廣東省汕頭市某校2025屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省汕頭市某校2025屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)的虛部是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，所以虛部為，故選：C2.若函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)閯t實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由的定義域?yàn)?，?duì)稱軸為,當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，則，，而函數(shù)的值域?yàn)?，則，解得，故，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，則，，，故，解得，故，綜上所述，的取值范圍為，故選：A3.如圖，在梯形中，在線段上，.若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意可設(shè)，則，又因?yàn)?，且，不共線，可得，解得，即，所以，即.故選：D.4.函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】畫(huà)出圖象，，，可得與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3．故選：C．5.設(shè)是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】由題意得，，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，故，即，解得，故.故選：B6.直線與圓相交于、兩點(diǎn)，若，則等于（）A.0 B. C.或0 D.或0【答案】D【解析】由題意，∵，∴到圓心的距離為，∴圓心到直線的距離為：，即.解得：或，故選：D.7.在正四棱錐中，，則正四棱錐體積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】過(guò)頂點(diǎn)P向平面ABCD作垂線，垂足為O，則PO為正四棱錐的高，設(shè)為h.設(shè)底面邊長(zhǎng)為x，則，則，則.所以正四棱錐的體積為：，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則.故選：B8.在中，，若一個(gè)橢圓經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，它的一個(gè)焦點(diǎn)為點(diǎn)C，另一個(gè)焦點(diǎn)在邊AB上，則這個(gè)橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)另一焦點(diǎn)為D，∵中，，∴，∵，∴，∴，又∵，∴.在中焦距，則，∴.故選：D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分、在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表；X12345Pm0.10.3n0.3若離散型隨機(jī)變量，且，則正確的是（）A. B.C D.【答案】BCD【解析】由題意知，所以，因?yàn)?，所以，即，綜上，解得，，故A不正確，B正確；因?yàn)椋?，故C正確；，PX>3=PX=4+PX=5，所以PX≤3>P故選：BCD.10.定義在上的函數(shù)，如果對(duì)于任意給定的等比數(shù)列，數(shù)列仍是等比數(shù)列，則稱為“保等比數(shù)列函數(shù)”.現(xiàn)有定義在上的四個(gè)函數(shù)中，是“保等比數(shù)列函數(shù)”的為A. B.C. D.【答案】AC【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為.對(duì)于A，則，故A是“保等比數(shù)列函數(shù)”；對(duì)于B，則常數(shù)，故B不是“保等比數(shù)列函數(shù)”；對(duì)于C，則，故C是“保等比數(shù)列函數(shù)”；對(duì)于D，則常數(shù)，故D不是“保等比數(shù)列函數(shù)”.故選：AC.11.已知函數(shù)H(x)，下列說(shuō)法正確的有（）A.若m＝0，a＝1，則函數(shù)H(x)有最大值B.若m＝1，a≠0，則過(guò)原點(diǎn)恰好可以作一條直線與曲線y＝H(x)相切C.若a＝0，且對(duì)任意m∈R，H(x)＞0恒成立，則0≤x≤1D.若對(duì)任意m∈R，任意x＞0，H(x)≥0恒成立，則a的最小值是【答案】BD【解析】由m＝0，a＝1得H(x)e﹣x+x+1，H′(x)e﹣x+1＞0得x＞ln4，∴函數(shù)H(x)在(∞,ln4)上單調(diào)遞減，在(ln4,+∞)上單調(diào)遞增，∴當(dāng)x＝ln4時(shí)函數(shù)H(x)取得最小值，無(wú)最大值，故A錯(cuò)；由m＝1，a≠0，得H(x)eax，設(shè)y＝kx與其相切，切點(diǎn)(x0,y0)，則k＝H′(x0)e且kx0e，得x0，k，解唯一．故B對(duì)；由a＝0得H(x)＝(m+1)2+(m+1)x，看作關(guān)于m+1的二次函數(shù)，由對(duì)任意m∈R，H(x)＞0恒成立得＝x21＜0，解得1＜x＜1，故C錯(cuò)；由題設(shè)不等式恒成立及C中的分析方法，知：＝x2eax≤0恒成立，∴a對(duì)任意x＞0恒成立．記，0得x∈(0，e)，∴在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+∞)上單調(diào)遞減，∴f(x)max＝f(e)，∴a，即a的最小值是，故D對(duì)．故選：BD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為2，高為6，則該正四棱柱的外接球的表面積為_(kāi)_____.【答案】【解析】設(shè)外接球的半徑為，則,所以正四棱柱的外接球的表面積.13.一個(gè)三位數(shù)的百位、十位、個(gè)位上的數(shù)字依次為a，b，c．三位數(shù)中，當(dāng)且僅當(dāng)有兩個(gè)數(shù)字的和等于第三個(gè)數(shù)字時(shí)稱為“有緣數(shù)”（如213，134等）若a，b，，且a，b，c互不相同，則這個(gè)三位數(shù)為“有緣數(shù)”共______個(gè)．【答案】【解析】根據(jù)題意知在中，能組成有緣數(shù)的組合有；；；；；由1，2，3組成的三位自然數(shù)為123，132，213，231，312，321，“有緣數(shù)”共6個(gè)；同理：由1，3，4組成的三位數(shù)為“有緣數(shù)”是6個(gè)；由1，4，5組成的三位數(shù)為“有緣數(shù)”是6個(gè)；由2，3，5組成的三位數(shù)為“有緣數(shù)”是6個(gè)；所以三位數(shù)為“有緣數(shù)”的個(gè)數(shù)為：個(gè)．14.設(shè)函數(shù)，當(dāng)a=1時(shí)，f(x)的最小值是________；若恒成立，則a的取值范圍是_________.【答案】1[0，]【解析】當(dāng)a=1時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.所以的最小值為.當(dāng)時(shí)，，即，即恒成立，所以恒成立，即恒成立，所以，即.當(dāng)時(shí)，，即恒成立，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以.綜上所述：a的取值范圍是.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.如圖，四棱錐的底面是正方形，側(cè)面是等邊三角形，平面平面，為的中點(diǎn).（1）求證：平面.（2）求側(cè)面與底面所成二面角的余弦值.解：（1）在等邊中，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，在正方形中，，又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)?平面，所以平面.（2）取的中點(diǎn)，連接.則，又正方形中，，所以,在等邊中，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)?，所以是平面與平面所成二面角的平面角.設(shè)，則，所以.16.中，是上的點(diǎn)，平分，面積是面積的2倍．（1）求；（2）若，，求和的長(zhǎng)．解：（1）根據(jù)題意，作圖如下：面積是面積的2倍，故可得；在△中，由正弦定理可得：，在△中，由正弦定理可得：，又，故結(jié)合上述兩式可得：.（2）根據(jù)（1）中所求可得：；在△中，由正弦定理可得：，在△中，由正弦定理可得：，又，故，結(jié)合上述兩式可得：，故設(shè)，則；在△中，由余弦定理可得：，在△中，由余弦定理可得：，又，則，即，解得x=1（舍去負(fù)根），也即.17.已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，求曲線y=fx在點(diǎn)處的切線方程；(2)設(shè)函數(shù)，討論的單調(diào)性.解：(1)有題意得，所以.又因?yàn)?，其切線方程為，即.(2)，則，令，得，，①當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上遞增；②當(dāng)時(shí)，令，得或x>0.即在，上遞增，在遞減，③當(dāng)a>0時(shí)，，上遞增，在遞減.18.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到定點(diǎn)的距離比點(diǎn)M到定直線的距離小1，直線交曲線C于A，B兩點(diǎn)．（點(diǎn)A在第一象限）（1）求點(diǎn)M的軌跡C的方程；（2）若過(guò)且與垂直直線與曲線C交于C，D兩點(diǎn)：（點(diǎn)C在第一象限）（i）求四邊形面積的最小值．（ii）設(shè)，的中點(diǎn)分別為P，Q，求證：直線過(guò)定點(diǎn)．解：（1）由題意知，動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)的距離等于點(diǎn)M到定直線的距離，根據(jù)拋物線的定義可知，點(diǎn)M的軌跡是拋物線；因?yàn)?，所以拋物線的方程為，即點(diǎn)M的軌跡C的方程為.（2）（i）設(shè)點(diǎn)，，，，由（1）知拋物線的準(zhǔn)線為，，根據(jù)拋物線的定義可知，，，，所以，，由題意知直線過(guò)且與直線交于點(diǎn)，所以四邊形的面積，由，消去后得，所以，由韋達(dá)定理可知，所以，由題意得直線：，同理，聯(lián)立，消去可得，所以，由韋達(dá)定理可知，所以，所以四邊形的面積，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以四邊形面積的最小值為32.（ii）由（i）知，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，代入直線可得，所以，同理可得，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，化簡(jiǎn)得，所以直線過(guò)定點(diǎn).19.已知正實(shí)數(shù)集，定義：稱為的平方集．記為集合中的元素個(gè)數(shù)．（1）若，求集合和；（2）若，求；（3）①分別取1，2，3時(shí)，試比較和的大小關(guān)系；②猜想和的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．解：（1）由集合新定義中元素為中任意兩個(gè)元素的乘積，去除重復(fù)的元素，可得，，（2）由（1）可得，，，，若，要得到，就要全部互質(zhì)，當(dāng)中所有元素互質(zhì)的時(shí)候，從集合中任取兩個(gè)元素做乘積，共有個(gè)，每個(gè)元素自身取平方共有個(gè)，此時(shí)共有個(gè)，他們構(gòu)成了，，即，解得，或（舍去），所以若