云南省曲靖市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測試卷四

Page12024屆高三教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測卷（四）數(shù)學(xué)本試卷分為第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分．考試時間：120分鐘；滿分：150分．第I卷（選擇題，共60分）單選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．若集合，則（

）A． B．C． D．2．已知復(fù)數(shù)滿意，若為純虛數(shù)，則（

）A． B．1 C． D．23．已知平行四邊形中，點為的中點，，（），若，則（）A．1 B．2C． D．4．唐朝的狩獵景象浮雕銀杯如圖1所示，其浮雕臨摹了國畫、漆繪和墓室壁畫，體現(xiàn)了古人的才智與工藝．它的盛酒部分可以近似地看作是半球與圓柱的組合體（假設(shè)內(nèi)壁表面光滑，忽視杯壁厚度），如圖2所示．已知球的半徑為，酒杯的容積為，則其內(nèi)壁表面積為（

）A． B． C． D．5．為了協(xié)作社區(qū)核酸檢測，某醫(yī)院共派出4名男志愿者和2名女志愿者參與社區(qū)志愿服務(wù).已知6名志愿者將會被分為2組派往2個不同的社區(qū)，且2名女志愿者不單獨成組.若每組不超過4人，則不同的安排方法種數(shù)為（

）A．32 B．48 C．40 D．566．已知函數(shù)．若對于隨意實數(shù)x，都有，則的最小值為（

）．A．2 B． C．5 D．87．已知，，，則（

）A． B． C． D．8．已知三棱錐的底面△ABC為等腰直角三角形，其頂點P究竟面ABC的距離為4，體積為，若該三棱錐的外接球O的半徑為，則滿意上述條件的頂點P的軌跡長度為（

）A． B． C． D．多選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每個小題給出的選項中，有多個選項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9．如圖，在棱長為的正方體中，下列結(jié)論成立的是（

）A．若點是平面的中心，則點到直線的距離為.B．二面角的正切值為.C．直線與平面所成的角為.D．若是平面的中心，點是平面的中心，則面.10．已知函數(shù)，則下列選項正確的有（

）A．函數(shù)微小值為1B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．當(dāng)時，函數(shù)的最大值為D．當(dāng)時，方程恰有3個不等實根11．已知為坐標(biāo)原點，點在拋物線上，過焦點的直線交拋物線于兩點，則（

）A．的準(zhǔn)線方程為B．若，則C．若，則的中點到軸的距離為4D．12．已知定義R上的函數(shù)滿意，又的圖象關(guān)于點對稱，且，則（

）A．函數(shù)的周期為12 B．C．關(guān)于點對稱 D．關(guān)于點對稱第II卷（非選擇題，共90分）三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．的綻開式中的常數(shù)項為__________．14．寫出一個與直線和都相切的圓的方程______.（答案不唯一）15．，若在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則的取值范圍是_______16．已知橢圓，圓，直線與圓相切于第一象限的點A，與橢圓C交于兩點，與軸正半軸交于點．若，則直線的方程是__________．四、解答題（本大題共6小題，第17題10分，其余各題12分，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟全科試題免費下載公眾號《中學(xué)僧課堂》）17．已知數(shù)列是各項均為正整數(shù)的等比數(shù)列，且成等差數(shù)列．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）設(shè)，設(shè)數(shù)列的前項和為，求證：．18．在銳角中，角A，B，C，的對邊分別為a，b，c，從條件①：，條件②：，條件③：這三個條件中選擇一個作為已知條件．（Ⅰ）求角A的大??；（Ⅱ）若，求周長的取值范圍．19．已知在四棱錐P—ABCD中，，，E為CD中點.（Ⅰ）平面PCD與平面PAE能垂直嗎？請說明理由.（Ⅱ）若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，求四棱錐的體積.20．?dāng)?shù)據(jù)顯示，中國在線直播用戶規(guī)模及在線直播購物規(guī)模近幾年都保持高速增長態(tài)勢，下表為2017－2024年中國在線直播用戶規(guī)模（單位：億人），其中2017年－2024年對應(yīng)的代碼依次為1－5．年份代碼x12345市場規(guī)模y3.984.565.045.866.36參考數(shù)據(jù)：，，，其中．參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回來直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，．（Ⅰ）由上表數(shù)據(jù)可知，可用函數(shù)模型擬合y與x的關(guān)系，請建立y關(guān)于x的回來方程（，的值精確到0.01）；（Ⅱ）已知中國在線直播購物用戶選擇在品牌官方直播間購物的概率為p，現(xiàn)從中國在線直播購物用戶中隨機(jī)抽取4人，記這4人中選擇在品牌官方直播間購物的人數(shù)為X，若，求X的分布列與期望．21．已知雙曲線經(jīng)過點，兩條漸近線的夾角為，直線交雙曲線于兩點.（Ⅰ）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.（Ⅱ）若動直線經(jīng)過雙曲線的右焦點，是否存在軸上的定點，使得以線段為直徑的圓恒過點？若存在，求實數(shù)的值；若不存在，請說明理由.22．已知函數(shù).（Ⅰ）試比較與1的大??；（Ⅱ）求證：.數(shù)學(xué)參考答案二、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）題號123456789101112答案DCBDBCBDABDACABDABD1．D【詳解】由，可得，則；由，可得，則；所以，故選：D．2．C【詳解】因為為純虛數(shù)，所以設(shè)，則由，得，即，所以，解得.故選：C.3．B【詳解】解：依題意設(shè)，則，即，所以，故；故選：B．4．D【詳解】由題意可知，酒杯是由圓柱和半球的組合體，所以酒杯內(nèi)壁表面積是圓柱的側(cè)面積與半球的表面積之和，因為球的半徑為，所以半球的表面積為，半球的體積為，設(shè)圓柱體的高為，則體積為，又酒杯的容積為所以，解得：，因為球的半徑為，酒杯圓柱部分高為，所以圓柱的側(cè)面積為，所以酒杯內(nèi)壁表面積為.故選：D.5．B【詳解】分兩種狀況探討：分為3，3的兩組時，2名女志愿者不單獨成組，有種分組方法，再對應(yīng)到兩個社區(qū)參與志愿工作，有種狀況，此時共有種安排方法；分為2，4的兩組時，有種分組方法，其中有1種兩名女志愿者單獨成組的狀況，則有14種符合條件的分組方法，再對應(yīng)到兩個社區(qū)參與志愿工作，有種狀況，此時共有種安排方法，故共有種安排方法.故選：B.6．C【詳解】函數(shù)，由可知函數(shù)圖像的一個對稱中心為，所以有，解得，由，當(dāng)時，有最小值5.故選：C全科試題免費下載公眾號《中學(xué)僧課堂》7．B【詳解】∵，，∴∵，，∴綜上，．故選：B．8．D【詳解】依題意得，設(shè)底面等腰直角三角形的直角邊長為，三棱錐的體積解得：的外接圓半徑為球心究竟面的距離為，又頂點P究竟面ABC的距離為4，頂點的軌跡是一個截面圓的圓周當(dāng)球心在底面和截面圓之間時，球心到該截面圓的距離為，截面圓的半徑為，頂點P的軌跡長度為；當(dāng)球心在底面和截面圓同一側(cè)時，球心到該截面圓的距離為，故不成立．綜上所述，頂點P的軌跡的總長度為．故選：D．9．ABD【詳解】以為坐標(biāo)原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，，對于A，，，，，點到直線的距離，A正確；對于B，，，設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，；軸平面，平面的一個法向量，，，，由圖形可知：二面角為銳二面角，二面角的正切值為，B正確；對于C，平面，平面，，又，，平面，平面，平面的一個法向量為，又，，即直線與平面所成的角為，C錯誤；對于D，平面的法向量，，，即，面，D正確.故選：ABD.10．AC【詳解】對于AB：，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以的極大值為，的微小值為，故A正確，B錯誤；對于C：由函數(shù)單調(diào)性知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上遞增，且，，故函數(shù)的最大值為，故C正確；對于D：當(dāng)時，，時，，且的極大值為，的微小值為，由上述分析可知，的圖象為：由圖象可得當(dāng)或時，有1個實數(shù)根，當(dāng)或時，有2個實數(shù)根，當(dāng)時，有3個實數(shù)根，故D錯誤.故選：AC.11．ABD【詳解】因為點在拋物線上，所以解得，所以拋物線方程為，所以準(zhǔn)線方程為，所以A正確;由拋物線的定義得由,所以.所以B正確;設(shè)，聯(lián)立整理得，由韋達(dá)定理得，所以，解得，，所以C錯誤;,由拋物線定義知，所以,當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號，所以D正確.故選:ABD.12．ABD【詳解】由，令，得，所以，關(guān)于直線對稱.由于的圖象關(guān)于點對稱，所以的圖象關(guān)于對稱，所以是奇函數(shù).所以，所以的周期為，A選項正確.，B選項正確.結(jié)合上述分析可知，關(guān)于點（）對稱，所以關(guān)于點（）對稱，所以關(guān)于點（）對稱，所以關(guān)于點（）對稱，令，得關(guān)于點對稱，D選項正確，C選項錯誤.故選：ABD三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13、-4514、（答案不唯一）15、16、13．【詳解】綻開式通項公式為，，，，，所以所求常數(shù)項為，故答案為：．14．（答案不唯一）【詳解】因為，所以直線和關(guān)于直線，對稱，所以與直線和都相切的圓的圓心在直線或直線上（除原點外），設(shè)圓心，則半徑，所以圓的方程為（答案不唯一）.故答案為：.15．【詳解】因為，則，有已知條件可得：，使得，即，當(dāng)，所以.故答案為：.16．

【詳解】由題意可知直線有斜率，設(shè)直線的方程為：聯(lián)立直線和圓的方程：，所以可知，故聯(lián)立直線和橢圓的方程：設(shè)，則設(shè)中點為,由可知：,即是的中點，在直線方程中，令由中點坐標(biāo)公式可知：，，故，直線方程為故答案為四、解答題（本大題共6小題，共70分）17．【詳解】（Ⅰ）設(shè)數(shù)列的公比為，因為成等差數(shù)列，所以，又，所以，因為，所以所以或，又?jǐn)?shù)列各項均為正整數(shù)，所以，所以．…………（5分）（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可知，所以，所以，所以．所以．…………（5分）18．【詳解】（1）選條件①：因為，所以，即，又因為為銳角三角形，所以，所以，所以.選條件②：因為，所以所以，又因為，所以，所以，所以，選條件③：由正弦定理可得即，又因為，所以，因為，所以.…………（6分）（2），，則即，即周長的取值范圍為.…………（12分）19．（1）平面PCD與平面PAE能垂直，理由如下：如下圖，連接，在△中，故，即，所以△為等腰三角形，又E為CD中點，故，因為，且，面，所以面，由面，故面面.…………（6分）（2）由，則，由，則，又，且面，則面，而面，所以，結(jié)合，，且面，所以面，面，故，，又，即，故兩兩垂直，所以可構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系，則，令且，故，而，若為面的法向量，則，令，則，明顯面的一個法向量為，因為直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，所以，，即，所以，即，又，即，故，則底面為直角梯形，故的體積為.…………（12分）20．（1）設(shè)，則，因為，，，所以．把代入，得．即關(guān)于的回來方程為；…………（6分）（2）由題意知，，，由得，所以，的取值依次為0，1，2，3，4，，，，，，所以X的分布列為X01234P.…………（12分）21．【詳解】（1）兩條漸近線的夾角為，漸近線的斜率或，即或；當(dāng)時，由得：，，雙曲線的方程為：；當(dāng)時，方程無解；綜上所述：雙曲線的方程為：.…………（4分）（2）由題意得：，假設(shè)存在定點滿意題意，則恒成立；方法一：①當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)，，，由得：，，，，，，整理可得：，由得：；當(dāng)時，恒成立；②當(dāng)直線斜率不存在時，，則，，當(dāng)時，，，成立；綜上所述：存在，使得以線段為直徑