三角函數(shù)及其圖象與性質(zhì)的應(yīng)用-2020-2024年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編（解析版）

與題09三會備熬及其囹蒙鳥轆質(zhì)的盛用

五年考情-探規(guī)律

考點五年考情(2020-2024)命題趨勢

考點三角函數(shù)概

012024甲卷

終邊角問題以及同角三角函

念2023北京卷

2021甲卷北京卷數(shù)關(guān)系是高考的一個方向

2020IIIIII卷

2024III卷

考點02三角函數(shù)恒三角函數(shù)恒等變換是高考數(shù)

2023III卷

等變形學(xué)高頻考點，?？际嵌督枪?/p>

2022II卷

式的應(yīng)用

2021I卷

2024北京天津III甲卷

考點03三角函數(shù)圖2023甲乙卷三角函數(shù)圖象伸縮變換及圖

像及性質(zhì)2022北京甲I卷象定區(qū)間最值極值問題是高

2021北京甲I卷考的重難點

2020IIII卷

2023III卷三角函數(shù)中3的范圍問題三

考點04三角函數(shù)綜

2022甲卷角函數(shù)綜合性質(zhì)應(yīng)用的重難

合應(yīng)用

2020北京卷點

分考點二精準(zhǔn)練工

考點01三角函數(shù)概念

1.(2020年高考課標(biāo)n卷理科?第2題)若a為第四象限角，則)

A.cos2ot>0B.cos2<x<0C.sin2a>0D.sin2a<0

【答案】D

37r

【解析】方法一：由a為第四象限角，可得—+2kji<a<2兀+2k兀,keZ,

2

所以3?+4左乃<2。<4?+4左匹左wZ

此時2。的終邊落在第三、四象限及丁軸的非正半軸上，所以sin2av0

故選：D.

方法二：當(dāng)。=——時，cos2a=cos>0,選項B錯誤;

6

712n

當(dāng)1=----時，cos2a-cos<0,選項A錯誤;

3

由a在第四象限可得：sina<0,cosa>0f則sin2a=2sinacosa<0,選項C錯誤，選項D正

確；故選：D.

2.（2020年高考課標(biāo)I卷）已知?！辏?,兀），且3cos2a—8cosa=5,則sine=)

21

B.-C.一D.

A-T33

【答案】A

【解析】3cos2a—8cosa=5,得6cos?a—8cosa—8=0，

2

即3cos2a—4cosa-4=0，解得cos。=一§或cosa=2(舍去),

又aw(0,TT),sin.a—Jl-cos2a=g.故選：A.

cosa

3.(2021年高考全國甲卷)若ae0,',tan2a=----：---,貝ijtana二)

2-sincr

V15

AC.V5D.

-fVr

cosn

【答案】A【解析】?.?tan2a=----------

2-sina

入sin2a2sinacosacosa

「.tan2a=--------=------------——=----------,

cos2al-2sina2-sin。

?.?tzel0,^j,.-.cosa^O,二2sin。1，解得sina=工,

l-2sin2a2-sina4

--vl5sinaA/15

r.cosa=Jl-sina=-----，/.tana=-------=----故選：AA.

4cosa15

兀

4.(2020年高考課標(biāo)HI)已知2tan。-tan(夕+—)=7,則tan。二()

4

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【解析】t.t2tan^-tanf^+―|=7,/.2tan6^--an^+-=7,

<4J1一tan。

令，=tane,/wl,則2%--------=7,整理得產(chǎn)—期+4=0,解得，=2,即tan6=2.故選：D.

1-t

5.(2024?全國?高考甲卷)已知一——=&,貝i]tan[a+：]=()

cosa-sina(4)

A.2A/3+1B.26-IC.LD.1-73

2

【答案】B

ccqa

【分析】先將一出”—弦化切求得tan(z,再根據(jù)兩角和的正切公式即可求解.

cosa-sina

【詳解】因為———=6,

cosa-sina

所以^二小=1一#所以ta"a+J震故迄B.

二填空

___-IT-rr__

6.(2021高考北京?)若點A(cos6>,sin6>)關(guān)于》軸對稱點為B(cos(0+-),sin(0+-))，寫出夕的一個取值為

66

【答案】石■(滿足"三+即可)

【解析】A(cosO,sin。)與8cos^+^,sin^+^關(guān)于y軸對稱，即48+彳關(guān)于y軸對稱，

77、冗5%

0-\---6=7i+2k7c.keZ9則。=左;TH--------,keZ,當(dāng)左=0時，可取夕的一個值為——.

61212

57rSTT

故答案為：——(滿足。=左〃+——水€2即可).

1212

7.(2023年北京卷)已知命題P：若a,尸為第一象限角，且?！?，，貝ijtan(z>tan力.能說明p為假命題的

一組(Z,4的值為?=,P=.

_,,>_、9兀兀

【答案】①.?、?二

43

【解析】因為/(x)=tanx在(0,3上單調(diào)遞增，若。<%<4<5,則tangvtan片，

取a=2尢兀+4,夕=2須+兒溫,%2eZ,

則tano=tan(2勺兀+%)=tan%,tan/?=tan(2k27i+4)=tan4，BPtantz<tan/?,

令k、>k2,則。_/?=(2勺兀+4)_(26兀+4)=2(/_左2)兀+(%_4)，

■jr3兀

因為2(左i一左2)兀之<a0-jB0<0f則a—/?=2(^-^2)7i+(cr0-/?0)>—>0,

即左,左2，則?！翟?

jrjrQjr7TQJTjr

不妨取匕=1&=。,4=:&=，即。=彳，Q=§滿足題意.故答案為：y；-.

考點02三角函數(shù)恒等變形

1(2024?全國?高考［卷)已知cos(a+￡)=機(jī),tanatan^=2,則cos(a-￡)=()

/77ni

A.-3mB.——C.—D.3m

33

【答案】A

【分析】根據(jù)兩角和的余弦可求cosacos尸,sinasinP的關(guān)系，結(jié)合tanatan#的值可求前者，故可求

cos(a-0的直

【詳解】因為cos(a+/7)=M,所以cosacos尸—sinasin/7=M,

JfjJtancrtan/?=2,所以sinosin/?=2coscrcos/?,

故cosacos尸一2cosacos/?=帆即cosacosP=-m,

從而sinasin/7=-2m,故cos(a-/)=-3根，

故選：A.

2.(2023年新課標(biāo)全國I卷?第8題)已知sin(a—/?)=',cosasin/?=l,貝|cos(2a+27?)=().

7117

A.-B.-C.——D.——

9999

【答案】B

【解析】因為sin(o—，)=sinicos/?—cosisin，=，,而cosasin/?=’,因止匕sinacos/?=，,

362

2

則sin(cr+/?)=sinacosp+cosasinp=—,

21

所以cos(2o+2￡)=cos2(o+/)=l-2sin2(a+尸)=l-2x(§)2=g.故選：B

2.(2023年新課標(biāo)全國II卷。已知a銳角，cosa=3L貝|sin4=

).

42

A3—^/5-1+^/^r3-^/^

A.---------o.-----------C?---------

884

【答案】D

解析:因為cosa=l—2sin2q=￥l5,而a為銳角，

24

2.（2021年新高考I卷）若tand=—2,貝汁吧四上吧冽=

()

sin0+cosd

【答案】C

解析:將式子進(jìn)行齊次化處理得:

sin9(1+sin29)sin^^sin2^+cos2^+2sin0cos0)

=sin9(sine+cos6)

sin0+cos3sin3+cos0

sin6>(sin^+cos6>)_tai？9+tan。_4—2_2故選Q

sin2+cos201+tan201+45,

5.（2022新高考全國II卷?）若sin（。+夕）+cos（cr+尸）=2^cosa-\--sin",則

A.tan(<7-7?)=lB.tan(o+月)=1

Ctan(a-A)=-1D.tan(a+￡)=-l

【答案】C

【解析】由已知得：sinacos0+cosasinf3+cosacos萬一sinasin0=2(cosa-sina)sin分，

即：sinacos(3-cosasin/?+cosacos?+sinasin力=0,

即：sin(6z-/?)+cos(cif-/?)=0所以tan(a-/)=—1,故選：C

二填空

6.(2024?全國?高考H卷)已知。為第一象限角，力為第三象限角，tana+tan尸=4,tanatan分=0+1,

則sin（a+B）=.

【答案】-述

3

【分析】法一：根據(jù)兩角和與差的正切公式得tan（&+尸）=-2及，再縮小1+4的范圍，最后結(jié)合同角的平

方和關(guān)系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.

/tana+tan3

【詳解】法一:由題意得3(a+⑶

因為a￡2kit,2kn+—2rmi+71,2rmi+—k,mwZ,

貝lja+4w《2機(jī)+2左)兀+兀,(2m+2左)兀+2兀),左,加￡Z,

又因為tan(a+/?)=-2V^<0,

貝((兀+(左)兀+兀)，

lja+4￡2"/+2%)1:2"2+22k,meZ,則sin(a+y0)<O,

則:北北卜一20，聯(lián)立sin2(a+0)+cos2(a+0)=l,解得sin(a+0=-平.

?>

法二：因為a為第一象限角，僅為第三象限角，則cosa>0,cos￡<0,

cosa1ncos-1

cosa=/=■,=,cosp-/.。=/=,

Vsin2cr+cos2avl+tan2a^/sin2/3+cos2/?^/1+tan2/3

貝Usin(a+，)=sinacos(3+cosasin/?=cosacos0(tana+tan/?)

-4-4-42V2

=4cosacosP=/——]==一i=/=-----故答案為.

V1+tan26z^/l+tan2/7(tan6Z+tan/?)2+(tancrtan-1)2v42+23

2V2

~~T~

考點03三角函數(shù)圖像及性質(zhì)

1（2024?全國?高考I卷）當(dāng)?[0,2汨時,曲線丁=5皿無與y=的交點個數(shù)為（

A.3B.4C.6D.8

【答案】C

【分析】畫出兩函數(shù)在[0,2可上的圖象，根據(jù)圖象即可求解

【詳解】因為函數(shù)y=$也無的的最小正周期為7=2兀，

函數(shù)y=2sin，x-￡]的最小正周期為T=y,

所以在xe[0,2可上函數(shù)y=2sin13x-?有三個周期的圖象，

在坐標(biāo)系中結(jié)合五點法畫出兩函數(shù)圖象，如圖所示:

由圖可知，兩函數(shù)圖象有6個交點.故選：C

2.（2024?北京?高考真題）設(shè)函數(shù)"%）=$也的3＞0）.已知/（菁）=-1,/（x2）=l,且卜-司的最小值為彳，

則0=（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【詳解】由題意可知：耳為的最小值點，巧為的最大值點，

則歸一引.即7=兀，且。＞0,所以。=二=2.故選：B.

I1/1mm22T

3.（2024?天津?高考真題）已知函數(shù)〃x）=sin3"+汕＞0）的最小正周期為右則在**的

最小值是（）

712兀2

【答案】A【詳解】/（x）=sin3a)x+—=sin(3cox+7i)=-sin3(ox,由T=——=兀得@=一,

33G3

即/（X）=—sin2x,當(dāng)xe—時，2xe-

畫出〃x）=-sin2無圖象，如下圖，

由圖可知，〃x）=-sin2x在上遞減,

TT

4.（2024.全國.高考H卷）對于函數(shù)f（x）=sin2x和g（尤）=sin（2x-/，下列說法中正確的有（）

A./(x)與g(x)有相同的零點B.與g(x)有相同的最大值

C.Ax)與g(無)有相同的最小正周期D.Ax)與g(x)的圖象有相同的對稱軸

【答案】BC

【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的零點，最值，周期公式，對稱軸方程逐一分析每個選項即可.

【詳解】A選項，令/(x)=sin2x=0,解得x=牛內(nèi)eZ,即為了⑺零點，

令g(x)=sin(2x-f)=0,解得了="+1■，左eZ,即為g(x)零點，

428

顯然/&)，g(x)零點不同，A選項錯誤；

B選項，顯然/(%)max=g(%)max=1，B選項正確；

C選項，根據(jù)周期公式，/(x),g(x)的周期均為2兀?=兀，C選項正確；

D選項，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì),⑺的對稱軸滿足2x=祈+="+

224

g(x)的對稱軸滿足2》-工=加+二?！?幺+型，笈eZ,

4228

顯然/(x)，g(x)圖像的對稱軸不同，D選項錯誤.故選：BC

5.(2023年全國乙卷)己知函數(shù)/(x)=sin(ox+e)在區(qū)間單調(diào)遞增，直線x=4和x=交為函數(shù)

<63y63

y=/(x)的圖像的兩條相鄰對稱軸，則/[一ff]=()

A--TB-47D-f

【答案】D

【解析】因為/(%)=sin(0x+0)在區(qū)間

廣廣,T27r7C7C—.27r.

所以一=------=一，且①>0,則7=兀，w=—=2,

2362T

當(dāng)％=—時，/(%)取得最小值，則2---(p—2kji—,keZ,

662

則°=2E—keZ,不妨取左=0,則/(x)=sin12x—g

6.(2023年全國甲卷)函數(shù)y=/(x)的圖象由函數(shù)y=cos[2x+《J的圖象向左平移g個單位長度得至IJ,

則y=/（x）的圖象與直線y=gx—g的交點個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】因為y=cos|^2x+^向左平移;個單位所得函數(shù)為

71

y=cos2卜+仁+—=cos2%+g)=—sin2x,所以/(x)二一sin2x,

6

而,顯然過與（1,0）兩點,

一的大小關(guān)系,

2

所以由圖可知，/（X）與y=gx—g的交點個數(shù)為3.故選：C.

7.（2021年新高考I卷-）下列區(qū)間中函數(shù)〃x)=7sin單調(diào)遞增的區(qū)間是)

【答案】A

解析:因為函數(shù)〉=$也工的單調(diào)遞增區(qū)間為124萬-￡,2左萬+信eZ）,

717171

對于函數(shù)〃尤）=7sinx~~，由2kjr-—<x----<2左;r+左EZ),

26

JT2冗

解得2kji~—<x<2k兀eZ),

712萬

取左=0,可得函數(shù)/（%）的一個單調(diào)遞增區(qū)間為W'T

則喝.n2%7i27r

W'T，A選項滿足條件，B不滿足條件;

5TT8萬

取左=1,可得函數(shù)/（X）的一個單調(diào)遞增區(qū)間為T5T

3兀7i27r且若5萬8乃7,2小5乃8兀

,CD選項均不滿足條件，故選A.

W'7~3,~3T'T

jr

8.（2020年高考課標(biāo)I卷）設(shè)函數(shù)/Cx）=cos（s+—）在［-兀㈤的圖像大致如下圖，則段）的最小正周期為

6

)

3兀

D.

~2

I47r7C）

將它代入函數(shù)〃尤）可得：cosl--—??+—1=0

又1一票,0）是函數(shù)/（x）圖象與x軸負(fù)半軸的第一個交點,

所以—也??+-=—工，解得：CD=-

9622

_2〃_2〃_4"

所以函數(shù)“X）的最小正周期為'=至=§=7故選：C

2

9.（2022高考北京卷?）已知函數(shù)/（x）=cos2%-sin2%,則()

ITjr\（7171\

（-于-7上單調(diào)遞減B.在一“石上單調(diào)遞增

C.Ax）在上單調(diào)遞減D./*）在[?,葛）上單調(diào)遞增

【答案】C解析:因為/(x)=cos2x-sin2x-cos2x.

JT7TTT/、I7171\

對于A選項，當(dāng)---<%<----時，一兀<2x<------則/（X）在一5，-7上單調(diào)遞增，A錯;

263

,7171兀?兀/、[7171\

對于B選項,當(dāng)——<x<一時，——<2%<一,則/（力在-1，五上不單調(diào)，B錯;

41226

對于C選項，當(dāng)0<x<-時，0<2x<—,則/（%）在上單調(diào)遞減，C對;

33\7

當(dāng)？?？紩r，f<2x<g則/⑺在與高

對于D選項,上不單調(diào)，D錯.故選,C.

3111

10.(2022年高考全國甲卷)已知。=一,Z?=cos—,c=4sin—,則)

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

【答案】A

cl「兀、

【解析】因為—=4tan—,因為當(dāng)工￡0,—,sinx<A:<tanx

b4I2J

iici

所以tan7“即/1,所以c>"設(shè)〃gos尤+寸-14(。收),

f'(x)=-smx+x>0,所以f(x)在(0,+8)單調(diào)遞增，則f>/(0)=0，所以cos；-II>0,

所以。>々,所以。，故選：A

11.（2022新高考全國1卷?）記函數(shù)/（x）=sin[Gx+?]+b（G〉0）的最小正周期為T.若等<丁<?,且

y=『（x）的圖象關(guān)于點中心對稱，則/!（）

35

A.1B.-C.-D.3

22

27r27r27r

【答案】A解析：由函數(shù)的最小正周期T滿足一<T<7T,得——<——<71,解得2<。<3,

33co

又因為函數(shù)圖象關(guān)于點（當(dāng),2〕對稱，所以至。+2=左肛左eZ,且b=2,

I2）24

125571

所以①=---1—k,keZ,所以G=—,f(x)=sin—XH——+2,

63224

所以/（?=sin序+5>2=1.

故選：A

12.（2021高考北京?）函數(shù)/（x）=cosx-cos2x是)

A.奇函數(shù)，且最大值為2B.偶函數(shù)，且最大值為2

99

C.奇函數(shù)，且最大值為D.偶函數(shù)，且最大值為三

OO

【答案】D

【解析】由題意，/(-X)=cos(-x)-cos(-2%)=cos%-cos2x=/(%),所以該函數(shù)為偶函數(shù),

Xy(x)=cosx-cos2x=-2cos2x+cosx+l=-2^cos%--+—，

19

所以當(dāng)cosx=—時，/（X）取最大值一.故選：D.

48

二填空

13.（2024.全國?高考甲卷）函數(shù)F（x）=sinx-gcosx在［0,可上的最大值是

【答案】2

【分析】結(jié)合輔助角公式化簡成正弦型函數(shù)，再求給定區(qū)間最值即可.

［詳解］/（x）=sinx->/3cosx=2sinfx-yj,當(dāng)xe［0,7i］時，e

當(dāng)=］時，即x=,時，*X）皿=2.

故答案為：2

14.（2024?北京?高考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOx中，角a與角夕均以。x為始邊，它們的終邊關(guān)于原點對

7T7T

稱.若ae,貝I］cos"的最大值為

o5

【答案】-；/-0.5

【分析】首先得出乃=a+7T+2E?eZ,結(jié)合三角函數(shù)單調(diào)性即可求解最值.

【詳解】由題意，=。+兀+2版,左wZ,從而cosp=cos（a+兀+2E）=-cosa,

TTTT,cos￡的取值范圍是一號,一￡

因為ae,所以cosa的取值范圍是

o5

TT47r1

當(dāng)且僅當(dāng)C=即夕=T+2gteZ時，cos/?取得最大值，且最大值為

故答案為：-亍

15.(2021年高考全國甲卷)已知函數(shù)/(x)=2cos3x+°)的部分圖像如圖所示，則滿足條件

4萬、

于(x)-于|J＞。的最小正整數(shù)X為

313TCTC3兀27r

【解析】由圖可知一7=----------二——，即T=—=?,所以①二2；

41234co

TTTTTT(TT

由五點法可得2x—+夕=—,即夕二一一；所以/(x)=2cos2%-7

326V6

所以由小)-…彳))必)-匕))＞?？傻谩?或/⑴＜。;

因為/(1)=2COS〔2-%)＜2cosf---1=1,所以，

方法一：結(jié)合圖形可知，最小正整數(shù)應(yīng)該滿足/(x)＜0,即cos2x-2＜°，

解得左兀+二＜x＜左兀+」，左eZ,令人=0,可得匹＜無＜包，

3636

可得x的最小正整數(shù)為2.

方法二：結(jié)合圖形可知，最小正整數(shù)應(yīng)該滿足/（x）<。，又/（2）=2cos[4—6J<0,符合題意，可

得x的最小正整數(shù)為2.故答案為：2.

16.（2020年高考課標(biāo)III卷）關(guān)于函數(shù)?r）=sinxH-----有如下四個命題：

sinx

①Kx）的圖像關(guān)于y軸對稱.

②A尤）的圖像關(guān)于原點對稱.

7T

③/U）的圖像關(guān)于直線x=5對稱.

④/U）的最小值為2.

其中所有真命題的序號是.

【答案】②③

【解析】對于命題①，=g+2=：，=一1―2=一]，貝

\o/22k0722k6;

所以，函數(shù)/（司的圖象不關(guān)于y軸對稱，命題①錯誤；

對于命題②，函數(shù)“X）的定義域為卜卜。丘水eZ},定義域關(guān)于原點對稱,

/(-x)=sin(-x)+^=-sinx---=^sin.+--J=-/(x),

所以，函數(shù)/（x）的圖象關(guān)于原點對稱，命題②正確;

所以，函數(shù)/（X）的圖象關(guān)于直線X=g對稱，命題③正確；

對于命題④，當(dāng)一;r<x<0時，sinx<0,則/（x）=sinx+一一<0<2,

sinx

命題④錯誤.故答案為：②③.

考點04三角函數(shù)綜合應(yīng)用

1.（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)）設(shè)函數(shù)/（》）=sin在區(qū)間（0,兀）恰有三個極值點、兩個零點，則。的

取值范圍是)

5身)5191381319

A.3'6jB.5C.D.

3T~6,366

【答案】C

jr/jrjr

【解析】依題意可得0>o，因為xw（o,/r）,所以0元+可€［至。乃+§

要使函數(shù)在區(qū)間（0,%）恰有三個極值點、兩個零點，又l=$也》，xel1,3^1圖象如下所示:

2.（2020北京高考.第10題）2020年3月14日是全球首個國際圓周率日（萬Day）.歷史上，求圓周率乃的方

法有多種，與中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“割圓術(shù)”相似.數(shù)學(xué)家阿爾?卡西的方法是：當(dāng)正整數(shù)”充分大時，計算單

位圓的內(nèi)接正6”邊形的周長和外切正6〃邊形（各邊均與圓相切的正6〃邊形）的周長，將它們的算術(shù)平均數(shù)作

為2萬的近似值.按照阿爾?卡西的方法，萬的近似值的表達(dá)式是（）.

.1.30°,30°）z（.30°

A.3川sin----Ftan-----B.6川sin------Ftan

nnJI〃

".60°60°1J.60°

C.3〃sm----1-tan-----D.6〃sin-----1-tar

nnJI〃

【答案】A

【解析】單位圓內(nèi)接正6〃邊形的每條邊所對應(yīng)的圓周角為*360°=630°-,每條邊長為2sin3工0°,

nx6nn

所以，單位圓的內(nèi)接正6〃邊形的周長為⑵sin工30°，

n

單位圓的外切正6〃邊形的每條邊長為2tan二,其周長為12九tan二,

nn

--30°s30°

12〃sin-----b12幾tan-----(30°

nn/.30°30。1貝|%=3川sin----+tan.故選：

二.二川A.

2%=6sin------1-tan----In

2Vnn)

二填空

3.（2023年新課標(biāo)全國I卷）己知函數(shù)/■（x）=cos0x—1（。>0）在區(qū)間[0,2可有且僅有3個零點，則。的

取值范圍是.

【答案】[2,3）

【解析】因為0WxW2兀，所以0W@xW2麗，

令/（九）=COS6OX-l=0,則COS0X=1有3個根，

令t=a）x，則cos/=1有3個根，其中/e[0,2。71],

結(jié)合余弦函數(shù)丁=cosf的圖像性質(zhì)可得4兀<2。71<6兀，故2Wo><3,

為y=l

O2兀4兀6兀t

產(chǎn)COSZ

故答案為：［2,3).

J圖A,B是直線y=g與曲線y=/(x)的兩

4.(2023年新課標(biāo)全國D卷)已知函數(shù)/(x)=sinWx+0),如

個交點，若|A創(chuàng)=g則/(兀)=______.

6

VV

【答案】-3

2

【解析】設(shè)41］：3卜2，；］，由恒回=巳可得超771

,=6,

,.1_,71,5TI

由sin%=一可知，x=—+2kji或vx二---b2kn,左eZ,由圖可知，

266