河北省衡水中學(xué)2022屆高三上學(xué)期高考模擬卷（一）數(shù)學(xué)試題 含解析

新高考單科模擬檢測(cè)卷（一）數(shù)學(xué)本試卷滿分150分，考試用時(shí)120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由交集定義計(jì)算．【詳解】∵，故選：B．2.已知冪函數(shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，則（）A.8 B.4 C.2 D.1【答案】A【解析】【分析】由奇函數(shù)定義域的對(duì)稱性得，然后可得函數(shù)解析式，計(jì)算函數(shù)值．【詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù)在上是奇函數(shù)，所以，所以，所以，故選：A．3.設(shè)的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，，則邊（）A.2 B. C. D.1【答案】D【解析】【分析】求出三角形的三個(gè)內(nèi)角，然后由正弦定理得結(jié)論．【詳解】因?yàn)榍遥?，．又，由正弦定理，得，即，解得．故選：D．4.已知，，則，，的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】因?yàn)?，，，所以則，，的大小關(guān)系是，故選：B5.設(shè)向量，，則“”是“”的A.充分但不必要條件 B.必要但不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用充要條件的判斷方法進(jìn)行判斷即可.【詳解】若，則，，則；但當(dāng)時(shí)，故“”是“”的充分但不必要條件.選A.【點(diǎn)睛】本題考查充分不必要條件條件的判斷，屬基礎(chǔ)題.6.在2020中俄高加索聯(lián)合軍演的某一項(xiàng)演練中，中方參加演習(xí)的有5艘軍艦，4架飛機(jī)；俄方有3艘軍艦，6架飛機(jī)．若從中、俄兩方中各選出2個(gè)單位（1架飛機(jī)或一艘軍艦都作為一個(gè)單位，所有的軍艦兩兩不同，所有的飛機(jī)兩兩不同），且選出的四個(gè)單位中恰有一架飛機(jī)的不同選法共有（）A.51種 B.224種 C.240種 D.336種【答案】C【解析】【分析】按中方選一架飛機(jī)或俄方選一架飛機(jī)分類討論，每類再分步選擇即可得．【詳解】不同的選法有：（種）．故選：C．7.已知，均為銳角，且，則的最大值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將變形，配角利用兩角差的正弦公式展開化簡(jiǎn)計(jì)算，可得關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)列不等式求解的取值范圍，即可得最大值.【詳解】∵，∴，即，∴，即，又因?yàn)闉殇J角，所以該方程有解，即，解得．又為銳角，∴．所以的最大值是.故選：C8.已知拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為，雙曲線的左頂點(diǎn)為，若雙曲線的一條漸近線與直線平行，則實(shí)數(shù)的值是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)拋物線定義求，再代人求，最后根據(jù)條件列方程，解得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閽佄锞€上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為，所以，即，因?yàn)?，所以，選A.【點(diǎn)睛】凡涉及拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離時(shí)，一般運(yùn)用定義轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線距離處理．即若為拋物線上一點(diǎn)，則由定義易得.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知，分別為直線的斜率與縱截距，復(fù)數(shù)，則（）A. B.C. D.復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限【答案】BC【解析】【分析】由直線方程得，然后由復(fù)數(shù)乘除法運(yùn)算求得，判斷各選項(xiàng)．【詳解】∵，分別為直線的斜率與縱截距，∴，∴，∴，復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在軸的負(fù)半軸上．故選：BC．10.已知直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)值可能是（）A. B.1 C. D.2【答案】ABC【解析】【分析】由圓心到直線的距離小于半徑可得的范圍．【詳解】圓的圓心為，半徑為，依題意得，解得．故選：ABC．11.設(shè)，是不同的直線，，，是不同的平面，則下面說(shuō)法不正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】BD【解析】【分析】由面面平行性質(zhì)定理和判定定理判斷A，根據(jù)空間直線與平面間的位置關(guān)系判斷BD，由線面垂直的判定定理，線面平行的性質(zhì)定理判斷C．詳解】若，，作兩個(gè)相交平面分別與平面相交于直線，與相交于直線，與相交于直線，，如圖，則，，所以，，由得，同理，又是內(nèi)兩相交直線，所以，A正確；若，時(shí)，可以有，B錯(cuò)；，過(guò)作平面與相交于直線，如圖，則，又，則，因此，C正確；，，也可能有，D錯(cuò)．故選：BD．12.已知下表為函數(shù)部分自變量取值及其對(duì)應(yīng)函數(shù)值，為便于研究，相關(guān)函數(shù)值非整數(shù)值時(shí)，取值精確到0.01．3.271.570.260.4200.070.260.210.200下列關(guān)于函數(shù)的敘述正確的是（）A.為奇函數(shù) B.在上沒(méi)有零點(diǎn)C.在上單調(diào)遞減 D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，，判斷奇偶性后確定相應(yīng)函數(shù)值的正負(fù)，得零點(diǎn)據(jù)區(qū)間，然后結(jié)合各函數(shù)值得變化趨勢(shì)，確定的正負(fù)．【詳解】∵，∴，所以為奇函數(shù)；又，，所以在上必有零點(diǎn)，所以在上必有零點(diǎn)；另一零點(diǎn)在上，根據(jù)已知數(shù)值，的情況下，越大，函數(shù)值越小，結(jié)合三次函數(shù)的性質(zhì)可以確定，同時(shí)在上單調(diào)遞減．故選：ACD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.展開式中，所有項(xiàng)的系數(shù)和等于________．【答案】【解析】【分析】令，代入計(jì)算，即可得所有項(xiàng)的系數(shù)和.【詳解】令，得，故展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和等于．故答案為：14.已知向量與的夾角為，且，，設(shè)，，則向量在方向上的投影向量的模為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積公式的變形公式代入計(jì)算在方向上的投影向量的模長(zhǎng).【詳解】在方向上的投影向量的模為．故答案為：15.已知一元二次不等式的解集為，則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為________．【答案】【解析】【分析】求，由可得的單調(diào)增區(qū)間.【詳解】由可得因?yàn)橐辉尾坏仁降慕饧癁?，所以可得，所以的單調(diào)增區(qū)間為，故答案：16.等差數(shù)列中，且，則______；若集合中有2個(gè)元素，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】①.12②.【解析】【分析】空1：根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合已知，得到關(guān)于首項(xiàng)和公差的二元一次方程組，解方程組，最后根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可；空2：常變量分離，根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，構(gòu)造新數(shù)列，利用新數(shù)列的單調(diào)性結(jié)合已知進(jìn)行求解即可.【詳解】空1：設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)椋?，所以有：，因此；?：由（1）知：由，設(shè)，，顯然當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此從第2項(xiàng)起，數(shù)列是遞減數(shù)列，，所以數(shù)列的最大項(xiàng)為，因?yàn)橹杏?個(gè)元素，所以不等式只有兩個(gè)不同正整數(shù)根，而數(shù)列的最大項(xiàng)為，因此一定是不等式的解，因此一定有：.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式的應(yīng)用，考查了數(shù)列單調(diào)性的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，是否存在正整數(shù)，使得，，成等比數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】存在；．【解析】【分析】首先根據(jù)求出；然后假設(shè)存在正整數(shù)，使得，，成等比數(shù)列，根據(jù)即可求得的值.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以，，假設(shè)存在正整數(shù)，使得，，成等比數(shù)列，則，即，解得或(舍去)，故存在，使得，，成等比數(shù)列．18.已知：中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且．（1）求角的大小及的值；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理化邊為角，結(jié)合二倍角公式可求得；（2）由得，然后由誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式計(jì)算．【小問(wèn)1詳解】中，由正弦定理，又由得，，所以，∵，∴．∴．【小問(wèn)2詳解】由及得，則，所以．19.為了解高中生使用手機(jī)社交軟件聊天情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.如圖是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生每天使用手機(jī)上網(wǎng)平均所用時(shí)間的頻率分布直方圖.將時(shí)間不低于40分鐘的學(xué)生稱為“手機(jī)控”.（1）樣本中“手機(jī)控”有多少人?（2）根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表，并據(jù)此資料判斷是否有95%的把握認(rèn)為“手機(jī)控”與性別有關(guān)?非手機(jī)控手機(jī)控合計(jì)男女1055合計(jì)100參考數(shù)據(jù)：0.100.052.7063.841【答案】（1）人；（2）列聯(lián)表見解析，沒(méi)有95%把握認(rèn)為“手機(jī)控”與性別有關(guān).【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖計(jì)算即得解；（2）完善2×2列聯(lián)表，再利用獨(dú)立性檢驗(yàn)求解.【詳解】解：（1）由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，“手機(jī)控”有人.（2）由題得列聯(lián)表如下：非手機(jī)控手機(jī)控合計(jì)男301545女451055合計(jì)7525100假設(shè)：“手機(jī)控”與性別沒(méi)有關(guān)系.將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式，計(jì)算得當(dāng)成立時(shí)，.因?yàn)?.030<3.841，所以沒(méi)有95%把握認(rèn)為“手機(jī)控”與性別有關(guān).20.如圖，在三棱錐中，△是等邊三角形，．（1）證明：；（2）若，且平面平面，求三棱錐體積．【答案】（1）證明見解析（2）9【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，，證明平面，得線線垂直；（2）作，垂足為，連接．得證平面，利用全等三角形的性質(zhì)得是中點(diǎn)，求得各線段長(zhǎng)后，由體積公式計(jì)算體積．【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)槭堑冗吶切?，，所以，可得．如圖，取中點(diǎn)，連接，，則，，,平面，所以平面，又平面，所以．【小問(wèn)2詳解】解：作，垂足為，連接．因?yàn)?，所以，．平面，所以平面，由已知，平面平面，故．在中，，，．在中，，∵，∴．∴在中，．∴．∵平面，∴三棱錐體積．21.已知函數(shù)．（1）若，證明：在定義域內(nèi)是增函數(shù)；（2）若在上的最小值為，求的值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由恒成立得證；（2）求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)的大小分類討論求出的最小值，由最小值求得．【小問(wèn)1詳解】由題意知的定義域?yàn)?，．∵，∴，故在上是單調(diào)遞增函數(shù)．【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，．①若，則，即在上恒成立，此時(shí)在上為增函數(shù)，∴，∴（舍去）；②若，則，即在上恒成立，此時(shí)在上為減函數(shù)，∴，∴（舍去）；③若，令，得，當(dāng)時(shí)，，∴在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，∴在上為減函數(shù)，∴，∴．綜上所述，．22.已知橢圓E：的焦點(diǎn)在x軸上，拋物線C：與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，直線AB過(guò)拋物線的焦點(diǎn)．（1）求橢圓E的方程和離心率e的值；（2）已知過(guò)點(diǎn)H（2，0）的直線l與拋物線C交于M、N兩點(diǎn)，又過(guò)M、N作拋物線C的切線l1，l2，使得l1⊥l2，問(wèn)這樣的直線l是否存在？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用拋物線的方程求出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入橢圓的方程，即可求得的值，進(jìn)而得到離心率的值；（2）設(shè)直線的方程為，由拋物線的方程得，則，所以切線的斜率分別為，，有題設(shè)條件得，再由直線的方程和拋物線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，得，即可求得，得到直線的方程.【詳解】（1）∵x2＝2py，∴，∴代入得∴代點(diǎn)A到得t＝4．∴橢圓E：，a＝2，b＝1，∴，∴離心率．（2）依題意，直線l的斜率必存在，設(shè)直線l的方程為y＝k（x－2），M（