河北省唐山市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省唐山市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上.將條形碼橫貼在答題卡上“條形碼粘貼處”.2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再涂其他答案.答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用0.5毫米黑色字跡簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只一項是符合題目要求的.1.拋物線y2＝x的焦點坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由y2＝x知拋物線的焦點在軸上，且開口向右，,∴，焦點坐標(biāo)為，故選:B．2.已知向量，則（）A.1 B. C. D.5【答案】C【解析】,故選：C.3.記是等差數(shù)列的前n項和，若，，則（）A.27 B.36 C.45 D.78【答案】D【解析】因是等差數(shù)列的前n項和，則成等差數(shù)列，于是，代入，，解得：，又,代入上述值，解得：.故選：D.4.已知圓與圓，則兩圓公切線的條數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】兩圓圓心分別為，半徑分別為2和3，而圓心距為5，故兩圓外切，所以兩圓的公切線共有3條，故選：C5.已知，均為等差數(shù)列，且，，，則（）A.2026 B.2025 C.2024 D.2023【答案】B【解析】由于，均為等差數(shù)列，則為等差數(shù)列，因此，，所以的公差為1，故，故選：B6.線段長度為4，其兩個端點A和B分別在x軸和y軸上滑動，則線段中點的軌跡所圍成圖形的面積為（）A.2 B.4 C. D.【答案】D【解析】，設(shè)為線段中點，，設(shè)，則，即．則線段中點的軌跡是以坐標(biāo)原點為圓心，2為半徑的圓；故線段中點的軌跡所圍成圖形的面積為.故選：D7.如圖，在正三棱柱中，若，則與所成角的大小為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】在正三棱柱中，向量不共面，，，令，則，而，，于是得，因此，，所以與所成角的大小為.故選：B8.已知M是橢圓上一點，橢圓的左、右頂點分別為A，B.垂直橢圓的長軸，垂足為N，若，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)，則，，，，因為，即，整理得，即，即，由題可知，則，即，則，則，則，故選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.有選錯的得0分，部分選對的得2分，全部選對的得5分.9.已知直線與，則（）A.若，則兩直線垂直 B.若兩直線平行，則C.直線恒過定點 D.直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等【答案】AC【解析】當(dāng)時，，，則，所以兩直線垂直，A正確；若兩直線平行，則，解得，經(jīng)檢驗，當(dāng)時，兩直線平行，B錯誤；由，即，所以直線恒過定點，C正確；由，與兩坐標(biāo)軸的截距分別為，不相等，D錯誤.故選：AC10.數(shù)列滿足：，，則（）A. B.C.為單調(diào)遞減數(shù)列 D.為等差數(shù)列【答案】ACD【解析】由可得，因此為等差數(shù)列，且公差為1，故D正確，由于為等差數(shù)列，且公差為1，所以，故，故為單調(diào)遞減數(shù)列，C正確，，故，A正確，，，B錯誤，故選：ACD11.已知雙曲線，直線與C交于A，B兩點，點P是C上異于A，B的一點，則（）A.C的焦點到其漸近線的距離為B.直線與的斜率之積為2C.過C的一個焦點作弦長為4的直線只有1條D.點P到兩條漸近線的距離之積為【答案】AD【解析】對A，由已知得漸近線方程為，焦點為，則焦點到漸近線的距離，A正確；對B，由雙曲線和直線的對稱性可設(shè)，，，則，所以，故B錯誤；對C，過C的一個焦點的直線，當(dāng)其斜率不存在時，所以此時弦長為2；當(dāng)斜率存在時，分別與雙曲線上下支各有一個交點時，結(jié)合圖形可知弦長可以無窮大；綜上，過C的一個焦點的直線與雙曲長相交時得到的弦長范圍為，又由雙曲線的對稱性可知，過C的一個焦點作弦長為4的直線至少有兩條，故C錯誤；對D，點到兩條漸近線的距離之積：，D正確.故選：AD.12.已知正方體的棱長為2，P，Q分別是棱，上的動點（含端點），則（）A.四面體的體積是定值B.直線與平面所成角的范圍是C.若P，Q分別是棱，的中點，則D.若P，Q分別是棱，的中點，則經(jīng)過P，Q，C三點作正方體的截面，截面面積為【答案】ABC【解析】對A，因為四面體的體積為，h為到底面的距離，且為定值2，為定值，故四面體的體積是定值，A正確；對B，連接，易得平面，故平面，則到平面的距離即為到平面的距離；又，平面，則平面，則到平面的距離為，易得，則直線與平面所成角的正弦值為，所以直線與平面所成角的范圍是，故B正確；對C，若P，Q分別是棱，的中點，易得，故C正確；對D，取中點M,中點N,連接，易知故四邊形為平行四邊形，則，易知，故，故經(jīng)過P，Q，C三點作正方體的截面，截面為梯形，如圖：又易得，，作易得為矩形，設(shè)，則，由則，解得，故，故四邊形的面積為，故D錯誤.故選：ABC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知等比數(shù)列的公比為q，且，，，則______.【答案】【解析】因為等比數(shù)列的公比為q，且，，，所以，即，即，解得或（舍），故答案為：.14.已知，，且，則______.【答案】【解析】因為，所以，解得.故答案為：.15.已知直線l與圓相切，且切點的橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)，則直線l的方程為______.（寫出一個滿足條件的方程即可）【答案】或或或（任寫一個都對）【解析】易知圓C的圓心為點，半徑為；圓C經(jīng)過的整點有4個，即，，，.①切點為時，圓心與切點連線的斜率為，則切線斜率為1，所以由直線的點斜式方程可得切線方程為；②切點為時，圓心與切點連線的斜率為，則切線斜率為，所以由直線的點斜式方程可得切線方程為；③切點為時，圓心與切點連線的斜率為，則切線斜率為，所以由直線的點斜式方程可得切線方程為；④切點為時，圓心與切點連線的斜率為，則切線斜率為，所以由直線的點斜式方程可得切線方程為；故答案為：或或或（任寫其一）16.已知點在拋物線上，則______；過點M作兩條互相垂直的直線，分別交C于A，B兩點（不同于點M），則直線經(jīng)過的定點坐標(biāo)為______.【答案】2；【解析】因為點在拋物線上，所以，解得；拋物線，由題意知，直線斜率不存在時，不符合題意，設(shè)直線的方程為：，，聯(lián)立，得，所以，因，所以，，，所以，即，所以，即，驗證，所以，直線經(jīng)過的定點坐標(biāo)為，故答案為：2；.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知直線與圓相交于A，B兩點.（1）若P為圓C上一點，求點P到直線l的最大距離；（2）求弦的長度.解：（1）圓，圓心，半徑，圓心到直線的距離，所以點P到直線l的最大距離為.（2），即，解得.18.數(shù)列是首項為1，公比為正數(shù)的等比數(shù)列，且滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和.解：（1）因為，，所以，或，又因為，所以，所以.（2），則.19.如圖，在梯形中，，，，為等邊三角形，平面平面，E為棱的中點.（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）如圖，取的中點F，連結(jié)，.因為E為的中點，所以，.因為，，所以，.即四邊形是平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面.（2）如圖，取的中點O，的中點G，連結(jié)，，則，因為為等邊三角形，所以，因為平面平面，平面平面平面，所以平面，又平面，故.分別以，，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，，則，，，故，，，設(shè)平面的一個法向量為，則令，則設(shè)直線與平面所成角為，則.即直線與平面所成角的正弦值為.20.數(shù)列滿足，，.（1）求，；（2）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（3）若，求數(shù)列的前n項和.解：（1）令，得；令，得.（2），所以是以為首項，2為公差等差數(shù)列.（3）由（2）得，所以，所以，所以.21.如圖，三棱柱的側(cè)面和均為正方形，，交于點O，D為中點，.（1）證明：；（2）設(shè)，當(dāng)為何值時，平面與平面夾角的余弦值等于？解：（1）因為，，，平面，所以平面，又因平面，所以.（2）如圖，以，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，故，，由，得，得，設(shè)平面的法向量為.由得取，取平面的一個法向量為.設(shè)面與面夾角為，則，即，解得..22.已知橢圓的左、右頂點分別為A，B，離心率為，長軸長為4，過點的直線l交于M，N兩點（M在x軸上方）.（1）求的方程；（2）記的面積為，的面積為，求的取值范圍.解：（1）已知長軸長為4，