福建省三明市六校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省三明市六校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考試題第Ⅰ卷（選擇題，共48分）一、選擇題．（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是最符合題目要求的．）1.直線的一個(gè)方向向量為（）A B. C. D.【答案】C【解析】由，得，所以直線的斜率為，又當(dāng)直線斜率存在時(shí)，直線的一個(gè)方向向量為，所以直線的一個(gè)方向向量為，故選：C.2.已知空間向量，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，又，所以，解得，故選：A.3.已知點(diǎn)、，直線經(jīng)過的中點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則直線的傾斜角等于（）A.或 B.或 C.或 D.或【答案】C【解析】由題意可知，點(diǎn).①當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，可設(shè)直線的方程為，則，得，此時(shí)，直線的方程為，直線的斜率為，傾斜角為；②當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，可設(shè)直線的方程為，則，，此時(shí)，直線的傾斜角為.綜上所述，直線的傾斜角為或.故選：C.4.如圖,在平行六面體中,為與的交點(diǎn),若，,，則下列向量中與相等的向量是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】=故選：A.5.已知雙曲線，過點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)是，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，則，兩式相減可得，整理可得，又線段的中點(diǎn)是，則，所以，又直線過點(diǎn)，得到，所以，得到，故選：C.6.已知，是圓上兩點(diǎn)，且，若直線上存在點(diǎn)使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意可知:圓的圓心為，半徑，設(shè)中點(diǎn)為，則，且，可得，又因?yàn)?，可知為等腰直角三角形，則，可得，故點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，因?yàn)橹本€上存在點(diǎn)使得，即直線與圓有交點(diǎn)，即圓心到直線的距離，解得或.故選：A.7.如圖所示，點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)分別在拋物線及圓的實(shí)線部分上運(yùn)動，且AB總是平行于軸，則的周長的取值范圍是（）

A. B. C. D.【答案】D【解析】過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則的周長為，由可得，故，故的周長的取值范圍為，故選：D.8.三棱錐中，底面是邊長為2的正三角形，，直線AC與BD所成角為，則三棱錐外接球表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意可得，因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，又，且所以，所?取的中點(diǎn)，易得,又所以平面，又平面，所以平面平面，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，D0,1,0，令，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)橹本€AC與BD所成角為，所以，解得，即，如圖，為外接球的球心，為等邊三角形的重心，設(shè)點(diǎn)A在平面內(nèi)投影為，作，所以,所以在中，,,所以在中，，解得，所以，三棱錐外接球表面積為，故選：A二、選擇題．（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.已知曲線Γ：（），則（）A.?？赡苁堑容S雙曲線B.若Γ表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則C.?？赡苁前霃綖榈膱AD.若Γ表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，則【答案】BCD【解析】對于A，若Γ是等軸雙曲線，則，顯然不成立，故A錯(cuò)誤；對于B，Γ表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則，解得，故B正確；對于C，Γ是圓，則，解得，半徑為2，故C正確；對于D，Γ表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，則，解得，故D正確.故選：BCD.10.在正方體中，，，則（）A.若，則點(diǎn)的軌跡為線段B.若，則點(diǎn)的軌跡為連接棱的中點(diǎn)和棱中點(diǎn)的線段C.若，則三棱錐的體積為定值D.若，則與平面所成角的余弦值的最大值為【答案】BCD【解析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A0,0,0、、、、、、、，因?yàn)椋瑢τ贏選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，則點(diǎn)的軌跡為線段，A錯(cuò)；對于B選項(xiàng)，若，即點(diǎn)，此時(shí)，點(diǎn)的軌跡為連接棱的中點(diǎn)和棱中點(diǎn)的線段，B對；對于C選項(xiàng)，若，即點(diǎn)，其中，，，設(shè)平面的法向量為m=x1,則，取，可得，，則點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)榈拿娣e為定值，故三棱錐的體積為定值，C對；對于D選項(xiàng)，若，則，其中，易知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成的角為，則，當(dāng)時(shí)，取最小值，此時(shí)取最大值，且，則，因此，當(dāng)時(shí)，則與平面所成角的余弦值的最大值為，D對.故選：BCD.11.已知曲線，點(diǎn)在曲線上，則下列結(jié)論正確的有（）A.曲線有4條對稱軸 B.曲線圍成的圖形面積為C.的最大值為 D.的最小值為【答案】BCD【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且曲線過原點(diǎn)，曲線圍成的圖形是四個(gè)全等的弓形組成，令，有，又各圓半徑為，則每個(gè)弓形圓弧是圓弧，所以曲線的圖形如下圖示，由圖知，顯然對稱軸只有軸，A錯(cuò)；曲線圍成的圖形是四個(gè)全等的弓形組成，面積為，B對；由上分析，易知的最大值為，C對；由表示曲線上點(diǎn)與點(diǎn)所成直線斜率，結(jié)合圖知，當(dāng)過的直線與圓右上方相切時(shí)斜率最小，令直線為且，聯(lián)立圓得，所以，則，整理得，所以，可得（正值舍），D對.故選：BCD第II卷（非選擇題）三、填空題(本題共3小題，每小題5分，共15分)12.已知，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，A為上頂點(diǎn)，則的面積為_______.【答案】【解析】由橢圓得,所以，所以，故答案為：13.如圖所示，由圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)知道：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射（即經(jīng)橢圓在該點(diǎn)處的切線反射）后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)．已知橢圓C的方程為，其左、右焦點(diǎn)分別是，，直線l與橢圓C相切于點(diǎn)，過點(diǎn)P且與直線垂直的直線與橢圓長軸交于點(diǎn)M，則_______________．【答案】【解析】因?yàn)橹本€與橢圓C相切于點(diǎn)，所以，解得，由橢圓C的方程為，所以,,由橢圓的定義可知：，由橢圓的光學(xué)性質(zhì)得到直線平分，可得.故答案為：.14.若點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)在直線上，則的最小值是__________.【答案】【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)，等號成立，令，即，代入橢圓方程得，由，解得，，則（可驗(yàn)證等號可?。?，故的最小值是.故答案為：.四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.在中，，，且邊的中點(diǎn)在軸上，邊的中點(diǎn)在軸上．（1）求邊上的高所在直線方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的直線為，且點(diǎn)與點(diǎn)到直線距離相等，求直線的方程．解：（1）設(shè)，，，∵邊的中點(diǎn)在軸上，邊的中點(diǎn)在軸上，∴，∴，∵，∴，∴所在直線方程為，即.（2）方法一：當(dāng)斜率不存在時(shí)，，不滿足題意；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè),即，依題意得：，解得或，綜上所述，直線的方程為：或，即：或.方法二：依題意，所求直線與直線平行或過線段的中點(diǎn)，綜上所述，直線的方程為：或，即：或.16.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，為棱的中點(diǎn).（1）求直線與所成角的余弦值；（2）求直線與平面所成角的正弦值；解：（1）如圖以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，于，，則，由故直線與所成角的余弦值為；（2）如圖，連接，由建系知，，設(shè)平面的法向量為則故可取設(shè)直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為.17.已知圓.（1）若直線AB方程為與圓C相交于A、B兩點(diǎn)，求.（2）在（1）的前提下，若點(diǎn)Q是圓上的點(diǎn)，求面積的最大值.解：（1）由題意可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心，半徑r=1，又直線AB方程為，則圓心C到直線AB的距離，直線AB與圓相交，所以.（2）圓的圓心，半徑，則點(diǎn)到直線AB：的距離為，所以點(diǎn)Q到直線AB距離的最大值為，所以面積的最大值為.18.如圖，已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0過點(diǎn)，焦距為；斜率為的直線與橢圓相交于異于點(diǎn)的，兩點(diǎn)，且直線PM，PN均不與（1）求橢圓的方程；（2）若，求MN的方程；（3）記直線PM的斜率為，直線PN的斜率為，證明：為定值.解：（1）由橢圓C:x2a2+得，解得，故橢圓的方程為．（2）設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，消去得，由，得，則．，解得或，當(dāng)時(shí)，直線的方程為；當(dāng)時(shí)，直線經(jīng)過點(diǎn)，不符合題意，舍去．所以當(dāng)時(shí)，的方程為．（3）直線，均不與軸垂直，所以，，則且，所以，所以為定值．19.《文心雕龍》有語：“造化賦形，支體必雙，神理為用，事不孤立”，意指自然界的事物都是成雙成對的．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與定點(diǎn)的距離和它到定直線l：的距離的比是常數(shù)（）．設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線H，若某條直線上存在這樣的點(diǎn)P，則稱該直線為“齊備直線”．（1）若，求曲線H的方程；（2）若“齊備直線”：與曲線H相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M為曲線H上不同于A，B的一點(diǎn)，且直線MA，MB的斜率分別為，，試判斷是否存在λ，使得取得最小值？說明理由；（3）若，與曲線H有公共點(diǎn)N的“齊備直線”與曲線H的兩條漸近線交于S，T兩點(diǎn)，且N為線段ST的中點(diǎn)，求證：直線與曲線H有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)．解：（1）當(dāng)時(shí)，定直線：，比值為：.設(shè)，則點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與它到定直線的距離之比為，即，兩邊平方，整理得：，即為曲線的方程.（2）因?yàn)閯狱c(diǎn)P與定點(diǎn)的距離和它到定直線l：的距離的比是常數(shù)（），所以，整理得，即，即為曲線的方程.