離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差 專項(xiàng)訓(xùn)練-2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-10.5-離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差-專項(xiàng)訓(xùn)練模擬練習(xí)

【A級(jí)基礎(chǔ)鞏固】.

一、單選題

1.設(shè)隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，若尸(X=1)—P(X=0)=04,則E(X)=()

A.0.3B.0.4

C.0.6D.0.7

2.若某隨機(jī)事件的概率分布列滿足小=。=。卸=1,2,3,4),則D(X)=()

A.3B.10

C.9D.1

3.一袋中裝有5個(gè)球，編號(hào)為1,2,3,4,5,在袋中同時(shí)取出3球，以X表示取

出的三個(gè)球中的最小號(hào)碼，則隨機(jī)變量X的分布列為()

X123

111

PTT3~

X1234

1132

P

105~105~

X123

331

P

5-1010

X123

133

P

To105~

4.某一隨機(jī)變量X的概率分布如下表，且〃一機(jī)=0.1,則尸(XW2)=()

X0123

P0.1m0.2n

A.0.3B.0.4

C.0.6D.0.7

5.已知5件產(chǎn)品中有2件次品，現(xiàn)逐一檢測(cè)，直至能確定所有次品為止，記

檢測(cè)的次數(shù)為焉則E?=()

7

A.3B.2

C.yD.4

二、多選題

6.若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，其中尸(X=O)=g,E(X),。(㈤分別為隨機(jī)

變量X的均值與方差，則下列結(jié)論正確的是()

A.P(X=1)=E(X)B.E(3X+2)=4

2

C.D(3X+2)=4D.D(X)=g

7.一袋中有大小相同的4個(gè)紅球和2個(gè)白球，下列說(shuō)法正確的是()

A.從中任取3球，恰有一個(gè)白球的概率是g

B.從中任取3球，恰有兩個(gè)白球的概率是］

C.從中任取3球，取得白球個(gè)數(shù)X的數(shù)學(xué)期望是1

D.從中不放回地取3次球，每次任取1球，已知第一次取到紅球，則后兩

2

次中恰有一次取到紅球的概率為5

8.已知機(jī)，咒均為正數(shù)，隨機(jī)變量X的分布列如下表：

X012

Pmnm

則下列結(jié)論一定成立的是()

A.P(X=1)<P(XW1)B.E(X)=1

C.機(jī)〃WD.D(X+1)<1

o

9.下列命題正確的是()

12

A.若隨機(jī)變量X的方差為石，則。(5X+2)=14

B.對(duì)于隨機(jī)事件A與3,若尸(了)=0.3,P(B|A)=0.7,則事件A與3獨(dú)立

C.設(shè)隨機(jī)變量1f服從正態(tài)分布N(0,l),若PC>1)=P，則尸(一l<30)=g—p

D.根據(jù)分類變量X與丫的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得到二=3.712,根據(jù)a=0.05

的獨(dú)立性檢驗(yàn)(P〃2>3.841)=0.05),有95%的把握認(rèn)為X與丫有關(guān)

三'填空題

10.設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為

X1234

111

Pm

346

則P(|X—3|=1)=

11.設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布列為

為止，則取球次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望為.

13.小明準(zhǔn)備用9萬(wàn)元投資A,3兩種股票，已知這兩種股票的收益獨(dú)立,

且這兩種股票的買入價(jià)都是每股1元，每股收益的分布列如下表所示.若投資A

種股票a萬(wàn)元，則小明兩種股票的收益期望和為萬(wàn)元.

收益X/元-103

概率0.30.20.5

收益17元-34

概率0.40.6

四、解答題

14.盒中有標(biāo)記數(shù)字1,2,3,4的小球各2個(gè)，隨機(jī)一次取出3個(gè)小球.

⑴求取出的3個(gè)小球上的數(shù)字兩兩不同的概率；

(2)記取出的3個(gè)小球上的最小數(shù)字為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).

15.第19屆亞運(yùn)會(huì)于2023年9月23日至10月8日在杭州舉行，為弘揚(yáng)奧

林匹克和亞運(yùn)精神，增強(qiáng)鍛煉身體意識(shí)，某學(xué)校舉辦一場(chǎng)羽毛球比賽.已知羽毛

球比賽的單打規(guī)則是：若發(fā)球方勝，則發(fā)球方得1分，且繼續(xù)在下一回合發(fā)球；

若接球方勝，則接球方得1分，且成為下一回合發(fā)球方.現(xiàn)甲、乙二人進(jìn)行羽毛

球單打比賽，若甲發(fā)球，甲得分的概率為最乙得分的概率為亍若乙發(fā)球，乙得

41

分的概率為亍甲得分的概率為亍每回合比賽的結(jié)果相互獨(dú)立.經(jīng)抽簽決定，第一

回合由甲發(fā)球.

(1)求第三回合甲發(fā)球的概率；

(2)設(shè)前三個(gè)回合中，甲的總得分為X,求X的分布列及期望.

【B級(jí)能力提升】1.袋中有同樣的球5個(gè)，其中3個(gè)紅色，2個(gè)黃色，現(xiàn)從中

隨機(jī)且不放回的摸球，每次摸1個(gè)，當(dāng)兩種顏色的球都被摸到時(shí)，即停止摸球，

記隨機(jī)變量q為此時(shí)已摸球的次數(shù)，求：

1.袋中有同樣的球5個(gè)，其中3個(gè)紅色，2個(gè)黃色，現(xiàn)從中隨機(jī)且不放回的

摸球，每次摸1個(gè)，當(dāng)兩種顏色的球都被摸到時(shí)，即停止摸球，記隨機(jī)變量4為

此時(shí)已摸球的次數(shù)，求：

⑴P(《=2)的值;

(2)隨機(jī)變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望.

2.某種項(xiàng)目的射擊比賽規(guī)則是開(kāi)始時(shí)在距離目標(biāo)60米處射擊，如果命中記

4分，同時(shí)停止射擊；若第一次射擊未命中目標(biāo)，可以進(jìn)行第二次射擊，但目標(biāo)

已在90米遠(yuǎn)處，這時(shí)命中記3分，同時(shí)停止射擊；若第二次射擊仍未命中目標(biāo),

還可以進(jìn)行第三次射擊，此時(shí)目標(biāo)已在120米遠(yuǎn)處，這時(shí)命中記2分，同時(shí)停止

射擊；若三次都未命中，則記1分.已知甲射手在60米處擊中目標(biāo)的概率為今

他命中目標(biāo)的概率與距離的平方成反比，且各次射擊都是獨(dú)立的.

(1)求射手甲分別在90米和120米處命中的概率；

(2)求射手甲進(jìn)行射擊比賽中命中目標(biāo)的概率；

(3)設(shè)1f為射手甲進(jìn)行射擊比賽的得分，求E(0.

3.某次知識(shí)競(jìng)賽共有兩道不定項(xiàng)選擇題，每小題有4個(gè)選項(xiàng)，并有多個(gè)選項(xiàng)

符合題目要求.評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)如下：全部選對(duì)得10分，部分選對(duì)得4分，有選錯(cuò)得0

分.由于準(zhǔn)備不充分，小明在競(jìng)賽中只能隨機(jī)選擇，且每種選法是等可能的(包括

一個(gè)也不選).

(1)已知兩題都設(shè)置了3個(gè)正確選項(xiàng)，求小明這兩題合計(jì)得分為14分的概率；

(2)已知其中一題設(shè)置了2個(gè)正確選項(xiàng)，另一題設(shè)置了3個(gè)正確選項(xiàng).小明準(zhǔn)

備從以下兩個(gè)方案中選擇一種進(jìn)行答題.為使得得分的期望最大，小明應(yīng)選擇哪

一種方案？并說(shuō)明理由.

方案一：每道題都隨機(jī)選1個(gè)選項(xiàng);

方案二：每道題都隨機(jī)選2個(gè)選項(xiàng).

參考答案

【A級(jí)基礎(chǔ)鞏固】.

一、單選題

1.(D)［解析］由題意得P(X=1)+P(X=O)=1,

因?yàn)槭?X=l)—P(X=0)=0.4,

所以解得尸(X=l)=07,P(X=0)=0.3,

所以E(X)=lX0.7+0X0.3=0.7,故選D.

、

2.(D)［解析］由分布列的性質(zhì)(知1+正2+3正4+旬=1,

：.a=l,，X的分布列為

X1234

1132

p

To5To5

--E?=T0+5+T0+5=3'

112

.\Z)(X)=(3-1)2X—+(3-2)2X-+(4-3)2X-=l,故選D.

3.(C)［解析］隨機(jī)變量X的可能取值為1,2,3,

P(x=D=『，

C?3

P(X=2)=a=IU，

C?1

。(乂=3)=著=元.故選C.

n—機(jī)=0.1,

4.(C)［解析］由題意可得：＜

0.1+機(jī)+0.2+〃=1,

n=0.4,

解得＜

m=0.3,

故P(XW2)=P(X=0)+P(X=l)+P(X=2)=0.1+0.3+0.2=0.6,故選C.

A2

5.(B)［解析］由題意知，。的可能取值為2,3,4,其概率分別為P(0=2)=xj

A支JC3+A33Aldd+A支4d

=宓尸(<=3)=所以

A1Td-e)=AgE?=

2義京+3*7^+4*正=：故選B.

J.JL\J_LV/乙

二、多選題

6.(ABD)［解析］隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，其中P(X=O)=g,，P(X=1)

2122，2、1,2、22

=3,E(X)=OX-+1X-=~,D(X)=—3J2x3+—3/X3=95P(X=1)=E(X),

22

故A正確;E(3X+2)=3￡(X)+2=3X§+2=4,故B正確;。(3X+2)=9D(X)=9Xg

2

=2,故C錯(cuò)誤；D(X)=g,故D正確.故選ABD.

7.(BC)［解析］從中任取3球，恰有一個(gè)白球的概率「=簧=|,故A錯(cuò)

誤；

「4rl1

從中任取3球，恰有兩個(gè)白球的概率。=6=亍故B正確；

e1

從中任取3球，全為紅球的概率p=0=m，

故X的分布列為：

X012

131

p

555

131

故E(X)=OX,+1Xg+2X5=1,故C正確；

從中不放回地取3次球，每次任取1球，

31233

則第一次取到紅球，則后兩次中恰有一次取到紅球的概率P=5X2+5X4=5,

故D錯(cuò)誤.

故選BC.

8.(BCD)［解析］由分布列的性質(zhì)得加+〃+機(jī)=2m+〃=1,P(X=l)=n,

P(XW1)=2機(jī)，當(dāng)機(jī)$時(shí)，尸(X=l)=尸(XW1),故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；因?yàn)镋(X)

=n+2m=l,故選項(xiàng)B正確；因?yàn)殛帲ň鶠檎龜?shù)，所以I=n+2m力2y/2mn,

11

即nw-n-

m82等號(hào)成立，故選項(xiàng)C正確；由n=l—2m>0,

得0<相<3.又E(X)=1,所以。(X+l)=D(X)=m+m=2m<1,故選項(xiàng)D正確.

1?19

9.(BC)［解析］由O(X)=芯，得。(5X+2)=25D(X)=25Xx=12,故A錯(cuò)

誤；由P(3)=l—P(耳)=1—0.3=0.7,而尸(引4)=0.7,則P(3|A)=g鬻=0.7=

P(B),所以P(AB)=P(A)P(B),即事件A與5相互獨(dú)立，故B正確；因?yàn)殡S機(jī)變

量〈服從正態(tài)分布N(0,l),所以正態(tài)曲線關(guān)于直線4=0對(duì)稱，又因?yàn)镻4>l)=p,

所以P4<—l)=p,所以P(—1<?0)=；一2，故C正確；由/=3.712<3.841,所

以沒(méi)有95%的把握認(rèn)為X與丫有關(guān)，故D錯(cuò)誤.故選BC.

三、填空題

10.［解析］由g+根+(+上=1,解得機(jī)=1,P(IX—31=1)=P(X=2)+P(X=

八1.15

4)=4+6=12-

n.［解析］E(X)=OX4+1X介2x(1—字)=2—p,

又?..1巖\0,1三1一與三0,

331

.,.當(dāng)尸=］時(shí)，E(X)的值最小，E(X)=2—2=2-

C13

12.［解析］由題意得X的所有可能值為1,2,3,尸(乂=1)=0=亍P(X=2)

cicj;3clclcl1

—c4c￡—10；"X—3)—cgclc』一10，

3313

E(X)=1X^+2X—+3X—=-

13.［解析］E(X)=-lX0.3+0X0.2+3X0.5=1.2；E(K)=-3X0.4+4X0.6

=1.2.若投資A股票a元，則投資5股票90000—a元，E(aX)+E［(90000-a)Y］

=aE(X)+(90000—a)E(K)=90000X1.2=108000,即小明兩種股票的收益期望和

為10.8萬(wàn)元.

四、解答題

14.［解析］(1)記”取出的3個(gè)小球上的數(shù)字兩兩不同”為事件先確定

3個(gè)不同數(shù)字的小球，有C?種方法,

然后每種小球各取1個(gè)，有caxcJxd種取法,

axcixclxci4

所以P(M)=

7-

(2)由題意可知，X的可能取值為1,2,3,

當(dāng)X=1時(shí)，分為兩種情況：只有一個(gè)數(shù)字為1的小球、有兩個(gè)數(shù)字為1的

小球,

C1C5+C2C49

所以P(X=1)=

14'

當(dāng)X=2時(shí)，分為兩種情況：只有一個(gè)數(shù)字為2的小球、有兩個(gè)數(shù)字為2的

小球,

cicHc?cl2

所以P(X=2)=

以7'

當(dāng)X=3時(shí)，分為兩種情況:只有一個(gè)數(shù)字為3的小球、有兩個(gè)數(shù)字為3的

小球,

心、，C1CHC2C11

所以P(X=3)=------@------

145

所以X的分布列為:

X123

921

P

14714

92I10

所以E(X)=lXj^+2Xy+3Xj^=7-

15.［解析］(1)若第三回合甲發(fā)球，則前三回合發(fā)球的順序分別為甲甲甲,

或者甲乙甲，

故第三回合甲發(fā)球的概率為

(2)設(shè)甲在第，回合得分記為事件4,乙在第，回合得分記為事件A"?{1,2,3},

則尸(A1A2A3)=11)=言，此時(shí)甲得3分，

P(A1A2§3)=11)X|=覆，此時(shí)甲得2分，

3216

P(AiB2A3)=^X-X-=p^,此時(shí)甲得2分，

32424

P(AIB2B3)=7XTX-=YT7,此時(shí)甲得1分,

JJJ工乙J

P(JBiA2A3)=|x1x|=-j-17,此時(shí)甲得2分,

JJJ_L乙J

2124

P(BiAiBi)X-X-=—,此時(shí)甲得1分,

2418

P(JBIB2A3)=^X-X-=J^,此時(shí)甲得1分,

24432

=7XTX-=-rr^,此時(shí)甲得0分,

JJJJL乙J

X的取值為0,1,2,3.且

323630

P(X=0)=市，P(X=D=西P(X=2)=市,

27

P(X=3)=市.

【B級(jí)能力提升】1.［解析］(1)由已知可得從袋中不放回的摸球兩次的所有取

法有C&CI種，事件4=2表示第一次取紅球第二次取黃球或第一次取黃球第二次

取紅球，故事件。=2包含C!C3+C4C3種取法,

1.［解析］(1)由已知可得從袋中不放回的摸球兩次的所有取法有C4&種，事

件4=2表示第一次取紅球第二次取黃球或第一次取黃球第二次取紅球，故事件e

=2包含C4CJ+C3C4種取法,

““C3C4+C必3

所以尸(4=2)=—灰—=5-

(2)隨機(jī)變量?？扇〉闹禐?,3,4.

由⑴知尸(4=2)=|；

A支，+A支33

n-^3)=dcld=To;

p(^=4)=cIcIcB=w-

得隨機(jī)變量4的概率分布列為:

e234

331

P

5To10

隨機(jī)變量。的數(shù)學(xué)期望為：

331

E((^)=2X-+3X—+4X—=2.5.

2.［解析］(1)令射手甲在60米、90米和120米處命中概率分別為pi,pz,

P3,

k1

由題意可得，p=?,且〃1=5，

Ji乙

則看，，左=1800,

.1800218001

--P2-go2~9fP?—1202—R'

2I

射手甲在米和米處命中概率分別為G，

90120yo.

(2)設(shè)A表示第，次擊中(7=1,2,3),

記A：“射手甲在這次射擊比賽中命中目標(biāo)”，則+

/.P(A)=P(AI+T1A2+T1T2A3)=P(A1)+P(T1A2)+P(T1T2A3)

112171

---1