填空壓軸之幾何-2023年天津中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)試題分類匯編（解析版）

專題02填空壓軸之幾何

1.Q022?天津）如圖，已知菱形的邊長為2,ZDAB=60°,E為45的中點(diǎn)，廠為CE的中點(diǎn)，AF

與。片相交于點(diǎn)G,則G/的長等于.

【詳解】如圖，過點(diǎn)F作尸H//CD,交DE于H,過點(diǎn)。作CNL48,交的延長線于"，連接尸8,

???四邊形Z5C。是菱形，

/.AB=CD=BC=2,ABI/CD,

/.FHI/AB,

AFHG=/AEG,

???/是CE的中點(diǎn)，F(xiàn)H//CD,

」.7/是。內(nèi)的中點(diǎn)，

是ACQ￡的中位線，

:.FH=-CD=l

2f

???E是45的中點(diǎn)，

AE=BE=1,

AE=FH,

???AAGE=ZFGH,

\AEG=\FHG(AAS),

:.AG=FG,

vAD//BC,

...ZCBM=/DAB=60°,

RtACBM中，/BCM=30°,

:.BM=-BC=l,CM=^22-]2=V3,

2

z.BE=BM,

???尸是CE的中點(diǎn)，

:.FB是ACEM的中位線，

]h

:.BF=-CM=—,FBI/CM,

22

/EBF=ZM=90°,

RtAAFB中，由勾股定理得：AF=dAB?+BF?=+吟丫=半，

f【麗

GF=—AF=-----.

24

故答案為：叵.

4

2.Q021?天津）如圖，正方形/BCD的邊長為4,對角線/C,3。相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E,尸分別在3C,CD

的延長線上，且CE=2,DF=\,G為￡尸的中點(diǎn)，連接OE,交CD于點(diǎn)〃，連接G//,則G4的長

為-,

【答案】卓

【詳解】以。為原點(diǎn)，垂直N2的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖:

.?.頤4,-2),F(2,3),

?.?G為斯的中點(diǎn)，

設(shè)直線。￡解析式為y=H，將頤4,-2)代入得：

一2=4k,解得左二一)~,

2

直線OE解析式為〉=-

令x=2得y=_],

...GH=^(3-2)2+(-1-1)2=孚,

方法二：如下圖，連接。尸，過點(diǎn)。作OMLCZ)交CD于〃，

VO為正方形對角線NC和BD的交點(diǎn),

OM=CM=DM=CE=2,易證AOHM三AEHC,

.?.點(diǎn)X、點(diǎn)G分別為OE、FE的中點(diǎn),

:.GH為AOEF的中位線，

:.GH=-OF,

2

在RtAOMF中，由勾股定理可得。9=^OM-+FM1=^22+32=而，

,-.GH=-OF=—

22

叵

故答案為:

3.（2020?天津）如圖，口45CD的頂點(diǎn)C在等邊她￡尸的邊5月上，點(diǎn)E在43的延長線上，G為QE的中

點(diǎn)，連接CG.若40=3,AB=CF=2,則CG的長為

【詳解】???四邊形ZBCD是平行四邊形,

:.AD=BC,CD=AB,DC//AB,

???4D=3,AB=CF=2,

/.CD=2,BC=3,

:.BF=BC+CF=5,

???A5斯是等邊三角形，G為。石的中點(diǎn),

：.BF=BE=5,DG=EG,

延長CG交BE于點(diǎn)、H,

DC//AB,

/.ZCDG=/HEG,

在\DCG和NEHG中，

ZCDG=ZHEG

<DG=EG

NDGC=ZEGH

\DCG=AEHG(ASA),

DC=EH,CG=HG,

?;CD=2,BE=5,

:.HE=2,BH=3,

???ZCBH=60。，BC=BH=3,

AC5H是等邊三角形，

：.CH=BC=3,

13

CG=-CH=~,

22

故答案為：

2

4.（2019?天津）如圖，正方形紙片48CD的邊長為12,E是邊CD上一點(diǎn)，連接/￡、折疊該紙片，使點(diǎn)

工落在/E上的G點(diǎn),并使折痕經(jīng)過點(diǎn)3,得到折痕2尸，點(diǎn)尸在上，若DE=5,則GE的長

為

AFD

【答案喧

【詳解】?.?四邊形/BCD為正方形,

AB=AD=12,/BAD=/D=90。，

由折疊及軸對稱的性質(zhì)可知，KABF\GBF,5/垂直平分4G,

，BF1AE,AH=GH,

ZBAH+AABH=90°,

又???ZFAH+ZBAH=90°,

ZABH=ZFAH,

AABF=NDAE(ASA),

AF=DE=5,

在RtAABF中,

BF=yjAB2+AF2=V122+52=13，

SMBF=；4B.AF=；BF.AH,

.?.12x5=13,

13

?.?AE=BF=13,

12049

:.GE=AE-AG=\3-------

1313

故答案為：曲

D

5a.（2018?天津）如圖，在邊長為4的等邊A42C中，D,E分別為N5,BC的中點(diǎn),EFLAC于點(diǎn)、F,

G為EF的中點(diǎn)，連接。G,則。G的長為

【答案】半

【詳解】連接DE,

?.?在邊長為4的等邊AA8C中，D,￡分別為N8,3c的中點(diǎn),

:.DE是AABC的中位線,

DE=2,且DE///C,BD=BE=EC=2,

?;EFLAC于點(diǎn)、F,ZC=60°,

NFEC=30°,ZDEF=ZEFC=90°,

:.FC=-EC=\,

2

故EF=N2?一f=G，

:G為E尸的中點(diǎn),

:，EGS,

DG=yjDE2+EG2=—.

2

故答案為.?孚

A

BEC

6.（2022?和平區(qū)一模）如圖，已知/,P,B,C是。。上的四個(gè)點(diǎn)，ZAPC=ZCPB=60°,OO的半

徑;為1,則四邊形/P2C面積的最大值為一

【詳解】由圓周角定理得：ZABC=ZAPC=60°,ABAC=ZCPB=60°,

\ABC為等邊三角形,

由題意得：當(dāng)點(diǎn)。為45的中點(diǎn)時(shí)，A4P5的面積最大,

???A45C的面積一定,

???當(dāng)點(diǎn)P為45的中點(diǎn)時(shí)，四邊形4P5C面積的最大,

此時(shí)，尸。為OO的直徑,

ZPAC=90°,ZACP=30°,

1行

AP=-PC=\,AC=PCcosZACP=2x—=-\/3，

22

四邊形4P5C面積的最大值為：-x2xV3=V3,

2

故答案為：行.

7.（2022?南開區(qū)一模）如圖，在邊長為4的正方形/5CQ中，點(diǎn)E,尸分別是邊/5、5。的中點(diǎn)，連接

EC,DF,點(diǎn)、G、H分別是EC、。廠的中點(diǎn)，連接G7Z,則GH的長度為

【答案】V2

【詳解】連接C//并延長交4。于P,連接PE,

v四邊形ABCD是正方形,

N4=90°,AD//BC,AB=AD=BC=4,

???E,/分別是邊的中點(diǎn)，

AE=CF=-x4=2

2f

AD//BC,

ZDPH=NFCH,

在APDH和ACEH中,

ZDPH=ZFCH

ZDHP=ZFHC,

PH=FH

NPDH=ACFH(AAS),

：.PD=CF=2,

AP=AD—PD=2,

PE=dAP?+AE?=2V2,

???點(diǎn)G,H分別是EC,即的中點(diǎn)，

:.GH=-EP=41.

2

故答案為：V2.

8.（2022?紅橋區(qū)一模）如圖，以RtAABC的斜邊為一邊，在A45C的同側(cè)作正方形，設(shè)正方形

的中心為O,連接OC,若45=13,AC=5f則OC的長為.

【詳解】過。作。尸，OC,與BC交于點(diǎn)F,

:.OA=OB,N/O5=90。，

ZCOF=AAOB,

/.AAOC=ZBOF,

?/ZACG=ZBOG=90°,ZAGC=ZBGO,

AOAC=AOBF,

\OAC=\OBF{ASA),

OC=OF,AC=BF=5,

BC=yjAB2-AC2=V132-52=12，

:.CF=BC-BF=n-5=l,

...0C=—CF=-42.

22

故答案為：—V2.

2

9.（2022?河西區(qū)模擬）如圖，在RtAABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,點(diǎn)、D,E分別是邊C4,CB

的中點(diǎn)，NC43的平分線與。石交于點(diǎn)尸，則C尸的長為.

【詳解】延長C尸交45于G,過G作GH_L5C于〃,

在RtAABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,

：.AB=YIAC2+BC2=10,

???點(diǎn)。，E分別是邊C4,。夕的中點(diǎn)，

:.DE//ABfAD=CD,

ZAFD=NFAB,

?/AF^ZCAB的平分線，

/.ZCAF=ABAF,

ZDAF=ZAFD,

/.AD=DF,

AD=DF=CD,

/AFC=90°,

在A4cF和A4G尸中，

ZCAF=ZGAF

<AF=AF,

ZAFC=ZAFG

:.\ACF=\AGF{ASA),

AG=AC=6,CF=GF,

，BG=4,

vZC=90°,GH工BC,

:.AC//GH,

\BGHS\BAC,

.BG=GH=BHf即色=絲一跑

ABACHC1068

解得：GH=—,BH=應(yīng),

55

24

:.CH=BC—BH=——，

5

CG7GH?+CH2=1^1,

5

..K——C。一,

25

故答案為：述.

5

10.（2022?和平區(qū)二模）如圖，已知N/￡Z）=N/C5=90。，AC=BC=3,AE=DE=\,點(diǎn)。在48上,

連接CE,點(diǎn)點(diǎn)、N分別為BD,CE的中點(diǎn)，則"N的長為.

【詳解】連接￡W,延長。N交/C于尸，連BF,

???A4cB和A4ED是等腰直角三角形，ZAED=ZACB=90。,DE=AE,AC=BC,

ZEAD=/EDA=ZBAC=45°,

:.DE//AC,

ADEN=ZFCN,

在MEN和AFCN中，

ZDNE=ZFNC

<EN=NC,

ADEN=ZFCN

ADEN=\FCN^ASA),

DE=FC,DN=NF,

AE=FC,

???M是5。中點(diǎn)，

:.MN^\BDF的中位線,

:.MN=-BF,

2

???/EAD=/BAC=45。,

ZEAC=ZACB=90°f

在\CAE和ABCF中,

AC=BC

<ZEAC=ZFCB=90°,

AE=FC

\CAE=ABCF(SAS),

/.BF=CE,

:.MN=-CE,

2

?/ZAED=AACB=90°,AC=BC=3,AE=DE=\,

\ADE和KABC是等腰直角三角形,

NEAD=ABAC=45°,

NE4c=90。，

：.CE=^IAE2+AC2=Vl2+32=Vio,

:.MN=-CE=—.

22

故答案為：巫.

2

11.（2022?西青區(qū)一模）如圖，在正方形ZHCD中，點(diǎn)E是。。中點(diǎn)，連接4月，過點(diǎn)。作C尸，4E,交AE

的延長線于點(diǎn)尸，連接。歹，過點(diǎn)。作。尸交4方于點(diǎn)G.若DF=2.則正方形

ABCD的邊長為.

【答案】屈

【詳解】在正方形48CQ中，ZADC=90°,AD=CD,

???CF1AE,

:.ZAFC=90°,

：.A,D,F,。四點(diǎn)共圓，

/./DCF=ZDAF,

???DGLDF,

ZGDF=90°,

ZADG=ZCDF,

\ADG=\CDF{ASA),

:.AG=CF,DG=DF,

SGF是等腰直角三角形，

過點(diǎn)。作。HLG產(chǎn)于點(diǎn)”，如圖所示:

則〃是GP的中點(diǎn),

??.DF=2,

：.DH=HF=HG=血,

???AFLCF,

:.DH//CF,

ZDHE=ZCFE,ZHDE=ZFCE,

???￡是CQ的中點(diǎn)，

/.DE=CE,

,NHDE二AFCE(AAS),

：.CF=HD=4i,HE=EF=-f

2

：.AG=CF=4I,

AE='e，

2

設(shè)正方形的邊長為q,則4O=Q,DE=—a,

2

在A4QE中根據(jù)勾股定理，

得C1Q)2+Q2=§收了，

解得a=V10,

??.正方形的邊長為血，

故答案為：際.

12.(2022?河北區(qū)一模)如圖，點(diǎn)E為正方形45CQ的邊CZ)的中點(diǎn)，連接BE,交對角線4。

于點(diǎn)方，連接陽交于點(diǎn)G,如果。尸=4,那么4S的長為.

BC

【答案】-45

5

【詳解】???四邊形/BCD是正方形,

*.AB//CD,AB=BC=CD,

?.NABFs'CEF,

.BF_AB

.^F~~CE'

.?點(diǎn)石是CD的中點(diǎn)，

?.AB=CD=2CE,

v正方形ABCD關(guān)于AC對稱，

：.BF=DF=4,

EF=2,

BE=6,

設(shè)4B=a,則8C=a,CE=-a,

2

???/BCD=90°,

BC2+CE2=BE2,

即a2+(1a)2=62,

解得a=g百.

13.(2022?西青區(qū)二模)如圖，在矩形/BCD中，CE平分/BCD,點(diǎn)M是48邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)〃作

MNUCE交BC千點(diǎn)、N,連接若恰好平分N/EC,且MN=C,則4B的長是.

【答案】V2-1

【詳解】作MG于G,NH1CE于H,

AE

國

BNC

■：EC平分/BCD,

NECB=ZECD=45°,

.?.A￡CD是等腰直角三角形，

???MN/ICE,

ZMNB=NECB=45°,

.?.AftW是等腰直角三角形，

BM=BN=\,

:點(diǎn)M是的中點(diǎn)，

AM=BM=1,

???EN恰好平分NNEC，AMLAE,MGLEC,

MG=AM=l,

ZMGH=ZNHG=AMNH=90°,

二.四邊形MVG77是矩形，

;.NH=HC=\,

CN=41,

:.AD=BC=yf?.+\,

:.AE=AD-DE=y/2+}-2=42-1,

故答案為：V2-1.

14.（2022?河?xùn)|區(qū)一模）如圖，E為正方形4BCL1的邊上一點(diǎn)，產(chǎn)為邊5c延長線上一點(diǎn)，且

AE=CF,點(diǎn)、G為邊BC上一點(diǎn)、,且/BGE=2/BFE,A5EG的周長為8,AE=\,DG馬EF交于點(diǎn)、H,

連接CH,則CH的長為.

A______________D

kJ

BGC'F

【答案】號

【詳解】???四邊形/BCD是正方形，

AD=CD,ZDAF=ZDCE=90°,

在AADE和\CDF中,

AD=CD

<ZDAF=ZDCE,

AE=CF

AADE=ACDF0AS),

:.DE=DF,

/BGE=2ZBFE,/BGE=ABFE+ZGEF,

/GEF=ZGFE,

GE=GF,

在AD￡G和ADFG中，

DE=DF

<GE=GF,

GD=CD

\DEG=ADFG(SSS),

/.EH=HF,

為跖的中點(diǎn)，

又?.?A5EG的周長為8,

/.BE+GB+GE=8,

:.BE+GB+GF=8,

:.BE+BC+CF=8,

???CF=AE,

BA+CB=8,

...BC=BA=4,

過點(diǎn)“作/，交BF于M,

:.HM//AB,HM=-BE,

2

?/AB=4,CF=AE=\,

.?.5E=4—1=3,

13

:.HM=2——=—,

22

???B/=BC+。尸=4+1=5,

:.MF=-BF=-,

22

53

:.CM=MF-CF=——1=—,

22

,CH=y/HM2+CM2=

故答案為：—.

2

15.（2022?濱海新區(qū)一模）如圖，在平行四邊形48CD中，AD=2,AB=46,N3是銳角，/E_L8c于

點(diǎn)、E,尸是的中點(diǎn)，連接。尸，EF.若NEFD=90°,則NE的長為.

【答案】V5

【詳解】如圖，延長斯交。/的延長線于0,連接DE,設(shè)BE=x,

?.?四邊形ABCD是平行四邊形,

DQ//BC,

/./。=NBEF,

???AF=FB,ZAFQ=/BFE,

,AQFA=\EFB(AAS),

:.AQ=BE=x,QF=EF,

???ZEFD=90°,

DFLQE,

DQ=DE=x+2,

?/AELBC,BC//AD,

AELAD,

/AEB=/EAD=90°,

AE-=DE--AD2=AB1-BE2,

(x+2)2-4=6-尤2,

整理得：X2+2X-3=0,

解得x=l或-3(舍棄)，

BE=\,

AE=^AB2-BE2==75,

故答案為：V5.

16.(2022?天津一模)如圖，正方形N5CZ1的邊長為2石，E,尸分別是5C,C。的中點(diǎn)，連接G

為/￡上的一點(diǎn)，且/尸G￡=45。，則GF的長為.

【答案】3夜

【詳解】連接2尸交/￡于X,

V四邊形/2CA是正方形，

AB=BC=CD,NABE=ZC=90°,

?.,點(diǎn)￡、廠分別是邊2C,CD的中點(diǎn),

...BE=CF,

在\ABE與\BCF中，

AB=BC

<ZACE=ZBCF,

BE=CF

\ABE=ABCF(SAS),

:./BAE=/CBF,AE=BF,

???/BAE+ZAEB=90°,

/.ZAEB+AEBH=90°,

/BHE=90°,

ZGHF=90°,

???ZFGH=45°,

二.AFG//是等腰直角三角形，

/.HG=HF,

???AB=BC=275,

...AE=BF=y/AB2+BE2=5,

?/SAARF=-ABBE=-AE-BH,

LSADJL22

：.HF=HG=BF-BH=5-2=3,

■：HG2+HF2=GF2,

GF=732+32=372,

故答案為：3A/2.

17.（2022?東麗區(qū)一模）如圖，正方形48C。和正方形8跖G的邊長分別為6和2,點(diǎn)、E,G分別在邊

BC,48上，點(diǎn)〃為。尸的中點(diǎn)，連接GH,則G8的長為

A

【答案】275

【詳解】延長G7/交4。的延長線于N,如圖:

v正方形ABCD和正方形AEFG的邊長分別為6和2,

;.BE//GF//AD,GF=BG=2,AB=AD=6,

ZFGH=ZN,GZ=4,

???點(diǎn)〃是。咒的中點(diǎn)，

:.DH=FH,

在\FGH和\CNH中，

ZFGH=ZN

<NGHF=ZDHN,

FH=DH

\FGH?\DNH(AAS),

GH=HN,GF=DN=2,

AN=AD+DN=8,

:.GN=ylAG2+AN2=V42+82=475,

:.GH=-GN=2y[5,

2

故答案為：2石.

18.(2022?南開區(qū)二模)如圖，RtAABC中，AB=AC=3,40=1,若將4。繞4點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到

AE,連接OE,則在。點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，線段OE的最小值為.

A

O

【答案】V2

【詳解】在RtAABC中，AB=AC=3,

AB=ZACB=45°,

???將4D繞/點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE,

AD=AE,NDAE=ABAC=90°,

/.ABAD=/CAE,

在和A4CE中，

AB=AC

<ABAD=/CAE,

AD=AE

,AABD=MCE(SAS)f

:./ACE=/B=45。,

/BCE=90°,

.,.點(diǎn)E在過點(diǎn)C且垂直BC的直線上運(yùn)動(dòng),

.?.當(dāng)時(shí)，OE的值最小，

,/AO-1,AC=3,

CO=2,

?：OEICE,/ACE=45。,

OE=CE,

-：OE1+CE2=OC2=4,

OE2=2,

OE=V2,

故答案為：C.

19.(2022?紅橋區(qū)二模)如圖，在邊長為7的正方形N2C。中，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，連接BE,將AABE沿

翻折得到AF8E,連接/C,與BF交于點(diǎn)G,則CG的長等于

【答案】3V2

【詳解】延長5歹交CD于“，連接

v四邊形ABCD是正方形，

/.AB//CD,ZD=/DAB=90°,AD=CD=AB=7,

AC=^AD2+CD2=7V2,

由翻折的性質(zhì)可知，AE=EF,AEAB=AEFB=90°,NAEB=/FEB,

???點(diǎn)￡是40的中點(diǎn)，

/.AE=DE=EF,

???ZD=ZEFH=90°,

在RtAEHD和RtAEHF中，

{EH=EH

[ED=EF，

RtAEHD二RtAEHF(HL),

ZDEH=NFEH,

?：ZDEF+ZAEF=1SO0,

2/DEH+2/AEB=180。，

ZDEH+/AEB=90°,

'：NAEB+/ABE=90°,

ZDEH=/ABE,

:.\EDH^\BAE,

.ED_DH_\

一~AB~^A~2'

177721

：.DH=-x-=~,CH=CD-DH=7——=——，

22444

???CH//AB,

21

.CGCH_3

CG=-AC=-X142=342.

77

故答案為：3A/2.

20.（2022?和平區(qū)三模）如圖，正方形/BCD和正方形成尸G,點(diǎn)尸，B,。在同一直線上，連接。尸，M

是小的中點(diǎn)，連接若BC=4,AM=生，則正方形的邊長為.

G

【答案】V2

【詳解】延長交5。于點(diǎn)”，如圖所示：

F

在正方形ZHCD中，AD//BC,AB=BC=AD,ZABC=90°,

/MAD=ZMHF,/ADM=ZHFM,

是。尸的中點(diǎn)，

:.MF=MD,

\MHF=^MAD(AAS),

AM=HM,FH=AD,

BC=4,AM=45,

4B=4,AH=245,

在RtAABH中，根據(jù)勾股定理，得BH=2,

FH=AD=4,

BF=2,

在正方形BGFE中，BF=4^BE,

BE=-s/2,

故答案為：41■

21.（2022?河西區(qū)一模）如圖，邊長為2的菱形48c。的頂點(diǎn)。在等邊A￡E4的邊胡上，點(diǎn)3在E4的延

長線上，若。為NE的中點(diǎn)，連接尸C,則尸C的長為—.

【答案】2幣

【詳解】如圖，過C作于

貝I]ZCMB=ZCMF=90°,

?.?菱形48co是邊長為2,

AD=AB=BC=2,AD!IBC,

?.?。為/￡的中點(diǎn)，

AE=2AD=4,

是等邊三角形，

AEAF=60°,AF=AE=4,

■：AD/IBC,

AB=ZEAF=60°,

???NCMB=90°,

ABCM=90°-NB=30°,

:.BM=-BC=\,

2

CM=>JBC2-BM2=A/22-l2=V3，

■：FB=AF+AB=4+2=6,

:.FM=FB-BM=6-l=5,

在RtACMF中，由勾股定理得：FC=y/FM2+CM1=k+（同=2不,

故答案為：2⑺'.

22.（2022?河?xùn)|區(qū)二模）如圖，A42c與AZ歷戶均為等邊三角形，點(diǎn)E,尸在邊3c上，BE=CF=2EF,

點(diǎn)。在A42C內(nèi)，且NG=GO=GE=M，則A45C的周長為.

【答案】15

【詳解】如圖，連接NE,連接/。并延長交3C于點(diǎn)N,過點(diǎn)G作GAfflM于點(diǎn)連接3。、CD,

BC=BE+EF+CF=4x+2x+4x=1Ox,

?「AZ）斯是等邊三角形，

DE=DF=EF=2x,/DEF=ZDFE=60°,

ABED=ZCFD=120°,

在和AC/加中，

DE=DF

</BED=ZCFD,

BE=CF

???ABED=ACFD(SAS),

/.BD=CD,

:.點(diǎn)D在BC的垂直平分線上，

AABC是等邊三角形，

/.AB=AC=BC=10x,

.?.點(diǎn)4在5C的垂直平分線上，

/.4N垂直平分5C,

,BN=CN=-BC=-xlOx=5x,

22

?/ZANE=90°,BE=CF=4x,

EN=FN=5x-4x=x,

AN=yjAB2-BN2=7(1Ox)2-(5x)2=573%,

?:GD=GE,GMLDE,

ZGMD=ZANE=90°,

'.DM=—DE=x,

2

???ZDGM=ZEGM=-ZDGE,

2

EN=DM=x,

AG=GD=GE=M,

:.A,D、￡在以G為圓心、以M為半徑的圓上,

:.ZEAN=-ZDGE(圓周角定理)，

2

NEAN=NDGM,

在AEAN和^DGM中,

ZEAN=ZDGM

<ZANE=ZGMD,

EN=DM

:.\EAN=\DGM{AASy

AE=GD=M,

?/ZANE=90?(已證)，

EN2+AN2=AE2,

x2+(5V3x)2=(V19)2,

解得％=工或x=-工（舍去），

22

5C=10x=10x-=5,

2

'：AABC是等邊三角形，

NABC的周長為38c=3x5=15,

故答案為：15.

23.（2022?濱海新區(qū)二模）如圖，正方形48cD的邊長為4夜，E是C。邊上一點(diǎn)，DE=3CE,連接2E

與NC相交于點(diǎn)過點(diǎn)〃■作交AD于點(diǎn)、N,連接BN,則點(diǎn)E到BN的距離為.

【答案】V17

【詳解】過河作必/_15c于〃，交/。于K,連接如圖:

AB=AD=BC=CD=472,ABCD=90°,ZACB=45°=ZDAC,

???DE=3CE，

CE=42,

在RtABCE中，

tanZ￡5C=—==-,BEA/^C2+C￡2=V34

BC4724

=tanZ￡BC=-,

BH4

BH=4MH，

Z.ACB=45°,

：.ACM”是等腰直角三角形，

MH=CH,

設(shè)MH=CH=x,則昉'=4x,

BH+CH=BC=4A/2,

4x+x=4V2,

解得尤=逑，

5

.H=MH=^~

=CDK,

55

/.BM=ylBH2+MH2

5

???ZDAC=45°,

:.MK=MA=BH,

???MNIBE,

ZBMH=90°-ANMK=ZMNK,

???ZBHM=90°=ZMKN,

\BHM=AMKN(AAS),

4J344V2

：.MN=BM=——,NK=MH

5"I"

AN=AD一NK—DK=,

5

/.BN=』AB?+AN?=,

5

設(shè)點(diǎn)E到BN的距離為h,

????S^EN=BN,h=BE,MN,

庖x坦

力7=些4=―>=后,

BN8V17

5

故答案為：V17.

24.（2022?河北區(qū)二模）如圖，已知等邊三角形A4BC,點(diǎn)。，E分別在C4,C5的延長線上，且

BE=CD,/為5C的中點(diǎn)，F(xiàn)G1AB交DE于點(diǎn)、G,FG=4,貝!JCD=

【詳解】延長5c到點(diǎn)M,使得CN=CD,連接DM,如圖所示:

ZM=ZCDM,

*/\ABC是等邊二角形,

...ZACB=/ABC=60°,

???ZACB=ZM+ZCDM=2ZM,

ZM=30°,

???FG1AB,

ZBFG=90°-/ABF=90°-60°=30°,

AM=ABFG,

FG//DM,

???/為BC的中點(diǎn),

/.FB=FC,

???BE=CD,

BE=CM,

:.BE+FB=CM+FC,

:.FE=FM,

???FG//DM,

:.FG是MDM的中位線,

DM=2FG=2x4=8,

過C點(diǎn)作CN，r＞刊于點(diǎn)N,

則￡W」DW」x8=4,

25.（2022?河西區(qū)二模）如圖，在邊長為4的等邊A42C中，D,￡分別為BC的中點(diǎn)，連接?！?

尸為?！甑闹悬c(diǎn)，連接/廠，則/尸的長為.

【答案】V7

【詳解】連接2尸并延長交/C于

■：D,￡分別為48,3c的中點(diǎn)，

:.DE//AC,

:.ABDE為等邊三角形,

?.?尸為OE的中點(diǎn),

BFIDE,

BH1AC,

AH=-AC=2,

2

BH=^AB2-AH1=273,

?-DE//AC,BD=DA,

:.FH=-BH=,

2

AF=yjAH2+FH2=近,

故答案為：V7.

26.（2022?津南區(qū)一模）如圖，在矩形/BCD中，4D=10,AB=6,E是BC邊上一點(diǎn),ED平分

NAEC,尸為/￡的中點(diǎn)，連接。尸，則。尸的長為.

【答案】3?

【詳解】過。作￡0_L4E■于X,

NAHD=NDHE=90°,

?.?四邊形是矩形，

ZC=90°,

ED平分ZAEC,

DH=DC=AB=6,

AH=yjAD2-DH2=8,

AD//BC,

/DAE=ZAEB,

在AADH與SEAB中,

/B=AAHD

<AAEB=ADAH,

AB=DH

\ADH=\EAB(AAS),

BE=AH=S,AE=AD=10,

CE=EH=2,

???萬為ZE的中點(diǎn),

EF=5,

:.FH=3,

DF=yjDH2+FH2=A/62+32=3A/5,

27.（2022?天津二模）如圖，在正方形45C。中，點(diǎn)E,P分別是邊4D,8C上的點(diǎn)，PE交AC于點(diǎn)、

F,ZPEA=ZCED,DE=C,過點(diǎn)/作CE的垂線，分別交CE,CD于點(diǎn)H,G,貝！JCG的值

為—.

【答案】273

【詳解】???四邊形/5CD是正方形,

AD/IBC,/BDC=ZD=90°,

:.ZCED=900-ZDCE,

???/PEA=/CED,

/.APEC=180°-2ACED=180°-2x(90°-/DCE)=2ZDCE，

???ADIIBC,

/.ZEPC=ZPEA=ZCED=90°-NDCE,

過點(diǎn)石作員WJ_C尸于如圖1所示：

則四邊形CQEW為矩形，

DE=CM,

???ADIIBC,

/.