山東省煙臺市福山區(qū)（五四制）2024-2025學(xué)年九年級第一學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（含答案）

初四數(shù)學(xué)第一學(xué)期質(zhì)量檢測題

一、單選題（每題3分）

1.在RtZkABC中，已知a邊及ZA,則斜邊應(yīng)為（）

aa

A.asinAB.------C.acosAD.-------

sinAcosA

2.一位籃球運動員跳起投籃，籃球運行的高度y（米）關(guān)于籃球運動的水平距離x（米）的

函數(shù)解析式是y=-g（X-2.5）2+3.5.已知籃圈中心到地面的距離3.05米，如果籃球運行

高度達到最高點之后能準確投入籃圈，那么籃球運行的水平距離為（）

A.1米B.2米C.4米D.5米

3.AABC為等腰直角三角形，ZC=9O°,D為BC上一點，且AD=2CD,則NDAB=（）

A.30°B.45°C.60°D.15°

4.若二次函數(shù)y="2+6x+c的部分圖象如圖所示，貝U關(guān)于x的方程a/+6x+c=0的解為

B.須=—1,々=3

C.須=0,工2=3D.玉=1,x?~3

5.函數(shù)＞="2+及（?！?）與歹=辦+6的圖象可能是（）

試卷第1頁，共8頁

6.若實數(shù)x、y滿足2N-6x+y=0,則N+y+2x的最大值是（）

A.14B.15C.16D.17

7.已知/a為銳角，且sina=cosa,則的度數(shù)為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

8.如圖，要測量一條河兩岸相對的兩點A,8之間的距離，我們可以在岸邊取點C和。，

使點5,C,。共線且直線8。與48垂直，測得/ZC5=56.3。，ZADB=45°,CD=10m,

則ZB的長約為（）

（參考數(shù)據(jù)sin56.3°?0.8,cos56.3°x0.6,tan56.3°?1.5,sin45°?0.7,cos45°?0.7,

1tan45°=l）

D

A.15mB.30mC.35mD.40m

9.如圖，在4x4的正方形網(wǎng)格中,tani的值等于（）.

試卷第2頁，共8頁

10.如圖，考古隊在/處測得古塔2C頂端C的仰角為45。，斜坡/。長10米，坡度1=3：

4,AD長12米，請問古塔2c的高度為（）米.

11.如圖，等邊△NBC的邊長為2cm,點P從點/出發(fā)，以lcm/s的速度向點C移動（到

達點C后停止運動），同時點。從點/出發(fā)，以lcm/s的速度沿/8-3C的方向向點C移動

（到達點C后停止），若△/P0的面積為S（cm2）,則下列最能反映S（cn?）與移動時間*s）

之間函數(shù)關(guān)系的大致圖象是圖2（）

試卷第3頁，共8頁

12.如圖，拋物線》=辦2+云+。的圖象與X軸交于點，與〉軸的交點在（0,2）和（0,3）

之間（包含端點），頂點坐標為以下判斷：①當x>3時，><0；②3a+6>0；③

2Q

-l<i7<-y;（4）-<?<4.其中正確的個數(shù)有（）

二、填空題（每題3分）

13.如圖，矩形N8CD的四個頂點分別在直線4乙，4,4上.若直線4〃/2〃/3〃乙且間距

相等，AB=4,BC=3,貝Utana的值為.

n

14.將二次函數(shù)y=/+l圖像向下平移5個單位長度，平移后的解析式為.

15.如圖，已知二次函數(shù)》=-2無2的圖象經(jīng)過點（0,10）,矩形的頂點/、。在x

軸上，2、C恰好在二次函數(shù)的圖象上，矩形長和寬的比為2：1,則圖中陰影部分的面積之

和為?

試卷第4頁，共8頁

16.二次函數(shù)玲=心-2工+2的圖象經(jīng)過4-2,%）、8（3,%）、C（0,%）三點，則%,%，%

的大小關(guān)系是.（用“〈”連接）

17.如圖，CD是△43C的角平分線，過點。分別作AC、3c的平行線，交BC于點交/C

于點尸，若乙4c8=60。，CD=V3cm,則四邊形CED尸的周長是

18.如圖，在直角三角形N8C紙片上剪出如圖所示的正方體的展開圖，直角三角形的兩直

角邊與正方體展開圖左下角正方形的邊重合，斜邊恰好經(jīng)過兩個正方形的頂點.已知

SC=12cm,則這個展開圖中正方形的邊長是cm.

三、解答題（66分）

3

19.已知：如圖，在ZUBC中，ZABC=45°,sin/=M，AB=14,AD是NC邊上的中

線.

（1）求A/BC的面積；

（2）求―48。的余切值.

20.某數(shù)學(xué)綜合實踐活動小組在學(xué)校無人機社團的幫助下，在操場上對無人機進行了一次測

試卷第5頁，共8頁

高實驗.如圖，兩臺測角儀分別放在/,8位置，且離地面高均為1加（即4D=BE=1m）,

兩臺測角儀相距50m（即/B=50m）.在某一時刻無人機位于點C（點/,B,C所在平面

與地面垂直），點/處測得其仰角恰好為45。，點3處測得其仰角為60。.

PC

/r----/入、

//\

*//'\

■■MMri4/4發(fā)峽B

DE

（1）求該時刻無人機離地面的高度；（單位：m,結(jié)果保留整數(shù)）

⑵無人機沿胡方向水平飛行2s后到達點尸（點尸與點/,B,C在同一平面內(nèi)），此時丁N

處測得無人機的仰角/尸4臺=65。，求無人機水平飛行的平均速度.（單位：m/s,結(jié)果精確

到O.lm/s）（參考數(shù)據(jù)：72?1.41，5ABl.73,sin65°?0.91,cos65°?0.42,

tan65°?2.14）

21.某超市有甲、乙兩種商品，若買1件甲商品和4件乙商品，共需130元；若買2件甲商

品和3件乙商品，共需135元.

（1）求甲、乙兩種商品每件售價分別是多少元？

⑵甲商品每件的成本是20元，根據(jù)市場調(diào)查：若按（1）中求出的單價銷售，該超市每天銷

售甲商品100件，若銷售單價每上漲1元，甲商品每天的銷售量就減少5件.求甲商品每件

售價為多少元時，甲商品每天的銷售利潤最大，最大利潤是多少？

22.如圖，二次函數(shù)了=；/+云-3的圖象與軸交于2、C兩點（點2在點C的左側(cè)），一

次函數(shù)的圖象經(jīng)過點8和二次函數(shù)圖象上另一點/，點/的坐標（4,3）.

（1）求一次函數(shù)解析式；

（2）若點尸是直線N2下方，拋物線上第四象限內(nèi)的一點，求%PA4的最大值及此時點尸

的坐標.

23.請先閱讀這段內(nèi)容.再解答問題

試卷第6頁，共8頁

三角函數(shù)中常用公式sin(a+/?)=sina-cos/?+cosa-sin/?^sin75。的值,

即sin75°=sin(30°+45°)=sin30°-cos45°+cos30°-sin45°=啦;C.

試用公式cos(a+⑶=cosa?sin夕-sina-cos尸，求出cos75。的值.

24.圖(1)為某大型商場的自動扶梯、圖(2)中的43為從一樓到二樓的扶梯的側(cè)面

示意圖.小明站在扶梯起點A處時，測得天花板上日光燈C的仰角為37。，此時他的眼睛。

與地面的距離1.8m,之后他沿一樓扶梯到達頂端&后又沿瓦：(BL〃MN)向正前方

走了1m,發(fā)現(xiàn)日光燈C剛好在他的正上方.已知自動扶梯的坡度為1:2,的長度是

15m.(結(jié)果精確到十分位.參考數(shù)據(jù)：sin37°ss0.6,cos37°?0.8,tan370?0.75,

V5?2.24)

(1)求圖中B到一樓地面的高度；

(2)求日光燈C到一樓地面的高度.

25.如圖，已知二次函數(shù)4ax+c的圖像交x軸于/、2兩點(其中/點在8點的左

側(cè))，交y軸于點C(0,3).

2

(1)若tan乙4co=],求這個二次函數(shù)的表達式；

(2)若0c為。4、05的比例中項.

①設(shè)這個二次函數(shù)的頂點為P,求△PBC的面積；

②若M為y軸上一點，N為平面內(nèi)一點，問：是否存在這樣的M、N,使得以“、N、B、C

為頂點的四邊形為矩形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點N的坐標；若不存在，請

說明理由.

試卷第7頁，共8頁

試卷第8頁，共8頁

1.B

【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可解答.

【詳解】在Rt^ABC中，由銳角三角函數(shù)的定義可得，sinA=3,所以斜邊=’).

斜邊sinA

故選B.

【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練運用銳角三角函數(shù)的定義是解決問題的關(guān)鍵.

2.C

【詳解】試題分析：令y=3.05得：(x-2.5)2+3.5=3.05,解得：x=4或x=1.5(舍

去).

所以運行的水平距離為4米.故選C.

考點：二次函數(shù)的應(yīng)用.

3.D

CD1

【分析】在Rt^ADC中，由一=一得到4ADC=60。，而NADC=45O=4B+ZDAB,根據(jù)

^4.D2

等腰直角三角形即可求出NADC.

CD1

【詳解】解：在RtaADC中，zC=90°,sinzCAD=—=-,

AD2

??ZCAD=3O°,

??ZADC=6O°

而NADC=/B+NDAB

???△ABC為等腰直角三角形，ZC=9O°,

??.ZB=45°

."DAB=15°.

故選：D.

【點睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，三角形外角和定理和等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握

這些知識點是解題關(guān)鍵.

4.B

【分析】先利用拋物線的對稱性寫出拋物線與％軸的一個交點坐標為然后根據(jù)拋物

線與X軸的交點問題可得到關(guān)于X的方程辦2+區(qū)+c=0(“/0)的解.

【詳解】解：拋物線的對稱軸為直線X=l,拋物線與X軸的一個交點坐標為(3,0),

答案第1頁，共21頁

所以拋物線與無軸的一個交點坐標為（T,0），

即x=-l或3時，函數(shù)值y=0,

所以關(guān)于x的方程辦2+&+。=0（0*0）的解為%=3,x2=-1.

故選：B.

【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)>="2+為+°（應(yīng)伉。是常數(shù)，"0）

與x軸的交點坐標問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程.也考查了二次函數(shù)的性質(zhì).

5.B

【分析】本題主要考查二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)。，6與0的大小關(guān)

系以及交點情況進行討論.

根據(jù)二次函數(shù)開口向上，對稱軸在y軸右側(cè)判斷出。，6與0的大小關(guān)系，進而推出一次函

數(shù)圖像經(jīng)過第一、三、四象限，再利用二次函數(shù)與一次函數(shù)交點情況即可作出判斷.

【詳解】解：由四個選項可知，二次函數(shù)開口均向上，對稱軸在歹軸右側(cè)，

?,.Q>0,b<0,

???一次函數(shù)圖像應(yīng)該經(jīng)過第一、三、四象限，

當ax2+bx=0時，即石=0,x=—,

2a

當"+6=0時，即％=—2,

a

則二次函數(shù)與一次函數(shù)在X軸上有一交點，且為（-2,0）

a

A.一次函數(shù)圖像經(jīng)過第一、二、四象限，故本選項不符合題意.

B.一次函數(shù)圖像經(jīng)過第一、三、四象限，且有一交點在x軸上，故本選項符合題意.

C.一次函數(shù)圖像經(jīng)過第一、三、四象限，但交點均不在x軸上，故本選項不符合題意.

D.一次函數(shù)圖像經(jīng)過第二、三、四象限，故本選項不符合題意.

故選：B.

6.C

【分析】根據(jù)題意可用x表示出外再代入f+y+2x中，化為頂點式即得出答案.

【詳解1由2x?-6x+y=0,得了=-2x2+6x,

*'?x?+y+2x—x~-2x2+6x+2x——（x—4）?+16,

答案第2頁，共21頁

???當x=4時，x2+y+2x的最大值是16.

故選：C.

【點睛】本題考查求二次函數(shù)的最值.根據(jù)題意將得出的二次函數(shù)化為頂點式是解題關(guān)

鍵.

7.B

【分析】由/a為銳角，且sina=cosa,直接根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值進行解答，即可得

出結(jié)論.

【詳解】解：為銳角，且sina=cosa,

Xsin45°=cos45°,

Zcr=45°.

故選：B.

【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，應(yīng)用中要熟記特殊角的三角函數(shù)值，一是按值的

變化規(guī)律去記，正弦逐漸增大，余弦逐漸減小，正切逐漸增大；二是按特殊直角三角形中各

邊特殊值規(guī)律去記.

8.B

【分析】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，設(shè)=在RM45。中由乙4。5=45。知

x2

AB=BD=x,在Rt△45c中由tan//C5=——知BC=-------------=-----------,根據(jù)

BCtanZACBtan56.33

3。+。。=5。建立關(guān)于1的方程，解之可得答案.

【詳解】解：設(shè)=x,

在中，ZADB=45°f

AB=BD=x,

在RM/5C中，ZACB=563°且tan/ZC3=——，

9BC

c—4Bx2

二.BC=------------=---------7b—%,

tanZACBtan56.33

2

由+=得§x+10=x,

解得久=30,

/.45的長約為30m,

故選：B.

9.C

答案第3頁，共21頁

【分析】如圖，根據(jù)正切函數(shù)的定義求解即可.

Ar3

【詳解】解：如圖，在直角三角形/3C中，tana===K

JDC2

故選c.

【點睛】本題主要考查了正切的定義，熟練掌握正切的定義是解題的關(guān)鍵.

10.B

【分析】作NE18C,AFLBD,由=3：4,可設(shè)正=3x,DF=4x,結(jié)合/。=10,利用勾

股定理可求得x的值，解直角三角形即可得到結(jié)論.

【詳解】解：如圖，過點/作/E12C于點E,過點/作/FLBD,交AD延長線于點尸，

由i=3：4,

可設(shè)//=3x,DF=4x,

-AD=10,

.-.9x2+16x2=100,

解得：x=2（負值舍去），

貝!/=BE=6,DF=8,

：,AE=DF+BD=8+12=20,

??2G4E=45。，

??.CE=AE=20,

貝！JBC=CE+BE=20+6=26,

答案第4頁，共21頁

故選8.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，解題的關(guān)鍵是能根據(jù)題意構(gòu)造直

角三角形并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形.

11.C

【分析】由三角形23c為等邊三角形，得到乙4=NC=60。，在三角形/尸。中，利用特殊

角的三角函數(shù)值，勾股定理及三角形的面積公式列出關(guān)于S和/的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)關(guān)系式判

斷其圖像即可.

【詳解】(1)如圖1,當0W2時，作。8垂直于NP于點區(qū)即"為△/尸。的高，底為

AP,

三角形ABC為等邊三角形，

ZA=60°,

AP=AQ=t,AH=^AQ=;％，

???QH='AQ?-AH2=~-f>

:.S=；AP?QH=與廣；

(2)如圖2,當2</W4時，作0H垂直于AP于點X,即映為△/尸0的高，底為

AP=4C,

?:等邊△ABC的邊長為2cm,

??,ZC=60°,

.-.AP=AC=2,

BQ=t—2,

.-.CQ=BC-BQ=2-(t-2)=4-t,

22

.■.QH=^CQ-CH=^(4_z),

:?S=；AC?QH=一2+2道.

綜上，關(guān)于S和f的函數(shù)圖像應(yīng)是c.

故選C.

答案第5頁，共21頁

BB

圖1圖2

【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，借助二次函數(shù)和一次函數(shù)解決實

際問題，難度較大，關(guān)鍵是分類列出面積S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的關(guān)系式判斷

函數(shù)的圖像.此題還考查了等邊三角形的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，勾股定理等知識點,

利用了分類討論及方程的思想，

12.B

【分析】①由拋物線的對稱軸為直線x=l,一個交點N（TO）,得到另一個交點坐標，利

用圖象即可對于選項①作出判斷；②根據(jù)拋物線開口方向判定。的符號，由對稱軸方程求

得6與。的關(guān)系是6=-2a,將其代入3a+6,并判定其符號；③利用一元二次方程根與系

數(shù)的關(guān)系可得。=-鼻，然后根據(jù)c的的取值范圍利用不等式的性質(zhì)來求。的取值范圍；?

4

把頂點坐標代入函數(shù)解析式得到"=“+6+c=§c,利用c的取值范圍可以求得〃的取值范

圍.

【詳解】解：???拋物線的頂點坐標為。,”），

???對稱軸直線是X=1,

,??拋物線y=。尤2+6x+c與X軸交于點N（-l,0）,

???該拋物線與x軸的另一個交點的坐標是（3,0）,

觀察圖象得：當x>3時，y<0,故①正確；

觀察圖象得：拋物線開口方向向下，

???Q<0,

???對稱軸X=-g=l,

2a

,,,.b——2a,

.?.3。+6=3。-2。=。<0,即3a+6<0,故②錯誤；

?拋物線歹=Q'2+bx+c與x軸交于點（一1,0）,（3,0）,

答案第6頁，共21頁

???方程ax?+bx+°=O的兩根為一1,3,

—1x3=—3,BP（2=——,

a3

???拋物線與歹軸的交點在（0,2）、（0,3）之間（包含端點），

2<c<3,

22

c即故③正確；

7CC

,**.D——2a，。=，

3

7C2。

b=-2a=—,

3

??,頂點坐標為（,〃）,

4

...當x=l時，n=a+b+c=~c?

2<c<3,

Q4Q

.---<jc<4,即故④正確；

綜上所述，正確的有①③④，共3個.

故選：B

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握二次函數(shù)了=。/+云+。的系數(shù)

符號由拋物線開口方向、對稱軸、拋物線與了軸的交點拋物線與x軸交點的個數(shù)確定是解題

的關(guān)鍵.

31

【分析】過C作C尸于點F,交4于點E,設(shè)C3交4于點G,證ACEGsACFB,得

*=要=!，則G8=CG=：，再由平行線的性質(zhì)得然后由銳角三角函數(shù)定

CBCF22

3

義求出tan乙&4G=三，即可求解.

O

【詳解】解：過C作CFl。于點尸，交4于點E，設(shè)C8交4于點G,

答案第7頁，共21頁

由題意得：GE〃BF,CE=EF,

:?△CEGMCFB,

CGCE1

?:BC=3,

^CG=-BC=\,

2

3

:?GB=CG=一,

2

,?*I3〃I4,

-,-Z-a=Z-GAB,

???四邊形/BCD是矩形，/B=4,

.-.z^5G=90°,

BG3

.,.tanZ^G=——=一,

AB8

3

???tana=tanz5^4G=—,

8

3

故答案為：—.

o

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)

定義等知識；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明△CEGsaCES是解題的關(guān)鍵.

14.y=x2-4

【分析】本題考查了二次函數(shù)圖像的平移，根據(jù)二次函數(shù)圖像平移的規(guī)律“左加右減（橫

軸），上加下減（縱軸）”即可求解.

【詳解】解：二次函數(shù)y=x2+i圖像向下平移5個單位長度，

y—x~+1—5=x~—4,

???平移后的解析式為了=犬-4,

故答案為：y=x2-4.

15.”

4

【分析】根據(jù)點（0,10）求出拋物線的解析式，根據(jù)矩形長和寬的比為2：1判斷四邊形OECD

是正方形，求出C點的坐標，根據(jù)拋物線的對稱性，陰影部分的面積等于正方形OECD的

答案第8頁，共21頁

面積，

即可求得陰影部分的面積.

【詳解】???此二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(0,10),

???4=10.

???此二次函數(shù)圖象的對稱軸是V軸，且矩形N2CD的長和寬的比為2:1,陰影部分的面積等

于正方形OECD的面積，

設(shè)點C的坐標為(%-2〃2+10),

,??四邊形OECD是正方形，

???一2/+10=，解得再二一2(舍去負值)，％2=萬，

.??點c的坐標是

_55_25

"陰影=S矩形OEC。=5乂5=彳.

【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握拋物線的對稱性及其性質(zhì)是關(guān)鍵.

錯因分析：中等題.失分原因：①沒有掌握二次函數(shù)圖象對稱的性質(zhì)；②解一元二次方程

出錯.

16.%<%<必

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，得到對稱軸為直線x=l,再利用對稱性得到8(3,%)的對稱

點坐標為(T,%),最后利用增減性即可得到答案.

【詳解】解:yy=x2-2x+2,

??.對稱軸為直線X=-§=1,

2a

8(3,%)的對稱點坐標為(T,%)，

,/tz=1>0,

拋物線開口向上，有最小值，在對稱軸左側(cè)，>隨x的增大而減小，

0>—1>—2,

為<〈必，

故答案為：%<%<%.

【點睛】本題考查了函數(shù)圖象上的點的坐標與函數(shù)解析式的關(guān)系，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)

答案第9頁，共21頁

的對稱性及增減性.

17.4

【分析】本題考查是三角形角平分線及菱形性質(zhì)和判定，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是掌握

平行線性質(zhì)，證明四邊形CED尸是菱形.連接斯交CD于O,證明四邊形CEZ汨是菱形，

可得尸，ZECD=-ZACB=30°OC=-CD=—cm,在Rt^CO￡中，可得

2f22

2/23

S

2=lcm,故四邊形CEZ）廠的周長是4CE=4cm.

【詳解】解：連接斯交CD于。，如圖:

四邊形C比正是平行四邊形，

???CD是△/呂。的角平分線，

ZFCD=ZECD,

?:DE〃AC,

ZFCD=ZCDE,

ZECD=NCDE,

:.CE=DE,

二.四邊形廠是菱形，

CD1EF,ZECD=-ZACB=30°,OC=-CD=~cm,

222

在RtZiCOE中，

長

2

ococm

-耳-1C

cosZECDcos30°一

2

，四邊形CEDF的周長是4CE=4cm,

故答案為：4.

31

18.H￥#1.5##1-

22

答案第10頁，共21頁

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識.注意掌握輔助線的作法,

注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用.

設(shè)這個展開圖中正方形的邊長為xcm,然后延長隹交45于點。，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，

可求得45的長，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得答案.

【詳解】解：如圖，設(shè)這個展開圖中正方形的邊長為'em,

延長FE交4B于點D,

則EF=2xcm,EG-xcm,DF=4xcm,

???DF〃BC,

??.ZEFG=ZC,

,:在RLGEF中，tan/EFG=-----=—=—,

EF2x2

tanC=tan/EFG=—,

2

二在RtZXZBC中,AB=BC-tanC=12x；=6(cm),

AD=AB-BD=6-2x(cm),

?：DF〃BC,

MADFSAABC,

DFAD

口口4x6-2x

即——二-----，

126

3

解得：x=j，

3

即這個展開圖中正方形的邊長為2cm.

3

故答案為：—.

19.(1)42

答案第11頁，共21頁

【分析】本題考查了勾股定理，三角函數(shù)的定義，三角形中位線定理.

3

(1)作垂足為點〃.先由sin/=g,可設(shè)CH=3x,那么/C=5x,根據(jù)勾股

定理得出/〃=4x,在直角△助中，由48c=45。，得出3H=C〃=3x,再根據(jù)

AB=AH+HB,列出關(guān)于x的方程，解方程求出x=2,得到C〃=6,然后根據(jù)。的

面積=即可求解；

(2)作。垂足為點先由。M〃C“，得到由。為NC中點,

得出M為的中點，由三角形中位線定理得出。M=3,則NM=4,BM=10,然后在直

角ABDM中根據(jù)余切函數(shù)的定義即可求出NABD的余切值.

【詳解】(1)解：過點C作必點”為垂足，

在RtABCH中,/BHC=90°,ZCBH=45°,

△助是等腰直角三角形,

:.CH=BH,

在RM/C〃中，ZAHC=90°,

.,CH

sin4=,

AC

?，3

sm4=-,

5

:?設(shè)CH=BH=3x,則ZC=5x,

：AH2CH2=AC2,

AH=4x,

/.AB=AH+BH=4x+3x=14,

解得x=2,

CH=6,

.-.sA?lz>C=-2/15.C/f=-2xl4x6=42，；

（2）解：過點。作DM148,點M為垂足,

答案第12頁，共21頁

c

DM//CH,

：.^ADMs2iCH,

ADAMDM

ACAHCH

,?,。為/c中點,

AD1

AC~2

由(1)知：CH=6,AH=8,

:.DM=3,AM=4,

:.BM=AB-AM^10,

在Rt^BDM中,ZDMB=90°,

,cotZABD=^~10

DM3

20.⑴約為33m

(2)8.5m/s

【分析】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，等角對等邊的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)

用.

(1)過點c作48,垂足為點”，由等角對等邊可得出/〃=C〃，設(shè)CH=x，則/a=X,

解RMCHB可得出BH,再根據(jù)48=50m列出關(guān)于X的一次方程，求解后再加上距離地面

的高度即可得出答案.

(2)過點尸作尸垂足為點根據(jù)題意可得產(chǎn)四="=32,解放求出

再根據(jù)等量代換以及線段的和差求出尸C,最后根據(jù)速度等于距離除以時間即可得出答

案.

【詳解】(1)解：如圖，過點C作垂足為點〃,

???ZCAB=45°,

AH=CH.

設(shè)CH=x,則=

:在RMCHB中,ZCBH=60°.

X，

tan6003

答案第13頁，共21頁

百

x-----x—50f

3

150”

x=-------f=~25?32

3+V3

「.32+1=33.

答：無人機離地面高度約為33m.

DE

(2)過點尸作尸河，45,垂足為點

???無人機沿創(chuàng)水平飛行,

PM=CH=32.

PM

在Rt—PM中,ZtanPAM

AM

3232

?——?14.95

tanZ.PAMtan65°2.14

又尸C=MH——MB32—14.95=17.05.

.,.17.05+2?8.5m/s.

?/\i、

史一旦必應(yīng)

DE

答：無人機水平飛行的平均速度約為8.5m/s.

21.(1)甲種商品每件售價是30元，乙種商品每件售價是25元

(2)甲商品每件售價為35元時，甲商品每天的銷售利潤最大，最大利潤是1125元

【分析】(1)設(shè)甲、乙兩種商品每件售價分別是x元，y元，根據(jù)題意列方程組即可得到結(jié)論;

(2)設(shè)甲商品每件售價為加元時，每天的銷售利潤為"元，由題意列出關(guān)于力,〃的函數(shù)關(guān)

系式；把函數(shù)關(guān)系式配方即可得到結(jié)果.

【詳解】(1)解：設(shè)甲種商品每件售價是x元，乙種商品每件售價是y元,

x+4y=130

根據(jù)題意得:

2x+3y=135

答案第14頁，共21頁

x=30

解得

7=25，

答：甲種商品每件售價是30元，乙種商品每件售價是25元.

(2)解：設(shè)甲商品每件售價為加元時，每天的銷售利潤為〃元,

n=（m-20）［100-5（m-30）］

=-5m2+350m-5000

=-5（冽-35）2+1125

va=-5<0,

???此二次函數(shù)的圖象的開口向下，

當加=35時，〃有最大值，最大值為1125元，

答：甲商品每件售價為35元時，甲商品每天的銷售利潤最大，最大利潤是1125元.

【點睛】此題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，二次函數(shù)的應(yīng)用，準確分析題意，列出二

次函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵.

127

22.(1)y——x+1；(2)(1,-3),—

22

【分析】(1)將4代入二次函數(shù)解析式中，求得b的值，當丁等于0時求得3坐標，將4

和B的坐標代入中，求出加和〃的值即可；

(2)設(shè)點尸的坐標為，,過點/作/DLx軸于點。，過P作尸//垂直于x軸

交42于〃點，則,利用之利=%必求出心"=-|(-1)2+：即可得

出答案.

【詳解】解：將A(4,3)代入夕=；/+加-3中得，

3=-X42+4ZJ-3,

2

b,

2

1,1

?'?y=-x2--x-3

J22

當y=0時

—x2--x-3=0,

22

解得xj=3X2=-2

答案第15頁，共21頁

0)、C(3,0)

將A(4,3)、B(-2,0)代入y=加x+〃得:

f3=4加+n

[0=—2m+n

一1

,,m=一

解得,2

n=1

1

,?少=

(2)設(shè)點尸的坐標為，，2一?_3),過點/作ADlx軸于點，過P作尸〃垂直于x軸

交于〃點，則〃上,}+1),

...尸/7=0+11_&2_$_31=_?2+/+4,

???S”1HAFHP=；PH?DM+；PH?BM=；PH?BD

SAABP=產(chǎn)+/+4)X6=_；J+3f+i2=_；?-I)"+4，

乙\乙J乙乙乙

27

.,.當t=l,坐標為(1,-3)時，鼠郎最大，此時風(fēng)笛=萬；

【點睛】本題綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)（二次函數(shù)和一次函數(shù)）

的解析式，三角形的面積，兩點間的距離公式，平面直角坐標系內(nèi)的點到坐標軸的距離等重

要知識點，難度不是很大.運用數(shù)形結(jié)合及方程思想是解題的關(guān)鍵.

”巫6

L3、-------------------.

44

【分析】將75。化為30。和45。兩個特殊角，然后根據(jù)給出的公式及特殊角的三角函數(shù)值來解

比口?

【詳解】cos（a+尸）=cosacosj3-sinasinp,

cos（30°+45°）=cos30°cos45°-sin30°sin45°

答案第16頁，共21頁

V3V21V2V6V2

=----x---------x-----=------------

222244

【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解答此題要熟記特殊角的三角函數(shù)值，并能把“新

定義''的問題轉(zhuǎn)化為己知問題解答.

24.(l)6.7m

(2)12.6m

【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用一仰角俯角問題、解直角三角形的應(yīng)用一坡度坡角

問題，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

(1)過點B作于E,設(shè)8E=xm,根據(jù)坡度比和勾股定理建立方程，解方程即可

求出BE,從而求得答案；

(2)過點C作于尸交困于G,過點。作ZVLC尸于J交BE于先根據(jù)(1)

的結(jié)論求出/尸，再根據(jù)/CZ"的正弦值即可求出C7,從而求出CF即可.

【詳解】(1)解：過點&作兒W于E,如圖(2)所示：

???的坡度為1:2,

,BE\

??=一，

AE2

/.BE=xm,AE=2BE=2xm

在中，由勾股定理得*+4/=152,

解得：x=3亞,

BE?6.7m,AE?13.4m.

答：B到一樓地面的高度為6.7m；

(2)解：