江西省南昌市某中學(xué)2024-2025學(xué)年高三年級上冊第一次月考數(shù)學(xué)試題

南昌二中2025屆高三第一次月考

數(shù)學(xué)試題

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選

項(xiàng)是正確的.請把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.

1.已知集合A={x|x-3>0},B=\jx\x-5x+4>0j,則Ac5=（）

A.(-co,1)B.(-CO,3)C.(3,+co)D.(4,+oo)

JQQ%X>01

2.已知函數(shù)小戶3二。，則九勺）］的值為，）

A.|B.石

C.-2D.2

3.下列募函數(shù)中，是奇函數(shù)，且在（0,+。）上是增函數(shù)的是（)

_5534

A.y=/5By=xiCy=Dy=x3

4.已知sin((z+〃)=3cos(a—￡),tanatan/?=——,則tana+tanA=()

112

A.—B.—5C.—D.12

55

5.設(shè)函數(shù)/（x）=ln^―上的定義域?yàn)锳,函數(shù)g（x）=x+Jx-2-4的值域?yàn)?,則"xeA"是

x+2

“xeB”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.若函數(shù)〃"=加—21+句11丫（必/0）有唯一極值點(diǎn)，則下列關(guān)系式一定成立的是（）

A.a<0,Z?<0B,a<0,b>0

C.ab<0D.ab>0

7.已知關(guān)于尤的方程石。一sins）=cos。尤（。>0）在（0,兀）內(nèi)恰有3個不相等的實(shí)數(shù)根，則。的取值

范圍是（）

135135519519

A.~6,2B.~6,22,~6D.2,~6

8.若不等式lnx?@+bKe，(a,beR)對任意的xe1,-恒成立，則。的最小值為()

X2

A-3/B--|e2

333

C.-ln-D.3e-31n-

222

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知正數(shù)a,6滿足(a—1)S—1)=1,則下列選項(xiàng)正確的是()

11,,

A.—I—=1B.ab28

ab

22

C.a+b>4D.a+b>S

10.已知函數(shù)/（x）=2%3—3%2,則（）

人j=0是/（力的極大值點(diǎn)

BJ(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(g,；)對稱

Cg(%)=/(%)+1有2個零點(diǎn)

D.當(dāng)0<x<l時，/(x2-l)>/(x-l)

11.在，ABC中，內(nèi)角A,5c所對的邊分別為a,瓦c,其中。=2岔，且廿+c?—12=秘，則下列說法

正確的是()

B.A5c面積的最大值為逮

2

C.若。為邊5C的中點(diǎn)，則AD的最大值為3

D.若,A3C為銳角三角形，則其周長的取值范圍為(6+2君,6君］

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知扇形的圓心角為3,周長為30,則扇形的面積為.

13.已知直線/是拋物線=4%的準(zhǔn)線，拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)。，焦點(diǎn)為尸，若A為C上一點(diǎn)，/與

C的對稱軸交于點(diǎn)8,在,AB尸中，SinZAFB=y［2sinZABF＞則|鉆|=.

14.函數(shù)/（x）=|cosM（xNO）的圖象與過原點(diǎn)的直線恰有四個交點(diǎn)，設(shè)四個交點(diǎn)中橫坐標(biāo)最大值為夕，則

sin20八.?八

------+0sm20=

e

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）已知函數(shù)/（》）=25皿0%+。）\〉0,冏＜、］的部分圖象如圖所示，圖象與x軸正半軸的

第一個交點(diǎn)（從左至右）為圖象與y軸的交點(diǎn)為6（0,1）.

（1）求/（%）的解析式及對稱中心；

（2）將/（x）的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的;倍，再將所得圖象上各點(diǎn)向右平移

2個單位長度，得到g（x）的圖象，求g（x）在區(qū)間［0,可上的單調(diào)遞減區(qū)間.

16.（15分）已知函數(shù)/（x）=a-2、—2一￡.

3

（1）若“X）是R上的奇函數(shù)，求函數(shù)g（x）=y（x）+5的零點(diǎn)七；

（2）若函數(shù)人（力=/（力+4*+2-*在％?0,1］的最大值為—2,求實(shí)數(shù)。的值.

17.（15分）如圖，在四棱錐P—A5CD中，四邊形ABCD是等腰梯形，AB//CD,

AD=BC=CD=1,AB=2,AD±PB.

(1)證明：平面平面A3CD；

(2)若QP=百，且FDLCD,求二面角A—M—。的正弦值.

18.(17分)如圖，平面四邊形ABC。中，DC=4,AD=2,ABC為正三角形.

7T

(1)當(dāng)NAE)C=一時，求《5CD的面積；

3

(2)設(shè)乙記。=8(。<8<兀)，求，58的面積的最大值.

19.(17分)已知函數(shù)/(x)=2mlnx—%+L(m>0).

%

(1))討論了(%)的單調(diào)性；

(2)證明：+++…(1H——)<(〃wN,〃22)；

(3)若函數(shù)g(x)=/n21n2九一%—j_+2有三個不同的零點(diǎn)，求加的取值范圍.

x

高三第一次月考數(shù)學(xué)參考答案

一、單選題

1-8DABCACBA

二、多選題

9.ACD10.AC11.ACD

三、填空題

12.5413.27214.-2

四、解答題

15.【答案】⑴/(x)=+eZ.(2)—Jt

【詳解】(1)/(%)過5(O/),.?.2sin0=l,由閘夕==2sin1<?x+t

----,0,2sin—71(2)H-----0,-7169~\——71+2kII,左￡Z

6)\66)66

CO-

CD-1,/./(x)=2sinx+—

兀71

令x+—=kn,keZ,:.x=kn——,keZ,

66

.,./(%)的對稱中心為［也一：0),左?2.

(2)函數(shù)y=/(x)的圖象上各點(diǎn)的的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的;倍，得到

y=2sinf2%+-^-

再將所得圖象上各點(diǎn)向右平移J個單位長度，得到g(力的圖象,

兀7i3511

—F2左兀42%—W—71+2攵兀，kwZ,...—7c+kuW%W—兀+ku,左￡Z,

2321212

%￡[0,兀],，左=0,%￡W&U兀,

L」L1212J

.?.g(x)在[0,兀]上單調(diào)遞減區(qū)間為—7T,j1-7t.

16.【答案】(1)-1(2)-3

【詳解】(1)解：/(尤)為R上的奇函數(shù)，.??/(—x)+/(x)=O,

a-Tx-2r+a-2x-2X=0,(?-1)■(Tx+2x)=0,:.a=l.

(若用/(0)=0得到a=l，則必須檢驗(yàn)，沒有檢驗(yàn)扣1分)

所以/(尤)=2=2：所以g(x)=2-2-?+萬，

32

令g(x)=2-2-”+5=0,則2?(2。一+3?(2工)—2=0,

.?.(2-,+2)-(2-2A-l)=0,又丁>0，

.?.22—1=0,解得x=—1,即％=—1,

所以函數(shù)g(x)的零點(diǎn)為-1.

(2)解：因?yàn)椤?1)=。.2工一2T+4*+2T,xe[0,l],

令2*=/，貝+a/w[l,2],

對稱軸/=---，

2

①當(dāng)—”一9即3時，/z(0max=h(2^=4+2^z=-2,ci=—3；

2'2'

②當(dāng)—W>5，即av—3時，=/z(l)=1+Q=—2,a=-3(舍)；

綜上：實(shí)數(shù)〃的值為-3.

17.【答案】(1)證明見解析(2)叵

5

【詳解】（1）過點(diǎn)。作

所以DE=①,因?yàn)?所以BD=6,

22

所以A￡>2+3￡)2=至2,所以ADLBD,

因?yàn)锳D_LBD,AD_LPB,BDcPB=B,

平面QB。，所以AD,平面P5￡）,

因?yàn)锳。u平面ABCD,

所以平面0BD_L平面ABC。；

（2）因?yàn)锳DJ_平面03￡）,所以AOLPD,

因?yàn)镻D，CD,PD_LAD,8,ADu平面ABC。,

所以？D，平面ABCD,所以。為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

所以4（1,0,0）,。（0,0,6）,3（0,百,0）,

所以4「=卜1,0,6）,心=（0,也,—61

DB=(0,G,0),設(shè)平面APB的法向量加=(%,%,4),

-Xi+#>Z[=0人_[

所以《I—1~，々&-1,

N3y「'3Z[=0

所以w、

,同理可得平面P5Z）的法向量“=（1,0,0）,

33

7

?I\m-n\J15

所以二面角A-PB-D的余弦值絕對值為cos4=卜目=--

|m||n|5

所以二面角A—。的正弦值』1—

18.【答案】（1）4百（2）4+4有

【詳解】（1）在.ACD中，由余弦定理知

JT1

AC2=AD2+CD2-2ADCDCOS-=4+16-2X2X4X-=12,

32

解得AC=26.

2

ACAD

由正弦定理得sm71-sin/ACD-

sin^ADC-sin/ACD'

3

所以sin/AC￡)=21.因?yàn)?兀所以NACD/0,號),

23

71兀

所以/ACD=—,所以=—.

62

所以S=工05-3。=!052。=工*4*26=46.

BCD222

(2)設(shè)=

在，ACD中，由余弦定理知AC?=4￡)2+82_240.8<05。=20—16cos。，

A(J2+12

AD2=AC2+CD2-2ACCDcosa，所以cosa=------------

SAC

由正弦定理知=即高=W'所以sh"筆'

所以SBCD-gCD-BCsin^ACD+NACB)=gx4xACsinftz+-1-

=A。=2sin8-26cos8+46=4sin(8—q]+K4+4班,

IAC8AC)I3J

TTTTJTT

當(dāng)且僅當(dāng)8—2=乙，即。=二時，等號成立,

326

故，NCD的面積的最大值為4+4，L

19.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析；（3）（1,+8）.

0rri2

（1）函數(shù)/（X）定義域?yàn)椋?,+8），求導(dǎo)得/'（%）='絲—1—1-x+2mx-1

Xx2x2

設(shè)女（%）=一九2+2機(jī)犬一1,則A=4（加2-1）,

①當(dāng)0＜?。?時，AWO，r（x）WO恒成立，且至多一點(diǎn)處為0,函數(shù)八?在（0,+8）上遞減;

22

②當(dāng)相>1時，A>0,k(x)有兩個零點(diǎn)玉=m—\lm—1>0,x2=rn+^lm—1>0，

則當(dāng)0＜九＜玉或X＞%2時，左（x）＜。，即/'（X）＜O;當(dāng)石＜%＜%2時，左（1）＞0，即/'（X）＞。,

即函數(shù)/（%）在（0,X］）,（々,+8）上單調(diào)遞減，在（巧,々）上單調(diào)遞增,

所以當(dāng)0＜相＜1時，的遞減區(qū)間為（0,+8）；

當(dāng)〃?＞1時，/（x）的遞減區(qū)間為（0,加一7m2-1）,（m+Vm2-1,-k?），遞增區(qū)間為

(m-1m2-1,m+y/m2—1)?

(2)由(1)知，當(dāng)“2=1時，xe(l,+8)時，/(x)=21nx-x+—</(I)=0,

x

x11*

貝Ulnx<------，=l+—(HGN,,ZZ>2),

22xn2

1、1111

工Bln(l-l--)<—(1H—7)----------=—(―：------

于是n22n2”,‘1、2n2+lnn2

"十n二n——rn+—r,

n~422

山(1+f+M(1+f+EQ+()++ln(l+J)

(』-十)+(5-$++—T12

)二，<—

3"3，

n—n+—r

2222222

2

???(l+-4)<e3.

所以（1+

n

(3)函數(shù)g(x)=zn21n2%-1-工+2=加21n2%-(%一ix—1

-------=(minx----k)(mlnx+

xxyjx

[x—1

由于Inx與x—l同號，則y=mlnx+—7=只有一個零點(diǎn)工=1,

yjx

令t=G,由〃1)=0,則g(x)有三個不同的零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)/⑺有三個不同的零點(diǎn)，

由(1)知，當(dāng)0<m<1時，/⑺在(0,+8)上單調(diào)遞減，不合題意；

當(dāng)相>1時，由(1)知，/(X)的兩極值點(diǎn)看,％2滿足%逮2=1，所以秘2=1，得4<1</2,

由/⑴=0,則/4)<八1)=0</?2)，由⑵知，當(dāng)f>l時，lnf<L—1，

2It

則In〃<-,即In/<d—丁,

22&業(yè)

]111—4m2

因止匕/(4加2)-2mln(4m2)—4m2H----<2m(2m----)-4m2H-----=------<0,

4m2m4m4m

由零點(diǎn)存在性定理知，/⑺在區(qū)間。2,4加2)上有唯一的一個零點(diǎn)%,

顯然/(10)+/(一)-2mln/0ToH---h2mln------\-t0=0,

%J'0'0

而/。o)=O,貝U/(；)=°,于是當(dāng)根>1時，/⑺存在三個不同的零點(diǎn);/，％,

所以加的取值范圍是(1,+8).

小題詳解

一、單選題

1.【答案】D

【詳解】A={x|%-3>。}={x|x>3},B=1x|x2-5x+4>o1=^x|(x-4)(x-l)>0}={x\x>4或

x<l},所以Ac5=(3,+a)c{W%>4或％<1}={九|%>4}=(4,+8).

故選：D.

2.【答案】A

[詳解】因?yàn)?〉o,故"￡|=log2；=_2"=/(-2)=3-2=1.

故選：A

3.【答案】B

【詳解】A選項(xiàng)，y中，一g<。，故y=在(°，+")上單調(diào)遞減，A錯誤；

B選項(xiàng)，y=/中§>0,故'=/在(0,+8)上單調(diào)遞增，

5555

又〃x)=必定義域?yàn)镽,/(—%)=(—無戶=—盧=—/(%)，故y=為奇函數(shù)，滿足要求，B正確；

C選項(xiàng)，y=1的定義域?yàn)椋?,+8),故不是奇函數(shù)，C錯誤；

4444

D選項(xiàng),g(%)—%耳的定義域?yàn)镽,g(—%)=(―=g(x)，故y=戶為偶函數(shù),D錯誤.

故選：B

4.【答案】C

c1sinasinG11

【詳解】因?yàn)閠anatan^=——,所以---------=,BPsmasm/3=——cosacosB

5cosacosp55

又sin(a+6)=3cos(a—6)=3cosacos6+3sinasin/?

所以sin(a+/?)=3cosacos/?+3x1—(cosacos夕］=￡cosacos/?

所以tantz+tan,_s^nctr+sin,_sincrcos^+costzsin^_sin(tz+夕)_gcostzcos尸_設(shè),

coscifcos尸cosofcos^cosacos/3cosacos/35

故選：C

5.【答案】A

【詳解】由匕>0,得—2<X<1,所以4=(—2,1),

x+2

令仁舊工心。)，則>=/+/—2在［0,+8)單調(diào)遞增，則5=［—2,+。)，所以A是B的真子集，所

以“xeA”是“xeB”的充分不必要條件.

故選：A

6.【答案】C

【詳解】由/(x)=4a2—2x+Mnx(abw0),x>0,得/(%)=2〃%_2+、=2"-2%+J

xx

令g(x)=2G;2—2X+Z?(Q/?W()),△=4-8他,

若△="8次?40,此時/（X）單調(diào)，不存在極值點(diǎn)，所以4—8而＞0,即必＜；,

b

由于/(X)有唯一極值點(diǎn),故g(x)有正根,負(fù)根各一個‘則五＜0,故或＜0-

故選：C.

7.【答案】B

【詳解】因?yàn)槭?1-sinox)=cos＜zu,所以cosox+V^sinoxuA/^，

所以22cos0x+堂sinox=73,所以sin[ox+二]=@,

(22JI6)2

/\兀I兀兀I

由工￡(0,兀)，可得④￥+G7l+wJ，

因?yàn)榉匠逃?個不相等的實(shí)數(shù)根，所以由正弦函數(shù)的圖像可得上＜?7l+-＜—,

363

135(135'

解得一＜?！匆唬?。的取值范圍三,彳.

62162」

故選：B.

8.【答案】A

【詳解】因?yàn)?所以；dnxW灰+aWxe，，所以即求直線y=及+。的縱截距。的最小

3

值，設(shè)/(尤)=屁',所以/'(x)=e*(x+l)＞0,所以“X)在xe1,-單調(diào)遞增，所以/(x)在

-3~

xe1,-的圖象上凹，所以直線與/(%)相切，切點(diǎn)橫坐標(biāo)越大，縱截距越小，

3(33215-

令切點(diǎn)橫坐標(biāo)為一，所以直線過點(diǎn)-,-e2,且直線y=bx+a斜率為士e2

所以y=bx+a的直線方程為y=e

當(dāng)x=l時，丫=￡1〉至竺=io24〉xlnx，即直線y=bx+a與“X)相切時,

'44''

直線y=Z?x+a與/(%)無交點(diǎn),

設(shè)g(x)=xlnx,所以g，(x)=lnx+l,

33

所以g(x)在x=—時斜率為In—+1,在工=1時斜率為1,均小于直線的斜率,

3

所以可令直線y=bx+a在x=5處與/(x)相交，在x=l處與y=xlnx相交,

3-

-e2-03

2

所以直線方程為y=2^——(x-l)+0=3e(x-l),所以截距為_3el.

--1

2

故選：A.

二、多選題

9.【答案】ACD

【詳解】對于A,由題可得即工+4=2±4=1,故A正確；

abab

71111.2「

對于B,見。為正數(shù)，一,不為正數(shù)，一十7二12匚，所以J拓22=>H?24,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2

abab7ab

時，等號成立.故B不正確；

對于C,心。為正數(shù)，。+5=(?+6)仕+與=2+2+￡22+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時，等號成

\abJab

立，故C正確；

對于D,a力為正數(shù)，cr+lr>2ab>^^當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時，等號成立.故D正確.

故選：ACD.

10.【答案】AC

【詳解】對于A,函數(shù)/(x)=2為3—3f,/'(x)=6x2—6x=6x(x—1),令/'(X)=0,解得無=0或

x=l,故當(dāng)XG(T?,0)時/'(x)>0,當(dāng)尤e(O,l)時，/f(%)<0,當(dāng)xe(l,+oo)時/'(司>0,

則/(x)在(-8,0)上單調(diào)遞增，在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+“)上單調(diào)遞增，

故0是“X)的極大值點(diǎn)，故A正確：

對于B,因?yàn)?/p>

/(%)+/(1-%)=2x3-3x2+2(1-%)3-3(1-x)2=2d—+2—6x+6d—2d—3+6x—3f=-l,

所以/(X)的圖象關(guān)于點(diǎn)g

對稱，故B錯誤;

對于C,g(x)=/(x)+l=2x3-3x2+l,易知g(x),/(x)的單調(diào)性一致，而g⑴=0,

故g(x)=〃x)+l有2個零點(diǎn),故C正確;

對于D,當(dāng)0<x<l時，—1</一1<%一i<o,而/(力在(—1,0)上單調(diào)遞增，故

/(x2-l)</(x-l),故D錯誤.

故選：AC.

11.【答案】ACD

【詳解】對于A,由題意可知/+。2—12=/+c2—q2=bc，利用余弦定理得，

Z?2+c2-a2

cosA=-，因?yàn)?/p>

2bc2

AG(0,71),所以A=],故A正確;

對于B,由上述可知，ABC的面積S=LbcsinA=在歷，且易知/—12=秘之2bc—12，解出

24

122be,當(dāng)且僅當(dāng)6=c=26時取等號，此時5=￥人°=3代，故B錯誤；

對于C,在A5D和ACD中，對NADB和NADC利用余弦定理，

22

BD?+AD^—AB^CD?+AZ)—AC匚*A八2勺be,,,,,巾

=,化間后有A_D=3-1,由B知，Z?c的取e大值為12,因

2BDAD-------2CDAD------------------------2

此AD最大為3,故C正確；

hen

對于D,利用正弦定理，--=--=^=4,則b=4sinB,c=4sinC,于是二ABC的周長

sinBsinCsinA

L