DF,

1.EF=DE+DF=BE+CF

故答案為：EF=BE+CF；

(2)解：QBD平分NEBC,

.\ZEBD=ZCBD

?:EF〃BC,

:./BDE=NCBD,

:.AEBD=ZBDE,

BE=DE,

同理，CF=DF,

:.EF=DE+DF=BE+CF

故答案為：EF=BE+CF；

(3)解：不成立.EF=BE-CF.

理由如下：?.?&)〃BC,

\?CBD?BDE.

QBD平分/ABC,

:.ZEBD=ACBD,

:.ZEBD=ZBDE,

/.BE=DE,

同理：CF=DF,

:.EF=BE-CF.

【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的定義、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定，掌握平行線的性質(zhì)定理、等

腰三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

5.(2022春?黑龍江牡丹江?八年級(jí)統(tǒng)考期中)在AABC中，點(diǎn)E,點(diǎn)尸在直線2C上，BE=EF,過(guò)點(diǎn)B作

BN//AC,交射線AE于點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)尸作F河〃AC,交直線A3于點(diǎn)

⑴當(dāng)AE是44BC的角平分線，點(diǎn)〃在邊54延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖①，求證：+=(提示：延長(zhǎng)N4,

WW■相交于點(diǎn)P.)

⑵當(dāng)AE是AABC的角平分線，點(diǎn)”在邊A3上時(shí)，如圖②；當(dāng)AE是AABC外角的角平分線，點(diǎn)M在邊A3

延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖③，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段AM,MF,BN之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明；

3

⑶在(1)、(2)的條件下，^BM=-AB=6,則.

【答案】⑴見(jiàn)解析

(2)圖②，AM=MF-BN；圖③，AM=MF-BN；

(3)2或14

【分析】(1)延長(zhǎng)府、N4相交與點(diǎn)G,先證明AM=G欣，再證明△班NgAEEG(AAS),得到3N=PG,

即可得到結(jié)論；

(2)如圖②，設(shè)AN與M尸相交于于點(diǎn)P,先證4欣=尸”，再證△3EN/△FEP(AAS),得到3N=FP,

即可得到結(jié)論;如圖③，延長(zhǎng)AE交MF于點(diǎn)H,先證明AM=HM,再證ABEN^AFEH(AAS),BN=FH,

即可得到結(jié)論；

(3)根據(jù)(1)(2)中的結(jié)論，結(jié)合圖形，分三種情況討論求解即可.

【詳解】(1)證明：如圖①，延長(zhǎng)網(wǎng)0、N4相交與點(diǎn)G,

回AE是AABC的角平分線，

^\ZBAE=ZCAE=ZMAGf

^\FM//AC,

團(tuán)NG=ZE4C=NM4G,

團(tuán)AM=GM,

^\BN//AC,FM//AC,

0FM〃BN,

團(tuán)NN=NG,ZNBE=/F,

⑦BE=EF,

團(tuán)AB石N四△FEG(AAS),

@BN=FG,

^\AM+MF=GM+FM=FG=BN,

即AM+MF=BN；

(2)如圖②，設(shè)AN與M分相交于于點(diǎn)P,

團(tuán)AE是AABC的角平分線，

團(tuán)NM4P=NE4C,

^\FM//AC,

^\ZAPM=AEAC=ZMAP,

^\AM=PM,

BBN//ACfFM//AC,

由FM〃BN,

?NN=NEPF,ZNBE=/PFE,

出BE=EF,

團(tuán)ABEN^AFEP(AAS),

國(guó)BN=FP,

?AM=PM=MF—PE=MF—BN,

^AM=MF-BN；

如圖③，延長(zhǎng)A￡交”尸于點(diǎn)〃，

圖③

團(tuán)AE是AABC外角的角平分線，

BZHAK=ZHAM,

^\FM//AC,

0ZHAK=ZAHM=ZHAM,

^\AM=HM,

^\BN//AC,FM//AC,

⑦FM〃BN,

⑦ZF=ZNBE,ZFHE=ZBNE,

⑦BE=EF,

^ABEN^AFEH(AAS),

RBN=FH,

^\BN=FH=MF-HM=MF-AM,

^AM=MF-BN；

(3)如圖①，

2

團(tuán)AB=4,

^\AM=BM-AB=2,

^\ZBAE=ZCAE=ZMAGfZG=ZEAC=ZMAG,NN=NG,

?ZN=/BAN,

BAB=BN=4,

^\AM^MF=BN=AB=4,

團(tuán)VF=4—2=2；

如圖2,

此種情況不存在;

2

團(tuán)AB=4,

^AM=AB+BM=\Q=HM,

^BN//AC,

@NHAK=ZANB,

^\ZHAK=ZHAM,

SZANB^ZHAM,

SAB=NB=FH=4,

^\MF=HM+FH=14,

故答案為：2或14

【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，添加輔助線構(gòu)造全等三角

形是解題的關(guān)鍵.

【類(lèi)型二過(guò)腰或底作平行線構(gòu)造新等腰（邊）三角形】

方法點(diǎn)撥:在等腰三角形內(nèi)部或外部作任意一邊

的平行線均可構(gòu)造出新的等腰三角形.如圖，若AC=

BC,過(guò)D作平行線，圖①可得到AADE為等腰三角

形；圖②中可得到aCDE為等腰三角形.

圖①（作腰的平行線）圖②（作底的平行線）

例題：（2022春?湖北武漢?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知：等邊"RC中.

AN

⑴如圖1,點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在AB邊上，滿足NAMN=60。，求——的值;

BN

（2）如圖2,點(diǎn)M在A8邊上（M為非中點(diǎn)，不與A,8重合），點(diǎn)N在C8的延長(zhǎng)線上且4CVB=NMCB,

求證：AM=BN.

（3）如圖3,點(diǎn)P為AC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)尸在8C的延長(zhǎng)線上，滿足NAEP=/尸尸C,求

叫二空的值.

BC

【答案】⑴3

⑵見(jiàn)解析

（3）1

【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)可得出==設(shè)3N=x，則

8M=2x,A8=4x,可求出答案；

（2）如圖2,過(guò)點(diǎn)M作MG〃NC交AC于點(diǎn)G,根據(jù)AAS可證明AMGC=ANBM,得出MG=BN,則結(jié)

論得證；

（3）如圖3,過(guò)點(diǎn)P作尸“〃CB交A3于點(diǎn)M,根據(jù)AAS可證明APCF/APME,得出CF=ME,得出

3

BF-BE=-BC,則答案可求出.

【詳解】（1）回AABC為等邊三角形，

回N3=N54C=60。，AB=AC,

回點(diǎn)〃是8C的中點(diǎn)，

回/MAN=30°,ZAMB=9O°,

EINAMN=60°,

EZBA￡V=30°,

?BM=2BN,AB=2BM,

設(shè)BN=x,則瀏/=2x,AB=4x,

0AZV=3x,

(2)如圖2,

過(guò)點(diǎn)M作MG〃NC交AC于點(diǎn)G,

SZA=ZAMG=ZAGM=60°,

回AAMG為等邊三角形,

BAM=AG,

⑦BM=CG,

^ZAGM=ZABC=60°,

0ZMGC=ZA?M=12O°,

^\MG//BC,

國(guó)NGMC=NMCB,

?ZMNB=ZMCB,

中/GMC=/MNB,

回AMGCmANBM(AAS),

出MG=BN,

團(tuán)△AMG為等邊三角形，

^\AM=MG,

^\AM=BN.

(3)如圖3,

過(guò)點(diǎn)P作？M〃5c交AB于點(diǎn)M,

回^AMP為等邊三角形，

團(tuán)AP=MP,Zz4MP=60°,

回產(chǎn)為AC的中點(diǎn)，

回AP=PC,

OMP=PC,

團(tuán)NACB=60。，

ZEMP=ZPCF=120°,

國(guó)NAEP=NPFC,

0APCF/APME(AAS),

SCF=ME,

0.BF—BE=BC+CF—ME+MB=BC+MB,

又SP為AC的中點(diǎn)，MP//BC,

SMB=-AB=-BC,

22

13

SBF-BE=BC+-BC=-BC,

22

BF-BE3

團(tuán)---------=一

BC2

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)與判定、含30度角直角三角形的性質(zhì)、

平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加輔助線構(gòu)造全等三角形.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023春?廣東?八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在A3上，點(diǎn)。在CB的延長(zhǎng)線上,

且ED=EC.

Bl

⑴【特殊情況,探索結(jié)論】如圖1,當(dāng)點(diǎn)E為A3的中點(diǎn)時(shí)，確定線段AE與D3的大小關(guān)系，請(qǐng)你直接寫(xiě)

出結(jié)論：AEDB(填">"、

（2）【特例啟發(fā)，解答題目】如圖2,當(dāng)點(diǎn)E為邊上任意一點(diǎn)時(shí)，確定線段AE與。3的大小關(guān)系，請(qǐng)你

寫(xiě)出結(jié)論，并說(shuō)明理由.AEDB（填">"、"<"或"="）；理由如下，過(guò)點(diǎn)E作EF〃3C,交AC于

點(diǎn)R（請(qǐng)你完成以下解答過(guò)程）.

（3）【拓展結(jié)論,設(shè)計(jì)新題】在等邊三角形A3c中，點(diǎn)E在直線AB上,點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上,且=EC,

若AABC的邊長(zhǎng)為1,AE=2,求。的長(zhǎng)（直接寫(xiě)出結(jié)果）.

【答案】⑴二

（2）=,見(jiàn)解析

(3)3

【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)得到ND=ZECD,再由等邊三角形的性質(zhì)得到NECD=；ZACB=30。,

然后證ND=NDEB,得出=即可得出結(jié)論；

(2)過(guò)點(diǎn)￡作所〃3。，交AC于點(diǎn)尸，證出aAE尸為等邊三角形，得出隹=￡F,再證△OBE^AEFC,

得出DB=￡F,即可得出結(jié)論；

(3)點(diǎn)E在延長(zhǎng)線上時(shí)，作EF〃AC,同(2)得出ABEF為等邊三角形，△DBE/AEFC,則郎=EF=1,

DB=FC=2,即可得出答案.

【詳解】(1)AE=DB,

理由如下：?.?EE>=EC,

ND=NECD,

三角形ABC為等邊三角形，

:.ZACB=ZABC=60。,

:點(diǎn)E為A3的中點(diǎn)，

:.ZECD=-ZACB=30°,AE=BE,

2

.?."=30°,

■.■ZABC=ZD+ZDEB,

ZDEB=ZABC-ZD=30°,

ZD=/DEB,

DB=BE,

AE=DB；

(2)AE=DB,

理由如下：過(guò)點(diǎn)E作EF〃5C,交AC于點(diǎn)尸，

則=?AFE?ACB,/FEC=/ECD,

vAABC為等邊三角形，

AB=AC,ZA=ZACB=ZABC=6Q°f

:.ZAEF=ZAFE=ZA=60°,

為等邊三角形，

.\ZEFC=120°,

:.AE=EF,

?;ED=EC,

..ND=NECD,

:.ZD=ZFEC,

在△。4石和中，

/DBE=NEFC

<ZD=ZFEC,

ED=EC

:ADBE'EFC(AAS),

:.DB=EF,

AE=DB；

(3)點(diǎn)后在A5延長(zhǎng)線上時(shí)，作EF〃AC,

同(2)可得則△EEB為等邊三角形，

如圖所示，同理可得/△CFE,

0AB=1,AE=2,

0BE=1,

.-.BF=BE=1,

RDB=FC=FB+BC=2,

貝|JCD=8C+DB=3.

【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題目，考查等邊三角形判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)

等，熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

2.(2022春?遼寧大連?八年級(jí)期末)AASC是等邊三角形，點(diǎn)。是AC上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，且

AD=CE.

⑴如圖1,當(dāng)點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)時(shí)，求證：DB=DE-,

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)。是AC上任意一點(diǎn)時(shí)，取3。的中點(diǎn)尸，連接AEAE.求NE4E的度數(shù)

【答案】⑴見(jiàn)解析

(2)60°

【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出NABC=N4CB=NA=60。，再由"三線合一”的性質(zhì)及角平分線得

出ZDBE=ZDEB,再由等角對(duì)等邊即可證明；

(2)延長(zhǎng)AF至G,使AF=FG,連BG,根據(jù)全等三角形的判定得出四△GFB(SAS),

△ABG^AACE(SAS),再由其性質(zhì)結(jié)合圖形找出各角之間的關(guān)系即可得出結(jié)果.

【詳解】(1)證明：在等邊AABC中，AB=BC=AC,

0ZABC=ZACB=NA=60°,

回。是AC的中點(diǎn)，

B1AD=CD,8。平分/ABC,

團(tuán)AD=CE,

團(tuán)CD=CE,

團(tuán)ZDEC=ZCDE=-ZACB=30°,ZDBC=ZABD=-ZABC=30°,

22

⑦ZDBE=ZDEB,

國(guó)DB=DE.

(2)如圖所示，延長(zhǎng)AF至G,^AF=FG,連5G,

團(tuán)尸為BD的中點(diǎn)，

國(guó)BF=DF,

在△AFD和aG期中，

FD=BF

<ZDFA=ZBFG,

FA=FG

團(tuán)AAFD^AGra(SAS),

⑦AD=BG,ZADF=NGBF,

^BG//AC.

回ZGBC=ZACB=60°,ZABG=ZABC+NGBC=120°,ZACE=180。一ZACB=120°,

^\ZABG=ZACE

又回AZ)=CE,

gBG=CE

在AASG和"CE中，

AB=AC

<ZABG=/ACE,

BG=CE

0△ABG^AACE(SAS),

^\ZBAG=ACAE,

回NFAE=ZFAD+Z.DAE=ZFAD+ZBAF=Z.BAC=60°.

【點(diǎn)睛】題目主要考查等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)，理解題

意，結(jié)合圖形，找準(zhǔn)各角之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵.

3.(2022春?吉林長(zhǎng)春?八年級(jí)統(tǒng)考期末)在等邊AABC中，。是3c的中點(diǎn)，ZEDF=120°,NELR的兩邊

分別交直線AB、AC于E、F.

(1)問(wèn)題：如圖1,當(dāng)E、歹分別在邊A3、AC上，DEJ.AB,。b工AC時(shí)，直接寫(xiě)出線段DE■與￡>尸的數(shù)

量關(guān)系；

⑵探究：如圖2,當(dāng)E落在邊上，歹落在射線AC上時(shí)，(1)中的結(jié)論是否仍然成立？寫(xiě)出理由；

⑶應(yīng)用：如圖3,當(dāng)E落在射線&L上，F(xiàn)尸落在射線AC上時(shí)，AE=3,CF=6,則AB=.

【答案】(1)DE=CF;理由見(jiàn)解析

(2)DE=CF；理由見(jiàn)解析

(3)6

【分析】(1)根據(jù)A4S證明ABEDMACED,可得結(jié)論；

(2)如圖1,分別過(guò)點(diǎn)。作DGLAB于點(diǎn)G,于點(diǎn)由(1)同理得出￡>G=￡>”.證明

NDGE=NDHF{ASA),則可得出結(jié)論；

(3)如圖2,過(guò)點(diǎn)。作。河||AC,由等邊三角形的性質(zhì)和判定證明AMDE=ACD"&4S),從而得A3的長(zhǎng).

【詳解】(1)解：DE=DF，理由如下：

;AABC是等邊三角形，

.-.ZB=ZC=60°,

?.?〃是BC的中點(diǎn)，

BD=CD,

DELAB,DFJ,AC,

:.NBED=NCFD=9伊，

..ABED=ACFD(AAS),

:.DE=DF；

故答案為：DE=DF；

(2)解：結(jié)論成立.DE=DF.

理由：如圖1,過(guò)點(diǎn)。分別作。GLAB于G點(diǎn)，于H點(diǎn),

由(1)可得：bBDG=bCDH(AAS),

:.DG=DH,

/.ZGDH=180?！猌BDG-ZCDH=120。,

vZ￡DF=120°,

/.Z.GDH-NEDH=ZEDF-ZEDH,

.\ZEDG=ZFDH.

在AEDG和AFDH中，

ZEDG=ZFDH

<DG=DH,

ZEGD=ZFHD

AEDG=AFDH(ASA),

:.DE=DF；

(3)解：如圖2中，過(guò)。作。河||人。交人5于河點(diǎn),

:./BAC=/BCA=/BMD=/BDM=/B=60。,

同理可證?！甓?。/，

:.BD=DM=CD=BM,ZDME=ZDCF=ZMDC=120°.

vZ￡DF=120°,

:.ZMDE=ZCDF,

AMDE三ACDF(SAS),

，ME=CF=6,

?.?AE=3,

二.AM=3,

BD=-BC,AB=BC,

2

BM=-AB=AM,

2

:.AB=2AM=6.

故答案為：6

【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了垂直的定義，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí),

解題的關(guān)鍵是正確作輔助線，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì).

【類(lèi)型三利用倍角關(guān)系構(gòu)造新等腰三角形】

方法點(diǎn)撥:當(dāng)一不三扁眩中出現(xiàn)一不第息另一不

角的2倍時(shí)，一般通過(guò)轉(zhuǎn)化倍角尋找等腰三角形.如圖

:①，若NABC=2/C,作BD平分/ABC,則△DBC是

:等腰三角形；如圖②，若/ABC=2/C,延長(zhǎng)CB到D,

使BD=BA,連接AD,則△ADC是等腰三角形；如圖

:③，若/B=2/ACB,以C為角的頂點(diǎn)，CA為角的一

；邊，在三角形外作NACD=/ACB,交BA的延長(zhǎng)線于

點(diǎn)。，則△DBC是等腰三角形.

例題：（2022秋?黑龍江大慶?八年級(jí)大慶市第六十九中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在AABC中，NB=2NC,NBAC

的平分線AD交3C于點(diǎn)D求證：AB+BD^AC.

【分析】方法一：（截長(zhǎng)）在AC上截取M=連接。E.結(jié)合角平分線的定義，證明△ABD%AED（SAS）,

得到3D=ED,ZB=ZAED,再利用三角形外角的性質(zhì)，得到N￡DC=NC,進(jìn)而得到ED=EC,即可證

明結(jié)論；

方法二：（補(bǔ)短）延長(zhǎng)AB到點(diǎn)E使得AC=AE,連接OE.結(jié)合角平分線的定義，證明AAEDgAACD（SAS）,

得到NC=NE,再利用三角形外角的性質(zhì)，得到NE=4DE,進(jìn)而得到3E=BD,即可證明結(jié)論；

方法三：（補(bǔ)短）延長(zhǎng)"?至IJ點(diǎn)E使得AB=BE,連接AE.根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得到ZC=ZE,AE=AC,

再結(jié)合三角形角平分線的定義和外角的性質(zhì)，得到=即可證明結(jié)論.

【詳解】證明：方法一：（截長(zhǎng)）在AC上截取=連接DE.

AB=AE

</BAD=ZEAD,

AD=AD

:.^ABD^^AED（SAS）,

:.BD=ED,ZB=ZAED,

/ZAED=ZEDC+ZCfZB=2ZCf

.\ZEDC=ZCf

:.ED=EC

/.AB+BD=AE+EC=AC；

方法二：（補(bǔ)短）延長(zhǎng)AB到點(diǎn)E使得AC=AE,連接OE.

在△A￡D和一⑺中，

AE=AC

</EAD=/CAD,

AD=AD

/.△AED^AACD（SAS）,

NC=NE

.?ZABC=NE+/BDE,ZABC=2ZCf

..NE=/C=/BDE,

BE=BD，

.\AB^BD=AB-^BE=AE=AC；

方法三：（補(bǔ)短）延長(zhǎng)DB到點(diǎn)E使得=連接AE1,

:.ZEAB=ZE,

ZABC二NE+ZEAB=2ZE,

?.?ZABC=2/C,

NC=/E,

/.AE=AC,

..NEAD=NEAB+/BAD=/E+/DAC=/C+/DAC=ZADE

AE=DE,

，AB+BD=EB+BD=ED=AE=AC,

:.AB+BD=AC.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形角平分線的定義，外角

的性質(zhì)，利用“截長(zhǎng)補(bǔ)短"模型添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022春?浙江?八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）在AABC中，ZACB=2NB,

圖③

⑴如圖①，當(dāng)NC=90。，AO為的角平分線時(shí)，在A2上截取AE=AC,連接OE,易證

AB^AC+CD.請(qǐng)證明A5=AC+CD；

⑵①如圖②，當(dāng)NCW90。，AD為/胡C的角平分線時(shí)，線段AB、AC、CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直

接寫(xiě)出你的結(jié)論，不要求證明；

②如圖③，當(dāng)NCw90。，AD為AABC的外角平分線時(shí)，線段AB、AC.CD又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出

你的猜想并證明.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析

（2）①AB=AC+CD；@AC+AB=CD,證明見(jiàn)解析

【分析】（1）先證明AAED2AACD,然后證明砥=￡D=CD,進(jìn)而推導(dǎo)可得結(jié)論；

（2）①首先在AB上截取AE=AC,連接DE,易證AADE%ADC（SAS）,則可得ZAED=NC,ED=CD,

又由NAEE>=/ACB,ZACB=2ZB,所以NAED=2NB,ZB=ZBDE,易證DE=CD,則可求得

AB^AC+CD；②首先在的延長(zhǎng)線上截取AE=AC,連接ED,易證AEV江△C4Z）,可得

ED=CD,NAED=NACD,又由NAC3=2N3,易證DE=￡B,則可求得AC+AB=Q）.

【詳解】（1）團(tuán)AZ）為-54C的角平分線，

^ZEAD=ZCADf

在AA即和中，

團(tuán)AE=AGZEAD=ZCAD,AD=AD,

團(tuán)△AEZ涇△ACZXSAS),

⑦ED=CD,/C=NAED=9。。,

MACB