人教版高中數(shù)學必修第一冊講義：集合間的基本關系

三集合與集合的關系

【考綱解讀】

1、理解子集和真子集的定義；掌握子集，真子集的性質(zhì)及其表示的基本方法，了解子集與

真子集之間的聯(lián)系和區(qū)別；

2、理解集合相等的定義，掌握集合相等的性質(zhì)及其表示的基本方法，能夠運用子集，真子

集和集合相等的性質(zhì)解答相關的數(shù)學問題。

【知識精講】

一、集合與集合的包含關系：

1、子集：

（1）子集的定義：設A、B是兩個非空集合，如果對任意的xeA,都有xeB,那么稱集合

A是集合B的子集；也可以說成集合A包含于集合B（或集合B包含集合A）；

（2）子集的表示：用符號“7”表示子集，讀作“包含于”，用符尋“7”表示不是子

集，讀作“不包含于”；

規(guī)定：空集是任何集合的子集，即對任意的集合A,都有07A；

（3）子集的性質(zhì)：①空集是任何集合的子集（即對任意的集合A,都有07A）；②子集

具有傳遞性（即若A^B,BcC,則A7C）；③若A7B,則ACB=A；④含有n個元素

的有限集合的子集個數(shù)為2"個。

2、真子集：

（1）真子集的定義：設A、B是兩個非空集合，如果對任意的xeA,都有xeB,且存在x0eB.

但與生A,那么稱集合A是集合B的真子集；也可以說成集合A真包含于集合B（或集合B

真包含集合A）；

（2）真子集的表示：用符號“u”表示真子集，讀作“真包含于"，用符號“u”表示不

是真子集，讀作“不真包含于"；

（3）真子集的性質(zhì)：①空集是任何非空集合的真子集（即對任意的非空集合A,都有0uA）；

豐

②真子集具有傳遞性（即若AuB,BuC,則AuC）；③含有n個元素的有限集合的真子集

個數(shù)為（2"-1）個。

（4）真子集與子集的關系：①真子集一定是子集；②子集不一定是真子集。

二、集合與集合的相等關系:

1、集合與集合相等的定義：

如果集合A、B滿足：A^B,且B^A,則稱集合A與集合B相等；

2、集合與集合相等的表示：

用符號“=”表示集合與集合的相等關系，例如集合A與集合B相等可表示為A=B。

【探導考點】

考點1集合與集合的包含關系：熱點①給出集合A,B,判斷集合A,B的包含關系；熱點②

給定集合A,全集U,且B^U,AcB,求滿足條件的集合B的個數(shù)；熱點③給出集合A,

B,已知AjB,求集合B中參數(shù)的值（或取值范圍）；

考點2集合與集合的相等關系：熱點①給出集合A,B,判斷集合A,B的相等關系；熱點②

給出集合A,B,已知A=B,求集合A,B中參數(shù)的值（或取值范圍）。

【典例解析】

【典例1］解答下列問題：

1、在下列各式中錯誤的個數(shù)是（）@ie{0,1,2）；②⑴e{0,1,2）；?{0,1,2}口{0,

1,2}；@{0,1,2}={2,0,1）.

AIB2C3D0

2、己知集合A={x|x是菱形},B={x|x是正方形},C={x|x是平行四邊形},那么A,B,C

之間的關系是（）

AA一cBc一CBB鼠一A=一CCAc豐zBo一C

3、若集合A={-1,0},B={0,1,x+2}集合A,B

的關系如圖所示，則實數(shù)x的值為；

4、己知集合A={（x,y）|x+y=2,x,yeN）,則A的所有子集個數(shù)為；

5、設集合P是大于1且小于6的所有質(zhì)數(shù)組成的集合，則集合P的子集的個數(shù)是（）

A8個B7個C6個D4個

6、已知集合后{（x,y）|3x+4yT2<0,x,yeN*}，則集合M的真子集的個數(shù)是（

A8個B7個C6個D4個

7、已知集合A={x|lWxV5},集合C={x|-aVxWa+3},若C鼠A,則a的取值范圍為()

3Baw]

A--<a^-lC

2

8、集合M={x|x=3k-2,keZ},P={y|y=3n+1,,neZ},S={z|z=6m+1,,meZ}之間的關系

是()

ASuPuMBS=PuMCSuP=MDP=MuS

wwwww

9、已知集合M={(x,y)x+y<0,xy>0},P={(x,y)|x<0,y<0},則M,P的關系是,_；

10、設人={x|X2-3X+2=0),B={x|x+2>a}，如果A口B,求實數(shù)a的取值范圍；

11、已知集合人={x|0<ax+1^5},B={x|-—<x^2).

2

(1)若A7B,求實數(shù)a的取值范圍；

(2)若B7A,求實數(shù)a的取值范圍；

(3)A,B能否相等？若能求出實數(shù)a的值；若不能說明理由。

12>已知集合人={x|ax2-3x+2=0,aeR).

(1)若A是空集，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)若A中只有一個元素，求a的值，并把這個元素求出來；

(3)若A中至多有一個元素，求實數(shù)a的取值范圍。

『思考問題1』

(1)【典例1】是集合與集合包含關系的問題，解答這類問題需要理解子集，真子集的定義,

掌握子集，真子集的性質(zhì)；

(2)集合與集合的包含關系包括：①子集；②真子集；解答問題時需要注意子集與真子集

之間的關系；

(3)注意空集的特殊性，在具體問題中，如果沒有說明集合非空，則應該考慮空集的可能

性，尤其是問題中涉及到A^B時，一定要注意分A=0和A/0兩種情況來考慮；

(4)對含有參變量的集合問題，應該對參變量的可能取值進行分類討論，同時還應注意分

類標準的確定，作到分類合理，不重復不遺漏。

〔練習1)解答下列問題：

1、設集合P是大于1且小于8的所有奇數(shù)組成的集合，則集合P的子集的個數(shù)是()

A8個B7個C6個D4個

2、已知集合M={(x,y)|3x+4yT2V0,x,yeN*},則集合M的真子集的個數(shù)是()

A8個B7個C6個D4個

3、集合A={1,3,x},B={1,x2},且BQA,則滿足條件的實數(shù)x的個數(shù)為()

A1B2C3D4

4、已知集合A={x|V-x-ZVO},B={x|TVxVl},則()

AA(zBBBeACA=BDAOB=0

5、設八={x|X2-4X+3=0),B={x|x+2>a}，如果A口B,求實數(shù)a的取值范圍；

6、設A={x|-l<x<3},B={x||x|>a},如果A口B,求實數(shù)a的取值范圍.

【典例2］解答下列問題：

1、若集合A={-1,4},集合B={x|%2_3X-4=0},則集合A,B的關系是=

2、己知集合人={a+2,(a+1)2,/+3a+3},曲{0},若A=B,則實數(shù)a的值是()

A0BIC2D3

3、設集合A={x,y},B={0,x2},若A=B,則實數(shù)x=,y=；

4、己知集合八={a,—,1),B={a1,a+b,0).若A=B,求：a”09+8刈°的值。

a

『思考問題2』

(1)【典例2】是集合與集合相等的問題，解答這類問題需要理解集合相等的定義，掌握

集合相等的性質(zhì)；

(2)對含有參變量的集合相等問題，應該對參變量的可能取值進行分類討論，注意參數(shù)分

類討論的原則和基本方法。

(練習2)解答下列問題：

1、若集合A={2,3},集合B={X|%2_5X+6=0},則集合A,B的關系是。

2、設集合A={2,x,y},集合B={2x,y2,2),若八=8,求實數(shù)x,y的值。

3、設八={7,0,a2-2a+2),B={a-3,a2~2a+4,5},如果A=B,求實數(shù)a的值。

【典例3］解答下列問題：

1、下列集合為空集的是()

A{x|x1+3=3}B{(x,y)|y=-x1,x,yeR}C{x|-x2>0}D{x|x2-x+l=0,xeR}

2、下列說法：①空集沒有子集；②任何集合至少有兩個子集；③空集是任何集合的真子集;

④若0uA,則AW0。其中正確的有()

豐

A0個B1個C2個D3個

3、已知0u{x|%2_x+a=0},則實數(shù)a的取值范圍是。

豐

『思考問題3』

(1)【典例3】是與空集相關的問題，解答這類問題需要理解空集的定義，分辨清楚空集和

數(shù)0之間的關系；

(2)空集是指沒有元素的集合，它雖然沒有元素，但它是一個集合，它的子集只有一個就

是它本身，由此可以得出以空集為真子集的集合一定不是空集。

(練習3)按要求解答下列各題：

1、下列集合為空集的是()

A{x|x1+1=1}B{(x,y)y=x2,x,yeR}C{x|-|x|>0}D{x|x2-x+2=0,XGR})

2、己知0u{x|f一ax+l=0},則實數(shù)a的取值范圍是。

【雷區(qū)警示】

【典例4］解答下列問題：

2

1、已知集合A={x|X-2x-8=0},B={x|ax=l),若B^A,則滿足條件的實數(shù)a的值是0

2、已知集合八={a,—,1),B={a,a+b,0).若A=B,求：a"'09+Z/"。的值。

a

『思考問題4』

(1)【典例4】是解答集合與集合關系問題時，容易觸碰的雷區(qū)。該類問題的雷區(qū)主要包

括：①求解集合與集合包含關系問題時，忽視空集是任何集合的子集，導致解答問題出現(xiàn)錯

誤；②求解集合相等問題時，忽視集合元素的基本性質(zhì)，導致解答問題出現(xiàn)錯誤；

(2)解答集合與集合關系問題時，為避免求解集合與集合包含關系問題時，忽視空集是任

何集合子集的雷區(qū)，對問題中含有參數(shù)的集合需要從集合是空集和集合不是空集兩種情況分

別求解，避免漏解的情況發(fā)生；

(3)解答集合與集合關系問題時，為避免求解集合相等問題時，忽視集合元素基本性質(zhì)的

雷區(qū)，需要理解并掌握集合元素的基本性質(zhì)，尤其注意集合元素的互異性。

（練習4）解答下列問題：

1、已知集合A={xeR|a%2_3x+2=0},B={1},若AjB,則實數(shù)a的取值范圍是。

2、設a,beR,集合A={1,a+b,a},集合B={0,—,b},若人=3,則b-a=___。

a

【追蹤考試】

【典例5]解答下列問題：

1、設集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A^B,則a=（）（2023全國高考新高考H）

2

A2B1C-D-1

3

2、已知集合八={0,z},B={0,2,4},若AcB,則實數(shù)z的值為（）（成都市2020高

三三診）

A0或2B0或4C2或4D0或2或4

3、（理）設集合A={X|X2-4W0},B={x|2x+aW0},且ACB={x」-2WxWl},則a=（）

A-4B-2C2D4

（文）已知集合八二{xjX2-3X-4<0},B={-4,1,3,5）,則AAB=（）

A{-4,1}B{1,5}C{3,5}D{1,3}

4、已知集合八={x|X2-2X>0],B={X|-A/5<X<A/5}，則（）

AAAB=0BAUB=RCAcBDB口A

『思考問題5」

（1）【典例5】是近幾年高考（或高三診斷考試或高一上期期末調(diào)研考試）試卷中關于集合

與集合關系的問題，歸結起來主要包括：①判斷集合與集合關系；②已知集合與集合的關系,

求滿足一定條件集合的個數(shù)；③已知集合與集合的關系，求集合中參數(shù)的值（或取值范圍）

等幾種類型；

（2）解答問題的基本方法是：①判斷問題屬于哪一種類型；②根據(jù)該種類型問題的解題思

路和解答方法對問題實施解答；③得出問題的解答結果。

（練習5）解答下列問題：

1、己知集合A={x|x是平行四邊形},B={x|x是矩形},C={x|x是正方形},D={x|x是

菱形},貝I（）

AA[BBCoBCD鼠CDAoD

2、己知集合人={xx1-x-2<0},B={x|T<x<l},貝!J()

AA口BBB口ACA=BDAAB=0

3、已知集合14={0,32,3,4},N={1,3,5},P=MAN,則P的子集共有()

A2個B4個C6個D8個

三集合與集合的關系

【考綱解讀】

3、理解子集和真子集的定義；掌握子集，真子集的性質(zhì)及其表示的基本方法，了解子集與

真子集之間的聯(lián)系和區(qū)別；

4、理解集合相等的定義，掌握集合相等的性質(zhì)及其表示的基本方法，能夠運用子集，真

子集和集合相等的性質(zhì)解答相關的數(shù)學問題。

【知識精講】

一、集合與集合的包含關系：

1、子集：

(1)子集的定義：設A、B是兩個非空集合，如果對任意的xeA,都有xeB,那么稱集合

A是集合B的子集；也可以說成集合A包含于集合B,或集合B包含集合A；

(2)子集的表示：用符號“口”表示子集，讀作包含于，用符號“丞”表示不是子集，

讀作不包含于；

規(guī)定：空集是任何集合的子集，即對任意的集合A,都有07A；

(3)子集的性質(zhì)：子集有如下性質(zhì)：①空集是任何集合的子集(即對任意的集合A,都

有07A)；②子集具有傳遞性(即若A=B,BcC,則A=C)；③若A7B,則An：B=A；

④含有n個元素的有限集合的子集個數(shù)為2"個。

2、真子集：

（1）真子集的定義：設A、B是兩個非空集合，如果對任意的xeA,都有xeB,且存在與eB，

但^^A,那么稱集合A是集合B的真子集；也可以說成集合A真包含于集合B,或集合B真

包含集合A；

（2）真子集的表示：用符號表示真子集，讀作真包含于，用符號“號”表示不是真

子集，讀作不真包含于；

（3）真子集的性質(zhì)：真子集具有如下性質(zhì)：①空集是任何非空集合的真子集（即對任意的非

空集合A,都有0uA）；②真子集具有傳遞性（即若AuB,BuC,則AuC）；③含有n個

WWWW

元素的有限集合的真子集個數(shù)為（2"-1）個。

（4）真子集與子集的關系：①真子集一定是子集；②子集不一定是真子集。

二、集合與集合的相等關系：

1、集合與集合相等的定義：

如果集合A、B滿足：A^B,且B^A,則稱集合A與集合B相等；

2、集合與集合相等的表示：

用符號“=”表示集合與集合的相等關系，例如集合A與集合B相等可表示為A=B。

【探導考點】

考點1集合與集合的包含關系：熱點①給出集合A,B,判斷集合A,B的包含關系；熱點②

給定集合A,全集U,且B^U,AcB,求滿足條件的集合B的個數(shù)；熱點③給出集合A,

B,已知AjB,求集合B中參數(shù)的值（或取值范圍）；

考點2集合與集合的相等關系：熱點①給出集合A,B,判斷集合A,B的相等關系；熱點②

給出集合A,B,已知A=B,求集合A,B中參數(shù)的值（或取值范圍）。

【典例解析】

【典例1］解答下列問題：

1、在下列各式中錯誤的個數(shù)是（）@ie{0,1,2）；②⑴e{0,1,2）；?{0,1,2}口{0,

1,2}；@{0,1,2}={2,0,1）.

AIB2C3D0

【解析】

【知識點】①元素與集合的關系；②集合與集合的關系。

【解題思路】根據(jù)元素與集合的關系，集合與集合的關系，結合問題條件對各式的正確與錯

誤進行判斷就可得出選項。

【詳細解答】由元素與集合的關系，集合與集合的關系可知，①正確，②錯誤，③錯誤,

④正確；=>B正確，，選B。

2、已知集合A={x|x是菱形},B={x|x是正方形},C={x|x是平行四邊形},那么A,B,C

之間的關系是()

AA一^Bc一C一B一BcA^CC豐一AuBqCD一A=BcC

【解析】

【知識點】①集合與集合的關系；②平行四邊形，菱形，正方形之間的關系。

【解題思路】根據(jù)平行四邊形，菱形，正方形之間的關系，確定出集合A,B,C之間的關系

就可得出選項。

【詳細解答】?.■集合A={x|x是菱形},B={x|x是正方形},C={x|x是平行四邊形},

BcAcC,=>B正確，，選B。/

3、若集合A={-1,0},B={0,1,x+2}集合A,B/B\

的關系如圖所示，則實數(shù)x的值為________；、廠')

［解析］丫

【知識點】①元素與集合的關系；②集合與集合的關系。

【解題思路】由圖可知A7B,=>-1eB,=>x+2=-l,=>x=-3。

【詳細解答】\.由圖可知A7B,TeB,=>x+2=-l,x=-3o

4、己知集合A={(x,y)|x+y=2,x,yeN),則A的所有子集個數(shù)為；

【解析】

【知識點】①集合的表示的基本方法；②子集的定義與性質(zhì)。

【解題思路】根據(jù)集合表示的基本方法和子集的性質(zhì)，結合問題條件確定出集合A的元素，

出而求出集合A子集的個數(shù)。

【詳細解答】A={(x,y)x+y=2,x,yeN}/.A={(0,2),(1,1),(2,0)},n集

合A的子集個數(shù)為8。

5、設集合P是大于1且小于6的所有質(zhì)數(shù)組成的集合，則集合P的子集的個數(shù)是()

A8個B7個C6個D4個

【解析】

【知識點】①質(zhì)數(shù)定義與性質(zhì)；②子集定義與性質(zhì)。

【解題思路】根據(jù)質(zhì)數(shù)和子集的性質(zhì)，結合問題條件確定出集合P的元素，出而求出集合P

子集的個數(shù)就可得出選項。

【詳細解答】?.?集合P是大于1且小于6的所有質(zhì)數(shù)組成的集合，，P={2,3,5},n

集合P的子集個數(shù)為8個，nA正確，，選A。

6、已知集合1\1={(x,y)|3x+4y-12<0,x,yeN*},則集合M的真子集的個數(shù)是()

A8個B7個C6個D4個

【解析】

【知識點】①集合表示的基本方法；②真子集的定義與性質(zhì)。

【解題思路】根據(jù)集合表示的基本方法和真子集的性質(zhì)，結合問題條件確定出集合M的元素,

出而求出集合M真子集的個數(shù)就可得出選項。

【詳細解答】,集合M={(x,y)|3x+4yT2<0,x,yeN*},.?.集合M的元素是平面直角坐

標系內(nèi)的點，點的坐標由3x+4yT2<0,x,yeN*確定，=>M={(1,1),(1,2),(2,1)},

.?.集合A的真子集個數(shù)為7,0B正確，，選B。

7、已知集合人=6|1?乂<5},集合C={x|-a<xWa+3},若C口A,則a的取值范圍為()

333

A一一VaWTBaW--CaWTDa>——

222

【解析】

【知識點】①集合表示的基本方法；②子集的定義與性質(zhì)；③求解不等式組的基本方法。

【解題思路】根據(jù)集合表示的基本方法和子集的性質(zhì)，結合問題條件得到關于a的不等式組,

運用求解不等式組的基本方法，求解不等式組求出a的取值范圍就可得出選項。

【詳細解答】,集合A={x|lWx<5},集合C={x|-a<xWa+3},若C口A,IW-a①，

3

a+3〈5②，-a<a+3③，聯(lián)立①②③解得：〈aWT,nA正確，，選A。

2

8、集合M={x]x=3k-2,keZ},P={y|y=3n+1,,neZ},S={z|z=6m+1,,meZ}之間的關系

是()

ASuPuMBS=PuMCSuP=MDP=MuS

WWAHA

【解析】

【知識點】①集合表示的基本方法；②子集的定義與性質(zhì)。

【解題思路】根據(jù)集合表示的基本方法和子集的性質(zhì)，結合問題條件確定出結合s,P,M

的關系就可得出選項。

【詳細解答】,集合M={x|x=3k-2,keZ}={x|x=3k+1,keZ},,P={y|y=3n+1,,neZ),

S={z|z=6m+1,,m^Z}SuP=M,=>C正確，.?.選C。

9、已知集合M={(x,y)|x+y<0,xy>0],P={(x,y)|x<0,y<0},則M,P的關系是_；

【解析】

【知識點】①集合表示的基本方法；②子集定義與性質(zhì)。

【解題思路】根據(jù)集合表示的基本方法和子集的性質(zhì)，結合問題條件就可確定出集合M,P

的關系。

【詳細解答】M={(x,y)|x+y<0,xy>0}={(x,y)|x<0,y<0},P={(x,y)|x<

0,y<0}集合P=Mo

10、設八={x|X2-3X+2=0),B={x|x+2>a},如果A口B,求實數(shù)a的取值范圍；

【解析】

【知識點】①集合表示的基本方法；②子集定義與性質(zhì)；③求解一元二次方程的基本方法；

④求解一元一次不等式的基本方法。

【解題思路】根據(jù)集合表示的基本方法和子集的性質(zhì)，結合問題條件得到關于a的不等式，

求解不等式就可求出實數(shù)a的取值范圍。

【詳細解答】?.?集合A={X|%2-3X+2=0}={1,2},B={x|x+2>a}={x|x>a-2},A￡B,

a-2^1,=>aW3,.?.實數(shù)a的取值范圍是(-8,3]。

11、已知集合八={x|0<ax+1^5},B={x|-L<XW2}.

2

(1)若A7B,求實數(shù)a的取值范圍；

(2)若B7A,求實數(shù)a的取值范圍；

(3)A、B能否相等？若能求出實數(shù)a的值；若不能說明理由。

【解析】

【知識點】①集合表示的基本方法；②一元一次不等式定義與性質(zhì)；③參數(shù)分類討論的原則

與方法；④子集定義與性質(zhì)。

【解答思路】根據(jù)一元一次不等式的性質(zhì)和參數(shù)分類討論的原則與基本方法，化簡集合A,

結合問題條件得到關于參數(shù)a的不等式組(或方程)，求解不等式組(或方程)就可求出實

數(shù)a的取值范圍(或值)。

.141

【詳細解答】(1)①當a>0時，*/A={x|0Vax+lW5}二{x|--<x<—},B={x|-—<

aa2

114

x<2},AoB,/.--N--①，一《2②，a>0③，聯(lián)立①②③解得：a>2；②當a=0

a2a

時，?「A={x|0Vax+lW5}=R,B={x|-—<x^2},顯然AuB不成立；③當aVO時，?/A

2—

411411

={x10Vax+1W5}二{x|—<xV—},B—{x|——VxW2},AczB,..—N—①，—

aa2~a2a

<2@,aVO③，聯(lián)立①②③解得：a<-8,?,?綜上所述，當AqB時，實數(shù)a的取值范圍是(-

oo,-8]U[2,+oo)；

141

(2)①當a>0時，A={x|0Vax+l<5}={x[—<x<—},B={x|一-VxW2},BoA,

aa2一

114

J<--①，一22②，a>0@,聯(lián)立①②③解得：0Va<2；②當a=0時，vA={x|0

a2a

4

Vax+1<5}=R,顯然BuA不成立；③當aVO時，:A={x10Vax+1W5}={x[—<x

_a

<--},B={x|--<x^2],BqA,???巴V」①，,“②，a<0@,聯(lián)立①②③解

a2ala

得：-L<a<0,.,.綜上所述，若BuA,則實數(shù)a的取值范圍是0)U(。，2]；

2—2

141

(3)設A=B能成立，①當a>0時，*/A={x|0Vax+lW5}={x|—<x<—},B={x|--

aa2

114

VxW2},A二B,二?—二--①，一二2②，a>0(3),聯(lián)立①②③解得：a=2；②當a=0時，*/A=

a2a

{x|0Vax+lW5}=R,B={x|--<x^2),顯然A二B不成立；③當aVO時，:A={x10V

411411

ax+lW5}={x|—<x<—},B={x|<xW2},A=B,—=—①，—=2②，a<0

aa2a2a

③，此時無解，，綜上所述，存在實數(shù)a=2,使A=B成立。

12、已知集合人={x|ax2-3x+2=0,aGR).

(1)若A是空集，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)若A中只有一個元素，求a的值，并把這個元素求出來；

(3)若A中至多有一個元素，求實數(shù)a的取值范圍。

【解析】

【知識點】①集合表示的基本方法；②一元二次方程根的判別式及運用；③空集定義與性質(zhì)；

④參數(shù)分類討論的原則和基本方法。

【解答思路】根據(jù)空集的性質(zhì)，運用一元二次方程根的判別式，得到關于參數(shù)a的不等式(或

方程），求解不等式（或方程）就可求出實數(shù)a的取值范圍（或值）。

【詳細解答】（1）?.?集合A是空集，，方程a%?—3x+2=0,awR沒有實數(shù)根，①當a=0時，

2

?/ax2-3x+2=0,O-3x+2=0,=>x=一與題意不符合；②當aWO時，?.?方程a-—3x+2=0

3

Q

沒有實數(shù)根，..?A=9-8a<0,=>a>—,「?綜上所述，當集合A是空集時，實數(shù)a的取值

8

9

范圍是（一，+8）；（2）若集合A中只有一個元素，①當a=0時，?.?a%2_3x+2=0,O-3x+2=0,

8

2

二>x=一與題意符合；②當aWO時，?.,a%2—3x+2=0有兩個相等的實數(shù)根，JA=9-8a=O,

3

9一9

二>@二一，...綜上所述，當集合A中只有一個兀素時，實數(shù)a=0或a=一；（3）當集合A中

88

9

至多有一個元素時，由（1）,（2）可知，實數(shù)a的取值范圍是［―,+8）或{0}。

8

『思考問題1』

（1）【典例1】是集合與集合的關系問題，解答這類問題需要理解子集，真子集，集合相等

的定義，掌握子集，真子集的性質(zhì)；

（2）集合與集合的關系包括：①包含關系，包含關系中又涉及到子集和真子集兩種情況，

注意子集與真子集之間的關系；②相等關系，兩個集合相等的充分必要條件是它們的元素完

全一樣，解答相關問題時要特別注意這個充分必要條件，同時還要注意集合元素的互異性和

無序性；

（3）注意空集的特殊性，在具體問題中，如果沒有說明集合非空，則應該考慮空集的可能

性，尤其是問題中涉及到A^B時，一定要注意分A=0和A/0兩種情況來考慮；

（4）對含有參變量的集合問題，應該對參變量的可能取值進行分類討論，同時還應注意分

類標準的確定，作到分類合理，不重復不遺漏。

〔練習1）解答下列問題：

1、設集合P是大于1且小于8的所有奇數(shù)組成的集合，則集合P的子集的個數(shù)是（）

A8個B7個C6個D4個（答案：A）

2、已知集合1?={5,丫）|3x+4y-12<0,x,yeN*},則集合M的真子集的個數(shù)是（）

A8個B7個C6個D4個（答案：B）

3、集合A={1,3,x},B={1,x2},且B^A,則滿足條件的實數(shù)x的個數(shù)為（）

A1B2C3D4（答案：C）

4、已知集合A合x|%2--2<0}。=G|-1<*<1},則（）（答案：B）

AAuBBBuACA=BDAAB=0

5、設原{x|X2-4X+3=0）,B={x|x+2>a}，如果A￡B,求實數(shù)a的取值范圍；（答案：

實數(shù)a的取值范圍是（-8,3］）

6、設人={x|-l<x<3},B={x||x|>a},如果A口B,求實數(shù)a的取值范圍.（答案：實

數(shù)a的取值范圍是（-co,0）U［3,+oo））

【典例2］解答下列問題：

1、若集合A={-1,4},集合B={x|f一3X-4=0},則集合A,B的關系是。

【解析】

【知識點】①集合相等定義與性質(zhì)；②集合表示的基本方法。

【解題思路】根據(jù)集合表示的基本方法和集合相等的性質(zhì)，結合問題條件就可得出集合A,

B的關系。

【詳細解答】?.?集合A={-1,4},集合B={x|V一3X-4=0}={-1,4},A=B。

2、己知集合人={3,（a+1）2,/+3a+3},B={3,4,7},若A=B,則實數(shù)a的值是（）

A0BIC2D3

【解析】

【知識點】①集合相等定義與性質(zhì)；②集合元素的定義與性質(zhì)；③集合表示的基本方法。

【解題思路】根據(jù)集合元素和集合相等的性質(zhì)，運用表示集合的基本方法，結合問題條件得

到關于a的方程組，求解方程組求出a的值就可得出選項。

【詳細解答】A={3,（a+1）2,/+3a+3},B={3,4,7},A=B,二（a+l）2=4,且”+3a+3=7,

或（a+1）2=7,且a?+3a+3=4,解之得：a=l,=>B正確，，選B。

3、設集合A={x,y},B={0,x2},若八=8,則實數(shù)x=,y=；

【解析】

【知識點】①集合相等定義與性質(zhì)；②集合元素定義與性質(zhì)。

【解題思路】根據(jù)集合相等和集合元素的性質(zhì)，結合問題條件得到關于x,y的方程組，求

解方程組就可求出x,y的值。

【詳細解答】,集合A={x,y},B={0,x2},A=B,x2=x,y=0,=>x=0或x=l,：xWO,

x=l,y=0o

4、已知集合人={a,—,1),B={a2,a+b,0).若A=B,求：a"09+〃刈°的值。

a

【解析】

【知識點】①集合表示的基本方法；②集合相等定義與性質(zhì)。

【解題思路】根據(jù)集合表示的基本方法和集合相等的性質(zhì)，結合問題條件求出a,b的值，

就可求出儲期+方2。1。的值。

【詳細解答】■.■集合A={a,P,1},B={/,a+b,0}.A=B,aW0,二—=0,a~=\,=>a=±1,

aa

b=0,?.,當a=l時，與集合元素的互異性不符合，a=-l,b=0,即：

G2009+Z?2010=(_1)2009+02010=.1+()=.1O

『思考問題2』

(3)【典例2］是集合與集合相等的問題，解答這類問題需要理解集合相等的定義，掌握

集合相等的性質(zhì)；

(4)對含有參變量的集合相等問題，應該對參變量的可能取值進行分類討論，注意參數(shù)分

類討論的原則和基本方法。

(練習2)解答下列問題：

1、若集合A={2,3},集合B={x1f-5x+6=0},則集合A,B的關系是。(答案：A=B)

2、設集合A={2,x,y},集合B={2x,y2,2),若八=8,求實數(shù)x,y的值。(答案：x=0,

-11、

y=l或x=—,y=—)

42

3、設八={7,0,a2-2a+2),B={a-3,<z2-2a+4,5},如果A=B,求實數(shù)a的值。(答案：

a=3)

【典例3］解答下列問題：

1、下列集合為空集的是()

A{x|x2+3=3}B{(x,y)［y=-x2,x,yeR}C{x|-%2>0}D{x|x1-x+l=0,XGR}

【解析】

【知識點】①空集的定義與性質(zhì)；②集合表示的基本方法。

【解題思路】根據(jù)集合表示的基本方法和空集的性質(zhì)，結合問題條件對各選項是否是空集進

行判斷就可得出選項。

【詳細解答】對A,{x|必+3=3}={0}W0,A錯誤；對B,:B{(x,y)|y=^x2,x,

yeR}表示拋物線y=-k上的點，不可能是空集，，B錯誤；對c,?;{x|-/?0}={0}/。，

；.C錯誤，對D,〈{xlxZ-x+lR,xeR}=0,nD正確，.?.選D。

2、下列說法：①空集沒有子集；②任何集合至少有兩個子集；③空集是任何集合的真子集;

④若0uA,則AW0。其中正確的有()

A0個B1個C2個D3個

【解析】

【知識點】①空集定義與性質(zhì)；②子集定義與性質(zhì)；③真子集定義與性質(zhì)。

【解題思路】根據(jù)空集，子集和真子集性質(zhì)，結合問題條件對各說法的正確與錯誤進行判斷

就可得出選項。

【詳細解答】?.?空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集，.?.①錯誤，②錯

誤，③錯誤，④正確；=>B正確，，選B。

3、已知0u{x|x2-x+a=O},則實數(shù)a的取值范圍是=

豐

【解析】

【知識點】①真子集定義與性質(zhì)；②空集定義與性質(zhì)；③集合表示的基本方法。

【解題思路】根據(jù)空集和真子集的性質(zhì)，運用集合表示的基本方法，結合問題條件得到關于

a的不等式，求解不等式就可求出實數(shù)a的取值范圍。

【詳細解答】0u{x|%2-x+a=0},.I{x|%2_x+a=0}W0,A=(-l)2-4a>0,/.

豐

1,1

a<-,若知0u{x|/一x+a=O},則實數(shù)a的取值范圍是(-00,-]=

4*4

工思考問題3』

(1)【典例3】是與空集相關的問題，解答這類問題需要理解空集的定義，分辨清楚空集和

數(shù)0之間的關系；

(2)空集是指沒有元素的集合，它雖然沒有元素，但它是一個集合，它的子集只有一個就

是它本身，由此可以得出以空集為真子集的集合一定不是空集。

〔練習3)解答下列問題：

1、下列集合為空集的是()

A{x|x1+1=1}B{(x,y)|y=x2,x,yeR}C{x|-|x|>0}D{x|x2-x+2=0,XGR})(答

案：D)

2、己知0u{x|%2一ax+l=O},則實數(shù)a的取值范圍是。(答案：實數(shù)a的取值范圍是

豐

(-00,-2]U[2,+00))

【雷區(qū)警示】

【典例4]解答下列問題：

1、已知集合A={x|A：2-2x-8=0},B={x|ax=l},若B口A,則滿足條件的實數(shù)a的值是。

解析】

【知識點】①集合表示的基本方法；②集合元素定義與性質(zhì)；③參數(shù)分類討論原則和基本方

法。

【解題思路】根據(jù)集合表示的基本方法和集合元素的性質(zhì)，運用參數(shù)分類討論原則和基本方

法，結合問題條件就可求出滿足條件的實數(shù)a的值。

【詳細解答】①當a=0時，?.?集合A={x|f_2x-8=0}={-2,4},B={x|ax=l①0,顯然與題意

符合；②當a/0時，?.?集合A={x|%2_2X-8=0}={-2,4},B={x|ax=l}={—},集合B中的元

a

素都是集合A中的元素，工=2或，=4,na=-4，或2=!，.?.綜上所述，若集合B中

aa24

的元素都是集合A中的元素，則滿足條件的實數(shù)a的值是0,lo

24

2、已知集合A={a,2,1},B={/,a+b,0}.若A=B,求：a"09+/3°的值。

a

【解析】

【知識點】①集合表示的基本方法；②集合相等定義與性質(zhì)。

【解題思路】根據(jù)集合表示的基本方法和集合相等的性質(zhì)，結合問題條件求出a,b的值，

就可求出儲s+〃oi。的值。

2

【詳細解答】集合A={a,P,1},B={/,a+b,0}.A=B,aW0,「.—=0,a=l,=>a=±1,

aa

b=0,?/當a=l時，與集合元素的互異性不符合，a=-l,b=0,即：

。

々2009+Z?2010=(_1)2009+Q2010“。口

『思考問題4]

（4）【典例4】是解答集合與集合關系問題時，容易觸碰的雷區(qū)。該類問題的雷區(qū)主要包

括：①求解集合與集合包含關系問題時，忽視空集是任何集合的子集，導致解答問題出現(xiàn)錯

誤；②求解集合相等問題時，忽視集合元素的基本性質(zhì)，導致解答問題出現(xiàn)錯誤；

（5）解答集合與集合關系問題時，為避免求解集合與集合包含關系問題時，忽視空集是任

何集合子集的雷區(qū)，對問題中含有參數(shù)的集合需要從集合是空集和集合不是空集兩種情況分

別求解，避免漏解的情況發(fā)生；

（6）解答集合與集合關系問題時，為避免求解集合相等問題時，忽視集合元素基本性質(zhì)的

雷區(qū)，需要理解并掌握集合元素的基本性質(zhì)，尤其注意集合元素的互異性。

（練習4〕解答下列問題：

1、已知集合A={xeR|ax2_3x+2=0},B={1},若AjB,則實數(shù)a的取值范圍是。（答

-9

案：實數(shù)a的取值范圍是（-?）,—]U{0}）

8

1、2、設a,beR,集合A={1,a+b,a},集合B={0,—,b},若人=；8,則b-a=___。（答

a

案：b-a=2）

【追蹤考試】

1、設集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A^B,則a=（）（2023全國高考新高考H）

2

A2B1