面積定值問(wèn)題（學(xué)生版）-2024年中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)壓軸題

專(zhuān)題04面積定值問(wèn)題

一、知識(shí)導(dǎo)航

二、典例精析

如圖，拋物線(xiàn)y=-d+2x+3與無(wú)軸交于A、B兩點(diǎn)、(點(diǎn)A在點(diǎn)8左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C,連接BC,拋物

線(xiàn)在線(xiàn)段2C上方部分取一點(diǎn)P,連接尸8、PC,若△P2C面積為3,求點(diǎn)P坐標(biāo).

思路1：鉛垂法列方程解.

根據(jù)8、C兩點(diǎn)坐標(biāo)得直線(xiàn)BC解析式：y=-x+3,

設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為^m,—m2+2〃z+3),

過(guò)點(diǎn)P作PQy_x軸交于點(diǎn)。，

則點(diǎn)Q坐標(biāo)為(m,-m+3),

PQ=加？+2m+3)—(一〃？+3)|=|—m2+3m|,

2

SPBC=—x3x|—m+3詞=3,

分類(lèi)討論去絕對(duì)值解方程即可得相的值.

思路2:構(gòu)造等積變形

同底等高三角形面積相等.

取8C作水平寬可知水平寬為3,根據(jù)△PBC面積為3,

可知鉛垂高為2,

在y軸上取點(diǎn)。使得CQ=2,過(guò)點(diǎn)。作BC的平行線(xiàn),

交點(diǎn)即為滿(mǎn)足條件的P點(diǎn).

當(dāng)點(diǎn)。坐標(biāo)為(0,5)時(shí)，解析式為：y=-x+5,

耳夫五方:—廠+2x+3=—x+5,解即可.

當(dāng)點(diǎn)。坐標(biāo)為(0,1)時(shí)，解析式為：y=-x+\,

聯(lián)立方程：-X2+2X+3=-X+1,解之即可.

在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)y=尤+2與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)3,拋物線(xiàn)y-ax2+bx+c(。＜0)經(jīng)過(guò)

點(diǎn)A、B.

(1)求a、6滿(mǎn)足的關(guān)系式及c的值.

(2)如圖，當(dāng)。=-1時(shí)，在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)P,使的面積為1?若存在，請(qǐng)求出符合條件的所

有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】

(1)點(diǎn)A坐標(biāo)為(-2,0),點(diǎn)B坐標(biāo)為(0,2),

代入解析式可得：c=2,4a-2b+2=0

(2)考慮A、8水平距離為2,△B48的面積為1,故對(duì)應(yīng)的鉛垂高為1.

當(dāng)。二-1時(shí)，可得b=-l,拋物線(xiàn)解析式為y=-N-x+2.

取點(diǎn)C(0,3)作A5的平行線(xiàn)，其解析式為：產(chǎn)X+3,

聯(lián)立方程-%2_1+2=%+3,解得X=-1,故點(diǎn)《坐標(biāo)為(-1,2)

取點(diǎn)。(0,1)作A3的平行線(xiàn)，其解析式為：y=x+l,

聯(lián)立方程-12-%+2=%+1,解得X]=—1+,%2=—1—.

三、中考真題演練

1.(2023?浙江湖州?中考真題)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=Y-4x+c的圖象與y軸的

交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,5),圖象的頂點(diǎn)為矩形ABCD的頂點(diǎn)。與原點(diǎn)。重合，頂點(diǎn)A,C分別在x軸，y軸上,

(2)如圖2,將矩形ABC。沿?zé)o軸正方向平移f個(gè)單位(0</<3)得到對(duì)應(yīng)的矩形AB'C'D.已知邊C'。'，A!B'

分別與函數(shù)y=--4x+c的圖象交于點(diǎn)P,Q,連接尸2,過(guò)點(diǎn)尸作PGLAF于點(diǎn)G.

①當(dāng)r=2時(shí)，求QG的長(zhǎng)；

②當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)。不重合時(shí)，是否存在這樣的f,使得△2質(zhì)的面積為1?若存在，求出此時(shí)f的值；若不存

在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2.（2023?四川甘孜?中考真題）已知拋物線(xiàn)y=/+Zzx+c與X軸相交于A（-I,o）,8兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)

C（0,-3）.

（2*為第一象限拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，PBC的面積與，AfiC的面積相等，求直線(xiàn)AP的解析式;

3.（2023?內(nèi)蒙古呼和浩特.中考真題）探究函數(shù)y=-2討+4國(guó)的圖象和性質(zhì)，探究過(guò)程如下:

請(qǐng)畫(huà)出該函數(shù)圖象的另一部分.觀察圖象，寫(xiě)出該函數(shù)的一條性質(zhì);

⑵點(diǎn)P是函數(shù)、=-2|城+4kl圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)4（2,0）,點(diǎn)8（-2,0）,當(dāng)/皿=3時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有

滿(mǎn)足條件的點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

4.（2023?遼寧盤(pán)錦?中考真題）如圖，拋物線(xiàn)>=加+法+3與x軸交于點(diǎn)A（-l,0）,*3,0）,與，軸交于點(diǎn)C.

（1）求拋物線(xiàn)的解析式.

（3）如圖2,點(diǎn)E是第一象限內(nèi)一點(diǎn)，連接AE交V軸于點(diǎn)D,AE的延長(zhǎng)線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)P,點(diǎn)b在線(xiàn)段CO

上，且CV=OD,連接E4FE,BE,BP,若名人氏=，求面積.

5.（2023?湖南?中考真題）如圖，二次函數(shù)y=x2+6x+c的圖象與x軸交于A,8兩點(diǎn)，與V軸交于C點(diǎn),

其中8（1，。），。（0,3）.

⑴求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；

⑵在二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)P,使得&MC=SAABC?若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理

由；

6.（2023?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）綜合與探究

如圖，拋物線(xiàn)，=-/+法+。上的點(diǎn)A,C坐標(biāo)分別為（0,2）,（4,0）,拋物線(xiàn)與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)8,點(diǎn)/

為y軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，且OM=2,連接AC,CM.

(1)求點(diǎn)M的坐標(biāo)及拋物線(xiàn)的解析式;

(2)點(diǎn)P是拋物線(xiàn)位于第一象限圖象上的動(dòng)點(diǎn)，連接AP,CP,當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo);

7.(2023?四川瀘州?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系尤0Y中，已知拋物線(xiàn)、=依2+2》+。與坐標(biāo)軸分另(!

相交于點(diǎn)A,B,C(0,6)三點(diǎn)，其對(duì)稱(chēng)軸為x=2.

⑴求該拋物線(xiàn)的解析式；

(2)點(diǎn)尸是該拋物線(xiàn)上位于第一象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)