空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系（解析版）-2025年天津高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第29講空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

（4類核心考點(diǎn)精講精練）

12.考情探究

1.5年真題考點(diǎn)分布

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析

2024年天津卷，第6題,5分線面關(guān)系有關(guān)命題的判斷

2024年天津卷，第17題,15分證明線面平行面面角的向量求法點(diǎn)到平面距離的向量求

2023年天津卷，第17題,15分證明線面平行廣求點(diǎn)面距離求二面角

2022年天津卷，第17題,15分空間位置關(guān)系的向量證明線面角的向量求法，面面角的向量求法

2021年天津卷，第17題,15分空間位置關(guān)系的向量證明線面角的向量求法，面面角的向量求法

2020年天津卷，第17題,15分空間向量垂直的坐標(biāo)表示線面角的向量求法面面角的向量求法

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較低，分值為5分

【備考策略】1.理解、掌握空間基本事實(shí)，能夠判斷點(diǎn)線面之間的關(guān)系。

2.能掌握空間異面直線所成的角

3.會(huì)解立體幾何的截面問(wèn)題

【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般給幾何體，求解異面直線所成的角，判斷線面關(guān)系

等。

瞅.考點(diǎn)梳理*

「知識(shí)點(diǎn)一.四個(gè)公理｛考點(diǎn)一、基本事實(shí)的應(yīng)用

知識(shí)點(diǎn)二.直線與直線的位置關(guān)系

5、nU—右在匚室yA?考點(diǎn)一、基本事實(shí)的應(yīng)用

知1八點(diǎn)二?直線與干面的位置關(guān)系，考點(diǎn)四、立體幾何截面問(wèn)題

空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系J

知識(shí)點(diǎn)四.平面與平面的位置關(guān)系：

知識(shí)點(diǎn)五.等角定理：

知識(shí)點(diǎn)六.異面直線所成的角考點(diǎn)三,異面直線的判斷與異面直線所成角

知識(shí)講解

知識(shí)點(diǎn)一.四個(gè)公理

公理1:如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).

注意：（1）此公理是判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)；（2）此公理是判定點(diǎn)在面內(nèi)的方法

公理2：過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.

注意：（1）此公理是確定一個(gè)平面的依據(jù)；（2）此公理是判定若干點(diǎn)共面的依據(jù)

推論①：經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；

注意：（1）此推論是判定若干條直線共面的依據(jù)

（2）此推論是判定若干平面重合的依據(jù)

（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據(jù)

推論②：經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面；

推論③：經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面；

公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線.

注意：（1）此公理是判定兩個(gè)平面相交的依據(jù)

（2）此公理是判定若干點(diǎn)在兩個(gè)相交平面的交線上的依據(jù)（比如證明三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)）

（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據(jù)

公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

知識(shí)點(diǎn)二.直線與直線的位置關(guān)系

位置關(guān)系相交（共面）平行（共面）異面

圖形/>/

符號(hào)ab=Pa//ba\a=A,b(^a,A^b

公共點(diǎn)個(gè)數(shù)100

特征兩條相交直線確定一個(gè)平面兩條平行直線確定一個(gè)平兩條異面直線不同在如

面何一個(gè)平面內(nèi)

知識(shí)點(diǎn)三.直線與平面的位置關(guān)系：

有直線在平面內(nèi)、直線與平面相交、直線與平面平行三種情況.

位置關(guān)系包含（面內(nèi)線）相交（面外線）平行（面外線）

圖形/V

//

符號(hào)1ua1CC-P1//a

公共點(diǎn)個(gè)數(shù)無(wú)數(shù)個(gè)10

知識(shí)點(diǎn)四.平面與平面的位置關(guān)系:

有平行、相交兩種情況.

位置關(guān)系平行相交（但不垂直）垂直

圖形二~a~

符號(hào)a//pa(3=1aVp,aB=1

公共點(diǎn)個(gè)數(shù)0無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)且都無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)且都在

在唯一的一條直線上唯一的一條直線上

知識(shí)點(diǎn)五.等角定理：

空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).

知識(shí)點(diǎn)六.異面直線所成的角

⑴定義：已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)。分別作直線"〃a,b'//b,我們把直線d與〃所成的

角叫做異面直線a與b所成的角（或夾角）.

（2）范圍：（0,.

考點(diǎn)一、基本事實(shí)的應(yīng)用

典例引領(lǐng)

1.(?四川?高考真題)如圖，平面4BEF，平面2BCD,四邊形4BEF與ABCD都是直角梯形,

^BAD=AFAB=90°,BC〃-AD,BE"-AF,G,H分別為

=2=2

B4,F。的中點(diǎn).

G、H

/___****、/.--

BC

(I)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；

(IDC,D,F,E四點(diǎn)是否共面？為什么？

(III)T^AB=BE,證明：平面ADE_L平面CDE；

【答案】(I)見(jiàn)解析(II)四點(diǎn)共面(III)見(jiàn)解析

【詳解】【解1］：(I)由題意知，F(xiàn)G=GA,FH=HD

所以GH〃~ADy.BC〃-AD,故GH〃BC

=2=2=

所以四邊形BCHG是平行四邊形.

(II)C,D,F,E四點(diǎn)共面.理由如下：

由BC〃-AF,G是凡4的中點(diǎn)知，BE〃GH,所以EF//8G

=2=

由(I)知BG〃CH,所以EF〃CH,故EC,FH共面.又點(diǎn)D在直線上

所以C,D,F,E四點(diǎn)共面.

(III)連結(jié)EC,

G

BC

由48=BE,BE〃AG及乙BAG=90。知4BEG是正方形

故BG1E4.由題設(shè)知尸4尸。,力B兩兩垂直，故2D1平面

因此E4是ED在平面凡4BE內(nèi)的射影，根據(jù)三垂線定理，BG1ED

又EDOEA=E,ED,EA含于面ADE內(nèi)所以BG1平面2DE

由(I)知CH//BG,所以CH_L平面4DE.

由(II)知FC平面CDE,故CHu平面CDE,得平面ADE_L平面CDE

【解2】：由平面力BEF1平面ABC。，AF1AB,得2F1平面4BCD,

以4為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線4B為%軸正半軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系4-xyz

(I)設(shè)4E=a,BC=b,BE=c,則由題設(shè)得A(0,0,0),B(a,0,0),

C(a,b,0),0(0,2/?,0),E(a,0,c),G(O,O,c),H(O,b,c)

所以布=(0,6,0),BC=(0,b,0)

于是前=前

又點(diǎn)G不在直線BC上所以四邊形BCHG是平行四邊形.

(II)C,D,凡E四點(diǎn)共面.理由如下：由題設(shè)知尸(0,0,2c),所以

EF=(—a,0.c),CH=(-a,0.c),EF=CH

又C住EF,H6FD,故C,D,E,F四點(diǎn)共面.

(III)由=得，所以麗=(—a,0,a),荏=(a,0,a)

又而=(0,2b,0),因此4?族=0,而?而=0

即CH_L4E,CH14。又ADC4E=力，所以CH_L平面4DE

故由CHu平面CDFE,得平面4DE1平面CDE

【點(diǎn)評(píng)】：此題重點(diǎn)考察立體幾何中直線與直線的位置關(guān)系，四點(diǎn)共面問(wèn)題，面面垂直問(wèn)題，考察了空間想

象能力，幾何邏輯推理能力，以及計(jì)算能力；

【突破】：熟悉幾何公理化體系，準(zhǔn)確推理，注意邏輯性是順利進(jìn)行解法1的關(guān)鍵；在解法2中，準(zhǔn)確的建

系，確定點(diǎn)坐標(biāo)，熟悉向量的坐標(biāo)表示，熟悉空間向量的計(jì)算在幾何位置的證明，在有關(guān)線段，角的計(jì)算

中的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵.

2.(2024?四川成都?二模)如圖，在棱長(zhǎng)為2的正四面體P—ABC中，尸分別是棱PB,4B,4C,PC的中

點(diǎn).

p

⑴證明:M,N,E,尸四點(diǎn)共面；

(2)求四棱錐P-MNEF的體積.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)由條件推得MN〃EF,即可證明四點(diǎn)共面;

(2)根據(jù)幾何體的特征，利用等體積轉(zhuǎn)化，即可求解.

【詳解】(1)在APBA中，???M,N是棱的中點(diǎn)，

MN//PA,同理可得EF〃P4

MN//EF,

MN,E,F四點(diǎn)共面.

(2)連接NF,

二四邊形MNEF為平行四邊形,

Vp-MNEE~2Vp-NFE=^N-PEF=%-PEF，

???四面體P-ABC為正四面體,

B在平面P4C內(nèi)的射影。為△P4C的中心,

0P=X2V3

1焉=3

在八PBO中，8。=<PB2-P02=半,

〃lcnc116c22V6V2

VR-PEF=-5AP￡T?BO=-x-x—x22x—=—,

u尸2*3△尸七*34436

T/_V2

,?VP-MNEF—

即時(shí)

1.（2024高三.全國(guó).專題練習(xí)）如圖，已知四棱錐P-48CD的底面是菱形，對(duì)角線交于點(diǎn)。，。4=4,

OB=3,OP=4,OP1底面4BCD,E,F分別為側(cè)棱PB,PD的中點(diǎn)，點(diǎn)M在CP上且由=2MP.求證：A,E,M,F

四點(diǎn)共面.

P

【答案】證明見(jiàn)解析

【分析】易知力C1BD,由線面垂直的性質(zhì)可得。P，4C,0P1BD,建立如圖空間直角坐標(biāo)系。一盯z,利

用空間向量坐標(biāo)方法，設(shè)前=%荏+、而建立方程待定x,y,即可證明四點(diǎn)共面.

【詳解】因?yàn)槠矫?BCD是菱形，所以4C1BD,

由。P1平面2BCD,4C,BDu平面2BCD,^OP1AC,OP1BD,

所以。P,04,0B兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標(biāo)系。-xyz,

則E（0,|,2）,F（0,—1,2）,

由西=2通知，點(diǎn)M為靠近P的三等分點(diǎn)，則”（一（,0,|）,

所以加=（―4,-1,2）,族=（-4,|,2）,前=（-y,0,|）,

（16A.

——=—4x—4y

設(shè)前=X族+風(fēng)，則（o=|x-|y,解得％=y=不

[|=2x+2y

則俞=|版+|初，所以前，版，衣共面，

又直線AM,AE,4尸的公共點(diǎn)為4,所以A,E,M,F四點(diǎn)共面.

2.（2024高三.全國(guó).專題練習(xí)）如圖，在正方體力BCD中，E,F,G,H分別是棱AB,BQ,GA，。/

的中點(diǎn).求證：E,F,G,H四點(diǎn)共面.

【答案】證明見(jiàn)解析

【分析】取BBi的中點(diǎn)M,連接利用平行關(guān)系可得四點(diǎn)共面，四點(diǎn)共面,

再根據(jù)過(guò)不共線的的三點(diǎn)H,M,G的平面具有唯一性，即可證明.

【詳解】如圖，取的中點(diǎn)M,連接

因?yàn)镋,F,G,H分別是棱4B,B1。聲的中點(diǎn)，

所以GF"B\D\,所以HM〃GF,四點(diǎn)共面，

又EM〃力Bi，HGZ/DCJ/ABr，所以EM〃GH,H,M,G,E四點(diǎn)共面，

又因?yàn)檫^(guò)不共線的的三點(diǎn)H,M,G的平面具有唯一性，

則平面HMFG與平面EMGH重合，故E,F,G,H四點(diǎn)共面.

3.(2024.江蘇徐州.一模)如圖,在正四棱柱4BCD中，AB=2,44】=4,E為4必的中點(diǎn)，經(jīng)

過(guò)BE的截面與棱&Bi分別交于點(diǎn)F,G,直線BG與EF不平行.

(1)證明：直線BG,EF,4%共點(diǎn)；

(2)當(dāng)而=；西時(shí)，求二面角C—BF—5的余弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)詳解

(2)-坦

v710

【分析】（1）先設(shè)BG與EF有一公共點(diǎn)，再證明該公共點(diǎn)在直線上即可；

（2）以BC為x軸，B4為y軸，BB1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合面面角的余弦公式即可求解.

【詳解】（1）rBEEG四點(diǎn)共面，BG不平行于EF,設(shè)BGClEF=P,

又???BGu平面力BB141，EFu平面ADD141，BG,EF均不平行于

■-.P為平面力咽冬與4D014的公共點(diǎn)，

又?.,平面4BB141C平面2DD141=AAr,

???根據(jù)基本事實(shí)3可得PeAA^

二直線BG,EF,44i共點(diǎn)；

以BC為久軸，84為y軸，8名為z軸建立B-xyz空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)檎睦庵?8CD中，AB=2,=4,而=｝麗］

所以B(0,0,0),C(2,0,0),F(2,2,l)A(2,2,4),BC=(2,0,0),BF=(2,2,1),西=(2,2,4),

設(shè)平面BCF的法向量為元=(x,y,z),貝4一n-BC=2%=0,

ji-BF=2x+2y+z=0

令y=1,則z=—2,n=(0,1,-2),

m-BD-2%i+2yi+4z1=0人,.

設(shè)平面BF。1的法向量為沅=（xi，y1,zi）,則?1，令X1=1I,=0,則mil%=-1,

m-BF=2%1+2yl+z1=0

則二面角］的余弦值的絕對(duì)值為，冷=I-1I=叵

m=C-BF-DIV2-Vsl10

IH'HI

由圖可知，二面角C—BF—Di的平面角大小為鈍角,

所以二面角C-BF—劣的余弦值一答.

4.（23-24高三下.重慶.階段練習(xí)）如圖，在直三棱柱48。一4/16中，AB=AC=AAr=1,M為線段A/i

上一點(diǎn)，平面8cM交棱4G于點(diǎn)N.

B

（1）求證：直線BM,CN,44i共點(diǎn)；

（2）若點(diǎn)M為中點(diǎn)，再?gòu)臈l件①和條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為己知，求直線ZC與平面BCM所成

角的正弦值.

條件①：三棱錐4-MBC體積為；；

6

條件②：三棱柱ABC-4B1G的外接球半徑為

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵弓

【分析】（1）根據(jù)面面平行的性質(zhì)可得結(jié)合MN7BC,可得與直線NC相交，進(jìn)而證

明BM,NC的交點(diǎn)P在直線441上即可，

（2）條件①根據(jù)等體積法可得NB4C=90。，條件②根據(jù)外接球的性質(zhì)結(jié)合勾股定理可得NB4C=90。，進(jìn)

而建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量的夾角與直線方向向量的夾角即可求解.

【詳解】（1）證明：如圖，由平面2BC〃4B】Ci，平面BCMC平面ABC=BC,

/\

為之廣下、'、

B

平面BCMC平面A/iQ=MN,

故MN〃BC〃B0,且MN4BC,所以直線與直線NC相交,

記BMCNC=P,貝！|PC8M,BMu平面力BB14],

同理PeNC,NCu平面4416C,

所以P在平面441cle與平面力BB14的交線上，即Pe44「

故三線共點(diǎn)，

（2）若選擇條件①，則有

11111

^A-MBC~^M-ABC=LABC="xlx-xlxlxs\nZ-BAC=-s\nZ-BAC=-=>sinZ-BAC=1J即

乙BAC=90°；

若選條件②，記△4BC的外接圓半徑為r,三棱柱ZBC—//?的外接球半徑R,則有產(chǎn)=產(chǎn)+；依必產(chǎn)=

三nr=在，記△力BC外接圓心為O,

42

則有4。=BO=C0=當(dāng),且有4。2+B02=AB?,

故乙84。=/.CA0=45°,

故NB4C=90°；

以A為原點(diǎn)，國(guó)的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系4-xyz,

則B(l,0,0),C(0,l,0),M(|,

則南=(1,-1,1),BC=(-1,1,0),BM=記平面BCM的一個(gè)法向量為元=(x,y,z),

則需需;—%+y=0

-ix+z=0!?。?2,則元=(2,2,1),

記直線BiC與平面BCM所成角為a,

則有sina=|cos他可)|=|高為|=今

考點(diǎn)二、空間位置關(guān)系的判斷

典例引領(lǐng)

1.（23-24高三上.山東荷澤?階段練習(xí)）在三棱錐D—ABC中，點(diǎn)E,F,G,H分別在AB,BC,CD,DA±,

且EF//GH,則下列說(shuō)法中正確的是（）

A.直線EH與FG一定平行B.直線EH與FG一定相交

C.直線EH與FG可能異面D.直線EH與FG一定共面

【答案】D

【分析】根據(jù)兩條平行線確定一個(gè)平面，即可求解.

【詳解】由于EF//GH,所以E,F,G,H四點(diǎn)確定一個(gè)平面EFGH,因此直線EH與FG一定共面，故D

正確，C錯(cuò)誤；

只有當(dāng)E尸〃GH,EF=時(shí)，此時(shí)四邊形EFGH為平行四邊形，此時(shí)EH//GF,故A不正確;

只有當(dāng)EH〃GF但EF7GH時(shí)，此時(shí)四邊形EFGH為梯形，此時(shí)EH,GF相交于一點(diǎn)，故B不正確.

D

故選：D.

2.（24-25高三上?江蘇南京?階段練習(xí)）設(shè)a,b,c是三條不同的直線，a,是三個(gè)不同的平面，則下列命

題為真命題的是（）

A.若ale,blc,貝Ua||6B.若allb,alla,貝防||a

C.若a||a,b||a,c1a,c16,則c||aD.若0_La,y1a,￡Cy=a,則a1a

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，由空間中直線與平面的位置關(guān)系，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.

【詳解】對(duì)A：若ale,61c,在空間中，直線a,b的位置關(guān)系部能確定，故A錯(cuò)；

對(duì)B：若“/》,?！ㄓ秘惙馈╝或6ua,故B錯(cuò)；

對(duì)C：若a||||a,c_La,c1b,當(dāng)直線a,b不平行時(shí)，c1a,當(dāng)直線a,b平行時(shí)，直線c與平面a的位置關(guān)

系不能確定，故C錯(cuò)；

對(duì)D：兩個(gè)平面都垂直于第三個(gè)平面，則它們的交線也垂直于第三個(gè)平面.故D正確.

故選：D

1.（2025?安徽?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)a,b是兩條不同的直線，a,￡是兩個(gè)不同的平面，若aua,bu0,a10,

則“a1S”是“a1b”的（）.

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)線面垂直的性質(zhì)判斷充分性，由線線垂直得線面關(guān)系的各種情況判斷必要性即可.

【詳解】若a_L0,由bu0可知a1b成立；

若a16,可能a//?；騛與￡相交，故不一定a10,

所以“a1邛是“a1b”的充分不必要條件.

故選：A

2.（2024?四川.模擬預(yù)測(cè)）設(shè)匕/2為兩條不同的直線，曲,a2為兩個(gè)不同的平面，下列說(shuō)法正確的是（）

A.若卬/的，l2//ar,則"http://12

B.若A％與由所成的角相等，則4〃12

C.右a】_L0^2）l-y〃a1，12〃a2,則I1I?

D.右a】_La?,_La】,I?_La?,則h_LI?

【答案】D

【分析】根據(jù)線線關(guān)系、線面關(guān)系、面面關(guān)系逐項(xiàng)判斷可得答案.

【詳解】對(duì)于A,平行于同一平面的兩條直線可能平行，也可能異面，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,26與的所成的角相等，則h％可能異面，可能相交，也可能平行，故B錯(cuò)誤，

對(duì)于C,a-L1a2,,l2//a2,則可能垂直，但也可能平行或者相交或者異面，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,1a2,Zi1?i，Z2-L?2,則%，％，D正確.

故選：D.

3.（2024?山東淄博?二模）已知a,P，丫為三個(gè)不同的平面，a,b,1為三條不同的直線.

若anp—l,any=a,8ny—b,l//Y，

則下列說(shuō)法正確的是（）

A.a與1相交B.b與1相交C.a〃bD.a與p相交

【答案】C

【分析】根據(jù)空間中直線與平面的位置關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】對(duì)于AB,2//y,/u平面a,any=a,則〃/a,

同理可得〃/b,則AB錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由AB知道a〃b,則C正確；

對(duì)于D,由A知道”/a,aC平面/7,2u平面0,貝ija〃S，故D錯(cuò)誤.

故選：C.

4.(2024?貴州遵義?二模)已知平面a,￡,y滿足al0，Sly,aly,下列結(jié)論正確的是()

A.若直線11處則〃/6或/〃丫

B.若直線l〃a,貝〃與。和y相交

C.若Zua,則Z10,且Zly

D.若直線1過(guò)空間某個(gè)定點(diǎn)，則與a,成等角的直線/有且僅有4條

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，作出正方體，舉例說(shuō)明判斷ABC；利用正方體的體對(duì)角線推理判斷D.

【詳解】在正方體4BCD-4tBic12中，平面4BCD,平面平面CD4Q兩兩垂直，

令平面4BCD為平面a,平面力為平面口，平面CDD16為平面y,

對(duì)于A,直線DDila,DD1c/3,DD1^y,當(dāng)/為直線時(shí)，lu^luy,A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,ArBJ/a,當(dāng)I為直線&Bi時(shí)，l//y,B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,ABc當(dāng)2為直線4B時(shí)，2〃y,C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,在正方體4BCD-力iBiC/i中，直線力相交于點(diǎn)0,

它們與平面48CD,平面平面CD/C1所成的角都相等，

而正方體過(guò)其中心的直線有且只有4條直線與該正方體各個(gè)面所成的角相等，

過(guò)空間給定點(diǎn)作直線平行于直線26,4停,8。1，2。之一，所得直線與與a,￡,y所成角相等，

因此直線Z過(guò)空間某個(gè)定點(diǎn)，與a,成等角的直線I有且僅有4條，D正確.

故選：D

考點(diǎn)三、異面直線的判斷與異面直線所成角

典例引領(lǐng)

1.(2022?安徽馬鞍山?模擬預(yù)測(cè))正方體力BCD中，點(diǎn)M是CG上靠近點(diǎn)Ci的三等分點(diǎn)，平面AM/n

平面4BCD=/,則直線1與B4所成角的余弦值為()

AVs_V15V103V5

A.—D.-----C.------D.--

1010510

【答案】D

【分析】先根據(jù)面面平行性質(zhì)定理得出交線1,再結(jié)合空間向量法求異面直線的余弦值.

【詳解】因?yàn)?8CD-4B1C1D1是正方體，所以平面4DD14〃平面BCC/i，

平面4M￡(in平面BCC/i=MN,平面n平面力叫&=也，

所以4A//MMM是CG靠近6的三等分點(diǎn)，

所以BTN=：1B1C,

平面AMD]n平面4BCD=AN,4N即是I,

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為3,

則B(3,3,0),4i(0,3,3),4(0,3,0),N(3,2,0)

—>—>

BA1=(-3,0,3),AN=(3,-1,0)

設(shè)直線1與所成角為e

_盛|=_________9_____________3V5

C0S

一忖/網(wǎng)-V32+32+0X732+(-1)2+0-10-

故選：D.

2.(2024?重慶?二模)已知a,b是空間中的兩條直線，貝b,6沒(méi)有交點(diǎn)是a〃b的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】利用異面和平行直線的概念結(jié)合充分必要條件判斷.

【詳解】a,b是空間中的兩條直線，

a,b沒(méi)有交點(diǎn)可推得a〃。或a與b是異面直線，故充分性不成立；

a〃仇則a,b沒(méi)有交點(diǎn)，故必要性成立.

a,b沒(méi)有交點(diǎn)是a〃匕的必要不充分條件.

故選：B.

即時(shí)

1.（23-24高三下?河南.階段練習(xí)）過(guò)三棱柱任意兩個(gè)頂點(diǎn)的直線中，其中異面直線有（）對(duì)

A.15B.24C.36D.54

【答案】C

【分析】依據(jù)異面直線定義結(jié)合三棱柱的特征性質(zhì)即可求得異面直線的對(duì)數(shù).

【詳解】三棱柱2BC-41B1C1中，與4/1異面的直線有GC,C14C1B,C4CB,

與AG異面的直線有&C,B1B,BA,BC,

與aa異面的直線有aiC,&B,4i44B,4C,

與異面的直線有BC,BGqB,

與BBi異面的直線有力C,4的,4（7,

與CQ異面的直線有48,481,4/,

與異面的直線有4c,4C,力G，與AB1異面的直線有BC,BCi，C4,

與BiC異面的直線有ABMCi，與BG異面的直線有AC,4C,

與41c異面的直線有4B,與4G異面的直線有BC,

所以異面直線有5x3+3x3+3x2+2x2+lx2=36對(duì)，

故選：C.

2.（2021?全國(guó)?高考真題）在正方體4BCD-4/也1￡?1中，P為Bi4的中點(diǎn)，則直線PB與4%所成的角為（）

A.-B.-C.-D.-

2346

【答案】D

【分析】平移直線4%至將直線PB與所成的角轉(zhuǎn)化為PB與BC］所成的角，解三角形即可.

如圖，連接BCi，PCi,PB,因?yàn)锳Dt〃BQ,

所以NPBCi或其補(bǔ)角為直線PB與AD1所成的角，

因?yàn)镴_平面,所以881±PC1,又PC】_LB1D1,BB1AB1D1=B1,

所以PG_L平面PBBi，所以PC11PB,

設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2,貝IBC1=2&,PCi=或，

sinNPBCi=祟=$所以NPBG=￡.

故選：D

3.（2022?浙江?高考真題）如圖，已知正三棱柱力BC-4/iG，2C=a4,E,F分別是棱BC,&G上的點(diǎn).記

EF與44］所成的角為a,EF與平面ABC所成的角為0,二面角F-BC-2的平面角為y,則（）

A.a<P<yB.P<a<yC.P<y<aD.a<y<P

【答案】A

【分析】先用幾何法表示出a,6，y,再根據(jù)邊長(zhǎng)關(guān)系即可比較大小.

【詳解】如圖所示，過(guò)點(diǎn)F作尸P14C于P,過(guò)P作PM1BC于M,連接PE,

貝（Ja=NEFP,p=Z.FEP,y=Z.FMP,

PEPE,y_八FPAB.人FPFP4n

tana=—=—M1,tan。=—=—21,tany1=—2—=tan。，

FPABLPEPEPMPE產(chǎn)

所以a</?<y,

故選：A.

考點(diǎn)四、立體幾何截面問(wèn)題

典例I啊

1.（2024.重慶沙坪壩?模擬預(yù)測(cè)）圓臺(tái)上、下底面半徑分別為r,R,作平行于底面的平面a將圓臺(tái)分成上下兩

個(gè)體積相等的圓臺(tái)，截面圓的半徑為（）.

Vr+R

A.

2

3r3+R3

B.

2

3r2R+rR2

c.2

3r2+R2

D.

【答案】B

【分析】設(shè)截面半徑為％,上，下圓臺(tái)的高分別為上，h2,上，下圓臺(tái)的體積分別為匕，/，則￡=E，而

匕=匕，利用圓臺(tái)體積公式建立方程，化簡(jiǎn)求解即可得到答案.

【詳解】設(shè)截面半徑為X,上、下圓臺(tái)的高分別為七，h2,上，下圓臺(tái)的體積分別為匕，彩,

貝哈=公又彩=匕，

22

貝仁（兀R2+冗％2_|_1TR%）九2=|（KX+nr+nrx）hr,

R2+X2+RX_hi_

則R3—%3=%3—r3,

于是22

x+r+xrh2R-X

得2久3=R3+73,故久—r3+R3

2

故選：B.

2.（2024?四川綿陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）在長(zhǎng)方體4BCD—中，AB=2AD=244「點(diǎn)M是線段好區(qū)上靠近5

的四等分點(diǎn)，點(diǎn)N是線段CCi的中點(diǎn)，則平面4MN截該長(zhǎng)方體所得的截面圖形為（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

【答案】C

【分析】延長(zhǎng)MN交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接4F交BC于點(diǎn)H,連接NH,延長(zhǎng)NM交。區(qū)的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連

接4E交A。1于點(diǎn)G,連接GM,即可得到截面圖形，再利用相似驗(yàn)證即可.

【詳解】延長(zhǎng)MN交。C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接4F交BC于點(diǎn)H,連接NH,

延長(zhǎng)NM交DDi的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接4E交于點(diǎn)G,連接GM,

則五邊形2HNMG為平面2MN截該長(zhǎng)方體所得的截面圖形，

不妨設(shè)力B=24D=2AAt=4,又點(diǎn)M是線段白區(qū)上靠近01的四等分點(diǎn)，點(diǎn)N是線段的中點(diǎn),

所以GM=3,DrM=1,JN=NC=1,所以CF=3,又CFUAB,

所以霆=瞿=:，又BH+CH=2,所以CH=：,

CFCH37

又翳=鬻，即解得ED1=￡

DFED7E￡）i+23

1

又等=魯，即第=3,解得GDi=g符合題意，

AL）CiD/2+—7

3

即五邊形2HNMG為平面4MN截該長(zhǎng)方體所得的截面圖形.

故選：C

即時(shí)找測(cè)I

1.（2024?安徽蚌埠?模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為4cm和6cm,AA1,BB】為圓臺(tái)的兩

條母線，截面2BB1&與下底面所成的夾角大小為60。，且。。1劣弧雷團(tuán)的弧長(zhǎng)為詈cm,則三棱臺(tái)4B。-

4_當(dāng)。1的體積為（）

A.ycm3B.10V3cm3C.19cm3D.20V3cm3

【答案】C

【分析】分別取A名,48的中點(diǎn)E,F,則易知截面4881al與下底面所成的夾角為NEF。=60°,E作EH1FO

于點(diǎn)H,貝UEH〃Oi。，且EH=。］。，再根據(jù)弧度數(shù)公式及解三角形可求出圓臺(tái)的高，最后根據(jù)臺(tái)體的體積公

式，即可求解.

【詳解】如圖，分別取力/1，4B的中點(diǎn)E,F,

貝?。?。亞_LaBi，OF14B且。?/OF,又。_L平面AB。，ABu平面4B。，所以。1。148,

OFC。1。=。，OF,。1。u平面FEO］。，所以AB_L平面FE。］。，

又EFu平面FE。1。，所以EF14B,

截面4881al與下底面所成的夾角為NEF。=60°,

過(guò)E作EH1FO于點(diǎn)H,貝l］EH〃0i。，且EH=010,

又。。1劣弧2逋1的弧長(zhǎng)為詈cm,弧所在圓的半徑為4,

8

???N&O/i=王=空，則EOi=4sin-=2,

4366

同理可得OF=3,FH=3-2=1,又乙EFO=60°,

???。1。=EH=FHtan60°=V3,

又三角形Ai。聲1的面積為:x4x4x曰=4V3,

同理可得三角形40B的面積為］x6x6x曰=9V3,

???三棱臺(tái)4B。-a/1。1的體積為子x（4V3+9V3+J4設(shè)x9⑹x百=19（cm3）.

故選：C.

2.（2024?浙江溫州.模擬預(yù)測(cè)）邊長(zhǎng)為2的立方體被一個(gè)平面所截，截得的截面圖形面積最大值為（）

A.4V2B.2V3C.3V3D.6立

【答案】A

【分析】當(dāng)截面過(guò)立方體中心且過(guò)兩條側(cè)棱時(shí)，截面面積最大，得出截面后計(jì)算即可得.

【詳解】當(dāng)截面過(guò)立方體中心且過(guò)兩條側(cè)棱時(shí)，其截面面積最大，

如圖所示矩形DD/1B符合要求，

此時(shí)截面面積為S=2X此+22=4V2.

故選：A.

D

3.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知正方體2BCD-a/iGA中，點(diǎn)E是線段B81上靠近名的三等分點(diǎn)，點(diǎn)尸是線

段D1G上靠近￡>1的三等分點(diǎn)，則平面AEF截正方體ABCD-&B1GD1形成的截面圖形為（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

【答案】C

【分析】如圖，由題意，根據(jù)空間線面的位置關(guān)系、基本事實(shí)以及面面平行的性質(zhì)定理可得〃/力E,進(jìn)而F〃/4E,

結(jié)合相似三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】如圖，設(shè)4B=6,分別延長(zhǎng)4E、4B1交于點(diǎn)G,此時(shí)4G=3,

連接FG交BiG于H,連接EH,

設(shè)平面4EF與平面DCCi%的交線為2,貝ijFeI,

因?yàn)槠矫妗ㄆ矫妗！币玻矫?EFC平面2幽&=AE,平面4EFC平面。"必=I,

所以Q/4E,設(shè)in/￡）=/,貝/〃/4E,

止匕時(shí)SAABE,故/。1=%連接4,

所以五邊形4FHE為所求截面圖形，

4.（2023?安徽馬鞍山?模擬預(yù)測(cè)）已知正四棱錐S-ABCD的所有棱長(zhǎng)都為2,點(diǎn)E在側(cè)棱SC上，過(guò)點(diǎn)E且垂直

于SC的平面截該棱錐，得到截面多邊形的面積的最大值為.

【答案】管

【分析】取SC的中點(diǎn)廣，連接得SC,平面BOF,當(dāng)點(diǎn)E在S,F之間時(shí)，作平面EMNQP與平面80F平

行，得到的截面最大為五邊形，即可求解.

【詳解】解：取SC的中點(diǎn)F,連接DF,BF,則BF1SC,DF1SC,

而B(niǎo)FCDF=F,BF,DFu平面BDF,得SC_L平面BDF,

當(dāng)點(diǎn)E在S,尸之間時(shí)，作EP〃BF,EM〃DF分別交SB,SD于點(diǎn)P,M,

作MN//S4PQ//S4分別交于點(diǎn)N,Q,連接NQ,則平面EMNQP與平面BDF平行，得到的截面為五邊形,

如圖所示：

令粵=九則|EP|=2|BF|=百九\SP\=A\SB\=22,

|SF|

可得|PB|=|8Q|=|PQ|=2(1—4),得|MN|=2(1-4),\AQ\=\AN\=2A,得|NQ|=2夜2,

由cos/DFB=3?-4=1,得sin/DFB=V1-cos2zDFB=—,

2XV3XV333

所以SAEMP=IXV32XV3AXsin乙DFB=V2A2,

又因?yàn)镸N與NQ的夾角等于SA與8。的夾角，且由正四棱錐性質(zhì)可知$4與BD垂直，

所以S四邊形PMNQ=2gx2(1—Q=4722(1-A),

可得截面的面積為：S=V2A2+4V22(1-2)=-3V2A2+4&4=—3夜。一|了+?，

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可知，當(dāng)2=軻，S取得最大值竽，

故答案為：竽

IN.好題沖關(guān)

基礎(chǔ)過(guò)關(guān)

1.（2024高三?天津?專題練習(xí)）若相，九為兩條直線，a為一個(gè)平面，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.若m〃a,nccr,則zn〃?iB.若m〃a,n//a,則?n〃幾

C.若m〃a,n1a,則zn1九D.若m〃a,n1a,則zn與?i相交

【答案】C

【分析】ABD可舉出反例；C選項(xiàng)，根據(jù)線線平行和線面垂直的性質(zhì)得到答案.

【詳解】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于A,若zn〃仇，九ua,則m與九平行或異面，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若m”a,n//a,則?n與九異面、平行或相交，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,設(shè)直線2,滿足Eua且

若n1a,則n12,而則m1n,C正確；

對(duì)于D,若Tn“a,n1a,則zn與n相交或異面，D錯(cuò)誤.

故選：C.

2.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）若直線1不平行于平面a,且lya,則下列說(shuō)法中正確的是（）

A.a內(nèi)的所有直線與/都異面B.a內(nèi)的所有直線與/都相交

C.a內(nèi)不存在與I平行的直線D.a內(nèi)存在唯一的直線與，平行

【答案】C

【分析】先得到直線Z與平面a相交，從而得到a內(nèi)的直線有可能與a異面，相交，不存在與1平行的直線，得

到答案.

【詳解】因?yàn)橹本€/不平行于平面a,且2Ma,得直線2與平面a相交.

故a內(nèi)的直線有可能與a異面，相交，故A,B錯(cuò)誤.

a內(nèi)不存在與I平行的直線，C正確，D錯(cuò)誤.

故選：C

3.（2024高三.全國(guó)?專題練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（）

A.若直線1平行于平面a內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，貝也〃a

B.若直線a在平面a外，貝!]a〃a

C.若直線a〃b,bua,貝！Ia〃a

D.若直線aCa,1）5且2〃13,貝!Ja〃a

【答案】D

【詳解】選項(xiàng)A中缺少1在平面a外這一條件；直線在平面a外包括直線與平面相交和與平面平行兩種情

況，故選項(xiàng)B錯(cuò)；選項(xiàng)C中缺少a不在平面a內(nèi)這一條件；選項(xiàng)D滿足線面平行的三個(gè)條件.

【考查意圖】線面平行的判定.

4.（2020?天津河?xùn)|?模擬預(yù)測(cè)）已知平面a,0,直線lua,直線小不在平面a上，下列說(shuō)法正確的是（）

A.若則〃/rnB.1p,則Zlm

C.若〃/m,a〃S，則m〃0D.若ILm,m/邛，則a_L0

【答案】B

【分析】由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系逐一分析四個(gè)選項(xiàng)得答案.

【詳解】因?yàn)?ua,

對(duì)于A,若a〃/?,?n〃夕，則/與m有可能異面，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若a/【B，則THla,又/ua,則Zlzn,故B正確；

對(duì)于C,若〃/zn,a〃/?,則有可能muS，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,若I則a與夕有可能相交，故D錯(cuò)誤.

故選:B.

5.（23-24高三上?天津和平?階段練習(xí)）設(shè)。血,九是三條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，下列命題正確

的是（）

A.若〃/zn,zn〃7i,則〃/幾B.若〃/m,zn〃a,貝加〃a

C.若I則m〃aD.若7nl則a///?

【答案】A

【分析】根據(jù)空間中線面之間的位置關(guān)系逐一判斷即可.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)橐颐缶攀侨龡l不同的直線，〃/7n,zn〃幾，

所以〃/九，故A正確；

對(duì)于B,若〃貝！J〃/a或2ua,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若11m,Illa,則m〃a或或mua或直線與平面a相交，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,若mLn，m”a,n//B，貝ija與f平行或相交，故D錯(cuò)誤.

故選：A.

6.（23-24高三上?天津武清?階段練習(xí)）已知m,n是兩條直線，a,3是兩個(gè)平面，則下列命題成立的是（）

A.若a1/?,me.a,則7nlsB.若a〃3，mca,nu0,則m〃7i

C.若mua,nu0,mJIn,則a〃/?D.若an/?=m,nila,nllR,則九〃m

【答案】D

【分析】根據(jù)空間中直線，平面間的關(guān)系，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.

【詳解】對(duì)于A,若a_L/?,mua,則zn_L/?或血〃或者m與/?相交，故A錯(cuò)誤，

對(duì)于B.若a〃夕，mca,nu0,則rn〃九或異面，故B錯(cuò)誤，

對(duì)于C.若?71ua,nu0,mlIn,則a〃/?或者a/相交，故C錯(cuò)誤，

對(duì)于D.若an/?=m,n//a,n///?,則幾〃m,

故選：D

B能力提升

1.（20-21高三上?天津紅橋?期中）已知血、九是不重合的直線，%夕是不重合的平面，有下列命題:

①若7i//a,THua,則zn〃?i；

②若m〃a,mlip,則a〃伙

③若7nlS，a1p,則m//a；

④若7nla,mt0,則a///?；

⑤若a1/?,mu0,則m1a；

⑥若a///?,7nl￡,則TH1a；

⑦若aA/?=n,mlIn,則m〃a.

其中真命題的個(gè)數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【解析】利用線面平行、面面平行、線面垂直、面面垂直的判定和性質(zhì)判斷①②③④⑤⑥⑦中線線、線面、

面面位置關(guān)系，由此可得出結(jié)論.

【詳解】對(duì)于①，若nila,血uQ,則加、幾平行或異面，①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，若m〃a,mlIp,則a、夕平行或相交，②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，若m上0,cr1/?,則m〃a或?nua,③錯(cuò)誤；

對(duì)于④，若mJ.0,由線面垂直的性質(zhì)可得。//出④正確；

對(duì)于⑤，若Q工mu0,則TH與a平行、相交或inua,⑤錯(cuò)誤；

對(duì)于⑥，若a///?,ml/?,由面面平行的性質(zhì)可得m_La,⑥正確；

對(duì)于⑦，若/八/?=九，m//n,則m〃a或znua,⑦錯(cuò)誤.

故選：A.

【點(diǎn)睛】對(duì)于空間線面位置關(guān)系的組合判斷題，解決的方法是“推理論證加反例推斷”，即正確的結(jié)論需要根

據(jù)空間線面位置關(guān)系的相關(guān)定理進(jìn)行證明，錯(cuò)誤的結(jié)論需要通過(guò)舉出反例說(shuō)明其錯(cuò)誤，在解題中可以以常

見(jiàn)的空間幾何體（如正方體、正四面體等）為模型進(jìn)行推理或者反駁.

2.（2020?天津北辰?二模）m,九是不同的