河北省石家莊市部分重點高中2024屆高三上學期期末考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1河北省石家莊市部分重點高中2024屆高三上學期期末考試數(shù)學試題一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，，所以；因為，，解得，所以，所以.故選：C.2.已知復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則在復平面內的共軛復數(shù)所對應的點在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】由題意可知：，則的共軛復數(shù)為，其所對應的點為，在第一象限.故選A.3.一袋中裝有大小?質地均相同的5個白球，3個黃球和2個黑球，從中任取3個球，則至少含有一個黑球的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根據(jù)題意，至少含有一個黑球的概率是.故選：B4.設，，則，，的大小關系為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】設，令得，所以函數(shù)在區(qū)間單調遞增，因為，所以，即，，不等式兩邊同乘得，即.故選：B.5.數(shù)列是公差不為零的正項等差數(shù)列，為等比數(shù)列，若.則數(shù)列的公比為（）A.2 B.3 C.5 D.11【答案】A【解析】設的公差為，且，的公比為，因為，所以，則，因為，所以，所以的公比.故選：A.6.記拋物線的焦點為為拋物線上一點，，直線與拋物線另一交點為，則（）A. B. C.2 D.3【答案】C【解析】，由拋物線定義可知到準線距離為，即，解得，即拋物線方程為，不妨取，又，所以，聯(lián)立，消去整理得，解得，即，則.故選：C.7.是直線上的一動點，過作圓的兩條切線，切點分別為，則四邊形面積的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】圓的圓心，半徑，點到直線的距離，顯然，由于切圓于點，則，四邊形的面積，當且僅當直線垂直于直線時取等號，所以四邊形面積的最小值為.故選：B8.已知函數(shù)關于的方程有且僅有4個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】當時，，當時，當時，，所以在單調遞減，在單調遞增.當時，，當時，，當時，，所以在單調遞減，在單調遞增，，時，.畫出函數(shù)的圖象，如下圖所示，可得函數(shù)最小值為有四個不同的實數(shù)根，數(shù)形結合可知的取值范圍是，故選：A.二、選擇題:本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.為豐富優(yōu)質旅游資源，釋放旅游消費潛力，推動旅游業(yè)高質量發(fā)展，某地政府從2023年國慶期間到該地旅游的游客中，隨機抽取部分游客進行調查，得到各年齡段游客的人數(shù)和對景區(qū)服務是否滿意的數(shù)據(jù)，并繪制統(tǒng)計圖如圖所示，利用數(shù)據(jù)統(tǒng)計圖估計，得到的結論正確的是（）A.游客中，青年人是老年人的2倍多B.老年人的滿意人數(shù)是青年人的2倍C.到該地旅游的游客中滿意的中年人占總游客人數(shù)的24.5%D.到該地旅游的游客滿意人數(shù)超過一半【答案】ACD【解析】由扇形統(tǒng)計圖可知青年人占比是老年人占比的2倍多，故A正確；其中滿意的青年人占總人數(shù)的，滿意的中年人占總人數(shù)的，滿意的老年人占總人數(shù)的，故B錯誤，C正確；總滿意率為，故D正確.故選：.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.的單調遞增區(qū)間是B.的單調遞增區(qū)間是C.在上有3個零點D.將函數(shù)圖象向左平移3個單位長度得到的圖象所對應的函數(shù)為奇函數(shù)【答案】AC【解析】由圖象得，周期，得，所以，．令，解得，故單調遞增區(qū)間為．A正確，B錯誤；令，解得，令得，解得，可知C選項正確；函數(shù)圖象關于直線對稱，向左平移3個單位長度，圖象關于軸對稱，得到的函數(shù)為偶函數(shù)，故D錯誤．故選：AC．11.正方體中，為的中點，為正方體表面上一個動點，則（）A.當在線段上運動時，與所成角的最大值是B.當在棱上運動時，存在點使C.當在面上運動時，四面體的體積為定值D.若在上底面上運動，且正方體棱長為與所成角為，則點的軌跡長度是【答案】BC【解析】對于A，在正方體中，易知，所以與所成角等價于與所成的角，當為中點時，，此時所成角最大，為，故A錯誤.對于B，以為原點，為軸建立空間直角坐標系，設正方體棱長為1，，因為，，所以，故B正確.對于C，因為在面內，面到平面的距離等于，而三角形面積不變，故體積為定值，故C正確.對于D，因為棱垂直于上底面，且與所成角為，所以在中，，由圓錐的構成可知所在的軌跡是以為圓心1為半徑的弧，軌跡長度是，故D錯誤.故選：BC.12.已知函數(shù)和是定義域為的函數(shù).若，，且，則下列結論正確的是（）A.函數(shù)的圖象關于直線對稱B.C.函數(shù)的圖像關于直線對稱D.【答案】BC【解析】由可知的圖象關于直線對稱，C正確；所以，則①，令為，則②.的圖象關于點對稱，，令，故B正確；由①②可知，所以的圖象關于直線對稱.故錯誤；所以4是的周期，由，得，令，由①得是的周期.有2024項，故，故D錯誤.故選：BC.三、填空題:本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知角的頂點為坐標原點，始邊為軸非負半軸，終邊與單位圓交于點，若點沿著單位圓順時針旋轉到點，且.則__________.【答案】【解析】由三角函數(shù)定義知則.故答案為：14.等邊三角形的邊長是，分別是與的中點，則__________.【答案】【解析】.故答案是：.15.已知，則__________.（用數(shù)字作答）【答案】405【解析】對兩邊求導得：，令，可得.故答案為：.16.若不等式對任意恒成立，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】令，可知的定義域為，且在上單調遞增，則在上單調遞增，因為，則，即，結合的單調性可知，整理得在內恒成立，令，則，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；所以的最大值為，則，所以的取值范圍是.故答案為：.四、解答題:本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.設的內角的對邊分別為，且.（1）求角;（2）若，求面積的最大值.解：（1）因為，由正弦定理得，即，所以，因為，可得，所以，顯然，所以，又因為，所以.（2）因為，由余弦定理可得，所以，當且僅當時取到號，故面積的最大值為.18.已知正項數(shù)列滿足.（1）證明:數(shù)列是等比數(shù)列;（2）若，數(shù)列的前項和為.證明:.證明：（1）證明：因為，可得，即，且，可得，所以數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列.（2）由（1）可知，則，可得，則，因為，則，所以.19.杭州第19屆亞運會，中國代表團共獲得201金111銀71銅，共383枚獎牌，金牌數(shù)超越2010年廣州亞運會的199枚，標志著我國體育運動又有了新的突破.某大學從全校學生中隨機抽取了130名學生，對其日常參加體育運動情況做了調查，其中是否經常參加體育運動的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：經常參加不經常參加男生6020女生4010（1）利用頻率估計概率，現(xiàn)從全校女生中隨機抽取5人，求其中恰有2人不經常參加體育運動的概率；（2）依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為是否經常參加體育運動與性別有關聯(lián).參考公式：.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）由表格知：經常參加與不經常參加體育運動的女生比例為，所以，抽取到不經常參加體育運動的女生人數(shù)服從，故恰有2人不經常參加體育運動的概率.（2）由題設得列聯(lián)表如下：經常參加不經常參加男生602080女生40105010030130故，所以，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗認為經常參加體育運動與性別沒有關聯(lián).20.正方體中分別是的中點.（1）證明：平面；（2）求與平面所成角的正弦值.證明：（1）設正方體的棱長是2，以為坐標原點，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，則，則，設平面的法向量為，則，令，則，所以，則，又平面，故平面.解：（2）由（1）知，是平面的一個法向量，設與平面所成角為，則，所以與平面所成角的正弦值為.21.已知函數(shù).（1）時，求函數(shù)值域;（2）若在上有兩個實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）當時，函數(shù)，其定義域為，且，令，可得，當時，；當時，，所以在區(qū)間單調遞減，在區(qū)間單調遞增，所以當時，取得極小值，同時也是最小值，最小值，又因為時，，所以的值域為.（2）由在有兩個實數(shù)根，則在有兩個零點，又由，令，當時，恒成立，，在上單調遞減，舍去；當時，解得或，有兩個根，且，當時，在上恒小于，，單調遞減，舍去；當時，，不妨設，則，時，，單調遞增，時，，單調遞減，且，則，令，可得，當時，，單調遞減，且，所以，當時，，則，且，故使，故在上存在兩個零點，綜上，實數(shù)的取值范圍為.22.已知橢圓的左、右焦點分別為、，離心率為，是橢圓上的點.（1）求橢圓的標準方程；（2）設為的左頂點，過的直線交橢圓于、兩點，直線、分別交直線于、兩點，是線段的中點，在軸上求出