工程力學(xué)(高教版)教案：3.2-力偶

第二節(jié)力偶一、力偶、力偶矩在日常生活和工程實(shí)際中經(jīng)常見(jiàn)到物體受動(dòng)兩個(gè)大小相等、方向相反，但不在同一直線(xiàn)上的兩個(gè)平行力作用的情況。例如，司機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)駕駛汽車(chē)時(shí)兩手作用在方向盤(pán)上的力（圖3－7a）；工人用絲錐攻螺紋時(shí)兩手加在扳手上的力（圖3－7b）；以及用兩個(gè)手指擰動(dòng)水龍頭（圖3－7c）所加的力等等。在力學(xué)中把這樣一對(duì)等值、反向而不共線(xiàn)的平行力稱(chēng)為力偶，用符號(hào)(F,F′)表示。兩個(gè)力作用線(xiàn)之間的垂直距離稱(chēng)為力偶臂，兩個(gè)力作用線(xiàn)所決定的平面稱(chēng)為力偶的作用面。圖3－7實(shí)驗(yàn)表明，力偶對(duì)物體只能產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，且當(dāng)力愈大或力偶臂愈大時(shí)，力偶使剛體轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)就愈顯著。因此，力偶對(duì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)取決于：力偶中力的大小、力偶的轉(zhuǎn)向以及力偶臂的大小。在平面問(wèn)題中，將力偶中的一個(gè)力的大小和力偶臂的乘積冠以正負(fù)號(hào)，(作為力偶對(duì)物體轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的量度，稱(chēng)為力偶矩，用m或m(F,F′)表示，如圖3－8所示，即m(F)＝F?d=±2ΔABC(3-4)圖3－8通常規(guī)定：力偶使物體逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，力偶矩為正，反之為負(fù)。在國(guó)際單位制中，力矩的單位是牛頓?米（N??m）或千牛頓?米（kN?m）。二、力偶的性質(zhì)力和力偶是靜力學(xué)中兩個(gè)基本要素。力偶與力具有不同的性質(zhì)：（1）力偶不能簡(jiǎn)化為一個(gè)力，即力偶不能用一個(gè)力等效替代。因此力偶不能與一個(gè)力平衡，力偶只能與力偶平衡。設(shè)剛體上的A和B分別作用著大小不等，指向相反的平行力F1和F2，若F1＞F2。由同向平行力合成的內(nèi)分反比關(guān)系，來(lái)求反向平行力的合力。圖3－9b所示，將力F1分解成兩個(gè)同向平行力，使其中一個(gè)分力F2′作用于點(diǎn)B，且F2′＝－F2，設(shè)另一個(gè)分力為FR，其作用線(xiàn)與AB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于C點(diǎn)。現(xiàn)將平衡力F2和F2′減去，力FR就與原來(lái)兩反向平行力F1和F2等效。即力FR為F1和F2的合力。（圖3－9b）圖3－9因?yàn)镕2＝F2′＋FR＝F2＋FR所以FR＝F1－F2由內(nèi)分反比關(guān)系知若F1＝F2，則力F1和F2組成力偶，此時(shí)，F(xiàn)R＝0，于是CA＝∞CA＝∞，說(shuō)明合力的作用點(diǎn)C不存在，所以力偶不能合成為一合力。即力偶不能用一個(gè)力代替，也不能與一個(gè)力平衡，力偶只能用力偶來(lái)平衡。(2)力偶對(duì)其作在平面內(nèi)任一點(diǎn)的矩恒等于力偶矩，與矩心位置無(wú)關(guān)。圖3－10如圖3－10所示，力偶(F,F′)的力偶矩m(F)＝F?d在其作用面內(nèi)任取一點(diǎn)O為矩心，因?yàn)榱κ刮矬w轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)用力對(duì)點(diǎn)之矩量度，因此力偶的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)可用力偶中的兩個(gè)力對(duì)其作用面內(nèi)任何一點(diǎn)的矩的代數(shù)和來(lái)量度。設(shè)O到力F′的垂直距離為x，則力偶(F,F′)對(duì)于點(diǎn)O的矩為mo(F,F′)=mo(F)+mo(F′)=F（x+d）-F′x=F?d=m所得結(jié)果表明，不論點(diǎn)O選在何處，其結(jié)果都不會(huì)變，即力偶對(duì)其作用面內(nèi)任一點(diǎn)的矩總等于力偶矩。所以力偶對(duì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)總?cè)Q于偶矩（包括大小和轉(zhuǎn)向），而與矩心位置無(wú)關(guān)。由上述分析得到如下結(jié)論：在同一平面內(nèi)的兩個(gè)力偶，只要兩力偶的力偶的代數(shù)值相等，則這兩個(gè)力偶相等。這就是平面力偶的等效條件。根據(jù)力偶的等效性，可得出下面兩個(gè)推論：推論1力偶可在其作用面內(nèi)任意移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，而不會(huì)改變它對(duì)物體的效應(yīng)。推論2只要保持力偶矩不變，可同時(shí)改變力偶中力的大小和力偶臂的長(zhǎng)度，而不會(huì)改變它對(duì)物體的作用效應(yīng)。由力偶的等效性可知，力偶對(duì)物體的作用，完全取決于力偶矩的大小和轉(zhuǎn)向。因此，力偶可以用一帶箭頭的弧線(xiàn)來(lái)表示如圖3-11所求，其中箭頭表示力偶的轉(zhuǎn)向，m表示力偶矩的大小。圖3－11三、平面力偶系的合成作用在物體同一平面內(nèi)的各力偶組成平面力偶系。設(shè)在剛體的同一平面內(nèi)作用三個(gè)力偶(F1,F1′)(F2,F2′)和(F3,F3′)，如圖3－12所示。各力偶矩分別為：m1＝F1?d1，m2＝F2?d2，m3＝－F3?d3，圖3－12在力偶作用面內(nèi)任取一線(xiàn)段AB＝d，按力偶等效條件，將這三個(gè)力偶都等效地改為以為d力偶臂的力偶(P1,P1′)(P2,P2′)和(P3,P3′)。如圖3－12所示。由等效條件可知P1?d=F1?d1，P2?d＝F2?d2，－P3?d＝－F3?d3則等效變換后的三個(gè)力偶的力的大小可求出。然后移轉(zhuǎn)各力偶，使它們的力偶臂都與AB重合，則原平面力偶系變換為作用于點(diǎn)A、B的兩個(gè)共線(xiàn)力系（圖3－12b）。將這兩個(gè)共線(xiàn)力系分別合成，得FR＝P1＋P2－p3FR′＝P1′＋P2′－P3′可見(jiàn)，力FR與FR′等值、反向作用線(xiàn)平行但不共線(xiàn)，構(gòu)成一新的力偶（FR，F(xiàn)R′），如圖3－12c所示。為偶（FR，F(xiàn)R′）稱(chēng)為原來(lái)的三個(gè)力偶的合力偶。用M表示此合力偶矩，則M＝FRd＝（P1＋P2－P3）d=P1?d+P2?d－P3?d=F1?d1+F2?d2－F3?d3所以M＝m1＋m2＋m3若作用在同一平面內(nèi)有個(gè)力偶，則上式可以推廣為M＝m1＋m2＋…＋mn＝Σm由此可得到如下結(jié)論：平面力偶系可以合成為一合力偶，此合力偶的力偶矩等于力偶系中各力偶的力偶矩的代數(shù)和。四、平面力偶系的平衡條件平面力偶系中可以用它的合力偶等效代替，因此，若合力偶矩等于零，則原力系必定平衡；反之若原力偶系平衡，則合力偶矩必等于零。由此可得到平面力偶系平衡的必要與充分條件：平面力偶系中所有各力偶的力偶矩的代數(shù)和等于零。即Σm＝0（3－6）平面力偶系有一個(gè)平衡方程，可以求解一個(gè)未知量。例3－2如圖3－13所示，電動(dòng)機(jī)軸通過(guò)聯(lián)軸器與工作軸相連，聯(lián)軸器上4個(gè)螺栓A、B、C、D的孔心均勻地分布在同一圓周上，此圓的直徑d＝150mm，電動(dòng)機(jī)軸傳給聯(lián)軸器的力偶矩m＝2.5kN?m，試求每個(gè)螺栓所受的力為多少？圖3－13解取聯(lián)軸器為研究對(duì)象，作用于聯(lián)軸器上的力有電動(dòng)機(jī)傳給聯(lián)軸器的力偶，每個(gè)螺栓的反力，受力圖如圖所示。設(shè)4個(gè)螺栓的受力均勻，即F1＝F2＝F3＝F4＝F，則組成兩個(gè)力偶并與電動(dòng)機(jī)傳給聯(lián)軸器的力偶平衡。由Σm＝0，m－F×AC－F×d＝0解得例3－3水平桿重量不計(jì)，受固定鉸支座A及CD的約束，如圖3－14所示，在桿端B受一力偶作用，已知力偶矩m＝100N?m，求A、C處的約束反力。圖3－14解取AB桿為研究對(duì)象。作用于A(yíng)B桿的是一個(gè)主動(dòng)力