湖北省問津教育聯(lián)合體2024-2025學(xué)年高二年級上冊10月聯(lián)考 數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年湖北省“問津教育聯(lián)合體”高二10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷。

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

5兀

1.若直線[猶+根)7+1=°的傾斜角為石，則實(shí)數(shù)機(jī)值為()

F_典

A.A/3B.~A/3C.9D.一百

2.已知直線+1=°,%：2x-yT=0,則過4和4的交點(diǎn)且與直線3x+4y-5=。垂直的直線方程為

()

A.3x—4y—1=0B.3%—4y+1=0Q4x—3y+1=0D.4x—3y—1=0

“=(—1,9,1)-=(m-3,2)'=(0,2,1)「,「｝

3.已知啊,n2，電,若2n3不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則爪=()

A.3B.1C.5D.7

4.已知事件/、B,如果N與8互斥，那么P(4B)=Pi；如果力與8相互獨(dú)立，且PQ4)=0.6,P(B)=0.7,

那么PQ4+B)=P2,則PI,P2分別為()

APi=0。2=°?9BPl=°42P2=0,9

CP]=0p2—0.72DP]=042P2=045

5.如圖，平面2BCD，平面/BEE四邊形N2斯為正方形，四邊形N2CD為菱形，〃MB=60°,則直線

AC,/喈所成角的余弦值為()

.

D.3

6.在一個(gè)袋子中裝有分別標(biāo)注1,2,3,4,5,6的6個(gè)小球，這些小球除標(biāo)注的數(shù)字外完全相同，現(xiàn)從

中隨機(jī)取出2個(gè)小球，則取出標(biāo)注的數(shù)字之差的絕對值為2或4的小球的概率是()

1321

A.10B.10C.5D.4

7.如圖所示，一個(gè)組合體的上面部分是一個(gè)高為65機(jī)長方體，下面部分是一個(gè)正四棱錐，公共面是邊長為

—TH

1m的正方形，已知該組合體的體積為3,則其表面積為（）

8.已知點(diǎn)P（a，6）與點(diǎn)QQO）在直線2%-3y+1=。的兩側(cè)，給出下列命題：

①2a—3b+1>0;

b

②當(dāng)a時(shí)，公有最小值，無最大值；

③存在正實(shí)數(shù)加，使得肖匚記>小恒成立；

b_12

④當(dāng)a>0且aKl,b>0時(shí)，力的取值范圍是（一叫一歹Uq,+叼.

其中正確的命題是（）

A.①②B.②③C.②④D.③④

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得6

分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.下圖為2024年中國大學(xué)生使用/尸尸偏好及目的統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖，下列關(guān)于2024年中國大學(xué)生使用

APP的結(jié)論正確的是（）

中國大學(xué)生使用APP偏好情況中國大學(xué)生APP使用目的

購物類I25.7%

娛樂類L：?.122.2%①社交需要

②了解最新偵訊

新聞?lì)悺?9.3%

③學(xué)習(xí)甯要

社交類I1?I18.9%④生活需要

⑤娛樂需要

金雁類EZZZ36.2%

?Kte

生活類cm5.0%

工具類□2.7%

1

A.超過4的大學(xué)生更愛使用購物類4Pp

B.超過半數(shù)的大學(xué)生使用APP是為了學(xué)習(xí)與生活需要

C.使用APP偏好情況中7個(gè)占比數(shù)字的極差是23%

D./PP使用目的中6個(gè)占比數(shù)字的40%分位數(shù)是34.3%

10.設(shè)kGR,過定點(diǎn)A的動(dòng)直線卬久+3=。與過定點(diǎn)B的動(dòng)直線，2：依一丫+3—k=°交于點(diǎn)p）則下列說

法正確的有（）

22

A.\PA\+\PB\=16B.三角形PAB面積的最大值為2

c.伊川\PB\-5D.P點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最大值為回

11.在棱長為2的正方體力BCD-AiBiC/i中,P,E,尸分別為棱力&,CC1,2C的中點(diǎn)，。為側(cè)面正方形

的中心，則下列結(jié)論正確的是（）

2

A,直線4C〃平面pEFB,三棱錐。-PEF的體積為§

C.直線PF與平面POE所成角的正切值為5D.三棱錐P-BCE的外接球表面積為9兀

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

._3

12.已知直線/的傾斜角為a,sina=5,且這條直線/經(jīng)過點(diǎn)P（5,3）,則直線/的一般式方程為.

13.甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，采取七場四勝制（當(dāng)一隊(duì)贏得四場勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，決賽結(jié)束）?根據(jù)前期

比賽成績，甲隊(duì)的主客場安排依次為“主主客客主客主”設(shè)甲隊(duì)主場取勝的概率為08,客場取勝的概率為

05,且各場比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以4：1獲勝的概率為.

14.正方體“BCD-&B1C1D1中，點(diǎn)￡是441的中點(diǎn)，點(diǎn)尸為正方形44夕18內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且CF〃平面DEC1,

若異面直線CF與所成角為優(yōu)則cos。的最小值為.

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.（本小題12分）

已知三角形N5C的頂點(diǎn)。（4,3）,邊/C上的高8〃所在直線方程為%—2y—5=0,點(diǎn)（1,—2）是邊的中點(diǎn).

（1）求邊NC所在直線的方程；

（2）求點(diǎn)B的坐標(biāo).

16.（本小題12分）

如圖，在四棱錐P—ABC。中，平面24。，平面/BCD,PA1PD,AB1AD,PA=PD,AB=1,AD=2,

AC=CD=4.

（1）求證：PD1平面PAB.

（2）在棱尸/上是否存在點(diǎn)使得8M〃平面PCD?若存在，求出運(yùn)的值;若不存在，請說明理由.

17.（本小題12分）

甲、乙、丙三位重劍愛好者決定進(jìn)行一場比賽，每局兩人對戰(zhàn)，沒有平局，已知每局比賽甲贏乙的概率為

3,甲贏丙的概率為I,丙贏乙的概率為:因?yàn)榧资亲钊醯?，所以讓他決定第一局的兩個(gè)比賽者（甲可以選定

自己比賽，也可以選定另外兩個(gè)人比賽），每局獲勝者與此局未比賽的人進(jìn)行下一局的比賽，在比賽中某

人首先獲勝兩局就成為整個(gè)比賽的冠軍，比賽結(jié)束.

（1）若甲指定第一局由乙丙對戰(zhàn)，求“只進(jìn)行三局甲就成為冠軍”的概率；

（2）請幫助甲進(jìn)行第一局的決策（甲乙、甲丙或乙丙比賽），使得甲最終獲得冠軍的概率最大.

18.（本小題12分）

己知三棱錐P-4BC（如圖一）的平面展開圖（如圖二）中，四邊形/BCD為正方形，和aBCF均為正三

角形，在三棱錐P—2BC中：

（1）證明：平面PACJ?平面ABC;

（2）若點(diǎn)〃在棱PC上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)直線與平面P/C所成的角最大時(shí)，求面PA4和面夾角的余弦值.

19.（本小題12分）

已知4(4,8),B(0,0),C(12,0),直線〃kx—y+2-k=0.

(1)證明直線/經(jīng)過某一定點(diǎn)，并求此定點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)若直線/等分三角形/3C的面積，求直線/的一般式方程；

(3)若P(l,2),李老師站在點(diǎn)尸用激光筆照出一束光線，依次由BC(反射點(diǎn)為K)、AC(反射點(diǎn)為/)反射后,

光斑落在P點(diǎn)，求入射光線PK的直線一般式方程.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】【分析】

本題主要考查直線的一般方程以及直線傾斜角，考查學(xué)生對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，屬于基礎(chǔ)題.

將直線方程化成斜截式方程，求得斜率，再借助于直線的斜率定義即可求得加值.

【解答】

_￡=5TT=

解：由題知，可，解得小;

故選：&

2.【答案】C

【解析】【分析】

本題主要考查直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)已知條件，先求出兩直線的交點(diǎn)，再結(jié)合直線垂直的性質(zhì)，即可求解.

［解答］解：；直線卬久—曠+1=o,%：2久—y—1=0,

(x—y+1=0

"l2x-y-l=0,解得x=2,y=3,即交點(diǎn)為(2,3),

所求的直線與直線"+4y—5=°垂直，

由題意可設(shè)所求直線的方程為4%-3丫+k=O,

則4x2—3x3+k=0,解得k=l,

故所求的方程為4x-3y+1=0.

故選：C.

3.【答案】B

【解析】【分析】

本題主要考查了空間向量的基底的概念，屬于基礎(chǔ)題.

一=獷+廠

由題意得出存在實(shí)數(shù)尢“，使得：敢㈣%即(爪,-3,2)="一1,9,1)+〃(0,2,1),即可求解.

【解答】

「「「｝”=獷+廠

解：叫敢㈣不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則存在實(shí)數(shù)九出使得：圾%陶,

即(加,一3,2)=2(-1,9,1)+4(021),

'm=—A(A=—1

—3=94+2〃〃=3

所以I2=4+〃，解得：【爪=1,

故選8

4.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查了互斥事件，獨(dú)立事件的概率公式，屬于中檔題.

根據(jù)互斥事件的定義可求P1,根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式求「2,由此可判斷結(jié)論.

【解答】

解：如果事件4與2互斥，則P(48)=0,所以Pi=0?

如果事件A與B相互獨(dú)立，則事件A與后也相互獨(dú)立，

且P0)=1-P(B)=0.3,

P(aD)=P(4)P(歹)=0.6X0.3=0.18,

72

P(4+B)=PQ4)+P(B)-PQ4B)=06+03_018=0.72,即P2=°--

故選：c.

5.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查面面垂直的性質(zhì)，利用向量法求直線與直線所成角，考查學(xué)生的分析和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

首先建立空間直角坐標(biāo)系，再利用向量的夾角即可求解.

【解答】解：取48的中點(diǎn)O,連接

因?yàn)樗倪呅?BCD為ND48=60°的菱形，所以D014B,

因?yàn)槠矫媪CD，平面/8ER且兩平面交線為N8,DOLAB,D°u平面/8cD,

所以。。1平面ABEF,

又四邊形尸為正方形，故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

不妨設(shè)正方形的邊長為2,則4(。,T,。),8(0,1,0)尸(2,—1,0),C(O,2,0),

”=(0,3,避)「=(2-2,0)

故4cBF,

--—/BF__6

則COS(ACBF)Lc1U2PX2盤4,

設(shè)直線所成角為生

COS0=Icos<“「>|=理

貝U?ACBF14,

嶼

故直線所成角的余弦值為了，

故選：4

6.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查古典概型，屬于基礎(chǔ)題.

這是一個(gè)古典概型，只要做出事件總數(shù)和滿足條件的事件數(shù)就可以得到結(jié)果，從6個(gè)球中任取兩個(gè)有15

種情況，數(shù)字之差的絕對值為2或4的有6種情況，根據(jù)概率公式得到結(jié)果.

【解答】解:從6個(gè)小球中任取2個(gè)小球有(1,2),

(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共”

種情況，

數(shù)字之差的絕對值為2或4的有(1,3),(L5),(2,4),(2,6),(3,5),(4,6),共6種情況，

p=￡=2

???所求概率一15一5,

故選。

7.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查簡單組合體(柱、錐、臺(tái))的表面積與體積，屬于中檔題.

根據(jù)組合體的體積求出正四棱錐的高，再求出正四棱錐的斜高，利用組合體表面積的求解方法，即可求出

結(jié)果.

【解答】

解：設(shè)長方體高為九，四棱錐高為電，

由題意可知八inSS771,底面邊長。=1根，

%3

因?yàn)樵摻M合體的體積為3,

71221

所以1X。“產(chǎn)義5百,解得5尹,

所以正四棱錐斜高為=丁小,

105+124XX1=(3+

所以表面積為4XX-+2XT再成，

故選B.

8.【答案】D

【解析】【分析】

本題主要考查直線的斜率，點(diǎn)到直線的位置關(guān)系，屬較難題.

由已知點(diǎn)PQ，6)與點(diǎn)QQO)在直線2比-3y+1=。的兩側(cè)可得2a-3b+1<0,結(jié)合不等式的性質(zhì)可得當(dāng)

b21----------b

a>0時(shí)，￡>?+缸從而對①②作出判斷；對于③，根據(jù)擊2+戶的取值即可得出；對于④，二!表示點(diǎn)

(a,6)與點(diǎn)(1,0)連線的斜率，計(jì)算可得到結(jié)果.

【解答】

解：由已知(2。―36+1)(2-0+1)<0,即2a-36+1<0,二①錯(cuò)；

當(dāng)a>0時(shí)，由36>2a+l,可的a>3+3a,???不存在最小值，，②錯(cuò)；

拈+M表示為(口力)與(0,0)兩點(diǎn)間的距離,

d—1—廖

由于原點(diǎn)(0,0)到直線2支一3、+1=0的距離—仙—13,而且(0,0)與點(diǎn)Q(L0)在直線2久―3y+l=0的

同側(cè)，

可得次石屋八小，.?.③正確；

b

力表示點(diǎn)(。山)與點(diǎn)(1，°)連線的斜率，

br2

當(dāng)a>0且aHl,6>0時(shí)，則口的取值范圍是(一叫一§)U0,+8).④正確.

故選：D.

9【答案】AC

【解析】解：對于/,根據(jù)圖表知，大學(xué)生使用購物類/尸尸占比為25.7%,故/正確；

對于3,根據(jù)圖表知，大學(xué)生使用NP尸是為了學(xué)習(xí)與生活需要的占比為34.3%+14.0%=48.3%,故呂錯(cuò)

誤;

對于C,根據(jù)圖表知，使用/P尸偏好情況中7個(gè)占比數(shù)字的極差是25.7%-2.7%=23%,故c正確；

對于。，根據(jù)圖表知，NPP使用目的中6個(gè)占比數(shù)字從小到大分別為06%,8.4%,14.0%,16.3%,

26.4%,34.3%,

又6x40%=2.4,

???40%分位數(shù)是14.0%,故。錯(cuò)誤.

故選：力a

選項(xiàng)/和8,根據(jù)圖表中數(shù)據(jù)，即可判斷出正誤；選項(xiàng)C,根據(jù)圖表中數(shù)據(jù)，利用極差的定義，即可求解;

選項(xiàng)。，將占比數(shù)字從小到大排列，再利用百分位數(shù)的求法，即可求解.

本題考查統(tǒng)計(jì)圖、極差、分位數(shù)、極差等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

10.【答案】BCD

【解析】【分析】

本題考查直線過定點(diǎn)問題、由基本不等式求最值或取值范圍、點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最值問題，屬于中檔題.

根據(jù)已知條件可得出兩直線過定點(diǎn)，且兩直線垂直，進(jìn)而得出尸在以42為直徑的圓上，根據(jù)圓的性質(zhì)可

判斷/錯(cuò)誤，得出田如2+伊8|2=|48|2=10后利用基本不等式可判斷8、c,利用點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最值問題

即可判定D.

【解答】

解：因?yàn)檫^定點(diǎn)A的動(dòng)直線，1猶+ky=。與過定點(diǎn)B的動(dòng)直線‘2：-一y+3-k=°交于點(diǎn)P,

所以.過定點(diǎn)40,0),%過定點(diǎn)2(1,3),且直線k與4垂直，

所以動(dòng)點(diǎn)尸在以N8為直徑的圓上，

222

/中：由4(0,0),B(l,3)^:\PA\+\PB\^\AB\^10,故/錯(cuò)誤;

2中：SAPAB-2'PA\1^1-2X2-2XT-2,

當(dāng)且僅當(dāng)|P*=|PB|=@時(shí)等號(hào)成立，故3正確；

2vla2+b22vl\PA\2+\PB\2

C中：由a>。，b>0知：a+bN知：西+兩7

112?

所以兩+兩之

當(dāng)且僅當(dāng)IP川=伊用=4時(shí)等號(hào)成立，故C正確;

對于。，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P在以為直徑的圓上，

所以尸點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最大值為迎，故。正確.

故選BCD.

11.【答案】ACD

【解析】【分析】

本題考查線面平行的向量表示、直線與直線所成角的向量求法、棱錐的體積、球的表面積、球的切、接問

題，屬于中檔題.

建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，得出各直線的方向向量和平面的法向量，求出相應(yīng)三棱錐的體積

和外接球的表面積，即可得出結(jié)論.

【解答】

解：由題意，在正方體"BCD-AiBiCPi中，棱長為2,p,E,尸分別為棱力&,CCi,2C的中點(diǎn)，

0為側(cè)面”&8遇的中心，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

則4(2,0,2),5(2,2,2),C(0,2,2),0(0,0,2),&(2,0,0),

Bi(2,2,0),Ci(0,2,0),。式0,0,0),0(2,1,1),尸(2,0,1),E(0,2,l),F(l,2,2),

~=(-2,2,0)~=(2-2,0)~=(1,0,1)

/選項(xiàng)，AC,EP,EF

一=(x,y,z)

設(shè)平面PEF的一個(gè)法向量為n

「?f=2x-2y=0

nEP

*-=%+z=0

則I"EF,令X=l,則丫=1,Z=~l

”=(1,1-1)

所以平面PEF的一個(gè)法向量為n

=f=-2+2+0=0

則nAC

因?yàn)橹本€ACC面PER所以直線47/面尸斯，故/正確;

8選項(xiàng)，如圖：

11x2，1

3X^X1=3

故8不正確;

因?yàn)椤?。，?/p>

L2D—T)p=(0,1,0)

?=(a,6,c)

設(shè)平面POE的一個(gè)法向量為加

「?f=2a-b=0

mEO

-?-=b=0「=(0,0,1)

則ImPO，取m

-?

=(0,0,1)

所以平面POE的一個(gè)法向量為m

設(shè)直線PF與平面POE所成角為。,

一」PFm1_1

sind=Icos<>I一?-rI一~/F

所以PF,m7

15

~,COS0—

所以

a_sin?_p

故也“。一而一可，故C正確；

。選項(xiàng)，如圖，G為BB1的中點(diǎn),

三棱錐P—BCE恰好在長方體48CD—PGEH上，且CP為體對角線,

所以CP為三棱錐P-BCE外接球的直徑，

由幾何知識(shí)

\CP\=J(2-0)2+(0-2)2+(］-2)=3,

所以三棱錐P-BCE的外接球表面積為：

S=4兀x(等)？=47rx(1)2=97r,,丁,五

S,故。正確.

故選4CD.

12.［答案］3x_4y_3=0或3x+4y—27=0

【解析】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、直線的點(diǎn)斜式方程和一般式方程，屬于基礎(chǔ)題.

求出tana,利用點(diǎn)斜式，即可求出結(jié)果.【解答】

._3

解：:直線/的傾斜角為樂sina=S,

???cosa=±yfl-sin1a=±1

sina.3

?

??tana=-c-o-s-a-=±--4,

：直線經(jīng)過P(5,3),

3

二直線方程為y-3=±4(L5),

直線I的一般式方程為3x—4y—3=?；?%+4y—27=0.

故答案為3久一4y-3=°或3久+4y-27=0.

13.【答案】0.32

【解析】【分析】

本題考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，屬于基礎(chǔ)題.

“甲隊(duì)以4：1獲勝”，則甲隊(duì)共比賽五場，且第五場甲隊(duì)獲勝，前四場甲隊(duì)勝三場負(fù)一場，利用獨(dú)立事件同

時(shí)發(fā)生的概率公式計(jì)算即可.

【解答】

解：記事件M為“甲隊(duì)以4:1獲勝”，則甲隊(duì)共比賽五場，且第五場甲隊(duì)獲勝，前四場甲隊(duì)勝三場負(fù)一場,

所以P(M)=0.8x(0.82x以x0.52+以義0.8x0.2x0.52)=0.32.

故答案為

14.【答案】丁

【解析】【分析】

本題考查空間向量的應(yīng)用，利用它解決線面的平行和求異面直線所成的角，屬于較難題.

建立空間建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)4(2,0,0),F(2,m,n),求出平面。石好的一個(gè)法向量為皿一’‘一<找到

八2

cosO=,

m-n-l=0,再求出』2m2Q-6m+9,分析當(dāng)爪=1或2時(shí)，cos。最小即可解答.

【解答】

解：分別以以，DC,所在直線為X軸，V軸，Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)Z(2,0,0),F(2,m,n),0<m<2,0<n<2,

則D(0,0,0),E(2,0,l),C(0,2,0),G(0,2,2),故虛=QnT?

.=(2,0,2)-=(0,2,2)-=(2,0,0)

DE,Dci,DA,

~=(x,y,z)(2x+z=0(y=2x

設(shè)平面0Eg的一個(gè)法向量為八,則(2y+2z=0,解得(z=-2x,

「=(1,2,-2)

取n,

>^=2+2(m—2)-2n=0

因?yàn)镃F〃平面DneErC"所以CFn,即小一72-1=0,

所以根=n+1e[1,2],

設(shè)異面直線”與所成角為仇

CFDA42

COSu-.................=---------------------------------=------------------------

則口舄2儂+（時(shí)2]+〉凝-6,?+9,

n399

丁2mz—6m+9=2（m--）2+-

由于22,

2非

所以當(dāng)機(jī)=1或2時(shí)，上式有最大值，此時(shí)cos。最小為虧.

15.【答案】解:（1）因?yàn)檫匩C上的高38所在直線方程為萬一2>-5=0,

所以邊/C所在直線的斜率為-2,直線經(jīng)過點(diǎn)C（4,3）,

所以邊/C所在直線的方程為V—3=-2（x-4）,

即AC所在直線的方程為2久+7-11=0;

（2）設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為。0）0）,

因?yàn)檫?C上的高班/所在直線方程為x-2y-5=0,

又因?yàn)辄c(diǎn)（1，-2）是邊的中點(diǎn)，

所以點(diǎn)工的坐標(biāo)為（2一飛，一4一%），

由邊/C所在直線的方程為a+y—11=0,

所以2（2-K0）+（-4一%）-11=。，即2%+yo+ll=0；

17

%0二=

r2x0+y0+ll=0_21

由（x0-2y0-5=0得到：卜。=一可,

￡_21

所以點(diǎn)3的坐標(biāo)為I至‘丁'

【解析】本題考查了直線的一般式方程與點(diǎn)斜式方程，以及兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，兩條直線垂直的判定及

應(yīng)用，屬于中檔題.

（1）根據(jù)已知可得邊NC所在直線的斜率，利用點(diǎn)斜式即可求得邊NC所在直線的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)8的坐標(biāo)為（久。）0）,由點(diǎn)（1，-2）是邊的中點(diǎn)，可得點(diǎn)力的坐標(biāo)，點(diǎn)8在直線84上，點(diǎn)/在直

線/C上，聯(lián)立方程組即可求得比0,%值，從而得解.

16.【答案】（1）證明：：平面平面N8CD,且平面P4DC平面=

且A814D,ABu平面"CD,

AB1平面PAD,

?-?PDu平面PAD,

■■.AB1PD,

又PD1PA,且尸An=A,尸U平面PAB

?1?PD1平面PAB-,

(2)解：取4。中點(diǎn)為。，連接C。，P0,

??,CD=AC=出，

???COLADf

又PA=PD,

?PGIAD

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)C,OA,。尸為x軸、y軸、Z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖:

則P(0,0,l),D(0,-l,0),C(2,0,0),

貝蔡=(1'1T嘲=(°'T7；C=(2，°T%=(TT。)

(通，%/0)

設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為

廣"=。

nPD

‘=0

則由卜PC,

-z

f-yoo=0

得令

12x0—z0=0,z()=2則與=Ly。=-2

(1-2,2)

則n

假設(shè)存在M點(diǎn)使得BM〃平面PCD,

4M

設(shè)麗=4(0W4Wl),也0%送1),4(0,1,0),

則iI#

-=廠

則有4MAP,

可得M(O,1T4),

B/(-1T㈤

f=(1-2,2)

???BM〃平面尸CD,n為平面尸CD的一個(gè)法向量，

???-1=0

BMn,

即-1+24+2A=0,

2=-

解得4,

AM_1

綜上，存在點(diǎn)M,即當(dāng)酢=4時(shí)，使得〃平面PCD.

【解析】本題考查線面垂直的判定，面面垂直的性質(zhì)，考查利用空間向量解決線面平行的問題，屬較難

題.

(1)由已知結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可得4B1平面P/。，進(jìn)一步得到481PD,再由PD1P4,由線面垂直的判

定得到平面尸48;

(2)取中點(diǎn)為。，連接CO,PO,由已知可得以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)

系，求出平面尸C。的一個(gè)法向量明由BM〃平面PCD,可得BMn,計(jì)算可得4的值.

17.【答案】解：(1)若甲指定第一局由乙丙對戰(zhàn)，“只進(jìn)行三局甲就成為冠軍”共有兩種情況：

lxlxl=±

①乙丙比乙勝，甲乙比甲勝，甲丙比甲勝，其概率為534―60；

②乙丙比丙勝，甲丙比甲勝，甲乙比甲勝，其概率為54360,

41_1

所以“只進(jìn)行三局甲就成為冠軍”的概率為而+而=五.

(2)若第一局甲乙比，甲獲得冠軍的情況有三種：甲乙比甲勝，甲丙比甲勝；甲乙比甲勝，甲丙比丙勝，

乙丙比乙勝，甲乙比甲勝；甲乙比乙勝，乙丙比丙勝，甲丙比甲勝，甲乙比甲勝，

所以甲能獲得冠軍的概率為3*4+33*5入3+3*5*4*3—180,

111211341117

若第一局為甲丙比，則同上可得甲獲得冠軍的概率為43十4354十4534—120,

1

若第一局為乙丙比，那么甲獲得冠軍只能是連贏兩局，則甲獲得冠軍的概率即第(1)問的結(jié)果也，

29171

因?yàn)殪?面＞豆，所以甲第一局選擇和乙比賽，最終獲得冠軍的概率最大.

【解析】【分析】

本題主要考查了相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生得概率，互斥事件的概率加法公式，考查學(xué)生的分析與運(yùn)算能力，

屬于中檔題.

（1）若甲指定第一局由乙丙對戰(zhàn)，“只進(jìn)行三局甲就成為冠軍”共有兩種情況:

①乙丙比乙勝，甲乙比甲勝，甲丙比甲勝，②乙丙比丙勝，甲丙比甲勝，甲乙比甲勝，分別求出概率，再

相加即可;

（2）分別求出甲能獲得冠軍的概率，若第一局為甲丙比，則同上可得甲獲得冠軍的概率,

1

若第一局為乙丙比，那么甲獲得冠軍只能是連贏兩局，則甲獲得冠軍的概率即第（1）問的結(jié)果正比較大小

得出結(jié)果.

18.【答案】（1）證明：取/C的中點(diǎn)。，連接08,OP,

,j-r—.,Z-)nIAf-'0P—0B—

由圖二可r知，PB=BE=a

：.OP2+OB2PB2,gpOP1OB,

xxcnop=o,AC>OPU平面尸/c,

OB1平面pAC,

OBu平面ABC,

???平面PAC1平面力8C.

（2）解:由⑴知,0B1平面P4C,

連接（W,則即為直線8/與平面尸/c所成的角,

0B

在Rt/XBOM中，tan乙BM°=詞,

當(dāng)直線與平面尸/C所成的角最大時(shí)，最小，此時(shí)M為PC的中點(diǎn),

.=（一％0,_%）一=（冬亭,0）一

PA，，，,BM

,->-?72

=0---ax---az=0n

mPA

->-?172,72

f=（X,y,z）=0虧a%+亍ay=on

設(shè)平面尸的法向量為加,則ImAB，A即n1/

■「=(1-1