（寒假）人教A版高二數(shù)學(xué)寒假培優(yōu)講義+隨堂檢測(cè)+課后練習(xí) 第04講 空間向量（教師版）

資料整理【淘寶店鋪：向陽(yáng)百分百】第第頁(yè)資料整理【淘寶店鋪：向陽(yáng)百分百】第04講空間向量空間角空間角的概念及范圍空間角解題思路夾角范圍線線角設(shè)兩異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別為則線面角l為平面α的斜線，為l的方向向量，為平面α的法向量，φ為l與α所成的角，則eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))二面角平面α的法向量為，平面β的法向量為，〈，〉＝θ，設(shè)二面角大小為φ，則一．異面直線所成的角1.幾何法:平移法求異面直線所成的角(1)作：根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角；（2）證：證明作出的角是異面直線所成的角；（3）求：解三角形，求出所作的角．如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；如果求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角．2.向量法(1)建立空間直角坐標(biāo)系；(2)用坐標(biāo)表示兩異面直線的方向向量；(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；(4)注意兩異面直線所成角的范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，即兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的余弦值的絕對(duì)值.二．直線與平面所成角1.幾何法一作(找)角，二證明，三計(jì)算，其中作(找)角是關(guān)鍵，先找出斜線在平面上的射影，關(guān)鍵是作垂線，找垂足，然后把線面角轉(zhuǎn)化到三角形中求解.2.向量法（1）斜線的方向向量（2）平面的法向量（3）斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角（或鈍角的補(bǔ)角），取其余角就是斜線和平面所成的角.三．二面角1.幾何法方法一：定義法：找出二面角的平面角方法二：垂面法，即在一個(gè)半平面內(nèi)找一點(diǎn)作另一個(gè)半平面的垂線，再過垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.2.向量法（1）找法向量：分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后通過兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角的大?。唬?）找與棱垂直的方向向量：分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大小.空間距離一．點(diǎn)到線的距離1.概念：過一點(diǎn)作垂直于已知平面的直線，則該點(diǎn)與垂足間的線段，叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的垂線段，垂線段的長(zhǎng)度叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的距離；設(shè)AP＝，直線l的一個(gè)單位方向向量為，則向量AP在直線l上的投影向量AQ＝，在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝|AP|2-|AQ二．兩異面直線間的距離：即兩條異面直線公垂線段的長(zhǎng)度.三．點(diǎn)到平面的距離：已知平面α的法向量為，A是平面α內(nèi)的定點(diǎn)，P是平面α外一點(diǎn).過點(diǎn)P作平面α的垂線l，交平面α于點(diǎn)Q，則是直線l的方向向量，且點(diǎn)P到平面α的距離就是AP在直線l上的投影向量QP的長(zhǎng)度.因此四．直線到平面的距離：一條直線與一個(gè)平面平行時(shí)，這條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離，叫做這條直線到這個(gè)平面的距離；五．兩個(gè)平面間的距離：如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離都相等，我們把它叫做這兩個(gè)平行平面間的距離.一．求點(diǎn)面距常見方法方法一：作點(diǎn)到面的垂線，點(diǎn)到垂足的距離即為點(diǎn)到平面的距離方法二：等體積法方法三：向量法二.向量法求兩異面直線的距離分別以這兩條異面直線上任意兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量為，與這兩條異面直線都垂直的法向量為，則兩條異面直線間的距離就是在方向上的正射影向量的模，設(shè)為d，從而由公式求解.考法一線線角【例1-1】如圖四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，且各棱長(zhǎng)均相等，E是PB的中點(diǎn)，則異面直線AE與PC所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】連接與交于點(diǎn)，連接，由題意得，，且平面，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)四棱錐各棱長(zhǎng)均為2，則，，可得，則，設(shè)異面直線與所成角為，則．故選：A．【一隅三反】1．在長(zhǎng)方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】連接，

，，四邊形為平行四邊形，，異面直線與所成角即為直線與所成角，即（或其補(bǔ)角）；，，，，即異面直線與所成角的余弦值為.故選：C.考法二線面角【例2-1】如圖，在底面為菱形的四棱錐中，，．

(1)求證：平面平面ABCD；(2)已知，求直線BN與平面ACN所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】（1）證明：取AD的中點(diǎn)為O，連結(jié)OM，OB，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是為菱形，且，所以為正三角形，所以，且．因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，平面ABCD，平面ABCD，所以平面ABCD，又因?yàn)槠矫鍹AD，所以平面平面ABCD．（2）由（1）知，OA，OB，OM兩兩垂直，故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為x，y，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

則，，，，，所以，，，設(shè)平面ACN的一個(gè)法向量為，則，即，取，則．因?yàn)?，則，所以直線BN與平面ACN所成角的正弦值為．【一隅三反】1．如圖，在三棱柱中，底面，，，分別為，的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明詳見解析；(2)【解析】（1）連接，由于分別為，的中點(diǎn)，所以，由于平面，平面,所以平面.（2）由于底面，，所以底面底面，所以，由于，所以兩兩相互垂直，以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，設(shè)平面，即平面的法向量為，則，故可設(shè).設(shè)直線與平面所成角為，則.

2．如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，A，為底面圓上兩點(diǎn)，，為中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且.

(1)證明：平面平面；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】（1）設(shè)圓O的半徑為r，在中，，，，故，又，故，在中，由余弦定理得，所以，即；圓錐中，底面，底面，故，又，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，，則，，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，有，即，解得，設(shè)直線與平面所成角為，則.

考法三二面角【例3-1】如圖，在多面體ABCDE中，平面BCD，平面平面BCD，其中是邊長(zhǎng)為2的正三角形，是以為直角的等腰三角形，.

(1)證明：平面BCD.(2)求平面ACE與平面BDE的夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】（1）取CD的中點(diǎn)F，連接EF，BF.因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為2的正三角形，所以，且.因?yàn)槠矫嫫矫鍮CD，且平面平面，平面ECD，所以平面BCD.因?yàn)槠矫鍮CD，所以.因?yàn)椋运倪呅蜛BFE為平行四邊形，所以.因?yàn)槠矫鍮CD，平面BCD，所以平面BCD.（2）過點(diǎn)B作，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，故，，，.設(shè)平面ACE的法向量為，則，令，得.設(shè)平面BDE的法向量為，則，令，得.設(shè)平面ACE與平面BDE的夾角為，則.【一隅三反】1．在直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為AC和的中點(diǎn)，.

(1)證明：.(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】（1）證明：因?yàn)閭?cè)面為正方形，所以，因?yàn)?，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以，所以在直三棱柱中?所以，因?yàn)?，?cè)面為正方形，所以，，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AC和的中點(diǎn)，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以∽，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以,因?yàn)槠矫妫矫?，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，?）解：由（1）可知兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AC和的中點(diǎn)，所以，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)二面角的平面角為，由圖可知為銳角，則，所以二面角的余弦值為.

3．如圖，在三棱柱中，已知平面，且.

(1)求的長(zhǎng)；(2)若為線段的中點(diǎn)，求二面角的余弦值.【答案】(1)2；(2)【解析】（1）連接，因?yàn)槠矫?，平面，則，又因?yàn)?，平面，所以平面，且平面，可得，因?yàn)闉槠叫兴倪呅危?，則為矩形，所以正方形，可得.（2）根據(jù)題意將三棱柱轉(zhuǎn)化為正四棱柱，取的中點(diǎn)，連接，則三點(diǎn)共線，且//，因?yàn)?/，可得//，所以平面即為平面，同理平面即為平面，因?yàn)?/，平面，則平面，且平面，則，所以二面角的平面角為，可得，在中，則，所以二面角的余弦值為.

.考法四動(dòng)點(diǎn)問題求角【例4】如圖，已知直角梯形與，，，，AD⊥AB，，G是線段上一點(diǎn).(1)平面⊥平面ABF(2)若平面⊥平面，設(shè)平面與平面所成角為，是否存在點(diǎn)G，使得，若存在確定G點(diǎn)位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)證明見解析；(2)存在，點(diǎn)G為BF中點(diǎn)【解析】（1）因?yàn)?，，，AF、AB平面ABF，所以AD⊥平面ABF，又AD平面ABCD，所以平面⊥平面ABF.（2）由面⊥面，，面面，面，所以平面，AB在面ABCD內(nèi)，則，結(jié)合已知建立如下空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，得，平面的法向量為，又，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，故=，解得=，（舍），所以點(diǎn)G的坐標(biāo)為，故存在點(diǎn)G為BF中點(diǎn)時(shí)使得.【一隅三反】1．已知四棱錐，底面為菱形平面，為上一點(diǎn).(1)平面平面，證明：；(2)當(dāng)二面角的余弦值為時(shí)，試確定點(diǎn)的位置.【答案】(1)證明見解析；(2)點(diǎn)為棱中點(diǎn)【解析】（1）證明：因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?，又因?yàn)槠矫嫫矫?，所?（2）取中點(diǎn)，則，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.所以，設(shè)，所以，設(shè)平面的法向量，則有，即令，則.平面的一個(gè)法向量為，所以.解得，即當(dāng)點(diǎn)為棱中點(diǎn)時(shí)滿足條件.2．如圖1，在平面圖形中，，，，，沿將折起，使點(diǎn)到的位置，且，，如圖2.

(1)求證：平面平面.(2)線段上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成角的余弦值為?若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)證明見解析；(2)線段FG上存在點(diǎn)M，【解析】（1）證明：因?yàn)椋裕忠驗(yàn)?，所以，因?yàn)?，且，所以四邊形為等腰梯形，又因?yàn)?，所以，所以，所以，即，因?yàn)?，，平面AEG，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）解：由，，且，平面，所以平面，因?yàn)?，可得，所以平面，又由?）知，，所以兩兩互相垂直，以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸、軸和軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

因?yàn)?，四邊形是矩形，所以，則，，.假設(shè)線段上存在點(diǎn)滿足題意，令,則，可得，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，可得，所以，由平面，則平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面所成角為，則，其中，所以，解得，即，所以線段上存在點(diǎn)，使得平面與平面所成角的余弦值為，且.考法五點(diǎn)線距【例1】在空間直角坐標(biāo)系中，直線的方程為，空間一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B．1 C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意，直線的方程為，即，則直線的方向向量為，又因?yàn)檫^點(diǎn)，，，則，故在上的射影為：，故點(diǎn)到直線的距離為：.故選：D.【一隅三反】1．菱形的邊長(zhǎng)為4，，E為AB的中點(diǎn)（如圖1），將沿直線DE翻折至處（如圖2），連接，，若四棱錐的體積為，點(diǎn)F為的中點(diǎn)，則F到直線BC的距離為（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】連接，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，且，所以為等邊三角形，因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，所以，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)榱庑蔚倪呴L(zhǎng)為4，所以，所以直角梯形的面積為，設(shè)四棱錐的高為，則，得，所以，所以平面，所以以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，所以所以，所以F到直線BC的距離為，故選：A

考點(diǎn)六線線距【例1】長(zhǎng)方體中，，，為的中點(diǎn)，則異面直線與之間的距離是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)與的公垂線的一個(gè)方向向量為，則，取，得，，即，又，所以異面直線與之間的距離為．故選：D．【一隅三反】1．定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線距離的最小值.在長(zhǎng)方體中，，，，則異面直線與之間的距離是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，，設(shè)和的公垂線的方向向量，則，即，令，則，，.故選：D.考點(diǎn)七點(diǎn)面距【例1】如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，側(cè)面是邊長(zhǎng)為的正三角形，平面平面，．

(1)求證：平行四邊形為矩形；(2)若為側(cè)棱的中點(diǎn)，且平面與平面所成角的余弦值為，求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】（1）取中點(diǎn)，連接，為正三角形，則，面面，面面，面，則面，

面，故，又，面，，所以面，面，故，則平行四邊形為矩形.（2）如下圖，以為原點(diǎn)，為軸，為軸建立坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，所以，，

設(shè)面的法向量為，則，令，則，設(shè)面的法向量為，則，令，則，由，解得，則面的法向量為，，點(diǎn)到平面的距離.【一隅三反】1.在如圖所示的圓錐中，已知為圓錐的頂點(diǎn)，為底面的圓心，其母線長(zhǎng)為6，邊長(zhǎng)為的等邊內(nèi)接于圓錐底面，且.

(1)證明：平面平面；(2)若為中點(diǎn)，射線與底面圓周交于點(diǎn)，當(dāng)二面角的余弦值為時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】（1）因?yàn)闉閳A錐的頂點(diǎn)，為底面的圓心，所以面.又因?yàn)槊?，所以，?因?yàn)闉橥饨訄A圓心，且為正三角形，所以.又因?yàn)榍?，面，所以面，因?yàn)槊妫悦婷?（2）作交于，取中點(diǎn)為.因?yàn)?，，所?因?yàn)槊?，，面，所以?如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)?，，所以，，所以，，，?由，得，，，，.設(shè)面的法向量為，則，取，則，，所以.設(shè)面的法向量為，則,取，則，，所以.由，且，解得，所以，.又因?yàn)椋裕缘矫娴木嚯x.

考點(diǎn)八面面距【例1】如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，底面，，、、分別是、、的中點(diǎn)．求：(1)直線與平面的距離；(2)平面與平面的距離．【答案】(1)；(2)【解析】1）解：因?yàn)槠矫妫倪呅螢檎叫危渣c(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，則，平面，平面，平面，因?yàn)榍遥?、分別為、的中點(diǎn)，則且，所以，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面，，、平面，平面平面，平面，平面，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，，所以，直線與平面的距離為.（2）解：因?yàn)槠矫嫫矫妫瑒t平面與平面的距離為.【一隅三反】1.如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)，G分別為AB，BC，的中點(diǎn)．(1)求證：平面平面EFG；(2)求平面與平面EFG間的距離．【答案】(1)證明見詳解；(2)﹒【解析】（1）∵E是AB中點(diǎn)，F(xiàn)是BC中點(diǎn)，∴連接AC得，EF∥AC，∵是平行四邊形，∴，又平面平面，∥平面，同理，連接可得，可得EG∥平面，與平面EFG，∴平面∥平面EFG﹒（2）如圖：以D為原點(diǎn)，DA、DC、分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz﹒則∴，設(shè)平面的法向量為，則，取，則平面與平面EFG間的距離為﹒空間向量課后練習(xí)1.已知直平行六面體中，，，則直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．0【答案】A【分析】以為一組基底，利用向量法求解.【詳解】解：如圖所示：

以為一組基底，則，，則，，，，，，以,故選：A2.如圖，已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)P為線段BC1上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線AC的距離的最小值為（）

A．1 B． C． D．【答案】C【分析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求異面直線距離可得.【詳解】解：正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)P為線段BC1上的動(dòng)點(diǎn)，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（2，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），設(shè)P（2﹣t，2，t），（0≤t≤2），，設(shè)異面直線的公共法向量為，則，取x＝1，得，∴點(diǎn)P到直線AC的距離為：，點(diǎn)P到直線AC的距離的最小值為.故選：C.

3．如圖，在三棱柱中，側(cè)面底面，側(cè)面是菱形，，，.(1)若為的中點(diǎn)，求證：；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)見解析；(2)【分析】(1)結(jié)合已知條件和平面幾何關(guān)系知，然后利用面面垂直性質(zhì)和線面垂直性質(zhì)可知，最后利用線面垂直判定和性質(zhì)即可證明；(2)取的中點(diǎn)，然后利用面面垂直性質(zhì)證明底面，再建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面和平面的法向量，最后利用二面角的向量公式即可求解.【詳解】（1）∵側(cè)面是菱形，∴，∵為的中點(diǎn)，∴，∵側(cè)面底面，側(cè)面底面，，底面，∴側(cè)面，∵側(cè)面，∴，∵，∴平面，∵平面，∴.（2）取中點(diǎn)，連接，從而，又由，則，∵側(cè)面底面，側(cè)面底面，∴底面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖：由已知條件和上圖可知，，，，，由題意可知，為平面的一個(gè)法向量，不妨設(shè)平面的一個(gè)法向量，因?yàn)?，，從而，令，則，，即，設(shè)二面角為，由圖可知為鈍角，從而，即，故二面角的正弦值為.4.如圖所示，在四棱錐中，平面平面，，且，設(shè)平面與平面的交線為．(1)作出交線（寫出作圖步驟），并證明平面；(2)記與平面的交點(diǎn)為，點(diǎn)S在交線上，且，當(dāng)二面角的余弦值為，求的值．【答案】(1)直線即為所求作的直線，證明見解析 ；(2)【分析】（1）延長(zhǎng)AB、DC交于Q點(diǎn)，即可得到交線，通過證明，即可證明線面垂直；（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用空間向量得出，解方程即可.【詳解】（1）延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連結(jié)，則直線即為所求作的直線：

因?yàn)?，所以又因?yàn)?，所以，分別為，中點(diǎn)，且為正三角形，所以，

又，平面平面且交線為，且平面，所以平面，且面PAB，所以，

又，且平面，平面,所以平面，即平面：

（2）取的中點(diǎn)，連結(jié)，則，又平面平面且交線為，且平面，所以平面，

以為原點(diǎn)，，所在直線為，軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，由，得，所以，，

顯然平面的一個(gè)法向量為，

設(shè)平面的法向量為，則，即取，則，，所以平面的一個(gè)法向量為，

所以，解得所以當(dāng)二面角的余弦值為時(shí)，5．如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，，為等邊三角形，為線段的中點(diǎn)，且平面平面，是線段上的點(diǎn).(1)求證：；(2)若直線與平面的夾角的正弦值為，求四棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）先證明，再證明，得出平面，從而證明；（2）建立坐標(biāo)系，利用線面角確定的位置，然后利用體積公式可求結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)闉榈冗吶切?，為線段的中點(diǎn)，所以；因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面；又平面，所以；在中，，由余弦定理可得，因?yàn)?，所以；因?yàn)椋?，所以平面；因?yàn)槠矫?，所?（2）由（1）得兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建系如圖，則；；設(shè)，則；設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，，令，則.因?yàn)橹本€與平面的夾角的正弦值為，所以，即，解得或（舍），即有，是靠近的三等分點(diǎn)，所以四棱錐的高等于的.四棱錐的體積為.空間向量隨堂檢測(cè)1.如圖所示，在正方體中，，分別是，的中點(diǎn)，則異面直線