2024-2025學(xué)年湖南師大附中高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（四）（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年湖南師大附中高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（四）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)z=1?2i2?i(i為虛數(shù)單位)，則|z|=A.15 B.35 C.452.已知命題p：?x∈R，2x?1<0；命題q：?x∈Z，x2+1A.p，q均是真命題 B.￢p，q均是真命題

C.p，￢q均是真命題 D.￢p，￢q均是真命題3.已知向量a，b滿足|a|=3，|b|=23，且a⊥(aA.π2 B.2π3 C.3π44.有一組數(shù)據(jù)，按從小到大排列為：1，2，3，6，7，9，m，這組數(shù)據(jù)的50%分位數(shù)等于他們的平均數(shù)，則m為(

)A.10 B.12 C.14 D.165.如圖所示，用一個(gè)與圓柱底面成θ(0<θ<π2)的平面截圓柱，截面是一個(gè)橢圓.若圓柱的底面圓半徑為1，θ=π3A.橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于2

B.橢圓的離心率為22

C.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以是y24+6.已知函數(shù)f(x)=2x+2?x，則下列函數(shù)圖象關(guān)于直線A.f(x?1)+cosπ2x B.f(x+1)+sinπ7.已知三棱錐A?BCD內(nèi)接于直徑為5的球O，AB=CD=2，則三棱錐A?BCD的體積的最大值為(

)A.13 B.23 C.1 8.關(guān)于x的方程(25?x)(5+x)=?2024恰有兩個(gè)根為x1、x2，且x1，x2分別滿足3x1=a?3xA.77+a B.57+a C.57 D.77二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知函數(shù)f(x)=sinx與g(x)=sin(2x+π4A.將f(x)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的12，并向左平移π8個(gè)單位可以得到g(x)的圖象

B.f(x)與g(x)的圖象存在相同的對(duì)稱中心

C.f(x)與g(x)在區(qū)間[?π8,π8]上單調(diào)性相同

D.當(dāng)10.已知三次函數(shù)f(x)=ax3?ax2+bx，(a,b∈RA.當(dāng)a=b時(shí)，函數(shù)f(x)為單調(diào)遞增函數(shù)

B.當(dāng)2a=9b時(shí)，函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于(13,0)對(duì)稱

C.存在a，b，使得函數(shù)y=f(x)圖象關(guān)于直線x=b對(duì)稱

D.函數(shù)11.已知點(diǎn)F為拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)y軸左側(cè)一點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)為A、B，PA、PB分別交y軸于M、N兩點(diǎn)，設(shè)A(x1,yA.kPA?kPB=p2y1y2 B.P，N三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知α，β，且(1?tanα)(1+tanβ)=2，則α?β=______．13.若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和{Sn}是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，則14.現(xiàn)有質(zhì)量分別為1，2，3，4，5，7千克的六件貨物，將它們隨機(jī)打包裝入三個(gè)不同的箱子，每個(gè)箱子裝入兩件貨物，每件貨物只能裝入一個(gè)箱子.則第一、二個(gè)箱子的總質(zhì)量均不小于第三個(gè)箱子的總質(zhì)量的概率是______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

記銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，△ABC的面積為S，已知a2+43S=(b+c)2．

(1)求角A；

(2)16.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=ax?ex，g(x)=lnx?ax．

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程；

(2)若函數(shù)f(x)和g(x)有相同的最大值，求a17.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=PD=6，PB=PC=3，∠APB=∠CPD=90°，點(diǎn)M，N分別是棱BC，PA的中點(diǎn)．

(1)證明：MN/?/平面PCD；

(2)若平面PAB⊥平面PCD，求直線MN18.(本小題17分)

湖南某高中在校園藝術(shù)節(jié)舉辦形式多樣的活動(dòng)．

(1)抽獎(jiǎng)活動(dòng)規(guī)則如下：在一不透明的紙箱中有8張完全相同的卡片，其中3張寫有O字母，3張寫有A字母，2張寫有B字母，抽獎(jiǎng)學(xué)生每次不放回從箱中隨機(jī)取出1張卡片，若抽到寫有O的卡片，則再抽1次，直至取到寫有A或B卡片為止.抽到A卡片送精美校園明信片一張，抽到B卡片送文學(xué)社設(shè)計(jì)的精美信封一個(gè).甲同學(xué)想要明信片，請(qǐng)問(wèn)甲同學(xué)取到寫有A卡片的概率．

(2)領(lǐng)福袋活動(dòng)規(guī)則如下：每位同學(xué)都可以去文化長(zhǎng)廊領(lǐng)取自己最喜歡的福袋，規(guī)定只能取一次，并且只可以向前走，不能回頭，長(zhǎng)廊上一共懸掛n個(gè)福袋(每個(gè)福袋的大小不同)，福袋出現(xiàn)在各個(gè)位置上的概率相等，乙同學(xué)想要摘取最大的福袋，他準(zhǔn)備采用如下策略：不摘前k(1≤k<n)個(gè)福袋，自第k+1個(gè)開(kāi)始，只要發(fā)現(xiàn)比他前面見(jiàn)過(guò)的福袋都大時(shí)，就摘這個(gè)福袋，否則就摘最后一個(gè).設(shè)k=tn，記乙同學(xué)摘到最大的福袋概率為P．

①若n=4，k=2，求P；

②當(dāng)n趨向于無(wú)窮大時(shí)，從理論的角度，求P的最大值及P取最大值時(shí)t的值.(取1k+19.(本小題17分)

已知雙曲線C：4y2?x2=m，點(diǎn)P1(?1,1)在C上.按如下方式構(gòu)造點(diǎn)Pn(n≥2)：過(guò)點(diǎn)Pn?1作斜率為?1的直線與C的下支交于點(diǎn)Qn?1，點(diǎn)Qn?1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為Pn，記點(diǎn)Pn的坐標(biāo)為(xn,yn).

(1)求點(diǎn)P2，P3的坐標(biāo)；

(2)記an=2y參考答案1.D

2.B

3.D

4.C

5.C

6.C

7.D

8.D

9.ACD

10.BD

11.ABC

12.?π13.2n14.2515.解：(1)因?yàn)閍2+43S=(b+c)2，

所以b2+c2?a2=43?12bcsinA?2bc=23bcsinA?2bc，

由余弦定理可得cosA=b2+c2?a22bc=23bcsinA?2bc2bc=3sinA?1，

所以3sinA?cosA=1，

即sin(A?π6)=12，

在銳角△ABC中，A∈(0,π16.解：(1)當(dāng)a=2時(shí)，則f(x)=2x?ex，f′(x)=2?ex，

可得f(1)=2?e，f′(1)=2?e，

即切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2?e)，

切線斜率k=2?e，

所以切線方程為y?(2?e)=(2?e)(x?1)，即(e?2)x+y=0．

(2)f(x)=ax?ex的定義域?yàn)镽，而f′(x)=a?ex，

若a≤0，則f′(x)<0，

此時(shí)函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減，無(wú)最大值，不符合題意，故a>0，

令f′(x)=0，得x=lna，當(dāng)x∈(?∞,lna)時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)x∈(lna,+∞)時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，

所以f(x)的最大值為f(lna)=alna?a．

g(x)=lnx?ax的定義域?yàn)?0,+∞)，而g′(x)=1x?a=1?axx，

當(dāng)x∈(0,1a)時(shí)，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x∈(1a,+∞)時(shí)，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，

所以g(x)的最大值為g(1a)=ln1a?1=?1?lna．

因?yàn)閒(x)和g(x)有相同的最大值，

故alna?a=?1?lna，整理得到a?11+a=lna，其中a>0，

17.(1)證明：取PD的中點(diǎn)E，連接NE，CE，

因?yàn)镹是PA的中點(diǎn)，所以NE//AD，NE=12AD，

在矩形ABCD中，M是BC的中點(diǎn)，所以CM/?/AD，CM=12AD，

所以NE//CM，NE=CM，即四邊形MNEC是平行四邊形，

所以MN//CE，

又MN?平面PCD，CE?平面PCD，

所以MN/?/平面PCD．

(2)解：因?yàn)镻A=PD=6，PB=PC=3，∠APB=∠CPD=90°，

所以△PAB≌△PDC，

由對(duì)稱性知，點(diǎn)P在底面ABCD上的投影落在過(guò)點(diǎn)M的中位線上，

以A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)P(x,y,z)，其中x≥0，y>0，z>0，則A(0,0,0)，B(3,0,0)，C(3,2y,0)，D(0,2y,0)，

因?yàn)镻A=6，PB=3，

所以x2+y2+z2=6，(x?3)2+y2+z2=3，

兩式相減可得x=2，y2+z2=2①，

所以AP=(2,y,z)，AB=(3,0,0)，DP=(2,?y,z)，DC=(3,0,0)，

設(shè)平面PAB的法向量為n1=(a1,b1,c1)，則n1?AP=2a1+yb1+zc1=0n1?AB=3a1=0，

取b1=z，則a1=0，c1=?y，所以n1=(0,z,?y)，

設(shè)平面18.解：(1)8張完全相同的卡片，3張寫有O字母，3張寫有A字母，2張寫有B字母，

由抽取規(guī)則可知，甲同學(xué)取到寫有A卡片的概率為P=38+38×37+38×27×36+38×27×16×35=35；

(2)①這4個(gè)福袋的位置從第1個(gè)到第4個(gè)排序，有A44=24種情況，

要摘到最大的福袋，有以下兩種情況：

最大的福袋是第3個(gè)，其他的福袋隨意在哪個(gè)位置，有A33=6種情況，

最大的福袋是最后1個(gè)，第二大的福袋是第1個(gè)或第2個(gè)，其他的福袋隨意在哪個(gè)位置，有2A22=4種情況，

故所求概率為P=6+424=512；

②記事件A表示最大的福袋被摘到，事件Bj表示最大的福袋在福袋中排在第j個(gè)，

因?yàn)樽畲蟮母４霈F(xiàn)在各個(gè)位置上的概率相等，所以P(Bj)=1n，

以給定所在位置的序號(hào)作為條件，P(A)=j=1nP(A|Bj)P(Bj)=1nj=1nP(A|Bj)，

當(dāng)1≤j≤k19.解：(1)由題知m=4?1=3，所以雙曲線C：4y2?x2=3，

又過(guò)點(diǎn)P1(?1,1)斜率為?l的直線方程為y=?x，

由雙曲線與直線的對(duì)稱性可知Q1(1,?1)，所以P2(1,1)，

又過(guò)P2(1,1)，且斜率為?l的直線方程為y?1=?x+1，即y=?x+2，

由y=?x+24y2?x2=3，解得：x=1或x=133，